Міністерствоосвіти і науки України
Південноукраїнськийдержавний педагогічний університет
ім.К.Д.Ушинського (м. Одеса)
Кафедраматематичного аналізу
Курсоваробота на тему:
„Еліптичніінтеграли”
виконала
студентка4 курсу
інститутуфізики і математики
спеціальності„МІ”
СушковаО.А.
Науковийкерівник:
АровД.З.
Одеса2007
План
Вступ
1. Загальні зауваження та означення
2. Допоміжні перетворення
3. Приведення до канонічної форми
4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду
Висновки
Література
Додатки
Вступ
У багатьохпитаннях науки і техніки доводиться не по заданій функції шукати її похідну, анавпаки – відновлювати функцію по відомій її похідній.
Дамо наступнеозначення:
Функція F(x) на даному проміжку називаєтьсяпервісною функцією для функції f(x) або інтегралом від f(x), якщо на всьому цьому проміжку f(x) являється похідною для функції F(x) або, що те ж саме, f(x)dx служить для F(x) диференціалом
F’(x )= f(x) або dF(x )= f(x)dx.
Пошук для функціївсіх її первісних, що називається інтегруванням її, і складає одну з задачінтегрального числення; як бачимо, ця задача являється оберненою основнійзадачі диференціального числення. Так, наприклад, для обчислення довжини дугиеліпса чи деякої її частини необхідно розв’язати певні еліптичні інтеграли,яким і присвячена дана курсова робота.
1. Загальні зауваження та означення
Розглянемоінтеграл виду
/> (1)
де y це алгебраїчна функція від х, тобтозадовольняє алгебраїчному рівнянню
/> (2)
(тут /> - цілий відносно /> та /> многочлен). Інтеграли подібного родуотримали назву абелевих інтегралів. До їх числа відносяться інтеграли
/> />/>
Дійсно, функції
/> />
задовольняють,відповідно, алгебраїчним рівнянням
/> />
Виходячи нагеометричну точку зору, абелев інтеграл (1) вважають зв’язаним з тоюалгебраїчною кривою, яка визначається рівнянням (2). Наприклад, інтеграл
/> (3)
зв’язаний зкривою другого порядку />
Якщо крива (2)може бути представлена параметрично
/> />
так, що функції />/> є раціональними, то вінтегралі (1) стає можливою раціоналізація підінтегрального виразу: підстановкою/> воназводиться до виду
/>.
До цього класувідносяться обидва вище згадані випадки. В окремому випадку, можливістьраціоналізації підінтегрального виразу в інтегралі типу (3) зв’язанабезпосередньо з тим фактом, що крива другого порядку унікурсальна.
Очевидно, щозмінні x і t зв’язані алгебраїчним рівнянням, такщо t являється алгебраїчноюфункцією від х. Якщо розширити клас елементарних функцій, включаючи в нього івсі алгебраїчні функції, то можна сказати, що в випадку унікурсальності кривої(2), інтеграл (1) завжди виражається через елементарні функції в кінцевомувиді.
Але подібніобставини являються в деякому розумінні винятком. В загальному випадку крива(2) не унікурсальна, тоді ж, як можна довести, інтеграл (1) заздалегідь незавжди, тобто не при всякій функції R, може бути вираженим в кінцевому виді (проте не виключенаможливість цього при окремих конкретних R).
З цим ми зустрічаємосяуже при розгляді важливого класу інтегралів
/> (4)
/>
які містятьквадратний корінь з многочленів 3-ої або 4-ої степені і звичайно прилягаючих доінтегралів (3). Інтеграли виду (4), як правило, уже не виражаються в кінцевомувигляді через елементарні функції навіть при розширеному розумінні цьоготерміну. Тому, знайомство з ними ми віднесли до заключного параграфу, щоб непереривати головної лінії викладення даної глави, присвяченої, головним чиномвивченню класів інтегралів, що беруться в кінцевому вигляді.
