Курсова робота
Дослідження локальнихформацій із заданими властивостями
Введення
Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор — груп і підпрямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теоріїкінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевихгруп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різнихконкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних групі її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.
У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класахгруп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани.Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп знильпотентним компонентом.
Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що міститьразом з кожною своєю групою /> й всі групи, ізоморфні />.
Якщо група (підгрупа) належать класу />, то вона називається />групою (/> - підгрупою).
Визначення 1.2. Клас груп /> називається формацією, якщо виконуютьсянаступні умови:
1) кожна фактор — група будь — якої групи з /> також належить />;
2) із /> завжди треба />.
Якщо формації /> й /> такі, що />, то /> називається підформацією формації/>.
По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація).Множина /> всіхгруп є, звичайно, формацією. Одинична формація /> – це непустий клас груп, щоскладає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас /> усіх /> - груп, клас /> всіх абелевих груп,клас /> всіхнильпотентних груп, клас /> усіх /> - груп (/>– фіксоване простої число), клас /> всіх нильпотентних/> - груп,клас /> всіхрозв'язних груп, клас /> всіх розв'язних /> - груп. Ми привели покилише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.
Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої множини формацій також є формацією;
2) якщо /> – деяка множина формацій, лінійновпорядковане щодо включення />, то об'єднання /> є формацією.
Доказ здійснюється перевіркою.
Визначення 1.3. Нехай /> – непуста формація. Позначимочерез /> і /> - корадикаломгрупи /> перетинаннявсіх тих нормальних підгруп /> з />, для яких />.
Очевидно, /> - корадикал будь — якої групи єхарактеристичною підгрупою. /> - корадикал групи /> позначають інакше через/> іназивають /> -корадикалом. /> - корадикал будемо називати нильпотентнимрадикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, /> - розв'язнийкорадикал, /> - корадикал і т.д. /> - корадикал (або абелевкорадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, /> - корадикалзберігається при гомоморфізмах.
Лема 1.2. Нехай /> – непуста формація, />. Тодісправедливі наступні твердження:
1) />
2) якщо /> те />
3) якщо /> й />, те />
Доказ. Нехай />. Тоді
/>
Звідси треба, що />. З іншого боку,
/>
звідки одержуємо />. З /> і /> треба рівність />. Твердження 1)доведено.
Нехай /> – природний гомоморфізм групи /> на /> Очевидно,
/>
звідки треба рівність />. Зокрема, якщо />, те />. Лема доведена.
Визначення 1.4. Нехай /> і /> – деякі формації. Якщо />, то покладемо /> Якщо />, те позначимочерез /> класвсіх тих груп />, для яких /> Клас /> називається добуткомформацій /> і/>.
З визначення 1.4 треба, що добуток формацій /> є порожньою формацією тоді йтільки тоді, коли принаймні одна з формацій /> є порожньою. Можна визначитидобуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задановпорядкований набір формацій /> причому добуток /> уже визначений, то /> Зокрема, якщо/> для будь- якого /> теми приходимо до поняття ступеня />
Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудовиформацій.
Теорема 1.1. Добуток будь — яких двох формацій також є формацією.
Лема 1.3. Нехай /> і /> – нормальні підгрупи групи />. Тоді кожнийголовний фактор групи /> /> - ізоморфний або деякомуголовному фактору групи />, або деякому головному факторугрупи />
Доказ випливає з розгляду /> - ізоморфізму />
Теорема 1.2. Нехай /> – деяка формація, /> – клас всіх тих груп,всі головні фактори яких належать /> Нехай /> – об'єднання формацій /> Тоді /> – підформаціяформації />
Доказ. З леми 1.3 виводимо, що /> – формація. З теореми 1.1 і леми1.1 випливає, що клас /> є формацією. Якщо /> – мінімальна нормальнапідгрупа групи />, то по індукції /> для деякогонатурального />. Але тоді або />, або /> – /> - корадикал групи />. Тому що />, те звідсивипливає, що />, і теорема доведена.
Операції на класах груп
Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себеназивається операцією на класах груп.
Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшимилатинськими буквами. Результат операції />, застосованої до класу /> позначаєтьсячерез /> Ступіньоперації /> визначаєтьсятак: /> Добутокоперацій визначається рівностями:
/>
Уведемо операції /> в такий спосіб:
/> тодій тільки тоді, коли /> вкладається як підгрупа в якусь /> - групу;
/> тодій тільки тоді, коли /> вкладається як нормальна підгрупав якусь /> - групу;
/> тодій тільки тоді, коли /> є гомоморфним образом якоїсь /> - групи;
/> тодій тільки тоді, коли /> співпадає з добутком деякогокінцевого числа своїх нормальних /> - підгруп;
/> тодій тільки тоді, коли /> має нормальні підгрупи /> такі, що
/>
/> тодій тільки тоді, коли /> є розширенням /> - групи за допомогою /> - групи;
/> тодій тільки тоді, коли /> має нормальну підгрупу /> таку, що />
Якщо />, то замість /> пишуть /> Оборотний увага на тойфакт, що якщо /> – нормальні підгрупи групи />, причому /> для кожного />, то /> Помітимо ще,що операцію /> можнавизначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов іМерзляков [1]), що підгрупа /> прямого добутку /> називається підпрямимдобутком груп /> якщо проекція /> на /> збігається з /> Легко бачити,що /> тоді йтільки тоді, коли /> є добуток деякого кінцевого числа/> - груп.
