Введение
Нахождениепроизводной f’ (x) или дифференциала df=f’ (x) dx функции f(x) являетсяосновной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислениирешается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такуюфункцию F(x), что F’ (х)=f(x) или F(x)=F’ (x) dx=f(x) dx. Таким образом,основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x)по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчислениеимеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Онодает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.
Курсматематического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из егоцентральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многихвидов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблемматематического анализа.
Вычислениеопределенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислениюсводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.
Также понятиеопределенного интеграла широко используется в физике.
1.Нахождение площади криволинейной трапеции
Криволинейнойтрапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат иограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = bи кривой />, причем />неотрицательнана отрезке />. Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:
1. разделитьотрезок />оси абсцисс на n равных отрезков;
2. провестичерез точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения скривой />;
3. заменитьполучившиеся столбики прямоугольниками с основанием />и высотой, равнойзначению функции f в левом конце каждого отрезка;
4. найтисумму площадей этих прямоугольников.
Номожно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Длядоказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейнойтрапеции равна />, где – любая изпервообразных функции />, график которойограничивает криволинейную трапецию.
Вычислениеплощади криволинейной трапеции записывается так:
1. находитсялюбая из первообразных />функции/>.
2. записывается/>. /> — это формула Ньютона-Лейбница.
2.Нахождение площади криволинейного сектора
/>webmath.exponenta.ru/s/c/function/content/chapter3/section4/paragraph4/03040401.jpg
1 Площадь криволинейного сектора.
Рассмотримкривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат,где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β]функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α,φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейногосектора равна
/>
3.Нахождение длины дуги кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоскаякривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2) [7]
Под длиной дуги AB понимается предел, ккоторому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда числозвеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена еестремиться к нулю.
Применим схему I (метод сумм).
Точками X/> = a, X/>, …, X/> = b (X/> ≤ X/>≤ … ≤ X/>) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этимточкам соответствуют точки M/> = A, M/>, …, M/> = B на кривой AB. Проведем хорды M/>M/>, M/>M/>, …, M/>M/>, длины которых обозначимсоответственно через ΔL/>, ΔL/>, …, ΔL/>.
Рис 2 />
Получим ломанную M/>M/>M/> … M/>M/>, длина которой равна L/> = ΔL/>+ ΔL/>+ … + ΔL/> = /> ΔL/>.
Длину хорды (или звена ломанной) ΔL/> можно найти по теоремеПифагора из треугольника с катетами ΔX/> и ΔY/>:
ΔL/> = />, где ΔX/> = X/> – X/>, ΔY/> = f(X/>) – f(X/>).
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции
ΔY/> = />(C/>) ΔX/>, где C/> /> (X/>, X/>).
Поэтому
ΔL/> = /> = />,
а длина всей ломанной M/>M/>M/> … M/>M/> равна
L/> = /> ΔL/> = />/>.
Длина кривой AB, по определению, равна
L = />L/> = />/> ΔL/>.
Заметим, что при ΔL/> /> 0 также и ΔX/> /> 0 (ΔL/> = /> и следовательно | ΔX/> | ). Функция /> непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию,непрерывна функция f/> (X). Следовательно, существуетпредел интегральной суммы L/>=/>ΔL/>= />/>,кода max ΔX/> /> 0:
L = />/>/> = />/>dx.
Таким образом, L = />/>dx.
Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)
/>/>
Рис 3
Найдем ¼ часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как
y = />,¼L = /> />dx = R arcsin/>/> =R />.
Значит L = 2/>R.
Полярныекоординаты
Пусть кривая AB задана уравнением вполярных координатах r = r(/>), />. Предположим, что r(/>) и r/>(/>) непрерывны на отрезке [/>].
