Расчетно-графическая работа по высшей математике 1. Описание изделия
На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ). Дополнительные сведения: раствор конуса b = 300 радиус цилиндра R = 5 см расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см
расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см Выбор системы координат
В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.
Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора: 2 + l = + 2 = 7. 7 (см)
таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:
Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7. 7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7. 7; 0). Аналитическое описание несущих поверхностей Уравнение цилиндрической поверхности: (х+2)2+(y+2)2 = R2 ( I ) Параметризация цилиндрической поверхности: (II) Определение положения шва на цилиндрической детали:
потребуем, чтобы параметр uО. При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -. Уравнение первой конической поверхности: (x + 7. 7)2 tg2b = y 2+ z2 (III) Параметризация первой конической поверхности: (IV) Определение положения шва на первой конической детали: потребуем, чтобы jО[-psinb; psinb] Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса. Уравнение второй конической поверхности: (y+7. 7)2 tg2b=x2+z2 (V)
Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV): (VI)
(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).
Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III), получаем уравнение: (-2+Rcos+7. 7)2tg2b=(-2+Rsin)2+v2, которое в дальнейшем преобразуется к виду: v = v(u) = ± (VII)
Знак “+” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z і 0 , знак “-” - “нижней” половине этой линии. При некоторых значениях параметра uподкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.
Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.
Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I), получаем уравнение: (-7. 7+rcosb+2)2 + (rsinbcos+2)2 = R2 преобразуем: (rcosb-5. 7)2 + (rsinbcos+2)2 = R2 r2cos2b-2*5. 7*rcosb+32. 49+r2sin2bcos2+4rsinbcos+4-R2 = 0 r2(cos2b+sin2bcos2)+2r(-5. 7cosb+2 sinbcos)+36. 49-R2 = 0 Отсюда r=r(j)= (IX) a(j)=1- sin2bsin2 ; b(j)=2(2sinbcos-5. 7cosb); c=36. 49-R2 .
Линия пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь, соответствующая знаку “-” в формуле (IX), посторонняя.
Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса Подставляя параметризацию первого конуса (IX), в уравнение второго конуса(V), получаем уравнение: (rsinbcos+7. 7)2tg2b=(-7. 7+rcosb)2+r2sin2bsin2 квадратное уравнение относительно переменной r. После упрощения получим:
r2(sin2bcos2tg2b- cos2b-sin2bsin2)+r(2d(sinbcos tg2b+cosb))+d2 (tg2b-1)=0 r=, (X) где а = sin2bcos2tg2b- cos2b- sin2bsin2; b = d(sinbcos tg2b+cosb); c = d2(tg2b-1). Выкройка второго конуса Она идентична выкройке первого конуса. Расчет выкройки цилиндрической детали
Подставляем в формулу (VII)конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим втаблицу 1.
Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой uЈ; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см. Расчет выкройки конических деталей
Произведем расчет по формулам (j; r) по формулам (IX, X). Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3. Возьмем сектор радиуса r0=26см. , и, учитывая симметричность относительно луча j=0, построим выкройку конической детали. Изготовление выкроек деталей, сборка изделия
Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.