Визначення 2.2. Клас /> називається замкнутим щодооперації /> або,більш коротко, /> - замкнутим, якщо />
Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно /> - замкнуть і /> - замкнуть. /> - замкнутийклас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. /> - замкнутий клас групназивається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп(нормальних підгруп), якщо він /> - замкнутий (відповідно /> - замкнуть).
Лема 2.1. />. Якщо клас груп /> містить одиничну групуй /> - замкнуть,то />
Доказ. Щодо операцій /> і /> твердження очевидно. Нехай /> – довільнийклас груп. Ясно, що /> Якщо />, те в /> найдеться нормальна підгрупа /> така, що />. Група /> має нормальнупідгрупу /> таку,що /> й /> Але тоді /> Тому що />, те/>, а виходить, /> Таким чином, />, що йпотрібно.
Нехай />. Якщо />, то /> має нормальну /> - підгрупу /> таку, що /> Група /> має нормальну /> - підгрупу /> таку, що />. Тому що /> й />, те з /> - замкнутостікласу /> треба,що />.Виходить, />,тобто />.Зворотне включення очевидно.
Лема 2.2. Для будь — якого класу /> справедливо наступне твердження: />
Доказ. Якщо />, то /> Нехай /> Якщо />, те/>, а виходить, />. Таким чином, />. Нехай />. Тоді /> має такінормальні підгрупи />, що /> Група /> має такі нормальні підгрупи />, що /> Тому що />, те/>, що й доводитьрівність />
Лема 2.3. Для будь — якого класу /> має місце включення />
Доказ. Якщо />, то />. Нехай /> і група /> є підпрямим добутком груп />, де />. Розглянемофункцію /> />. Функція /> єгомоморфізмом групи /> в групу />. Ясно, що
/>
є добуток груп />, причому />. Отже, />, і лема доведена.
Лема 2.4. />
У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, удеякому змісті двоїсте визначенню формації.
Визначення 2.3. Клас груп /> називається класом Фиттинга, якщовін одночасно /> - замкнутий і /> - замкнуть.
Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Черезподвійність (нормальна підгрупа – фактор — група) формацію можна було б назватикорадикальним класом.
Визначення 2.4. Нехай /> непустий /> - замкнутий клас, що містить 1.Позначимо через /> і назвемо /> - радикалом групи /> добуток всіхїї нормальних /> - підгруп.
Класи /> є радикальними. /> - радикал групи /> – це їїпідгрупа Фиттинга /> /> - радикал позначають інакше через/> іназивають /> -радикалом. /> -радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни /> - нильпотентнийрадикал, /> -замкнутий радикал і т.д. Клас усіх /> - нильпотентних груп є одночаснорадикальним і корадикальним; /> – це /> - нильпотентний радикал групи />.
Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або іншихоперацій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, щоє одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формаційза допомогою операцій />
Теорема 2.1. Нехай /> і /> – формації, причому або />, або /> замкнута щодонормальних підгруп. Тоді /> – формація, що збігається здобутком />
Визначення 2.5. Нехай /> – деяка множина груп. Нехай /> – перетинаннявсіх тих формацій, які містять /> клас /> називається формацією, породженоїмножиною груп />
Помітимо, що операцію /> часто позначають інакше через /> Якщо /> те пишуть /> замість />, причому вцьому випадку /> називають формацією, породженоюгрупою />.
Теорема 2.2. Для будь — якого класу /> має місце рівність: />
Доказ. Якщо />, те/>, і твердження вірно. Нехай />. Тому що />, те клас /> є /> - замкнутим. /> є клас і /> по лемі 2.2.Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо
/>
Останнє означає /> - замкнутість класу />. Отже, /> – формація,що містить />,тому що />.Виходить, />.Зворотне включення очевидно.