Многочлени підкоренем в (4) передбачаються такими, що мають дійсні коефіцієнти. Крім того, мизавжди будемо вважати, що у них не має кратних коренів, бо інакше, можна було бвинести лінійний множник з під знаку кореня; питання звелося б до інтегруваннявиразу раніше вивчених типів, і інтеграл виразився б у кінцевому вигляді.Кінцева обставина може мати місце інколи і при відсутності кратних коренів;наприклад, легко перевірити, що
/>
/>
Інтеграли відвиразів типу (4) взагалі називають еліптичними в зв’язку з тією обставиною, щовперше з ними зіткнулися при розв’язанні задачі про спрямування еліпсу:
Еліпс: />
Зручніше будевзяти рівняння еліпса в параметричній формі />, />. Очевидно,
/>
де /> - числовийексцентриситет еліпса.
Обчислюючидовжину дуги еліпса від верхнього кінця малої осі до будь-якої його точки впершому квадранті, отримаємо
/>,
Таким чином,довжина дуги еліпса виражається еліптичним інтегралом 2-го роду; яквказувалося, цей факт послужив поводом для самої назви „еліптичний”.
В частковомувипадку, довжина чверті обводу еліпса виражається через повний еліптичнийінтеграл
/>.
Між іншим, цюназву, в прямому розумінні, відносять зазвичай лише до таких із них, що неберуться в кінцевому вигляді; інші ж, подібні тільки що приведеним, називаютьпсевдоеліптичними.
Вивчення ітабулювання ( тобто складання таблиць значень) інтегралів від виразів (4) придовільних коефіцієнтах a, b, c,…, розуміється складно. Томузвичайно бажання звести всі ці інтеграли, до небагатьох таких, до складу якихвходило б по можливості менше довільних коефіцієнтів (параметрів).
Це досягається задопомогою елементарних перетворень, які ми розглянемо в наступних пунктах.
2. Допоміжніперетворення
Зазначимо перш завсе, що достатньо обмежитися випадком многочлена 4-ї степені під коренем, такяк до нього легко приводиться випадок, коли під коренем многочлен 3-ї степені.
Розглянемо,взагалі, алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами)
/>.
При достатньовеликих по абсолютній величині значеннях x многочлен має знак старшого члена,тобто при додатному x – знак />, а при від’ємному x – обернений знак. Так, як многочленце неперервна функція, то, міняючи знак, він в проміжній точці необхідноперетворюється в 0. Звідси: всяке алгебраїчне рівняння непарної степені (здійсними коефіцієнтами) має принаймні один дійсний корінь.
Дійсно, многочлен3-ї степені /> з дійсними коефіцієнтаминеобхідно має дійсний корінь, скажемо λ, і, відповідно, допускає дійснерозкладання
/>
Підстановка />( або />) і здійснює потрібне приведення
/>
В першу чергу мибудемо розглядати лише диференціали, що мають корінь із многочленів 4-їстепені.
По відомійтеоремі алгебри, многочлен четвертої степені з дійсними коефіцієнтами може бутипредставленим у виді добутку двох квадратних трьохчленів з дійснимикоефіцієнтами:
/> (5)
Постараємосьтепер необхідною підстановкою знищити в обох трьохчленах відразу члени першоїстепені.
Якщо р = р’, то наша ціль досягається простою підстановкою />. Нехай тепер />; в цьому випадку мискористаємось дробно-лінійною підстановкою
/>
Можливістьвстановити дійсні і при чому різні значення для коефіцієнтів μ і νзумовлена нерівністю
/> (6)
Нехай же тепертрьохчлени (5) обидва мають дійсні корені, скажемо, перший – корені α іβ, а другий корені γ і δ. Підставляючи
/> />/>/>
можна переписати(6) у вигляді
/> (6´)
а для здійсненняцієї нерівності достатньо лише потурбуватися, щоб корені трьохчленів неперемежались (наприклад, щоб було α > β > γ > δ ),що в наших можливостях.
Таким чином,належно вибравши μ і ν, за допомогою вказаної підстановки миотримаємо
/>
що можна також (якщовиключити випадки, коли який-небудь з коефіцієнтів M, N, M’, N’ виявляються нулем) переписати у виді
/>
при А, m і m’ відмінних від нуля.