Если вравенствах x= r cos/>, y = r sin/>, связывающих полярные идекартовы координаты, параметром считать угол />,то кривую AB можно задать параметрически
/>
Тогда
/>
Поэтому
/>= /> = />
Применяяформулу L= />/>,
получаем L = />/>
/>/>
Рис.4
Пример: Найтидлину кардиоиды r = a (1 + cos/>). (рис. 4)
Решение: Кардиоидаr = a (1 + cos/>) симметричнаотносительно полярной оси. Найдем половину (рис 4) длины кардиоиды:
½L =/>/>=a/>/>=a/>/> = 2a />cos/> d/> = 4a sin/>/> =4a.
4. Нахождениеобъема тел
Вычислениеобъема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем Vтела (рис 5), причемизвестны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторойоси, например оси Ox:S= S(x), a≤ x≤ b [5]
Применим схему II (метод дифференциала).
Рис 5 />
1. Черезпроизвольную точку x/> [а; b]проведемплоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этойплоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся приизменении x.Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левееплоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина vесть функция от x, т.е. v= у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dVфункции v= v(x). Он представляет собой
«элементарный слой» тела, заключенный междупараллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках xи x+ Δx, который приближенноможет быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциалобъема dV= S(х) dх.
3. Находимискомую величину Vпутем интегрирования dА в пределах от a до b:
V= />S(x) dx
Формулаобъема тела по площади параллельных сечений
Пример: Найтиобъем эллипсоида /> (рис 6) [5]
Рис 6 />
Решение:Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее(-a≤ x≤ b.), получим эллипс
/>
Площадь этогоэллипса равна S(x) = />bc(1 – />). Поэтому, по формулеимеем
V = />bc/>(1 – />) dx= />/>abc.
Объём тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращаетсякриволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤х ≤ bи прямыми х = а и х = b(рис 7). Полученная от вращенияфигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью,перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х осиOх), есть круг с радиусом у= f(х). Следовательно,S(x)=/>y/>.
Применяяформулу
V= />S(x) dx
объема телапо площадипараллельных сечений, получаем
/>
/>
V/> = />/>y/>dx.
Если криволинейная трапеция ограничена графикомнепрерывной функции x = />(x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c
d), то объем тела, образованного вращением этойтрапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой
V = />S(x) dx,
равен
V=/>/>x/>dy.
Пример: Найти объем тела,образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у = />, x = 0, у = 2/> вокруг оси Оу. [5]
Решение: Поформуле
V=/>/>x/>dy.
находим:
V/> = />/>2ydy = />y/>/> = 8/>.
5. Нахождениеплощади поверхности тел вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у= f(х) ≥ 0, где х /> [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности,образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).
Применим схему II (метод дифференциала).
Через произвольную точку х /> [а; b] проведем плоскость П,перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения поокружности с радиусом у – f(х). Величина S поверхности части фигурывращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т.е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).
Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх /> [а; b]такжепроведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного нарисунке в виде «пояска».
/>
Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованнуюмежду сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равныу и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна: = 2/>ydl + />dydl.
Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малуювысшего порядка, чем ds, получаем ds= 2/>уdl, или, так как d1 = />dx.
Интегрируяполученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
S/>= 2/>/>y/>dx.
Если кривая AB задана параметрическимиуравнениями x= x(t), y = y(t), t/>≤ t />≤ t/>, то формула для площадиповерхности вращения принимает вид
S/> = 2/>dt.
Пример: Найтиплощадь поверхности шара радиуса R. [5]
Решение:Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = />, – R ≤ x ≤ R, вокруг оси Ox. По формуле S/>= 2/>/>y/>dxнаходим
S=2/> = />
6. Нахождениеработы переменной силы
Работапеременной силы
Пусть материальная точка М перемещаетсявдоль оси Ох под действием переменной силы F= F(х), направленной параллельноэтой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М изположения х = а в положение х = b(а bЬ), находится по формуле
A = />
Пример:
Какую работу нужно затратить, чтобы растянутьпружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? [5]
Решение:
По закону Гука упругая сила, растягивающаяпружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F= kх, где k– коэффициент пропорциональности.Согласно условию задачи, сила F= 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м;следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F=10000х.