Лема 2.5. Для будь — яких елементів /> групи /> виконуються рівності /> Якщо /> – підгрупигрупи />, товиконуються наступні твердження:
1) />
2) /> для будь — якого гомоморфізму /> групи />; зокрема, якщогрупа /> з /> нормалізує /> й />, те /> нормалізує й />
Лема 2.6 Нехай /> – підгрупа нильпотентної групи />, причому />. Тоді />
Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь — якомунатуральному /> виконуєтьсявключення:
/>
При /> це вірно, тому що />, а виходить, />. Припустимо,що включення (*) справедливо при якімсь />. Тоді, використовуючи лему 2.5,одержуємо
/>
/>
/>
Тим самим (*) доведено.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо /> – така підгрупа групи />, що />, то />
Доказ. Нехай /> – нильпотентна нормальна підгрупагрупи />, а /> – такапідгрупа з />,що />.Доведемо індукцією по />, що />. Це вірно, якщо />. Тому будемо вважати,що />.Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку />
/>
Очевидно, підгрупа /> нормалізує /> й />. Позначимо через /> підгрупу групи/>,породжену підгрупами />. Оскільки проекції /> на множники прямогодобутку /> рівні/>, те />. Помітимо ще,що />, де /> нормально в /> і нильпотентнаяк добуток з />.
Нехай /> – центр підгрупи />, />. Легко бачити, що />, причому /> й />; аналогічно, /> і />. Але тоді />, абелева йнормальна в. /> Якщо />, те/>, де />, і якщо />, те/>, що тягне />. Отже, />. Якщо /> абелева, те/>, і ми маємо
/>
Припустимо тепер, що />. Ясно, що />. Тому що
/>
те /> нильпотентна щабля />. Тому що />, те /> ізоморфна /> й має щабель />, а томувідповідно до леми 2.6 її нормальне замикання /> в /> має щабель />. Тому що /> нормалізує /> й />, те /> нормальна в. /> Отже, />, причому />. По індукції
/>
Для групи /> і її нильпотентної нормальноїпідгрупи /> щабля/> теорематакож вірна по індукції. Тому
/>
Теорема доведена.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою,містить лише кінцеве число підформацій.
Доказ. Нехай /> – підформація формації />. Якщо />, то по теоремі2.3 має місце />, що й потрібно.
Екрани
Недоліком поняття групової функції /> є те, що не завжди ущільнення /> - центральногоряду нормальними підгрупами є /> - центральним рядом.
Визначення 3.1. Відображення /> класу /> всіх груп у множину класів групназвемо екраном, якщо для будь — якої групи /> виконуються наступні умови:
1) /> – формація;
2) /> для будь — якого гомоморфізму /> групи />;
3) />.
З умови 2) випливає, що екран /> приймає однакове значення наізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крімтого, видно, що якщо /> – екран, те кожний f — центральнийряд після видалення повторень може бути ущільнений до f — центральногоголовного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f — центральними рядами, співпадаєз формацією />.
Лема 3.1. Нехай /> – екран, /> – група операторів групи />, /> – деяканормальна /> -припустима підгрупа з />. Якщо /> володіє нормальним /> - припустимим рядом,фактори якого /> - центральні відносно />, то один зтаких рядів проходить через />.
Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:
/>
Нехай />. Тоді ряд
/>
буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючивизначення екрана й /> - ізоморфизми:
/>
Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої непустої множини екранів також є екраном;
2) об'єднання будь — якого непустого ланцюга екранів також єекраном.
Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів /> є ланцюгом,тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості />, уведеним у визначенні3.5). Тоді для будь — якої групи /> множина формацій /> лінійно впорядкованощодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання /> є формацією. Тим самим лемадоведена.
Визначення 3.2. Екран /> назвемо:
1) p — однорідним, якщо він p — постійний і для будь — якої групи /> і її силовськоїp – підгрупи /> має місце />;
2) однорідним, якщо він p — однорідний для будь — якого простого p;
3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;
4) композиційним, якщо для будь — якої групи /> має місце />, де /> пробігає всіфактори групи />
5) порожнім, якщо /> для будь — якої неодиничної групи/>;
6) /> - екраном, якщо /> для будь — якої групи />.
/> -екран при /> будемоназивати одиничним екраном.
Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожнийкомпозиційний екран є примарно постійним.
Приклад 3.1. Нехай /> і /> – непусті формації, причому />, а груповафункція /> така,що /> длякожної групи /> й /> для будь — який групи />. Тоді /> – одноріднийекран, що не є ні локальним, ні композиційним.
Приклад 3.2. Нехай /> – непуста формація, а груповафункція /> така,що для будь — який групи /> виконуються умови:
1) />, якщо /> не має абелевих композиційнихфакторів;
2) />, якщо /> має хоча б один абелевкомпозиційний фактор.
Тоді /> – композиційний екран, що не єоднорідним.
Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїмизначеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран />, досить кожномупростому числу /> поставити у відповідність деякуформацію />,а потім для будь — якої групи /> покласти />, де /> пробігає />.
Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран />, потрібно кожнійпростій групі /> поставити у відповідність деякуформацію />,а потім для будь — якої групи /> покласти />, де /> пробігає всі композиційніфактори групи />.
Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь — якоїнепустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;
2) перетинання будь — якої непустої множини локальних екранів зновує локальним екраном;
3) перетинання будь — якої непустої множини композиційних екранівзнову є композиційним екраном.
Доказ. Нехай екран /> є перетинанням множини екранів />. Припустимо,що всі екрани /> є локальними, тобто для будь — яких/> і /> має місцерівність:
/>
де /> пробігає всі підгрупи групи />. Тоді
/>
а виходить, /> – локальний екран.
Лема 3.4. Об'єднання будь — якого непустого ланцюга примарнопостійних екранів є примарно постійним екраном.
Доказ. Нехай /> – деякий ланцюг екранів, /> – її об'єднання,/>. По лемі3.3 функція /> єекраном, причому ясно, що постійність /> тягне постійність екрана />. Припустимо,що все /> єоднорідними екранами. Тоді, якщо /> – будь — яка група й />, те />. Отже,
/>
що й доводить однорідність екрана />.
Екрани формацій
Кожної групової функції /> відповідає формація />.
Лема 3.5. /> є непустою формацією для будь — якоїгрупової функції />.
Визначення 3.3. Нехай /> – деяка формація. Якщо /> – такий екран,що />, тоформація /> називаєтьсясхідчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що
/> –екран формації />,
/> маєекран />,
екран /> визначає формацію />,
/> визначаєтьсяекраном />.
Формація /> має одиничний екран. Одиничнаформація /> маєпорожній екран.
Визначення 3.4. Екран /> назвемо внутрішнім, якщо /> – внутрішнягрупова функція, тобто /> для будь — якої неодиничної групи/>.
Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.
Доказ. Нехай /> – екран формації />. Визначимо функцію /> в такийспосіб: /> длябудь — якої групи />. Легко бачити, що /> – екран, причому />. Якщо /> й /> – головнийфактор групи />, то />. Тому що клас /> /> - замкнуть, те/>, а виходить, /> /> - центральний /> Таким чином, />. Отже, />, тобто /> – шуканийвнутрішній екран.
Лема 3.7. Нехай /> – екран формації />. Тоді /> є екраном формації />.
Доказ. Нехай /> – довільний головний фактор групи/>. Нехай />. Тому що />, те />. Виходить, />, тобто /> /> - в. /> Звідси треба, що />.
Обернено, якщо />, те головний ряд групи /> буде /> - центральнимдля будь — якого />, тобто />. Отже, />.
Лема 3.8. Перетинання /> будь — якої непустої множини /> екранівформації /> зновує екраном формації />. Крім того, якщо в /> є хоча б один внутрішнійекран, те /> –внутрішній екран.
Доказ. Те, що /> – екран формації />, безпосередньо треба злеми 3.7. Нехай у /> є внутрішній екран />. Тоді /> для будь — якої групи />. Виходить, /> – внутрішнійекран.
Формація з однорідним екраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні одиноднорідний екран, є локальною формацією.
Доказ. Нехай формація /> має однорідний екран. Через лему3.6 формація /> має внутрішній однорідний екран />. Побудуємолокальний екран />, що задовольняє наступній умові: /> для будь — якогопростого />.Тоді /> й,отже, />.Припустимо, що формація /> має групи, що не входять в />, і виберемосеред всіх таких груп групу />, що має найменший порядок. Тоді /> є єдиноюмінімальною нормальною підгрупою групи />. Тому що />, те для кожного /> має місце
/>
Якщо /> неабелева, то /> й />. Якщо ж /> – /> - група, то виходить,що /> /> - центральнав. /> А цесуперечить тому, що />. Теорема доведена.
Локальна формація
Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякінеодиничні групи.
Визначення 4.1. Формація /> називається локальної, якщо вонамає хоча б один локальний екран.
Визначення 4.2. Нехай /> – внутрішній локальний екранформації />,що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації />. Тоді /> називаєтьсямаксимальним внутрішнім локальним екраном формації />.
Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація /> має єдиниймаксимальний внутрішній локальний екран />, причому /> задовольняє наступній умові: /> для будь — якогопростого числа p.
Визначення 4.3. Нехай /> – локальна формація. Мінімальнийелемент множини всіх локальних екранів формації /> назвемо мінімальним локальнимекраном формації />.
Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальнийекран, що є до того ж внутрішнім екраном.
Доказ. Нехай /> – множина всіх локальних екранівформації />,причому />.Позначимо через /> перетинання множини екранів />. У множині /> є внутрішнійекран, тому /> –внутрішній екран формації />. По лемі 3.4 екран /> є локальним. Через лему3.8 /> –шуканий екран.