Цей інтегралможна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого
/>
Розкладемо теперраціональну функцію R*(t) на два доданки
/>
Перший доданок неміняє свого значення при заміні t на –t, значить, зводиться до раціональноїфункції від />:/>; другийже при вказаній заміні міняє знак, і тому має вид />Розглянутий інтеграл представиться вформі суми інтегралів
/>
Але другий із нихпідстановкою />відразу зводиться до елементарногоінтегралу
/>
і береться вкінцевому виді. Таким чином, подальшому дослідженню підлягає тільки інтеграл
/> (7)
3. Приведеннядо канонічної форми
Покажемо,нарешті, що кожен інтеграл типу (7) може бути представленим у формі
/> (8)
де k – деякий додатній правильний дріб: 0
Введемо скорочено
/>
Не зменшуючизагальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеностіобмежимося додатніми значеннями t. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m’ і вкажемо для кожного випадкупідстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (7) в канонічну форму.
1) А = +1, />/> (/>). Для того, щоб радикал мав дійснізначення, необхідно, щоб було /> або /> Припускаємо, що
/> де 0
Тоді
/>
так, що за k тут треба прийняти />
2) А = +1, />/> (h, h’>0). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, обмежимосязначеннями />.
Припускаємо, що
/> де 0
Тоді
/>
і можна взяти />
3) А = +1, />/>(h>h’>0). Зміна t нічим необмежена. Припустимо
/>де 0≤z
В цьому випадку
/>
і />
4) А = -1, />/>(h, h’>0). Зміна t обмежена нерівністю />. Беремо
/>, де 0
так, що
/>
і />.
5) А = -1, />/>(h>h’>0). Змінна t може змінюватися лише між /> і />. Припустимо
/>, де 0
Маємо
/>
і />Цим вичерпуються всіможливі випадки, тому що у випадку, коли А = -1 і обидва числа m, m’ > 0, радикал взагалі не міг би мати дійсних значень. Про множник /> ми не говорили нічого, тому що у всіхвипадках він, очевидно, перетворювався у раціональну функцію від />.
Відмітимо ще, щорозглядаючи інтеграл (8), ми можемо обмежуватися значеннями z приводиться до цьогопідстановкою />, де />
4. Еліптичніінтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду
Тепер залишаєтьсявивчити найпростіші з інтегралів виду (8), до яких можна було б звести всіінтеграли цього виду, а відповідно, в кінцевому рахунку, і взагалі, всіеліптичні інтеграли.
Виділимо зраціональної функції R(x), що зустрічається впідінтегральному виразі (8) цілу частину P(x), а правильний дріб, який входить дойого складу, розкладемо на прості дроби. Якщо не об’єднувати спряженікомплексні корені знаменника, а розглядати їх окремо, як дійсні корені, то R(x) представиться у вигляді сумистепенів />(n = 0, 1, 2,…) і дробів виду /> (m = 1, 2, 3,…), де а може бути і уявним числом,помножених на числові коефіцієнти. Звідси ясно, що інтеграл (8), в загальномувипадку, являється лінійним агрегатом наступних інтегралів:
/> (n = 0, 1, 2,…)
і/>/>(m = 1, 2, 3,…).
Зупинимося наінтегралах />.Якщо проінтегрувати тотожність
/>
то отримаєморекурентне співвідношення
/> (9)
що зв’язують трипослідовні інтеграли І. Припускаючи що тут n=2, виразимо /> через /> та />; якщо взяти n=3 і замість /> підставити його вираз через /> та />, то навіть /> виразитьсячерез ці інтеграли. Продовжуючи так далі, легко переконатися, що кожен зінтегралів /> виражаєтьсячерез /> та /> і далівраховуючи (9), можна встановити і вигляд з’єднуючої їх формули
/>
де /> і /> - постійні, а /> є непарний многочлен степені (2n-3). Звідси стає зрозумілим, що якщо /> є многочлен n – ї степені від х, то
/>, (10)
де /> і /> - постійні, а />(х) є деякиймногочлен (n-2) – ї степені від х. Визначенняцих постійних і коефіцієнтів многочлена Q може бути виконано (якщо многочлен Ркоректно заданий за методом невизначених коефіцієнтів.)
Зауважимо, що з(9) можна було б виразити через /> та />інтеграли /> і при від’ємних значеннях (n = -1, -2, …), так що в інтегралах /> досить обмежитись випадком />.
