В. В. Богун
Предлагаемаястатья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренныхтреугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками.Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого примененияв архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельныхфрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в областиэлементарной геометрии.
Гдеже могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего впедагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьникови студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, посколькуработа находится на стыке двух разделов математики — элементарной геометрии итригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна.
Существеннымиплюсами данных исследований являются следующие факты:
Возможностьвыхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами,в частности, правильных четырехугольных пирамид;
Объяснениес помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основеправильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидамиГизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина);
Последнийфакт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям,поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярныхучебниках в большинстве случаев лишь в виде «голой» теории, мы имеемсочетание теоретических и практических аспектов.
Дляпростоты изложения материала внесем ряд определений:
Основнаявысота — высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейсяточкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственнопересекающей последнее в его середине.
Полуподобныеравнобедренные треугольники — равнобедренные треугольники, для которыхсправедливо равенство углов при основании одного половинным углам междубоковыми сторонами другого.
Половинноподобныеравнобедренные треугольники — равнобедренные треугольники, равные углы приосновании одного являются половинными углами при основании другого.
Теорема1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусувписанной в него окружности
Отношениеосновной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в негоокружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значениюкосинусу равных углов при основании.
Исходныеданные:
Равнобедренный∆ АВС (рис. 1); ВD = h основная высота, опущенная из вершины Вна основание АС = 2 а; АВ = ВС = b боковые сторонытреугольника; DО = КО = LО = r — радиус вписанной в ∆ АВС окружности, ВАС = ВСА = .
Доказать:
/>(1)
Доказательство:
Формулыдля вычисления площади ∆АВС:
S∆АВС/>.
S∆АВС/>.
/>
Рис.1. Равнобедренный ∆ АВС с вписанной в него окружностью.
Получим:
/>
(1)
Следствияиз теоремы 1:
1.1.Отношениеполовины основания равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в негоокружности равно котангенсу половинного угла при основании:
Таккак />,
а
/>
то
/>. (2)
Однакоиз курса геометрии известно, что центр вписанной в любой треугольник окружностилежит на пересечении биссектрис его углов.
1.2.Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной внего окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании ккосинусу полного угла при основании:
/>
(3)
1.3.В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой ирадиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковойстороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла приосновании:
/>. (4)
Теорема2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусуописанной вокруг него окружности
Отношениеосновной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг негоокружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании илиразнице единицы и косинуса двойного угла при основании:
/>
Рис.2. Равнобедренный ∆ АВС с описанной вокруг него окружностью.
Исходныеданные:
Равнобедренный∆АВС (рис. 2); ВD = h — основная высота, опущенная из вершины В наоснование АС = 2 а; АВ = ВС = b — боковые стороны треугольника; АQ =BQ = CQ = R — радиус описанной вокруг ∆АВС окружности, ВАС = ВСА = .
Доказать:
/>(5)
Доказательство:
Формулыдля вычисления площади ∆АВС:
S∆АВС =/>
S∆АВС = />
Получим:/>
/>
(5)
Следствияиз теоремы 2:
2.1.Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусуописанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании:
Таккак
/>,
то
/>
/>(6)
Поскольку
/>,
то
/>
2.2.Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусамуглам при основании:
/>
(7)
2.3В равнобедренном треугольнике отношение разницы между радиусом описаннойокружности и основной высотой к величине первого равно косинусу двойного углапри основании:
/>
(8)
Следствиеиз теорем 1 и 2:
Вравнобедренном треугольнике отношение радиуса вписанной к радиусу описаннойокружности равно произведению тангенса половинного угла при основании и синусадвойного угла при основании:
/>(9)
Втабл. 1 представлены взаимосвязи между линейными элементами равнобедренноготреугольника (основная высота, половина основания, боковая сторона, радиусывписанных и описанных окружностей), выражаемые через тригонометрическиевыражения равных углов при основании.
Таблица1
Соотношенияв равнобедренном треугольнике
/> Y a b h R R XX aa 1
/>
/>
/>
/> bb
/> 1
/>
/>
/> hh
/>
/> 1
/>
/> RR
/>
/>
/> 1
/> rr
/>
/>
/>
/> 1
Впредлагаемых ниже двух теоремах рассмотрены взаимосвязи между вписанными иописанными окружностями двух равнобедренных треугольников, имеющих один общийэлемент. В первой теореме данным субъектом является основная высота, во второй- сторона основания. Что же касается совпадения боковых сторон равнобедренныхтреугольников, то здесь получим равенство треугольников по двум сторонам и углумежду ними.
Теорема3: О равных углах равнобедренных треугольников
Еслидва равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равныеуглы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то ихцентры вписанной и описанной окружностей соответственно совпадут.
Исходныеданные:
Равнобедренные∆АВС и ∆ЕBF c общей основной высотой ВD = h. DO 1 = r и ВО 2 = R — радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренных ∆АВС и ∆ЕBFсоответственно.
ВАС = ВСА = EBF = ,
BEF = BFE = (рис. 3)
/>
Рис.3. Геометрическая интерпретация теоремы 3
Доказать:
h= R + r (10)
Доказательство:
Дляравнобедренного ∆АВС:
/>
Дляравнобедренного ∆ЕBF:
/>
Поусловию теоремы
ВАС = ВСА = EBF =
=, BEF = BFE = .
Атак как
BEF = BFE =
/>,
получим:
/>
/>
Если
/>(10),
то/>
Действительно,
/>,
чтои требовалось доказать.
Следствияиз теоремы 3:
3.1.Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и уголмежду боковыми сторонами одного равен углам при основании второго, то отношениесоответствующих оснований равно разнице величины, обратной по значениюкосинусам равных углов при основании второго, и единице:
Таккак
/>
и
/>,
то
/>
/>
(11)
3.2.Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте иравные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго,то отношение соответствующих боковых сторон равно половине величины, обратнойпо значению синусам равных углов при основании второго:
Поскольку
/>и />,
то
/>.
/>.
(12)
Теорема4: О половинных углах равнобедренных треугольников
Еслидва равнобедренных треугольника имеют общее основание и вершина, являющаясяпересечением боковых сторон первого, совпадает с центром вписанной во второйтреугольник окружности, то центр описанной вокруг первого треугольникаокружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам второго.
Исходныеданные:
Равнобедренные∆ АВС и ∆ АОС с общим основанием АС = 2 а, DO = r = H радиус вписанной окружности и высота равнобедренных ∆ АВС и ∆ AOCсоответственно. ВАС = ВСА = , OAC = OCA = />(рис.4).
Доказать:
/>(13)
/>
Рис.4. Геометрическая интерпретация теоремы 4
Доказательство:
Исходяиз рис. 4, получим следующую цепочку соотношений:
/>
Тогда
/>
(13)
Приэтом согласно определению равнобедренные ∆ АВС и ∆ АСS являютсяполуподобными, поскольку
/>
инаоборот, а равнобедренные ∆АВС и ∆АОС являются половинноподобными,поскольку удовлетворяют определению:
ВАС = ВСА = , OAC = OCA = />
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.yspu.yar.ru