Побудова локальних формацій
1. Формація всіх груп. Формація /> має локальний екран /> таким, що /> для будь — якогопростого />.
2. Формація одиничних груп. Формація /> має порожній екран, що, мабуть,локальний.
3. Формація нильпотентних /> - груп. Нехай /> – формація всіх нильпотентних/> - груп, /> – такийлокальний екран, що /> для кожного /> для кожного />. Очевидно, /> – мінімальнийлокальний екран формації />.
4. Формація /> - груп. Нехай /> – формація всіх /> - груп, /> – такийлокальний екран, що /> для кожного /> для кожного />. Очевидно, /> –локальнийекран формації />.
5. Формація /> - нильпотентних груп. Нехай /> – формаціявсіх /> -нильпотентних груп (/>– фіксоване простої число), /> – такийлокальний екран, що /> для будь — якого простого числа />, відмінноговід />.Покажемо, що /> – екран формації />. Головний ряд /> - нильпотентноїгрупи /> - центральний.Нехай />.Потрібно встановити, що /> /> - нильпотентна. Нехай /> – мінімальнанормальна підгрупа групи />. По індукції /> /> - нильпотентна. Якщо /> – /> - група, тозвідси треба, що й /> /> - нильпотентна. Якщо ж /> - група, те/>, тобто />. Якщо тепер /> – /> - підгрупа з />, то через /> підгрупа /> /> - нильпотентна, авиходить, і /> /> - нильпотентна.Тим самим показано, що />.
Теорема 5.1. У кожній /> - групі /> підгрупа /> збігається з перетинанням у /> всіх головних /> - факторівгрупи />.
Наслідок 5.1.1. У будь — якій групі /> підгрупа Фиттинга /> збігається зперетинанням у /> всіх головних факторів групи />.
Наслідок 5.1.2. Для кожної /> - розв'язної групи /> має місце включення />.
Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). /> для будь — якої розв'язної групи />.
Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант /> - групи /> - нильпотентний.
6. Формація /> - замкнутих груп. Нехай /> – формаціявсіх /> - замкнутихгруп (/>–деяка фіксована множина простих чисел), /> – такий локальний екран, що /> для кожного /> для кожного />. Покажемо, що /> – екранформації />.
Очевидно, />. Припустимо, що клас /> не порожній, івиберемо в ньому групу /> найменшого порядку. Тоді /> має єдинумінімальну нормальну підгрупу />, причому /> не є /> - групою. Нехай />. Тому що />, те/>, а виходить, />. Тому /> – абелева /> - група. Томущо /> /> - замкнута, тей /> /> - замкнута,тобто /> маєнормальну /> -підгрупу />.Ясно, що />.Тому що />,те />. Легкобачити, що />,а виходить, і група /> /> - замкнута. Тим самим показано,що />.
7. Формація /> - дисперсивних груп. Нехай /> – деякелінійне впорядкування множини всіх простих чисел, /> – формація всіх /> - дисперсивних груп.Покажемо, що /> локально.
Розглянемо всілякі множини /> простих чисел, що володіютьнаступною властивістю: /> для всіх />. Нехай /> – формація всіх /> - замкнутих груп.Очевидно, />.Тому що формації /> локальні, то по лемі 3.4 формація/> також єлокальною.
8. Формація /> - розв'язних груп. Нехай /> – формаціявсіх /> - розв'язнихгруп, /> –такий локальний екран, що /> для будь — якого простого />. Неважкопомітити, що /> – максимальний внутрішнійлокальний екран формації />. Зокрема, формація /> є локальною.
9. Формація /> - груп. Нехай /> – формація всіх /> - груп.Позначимо через /> формацію всіх абелевих групекспоненти, що ділить />. Побудуємо локальний екран /> такий, що /> для кожного /> для кожного />. Покажемо, що />. Ясно, що />. Нехай />, /> – мінімальнанормальна підгрупа групи />. По індукції />. Якщо /> – /> - група, то /> /> - понад розв'язна.Нехай порядок /> ділиться на деяке число />. Тоді, якщо />, те
/>
Звідси треба, що /> – /> - група.
Лема 5.1. Нехай /> – деяка що не приводиться абелевагрупа автоморфизмів /> - групи /> й />. Тоді /> – циклічна група порядку, щоділить />.Крім того, /> –найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню />.
Доказ. Будемо вважати, що /> – аддитивна абелева група. Тоді /> можнарозглядати як правий векторний простір розмірності /> над полем /> з /> елементів. Нехай /> – комутативнепідкольцо кільця />, породжене елементами /> й />. Через умову /> є правим /> - модулем(визначення, пов'язані з /> - модулями, див. у Кертиса йРайнера [1]). По лемі Шура, /> – тіло. Тому що /> комутативне, те />. Легкобачити, що множина всіх ненульових елементів із /> замкнуто щодо операції множенняй, отже, є групою. Тому /> – поле. Тому що /> - модуль не /> приводимо, те /> для будь — якогоненульового />;але тоді відображення />, є /> - гомоморфізмом /> - модуля /> на />. Тому що ядро /> є ідеал поля />, те /> – ізоморфізм.Отже, />.Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому /> циклічна й /> ділить />.