Переходячи доінтегралів /> (скажімо,при дійсних a), подібним чином встановимодля них рекурентне співвідношення
/>
справедливе і привід’ємних і нульовому значеннях m.
Звідси всі /> виражаютьсячерез три з них:
/>
тобто, кінцевочерез />, /> та />.
Підкреслимо, щоусе це зберігає силу і при уявних значеннях параметра а.
Так в результатіусіх наших тверджень ми підходимо до наступних висновків: всі еліптичніінтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, щовиражаються в кінцевому виді, — приводяться до наступних трьох стандартнихінтегралів:
/>/>
/>
/>
( останнійінтеграл виходить із /> введенням, замість />, нового параметра />). Ціінтеграли, як показав Ліувіль, в кінцевому виді вже не беруться. Лежандр їхназвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші двамістять лише один параметр k, а останній, крім нього, ще(комплексний) параметр h.
Лежандр вніс у ціінтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку /> (/>змінюється від 0 до />). При цьому перший ізних безпосередньо переходить в інтеграл
/>. (11)
Другийперетворюється так:
/>/>
тобто приводитьсядо попереднього інтеграла і до нового інтеграла
/>. (12)
Нарешті, третійінтеграл при вказаній підстановці переходить в
/>. (13)
Інтеграли (11),(12) і (13) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду –в формі Лежандра.
Із них особливоважливе значення і застосування мають перші два. Якщо враховувати, що ціінтеграли при />перетворюються в нуль, і тим зафіксувативільні сталі, що містяться в них, то отримаємо дві доволі визначені функції від/>, якіЛежандр позначив відповідно через F(k, φ)і E(k, φ). Тут, крім незалежноїзмінної />,вказаний також параметр k, що називається модулем, який входить у вирази цих функцій.
Лежандром булискладені обширні таблиці значень цих функцій при різних /> і різних k. В них не тільки аргумент />, якийтрактуються як кут, що виражається в градусах, але і модуль k розглядається як синус деякого кута/>, який івказується в таблиці замість модуля, причому також в градусах.
Крім того, якЛежандром, так і іншими вченими були вивчені найглибші властивості цих функцій,встановлений ряд формул, що відносяться до них, і т.д.
Дякуючи цьомуфункції F і E Лежандра ввійшли в сім’ю функцій, щозустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарнимифункціями.
Висновки
В результаті усіхнаших міркувань ми коротко можемо сказати, що всі еліптичні інтеграли задопомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються вкінцевому виді, — приводяться до наступних трьох стандартних інтегралівЛежандра:
/>/>
/>
/>
А за допомогоюпідстановки /> (/>змінюється від 0 до />) ці інтегралиперетворюються в такі:
/> , /> і />,
які такожназиваються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду в формі Лежандра,значення яких можна знайти в таблицях.
Використаналітература:
1. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.
2. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.
3. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике длянаучных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 г., 832 стр. с илл.
4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник поматематике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1980 г., 976 с.,илл.
ДОДАТКИЕліптичніінтеграли першого роду
/>