Искомая работа на основании формулы
A = />
равна
A = />
/>
/>
Пример:
Найти работу, которую необходимо затратить, чтобывыкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высотыН м и радиусом основания Rм (рис 13). [5]
Решение:
Работа,затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Норазличные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высотаподнятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала).Введем систему координат.
1) Работа, затрачиваемая на выкачивание изрезервуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), естьфункция от х, т.е. А = А(х), где (0 ≤ х ≤ Н)(A(0) = 0, A(H) = А0).
2) Находим главную часть приращения ΔA при изменении х навеличину Δх = dx, т.е. находим дифференциал dА функции А(х).
Ввиду малости dх считаем, что «элементарный»слой жидкостинаходится на одной глубине х(от края резервуара).Тогда dА= dрх, где dр– вес этого слоя; он равен g/> АV, где g– ускорение свободного падения,/> – плотность жидкости, dv– объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. dр = g/>. Объем указанного слояжидкости, очевидно, равен />, где dx – высота цилиндра(слоя), /> – площадь его основания, т.е.dv= />.
Таким образом, dр = />. и />
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х= 0 до х = Н, находим
A/>
8. Вычислениеинтегралов с помощью пакета MathCAD
Прирешении некоторых прикладных задач требуется использовать операциюсимволического интегрирования. При этом программа MathCad может пригодиться какна начальном этапе (хорошо знать ответ заранее или знать, что он существует),так и на заключительном этапе (хорошо проверить полученный результат сиспользованием ответа из другого источника или решения другого человека).
Прирешении большого количества задач можно заметить некоторые особенности решениязадач при помощи программы MathCad. Попытаемся понять на нескольких примерах,как работает эта программа, проанализируем решения, полученные с её помощью исравним эти решения с решениями, полученными другими способами.
Основныепроблемы при использовании программы MathCad заключаются в следующем:
а)программа даёт ответ не в виде привычных элементарных функций, а видеспециальных функций, известных далеко не всем;
б)в некоторых случаях «отказывается» давать ответ, хотя решение у задачи имеется;
в)иногда невозможно воспользоваться полученным результатом из-за егогромоздкости;
г)решает задачу не полностью и не делает анализа решения.
Длятого чтобы решить эти проблемы, необходимо использовать сильные и слабыестороны программы.
Сеё помощью легко и просто вычислять интегралы от дробно-рациональных функций.Поэтому рекомендуется использовать метод замены переменной, т.е. предварительноподготовить интеграл для решения. Для этих целей могут быть использованыподстановки, разобранные выше. Также следует иметь в виду, что полученныерезультаты необходимо исследовать на совпадение областей определения исходнойфункции и полученного результата. Кроме этого, некоторые полученные решениятребуют дополнительного исследования.
ПрограммаMathCad освобождает обучаемого или исследователя от рутинной работы, но неможет освободить его от дополнительного анализа как при постановке задачи, таки при получении каких-либо результатов.
Выводы
Вданной работе были рассмотрены основные положения, связанные с изучениемприложений определённого интеграла в курсе математики.
– былпроведен анализ теоретической основы решения интегралов;
– материалбыл подвергнут систематизации и обобщению.
В процессе выполнения курсовой работы были рассмотреныпримеры практических задач в области физики, геометрии, механики.
Заключение
Рассмотренные выше примеры практических задач,дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для ихразрешимости.
Трудно назвать научную область, в которой бы неприменялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенногоинтеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами былирассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики,биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук,которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины прирешении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.
Также определенный интеграл используется дляизучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальныхуравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задачпрактического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл – этонекоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методових решения.
Из всего выше сказанного понятно, почемузнакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках среднейобщеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла иего свойства, но и некоторые его приложения.
Литература
1. Волков Е.А. Численныеметоды. М., Наука, 1988.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальноеи интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.
3. Шипачев В.С. Высшаяматематика. М., Высшая школа, 1990.
4. Давыдова Т.В.и др. Математика: Методические рекомендации и задания по курсовым работам.Смоленск. ВУ ВПВО, 2000 г. 59 с.
5. Иванов А.А. Математика.Пособие по лабораторным работам в MathCAD'e. Изд. академии, 2004.