Нехай /> – найменше натуральне число, щозадовольняє порівнянню />. Тоді /> ділить />. Добре відомо, що поле /> порядку /> містить /> порядку />. Тому щоциклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й /> ділить/>, то />. Але тоді /> й />. Лемадоведена.
10. Формація />. Нехай /> – непуста формація, /> – такийлокальний екран, що /> для будь — якого простого />. Застосовуючинаслідок 7.1.1 можна побачити, що /> – екран формації />. Зокрема, формації /> і /> є локальнимиформаціями.
Нехай /> – локальний екран деякої підформації/> з />. Застосовуючилеми 3.3 і 4.3, бачимо, що /> є локальним /> - екраном формації />. Таким чином,кожна локальна підформація формації /> має внутрішній локальний /> - екран.Зокрема, будь — яка локальна підформація формації /> має внутрішній локальний /> - екран.
Локальні формації із заданими властивостями
Нехай /> – деяка операція, /> – локальний екранформації />.Природно виникають два питання:
1) чи Буде /> /> - замкнутої, якщо /> /> - замкнута для будь — якогопростого />?
2) чи Буде /> /> - замкнутої для будь — якогопростого />,якщо /> /> - замкнута?
Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретнихвипадках.
Теорема Слепова 1 Нехай /> – деякий клас груп, /> – максимальнийвнутрішній локальний екран формації />, /> – фіксоване простої число. Тодісправедливі наступні твердження:
1) якщо />, те />;
2) якщо />, те />.
Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай /> – одна зоперацій />,/>.Припустимо, що />. Нехай /> – (нормальна) підгрупа групи /> й />. Розглянеморегулярне сплетення />, де />, /> – елементарна абелева /> - група. Полемі 3.11. /> Томущо />, те />. Розглянемоголовний ряд групи />:
/>
Нехай />. Тому що /> й />, те
/>
для кожного />. Отже, />, де />. По властивості регулярногосплетення />.Отже, />, іпо лемі 3.10 підгрупа /> є /> - групою. Тому що /> й формація /> є по теоремі3.3 /> - замкнутої,то ми одержуємо, що />. Теорема доведена.
Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай /> – максимальнийвнутрішній локальний екран формації />. Формація /> /> - замкнута (/> - замкнута)тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута (відповідно /> - замкнута).
Доказ. Необхідність. Припустимо, що /> /> - замкнуто (/> - замкнута). Думаючи /> й застосовуючитеорему 1, ми одержуємо, що /> /> - замкнуто (/> - замкнута) для будь — якого простого />.
Достатність. Нехай для будь — якого простого /> формація /> є /> - замкнутою (/> - замкнутої).Нехай /> –підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи />. Покажемо, що />. Тому що />, те /> володіє /> - центральним головнимрядом
/>
Нехай />. Тому що
/>
те/>, де />. Нехай />. За умовою /> й />. Звідси, через />, випливає, що />. Тим самимустановлено, що ряд
/>
є /> - центральним рядом групи />. Теоремадоведена.
Для будь — якого натурального числа /> /> - замкнутий клас /> містить, по визначенню,кожну групу />,у вигляді добутку /> нормальних /> - підгруп. Послабляючицю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.
Визначення. Клас груп /> назвемо слабко /> - замкнутим, />, якщо /> містить усякугрупу />, щомає /> нормальних/> - підгрупз попарно взаємно простими індексами.
Легко помітити, що якщо /> й /> – підгрупи групи /> причому /> й /> взаємно прості, те />.
Теорема Слепова 3 Нехай /> – локальний екран формації /> й нехай длядеякого натурального числа /> виконується наступна умова: длябудь — якого простого /> формація /> або збігається з />, або входить в /> і є слабко /> - замкнутою.Тоді /> слабко/> - замкнута.
Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що невходять в />,але /> нормальних/> - підгрупз попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу /> найменшогопорядку. Таким чином, /> не належить />, але має нормальні /> - підгрупи /> з попарновзаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи /> неодиничні.
Нехай /> – мінімальна нормальна підгрупагрупи />. У /> підгрупи /> мають попарновзаємно прості індекси й належать />. Тому що для /> теорема вірна, те />. Ясно, що /> – єдинамінімальна нормальна підгрупа групи />, причому /> й /> для кожного />. Через теорему 4.3. /> Тому що />, те найдетьсятаке />, що />. Розглянемо />, де /> пробігає все /> - головніфактори групи />. Тому що />, те/>, />. Можливі два випадки.