Еліптичні інтеграли першого роду /> 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 0° 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 10 0.1745 0.1746 0.1746 0.1748 0.1749 0.1751 0.1752 0.1753 0.1754 0.1754 20 0.3491 0.3493 0.3499 0.3508 0.3520 0.3533 0.3545 0.3555 0.3561 0.3564 30 0.5236 0.5243 0.5263 0.5294 0.5334 0.5379 0.5422 0.5459 0.5484 0.5493 40 0.6981 0.6997 0.7043 0.7116 0.7213 0.7323 0.7436 0.7535 0.7604 0.7629 50 0.8727 0.8756 0.8842 0.8982 0.9173 0.9401 0.9647 0.9876 1.0044 1.0107 60 1.0472 1.0519 1.0660 1.0896 1.1226 1.1643 1.2126 1.2619 1.3014 1.3170 70 1.2217 1.2286 1.2495 1.2853 1.3372 1.4068 1.4944 1.5959 1.6918 1.7354 80 1.3963 1.4056 1.4344 1.4846 1.5597 1.6660 1.8125 2.0119 2.2653 2.4362 90 1.5708 1.5828 1.6200 1.6858 1.7868 1.9356 2.1565 2.5046 3.1534
/> /> Еліптичніінтеграли другого роду
/>
Еліптичні інтеграли другого роду /> 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 0° 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 10 0.1745 0.1745 0.1744 0.1743 0.1742 0.1740 0.1739 0.1738 0.1737 0.1736 20 0.3491 0.3489 0.3483 0.3473 0.3462 0.3450 0.3438 0.3429 0.3422 0.3420 30 0.5236 0.5229 0.5209 0.5179 0.5141 0.5100 0.5061 0.5029 0.5007 0.5000 40 0.6981 0.6966 0.6921 0.6851 0.6763 0.6667 0.6575 0.6497 0.6446 0.6428 50 0.8727 0.8698 0.8614 0.8483 0.8317 0.8134 0.7954 0.7801 0.7697 0.7660 60 1.0472 1.0426 1.0290 1.0076 0.9801 0.9493 0.9184 0.8914 0.8728 0.8660 70 1.2217 1.2149 1.1949 1.1632 1.1221 1.0750 1.0266 0.9830 0.9514 0.9397 80 1.3963 1.3870 1.3597 1.3161 1.2590 1.1926 1.1225 1.0565 1.0054 0.9848 90 1.5708 1.5589 1.5238 1.4675 1.3931 1.3055 1.2111 1.1184 1.0401 1.0000 /> Повні еліптичніінтеграли
/>
/>
Повні еліптичні інтеграли />
/>°
/>
/>
/>°
/>
/>
/>°
/>
/> 1.5708 1.5708 30 1.6858 1.4675 60 2.1565 1.2111 1 1.5709 1.5707 31 1.6941 1.4608 61 2.1842 1.2015 2 1.5713 1.5703 32 1.7028 1.4539 62 2.2132 1.1920 3 1.5719 1.5697 33 1.7119 1.4469 63 2.2435 1.1826 4 1.5727 1.5689 34 1.7214 1.4397 64 2.2754 1.1732 5 1.5738 1.5678 35 1.7312 1.4323 65 2.3088 1.1638 6 1.5751 1.5665 36 1.7415 1.4248 66 2.3439 1.1545 7 1.5767 1.5649 37 1.7522 1.4171 67 2.3809 1.1453 8 1.5785 1.5632 38 1.7633 1.4092 68 2.4198 1.1362 9 1.5805 1.5611 39 1.7748 1.4013 69 2.4610 1.1272 10 1.5828 1.5589 40 1.7868 1.3931 70 2.5046 1.1184 11 1.5854 1.5564 41 1.7992 1.3849 71 2.5507 1.1096 12 1.5882 1.5537 42 1.8122 1.3765 72 2.5998 1.1011 13 1.5913 1.5507 43 1.8256 1.3680 73 2.6521 1.0927 14 1.5946 1.5476 44 1.8396 1.3594 74 2.7081 1.0844 15 1.5981 1.5442 45 1.8541 1.3506 75 2.7681 1.0764 16 1.6020 1.5405 46 1.8691 1.3418 76 2.8327 1.0686 17 1.6061 1.5367 47 1.8848 1.3329 77 2.9026 1.0611 18 1.6105 1.5326 48 1.9011 1.3238 78 2.9786 1.0538 19 1.6151 1.5283 49 1.9180 1.3147 79 3.0617 1.0468 20 1.6200 1.5238 50 1.9356 1.3055 80 3.1534 1.0401 21 1.6252 1.5191 51 1.9539 1.2963 81 3.2553 1.0338 22 1.6307 1.5141 52 1.9729 1.2870 82 3.3699 1.0278 23 1.6365 1.5090 53 1.9927 1.2776 83 3.5004 1.0223 24 1.6426 1.5037 54 2.0133 1.2681 84 3.6519 1.0172 25 1.6490 1.4981 55 2.0347 1.2587 85 3.8317 1.0127 26 1.6557 1.4924 56 2.0571 1.2492 86 4.0528 1.0086 27 1.6627 1.4864 57 2.0804 1.2397 87 4.3387 1.0053 28 1.6701 1.4803 58 2.1047 1.2301 88 4.7427 1.0026 29 1.6777 1.4740 59 2.1300 1.2206 89 5.4349 1.0008 30 1.6858 1.4675 60 2.1565 1.2111 90
/> 1.0000
/>