Випадок 1. Нехай />. Тоді /> неабелева й />. Звідси й з одиничності/> випливає,що />. Алетоді /> й,отже, /> можнарозглядати як деяку групу групи />, що діє тотожно на всіх /> - головнихфакторах групи />. По добре відомій теореміФ. Холу /> нильпотентна. Тому що /> до того жнормальна в />,те />. Алетоді /> длябудь — якого />, а тому що формація /> слабко /> - замкнута заумовою, те />.Але тоді />,тому що /> йза умовою />.Одержали протиріччя.
Випадок 2. Нехай />. Тоді /> входить в /> і є /> - групою. Тому що />, те /> абелева. Нехай/> –максимальна підгрупа групи />, не утримуюча />. Тоді />, />, />, />. Звідси, черезодиничність />,містимо, що />,a виходить, />.По лемі 3.10 /> є /> - групою. Але тоді і /> є /> - групою,причому />.Ми одержуємо, таким чином, що /> для кожного />. Але тоді />, тому що /> слабко /> - замкнута.Останнє означає, що /> /> - центральна в />, що суперечить рівності/>. Зновуодержали протиріччя.
Теорема доведена.
Наслідок 4 Нехай група /> має дві нормальні /> - понад розв'язніпідгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді /> /> - понадрозв'язна.
Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудованийекран задовольняє умові теореми 3 при />.
Наслідок 5 Нехай група /> має дві нормальні підгрупи,індекси яких взаємно прості. Тоді /> понад розв'язна .
Теорема Слепова 6 Нехай формація /> має такий локальнийекран />, щодля будь — якого простого /> формація /> або збігається з />, або входить в /> і є /> - замкнутою.Тоді /> /> - замкнута.
Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми 3.
Теорема Слепова 7 Нехай /> – максимальний внутрішнійлокальний екран формації />. Формація /> /> - замкнута (слабко /> - замкнута, />) тоді й тількитоді, коли для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута (відповідно слабко /> - замкнута).
Доказ. Достатність випливає з теорем 3 і 6. Нехай /> /> - замкнута (слабко /> - замкнута, />). Нехай />, де /> – нормальні /> - підгрупи(нормальні /> -підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що />, те />. Покажемо, що />.
Нехай />, де />, /> – елементарна абелева /> - група. /> для кожного />. Тому що /> /> - замкнута (слабко /> - замкнута),те звідси випливає, що />. Якщо /> – перетинання в /> усіх /> - головних факторівгрупи />, то
/>
Тому що />, те по лемі 3.10 підгрупа /> є /> - групою. Алетоді />,тому що по теоремі 3.3 має місце рівність />.
Теорема доведена.
Лема Чунихина 8 Нехай />, />, />. Тоді />. Зокрема, якщо /> й />, те /> непроста.
Доказ. З рівності /> треба, що
/>
Отже, />. Звідси, через /> для кожного />, одержуємо />. Лемадоведена.
Теорема Виландт 9 Група /> розв'язна, якщо вона має трирозв'язні підгрупи, індекси яких у /> попарно взаємно прості.
Доказ. Нехай група /> має розв'язні підгрупи />, /> і /> з попарновзаємно простими індексами. Тоді />. Нехай /> – мінімальна нормальна підгрупа з/>. Тому що /> розв'язно, те/>, /> – простоїчисло. Через умову теореми, /> не ділить одночасно /> й />. Нехай, длявизначеності, /> не ділить />. Це значить, що силовська/> - підгрупаз /> єсиловською /> -підгрупою групи />. Через теорему Силова />, де />. Тому що /> й />, те по лемі 8 />. Таким чином, /> – неодиничнарозв'язна нормальна підгрупа групи />. У фактор — групі /> індекси підгруп />, /> і /> попарновзаємно прості. По індукції /> розв'язна, але тоді й /> розв'язна.Теорема доведена.
Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.
Визначення. Клас груп /> називається /> - замкнутим (/>– натуральнечисло), якщо /> містить усяку групу />, що має /> /> - підгруп, індекси якиху /> при /> попарновзаємно прості.
По визначенню, порожня формація /> - замкнута для кожного />. Єдиної /> - замкнутоюнепустою формацією, відмінної від />, умовимося вважати />.
Лема 10 Нехай /> і /> – /> - замкнуті класи груп. Тоді /> також /> - замкнуть.
Доказ очевидно.
Наступна лема доведена Крамером.
Лема 11 Нехай формація /> втримується в /> і /> - замкнута, />. Тоді формація/> є /> - замкнутою.
Доказ. Нехай група /> має /> - підгрупи />, />,…,/>,індекси яких у /> попарновзаємно прості. Тому що />, те по теоремі 9 група /> розв'язна. Прибудь — якому гомоморфізмі групи /> образи підгрупи /> належать /> і мають попарно взаємнопрості індекси. Тому можна вважати, що /> - корадикал /> групи /> є її єдиною мінімальноюнормальною підгрупою. Ясно, що /> є /> - групою для якогось />. ПідгрупаФиттинга /> групи/> також є /> - групою.Індекс будь — якої підгрупи, що не містить />, ділиться на />. Тому /> втримується принаймні в/> підгрупахнашої системи підгруп />. Будемо вважати, що />, />. Тому що /> є /> - групою, те /> й />, />. Звідси й знаслідку випливає, що />, />. Тому що />, те ми одержуємо, що />, />. Скориставшись/> - замкнутістюформації />,ми приходимо до того, що />.
Лема доведена.
Теорема Крамер 12 Нехай /> – такий локальний /> - екран формації />, що для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута, />. Тоді /> /> - замкнута.
Доказ. Тому що /> – /> - екран, то /> для будь — якогопростого />,а виходить, />.Нехай />.Через лему 4.5. /> Якщо />, те /> й /> /> - замкнута; якщо ж />, те по лемі формація /> /> - замкнута. У кожномуразі /> /> - замкнута. Полемі /> /> - замкнута.Застосовуючи лему 10, ми бачимо, що й формація /> /> - замкнута. Теорема доведена.
Тому що формація /> має одиничний екран, щозадовольняє умові теореми 12 при />, те ми одержуємо
Наслідок Кегель 13 Група /> нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентніпідгрупи, індекси яких у /> попарно взаємно прості.
Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.
Лема 14 Клас усіх /> - замкнутих груп /> - замкнуть.
Доказ таке ж, як і в теореми 9.
Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є /> - замкнутою.
Доказ. Нехай /> – деяка формація нильпотентнихгруп. Нехай група /> має /> - підгрупи />, /> і /> з попарно взаємнопростими індексами. Тоді по наслідку 13 група /> нильпотентна. Якщо /> – найвищий ступіньпростого числа />, що ділить />, то /> ділить /> для деякого />, тому що /> не може ділитиодночасно індекси всіх підгруп />, /> і />. Якщо /> ділить/>, то силовська /> - підгрупа /> із /> входить в /> і є силовскою /> - підгрупоюгрупи />.Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи /> є /> - групами.Тому що /> –формація, те звідси треба, що />.
Лема доведена.
Лема 16 Нехай /> – якийсь /> - замкнутий гомоморф /> - замкнутихгруп. Тоді клас /> /> - замкнуть.
Доказ. Нехай група /> має /> - підгрупи />, /> і /> з попарно взаємнопростими індексами. По лемі 14 /> має нормальну силовску /> - підгрупу />. Оскільки /> є силовскої /> - підгрупою в /> і /> – гомоморф, те/>. У групі/> індексипідгруп />, /> і /> попарновзаємно прості. Тому через /> - замкнутість /> маємо />. Лема доведена.
Лема 17 Для будь — якого простого /> й будь — якої формації нильпотентнихгруп /> клас/> є /> - замкнутоюформацією.
Доказ. По лемі 15 клас /> /> - замкнуть. По лемі 16 клас /> /> - замкнуть і по теоремі1.1 Ошибка! є формацією.
Теорема 18 Нехай /> – локальна підформація формації />, /> – максимальнийвнутрішній локальний екран формації />. Якщо для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута, />, то /> /> - замкнута.
Доказ. Нехай />. Через теорему 3.3 і леми 4.5, />. Формація /> /> - замкнута. По лемі 10формація /> /> - замкнута.Теорема доведена.
Теорема Крамер 19 Будь — яка локальна підформаціяформації /> є/> - замкнутою.
Доказ. Нехай /> – локальна підформація формації />. /> має внутрішнійлокальний /> -екран />.Нехай /> –максимальний внутрішній локальний екран формації />. Тоді по теоремі 3.3 для будь — якогопростого /> маємісце рівність />. Тому що />, те по лемі 17 формація /> /> - замкнута. Тоді потеоремі 18 формація /> /> - замкнута. Теорема доведена.
Наслідок Д/>рк 20 Нехайгрупа /> маєчотири підгрупи, індекси яких у /> попарно взаємно прості.
Висновок
У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добуткуформацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана,радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцевірозв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальноїформації /> формації/> всіх групз нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.
Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальнихметодах, ідеях і невирішених проблемах, все — таки достаток отриманихрезультатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальнихметодів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца,викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку — теоріїформацій.
Література
1Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003
2 Кертис Ч.,Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006
3Чунихин С.А. О /> - властивості кінцевих груп. –К.,2001
4Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002