Отделобразования гомельского городского исполнительного комитета
Государственноеучреждение образования
«Гимназия№71 г. Гомеля»
Конкурснаяработа
«Антипростыечисла»
Исполнитель:
Мурашко Вячеслав Игоревич,
ученик 9 А класса
Руководитель:
Синюто Алла Николаевна,
учитель физики
Государственного учреждения образования
«Гимназия №71 г. Гомеля»
Гомель
2009
Оглавление
Введение
1. Исследование антипростых чисел и их свойств
1.1 Задачи об антипростых числах
1.2 Исследованиеколичества антипростых чисел среди натуральных чисел
1.3 Исследованиечастоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел
2. Обобщенияоб антипростых числах
Заключение
Список использованных источников и литературы
Приложения
Введение
На XI Республиканском турнире юных математиков, проходившем вдекабре 2009 года в Минске, одной из исследовательских тем была задача обантипростых числах.
Цель данной работы – изучить антипростые числа и их свойства.При выполнении работы были решены поставленные на турнире задачи об антипростыхчислах, а также предложены и исследованы свои вопросы по данной теме. Объектисследования – антипростые числа. Назовем натуральное число антипростым, если каждый егопростой делитель входит в его разложение на множители с показателем, большим 1.Назовем натуральное число антипростым порядка р (р Î N), если каждый его простой делитель входит в его разложениена множители с показателем не меньшим, чем р. Назовем два натуральных числа взаимноантипростыми, если их наибольший общий делитель является антипростым числом. Антипростые числа являютсяестественным обобщением фигурирующих в проблеме бельгийского математика Э. Каталанаправильных степеней (1844 г.), которую пытались решать такие выдающиесяматематики как Лео Гебракус, Френикль де Бесси, Л. Эйлер, В. А. Лебег, Т. Нагельи др. В 2003 году румынский математик П. Михайлеску доказал справедливостьгипотезы Каталана. Тематика данной исследовательской работы является достаточноновой. При проведении анализа источников информации непосредственно ссылок назадачу об антипростых числах в такой постановке было найдено две – это статья В.Сендерова, Б. Френкина «Гипотеза Каталана» в журнале «Квант»№ 4 2007 года и задача М2032 об антипростых числах – близнецах В. Сендерова изтого же журнала. В процессе выполнения данной работы потребовались болееуглубленные знания по теории чисел, которые были получены из таких источников информации,как Оре О. «Приглашение в теорию чисел», Виноградов И.М. «Основытеории чисел» и др.
1. Исследованиеантипростых чисел и их свойств
1.1 Задачи об антипростыхчислах
При изучении антипростыхчисел и их свойств были решены ряд следующих задач, поставленных на XI турниреюных математиков.
1. Покажите, что внатуральном ряду не могут идти подряд четыре антипростых числа.
Решение. Среди подряд идущих четырехнатуральных чисел два – чётные. Их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одноиз них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на/> но не делится на />, т.е. не антипростое.Заметим также, что эти два четных числа не могут быть взаимноантипростыми иантипростыми порядка p.
2. Могут ли триантипростых числа быть длинами сторон прямоугольного треугольника?
Решение. Три антипростыхчисла могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
Приведем в качествепримера треугольник со следующими длинами сторон: />,/>,/>. Доказательством того, чтоэтот треугольник является прямоугольным, является выполнимость теоремыПифагора:
/>/>/>.
Заметим также, что этичисла взаимноантипросты и антипростые порядка p.
3. Могут ли три(четыре, пять, …) антипростых числа быть членами арифметической прогрессии?
Решение. Любое количество антипростых чисел может быть членамиарифметической прогрессии.
Примером являются следующиеn подряд идущие члены арифметической прогрессии: />, 2/>, 3/>, …, />с разностью />, где p > 1.
Эти числа также взаимноантипростыи антипростые порядка />.
4. Могут ли пятьантипростых чисел составлять множество чисел вида a, a ± b, a ± (b + c) ит.д.?
Решение. Ответ на этотвопрос зависит от величины чисел b и c.Например, если они равны по 1, то из первой задачи следует, что таких пятиантипростых чисел нет (нет 4 подряд идущих). Но найти такие a, b и c, чтоa, a ± b, a ± (b + c) антипростые можно. Например, 2/>,4/>, 5/>, 6/>, 8/>, где n > 8, p > 1. Заметим, что эти числа взаимноантипросты иантипростые порядка />.
Легко получить сколькоугодно слагаемых такого вида, выбирая различные a, b и c, а затем домножая на /> с соответствующим n.
5. Покажите, что вомножестве натуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, средикоторых два являются антипростыми.
Решение. Во множественатуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, среди которых дваявляются антипростыми. Например, (7, 8, 9), (8, 9, 10), (25, 26, 27). В первой тройке второечисло и третье число, во второй тройке первое число и второе число, а в третьейтройке первое число и третье число являются антипростыми числами.
6. Покажите, чтотаких троек бесконечно много.
Решение. Покажем, чтотаких троек бесконечно много.
Рассмотрев первую тройку(p–1, p, p+1), из которой p и p+1антипростые числа, получаем тройку (q–1, q, q+1), где числа q = 4×p×(p+1) = (2p+1)2 – 1 и q+1 = /> , очевидно,антипростые как произведение антипростых чисел и квадрат, который всегда антипростоечисло. Из тройки (7, 8, 9) получим тройку (287, 288, 289), из нее (332 927, 332928, 332 929) и так далее. В результате получим бесконечное число таких троек.
Аналогичный алгоритмприменяется и для троек вида (p, p+1, p+2),в которой p и p+1 антипростые числа.
В журнале КВАНТ №4 за2007 год [2] приведен простой алгоритм, как из третьего вида тройки получитьбесконечную серию таких троек. Он опирается на равенство (2n3+3n)2+2=(2n2+1)2(n2+2), которое легко проверяется раскрытием скобок.Действительно, раскрыв скобки слева и справа, получим 4n6+12n4+9n2+2. Но тогда с тройкой (n2, n2+1, n2+2), в которой n2 и n2+2 являются антипростыми, получаем тройку (k2, k2+1, k2+2), где k = 2n3+3n. Согласнодоказанному выше равенству k2 и k2+2 являются антипростыми числами. Так из (25, 26, 27)получаем (70 225, 70 226, 70 227) = (2652, 2652+1, 172´35). Взяв n = 265, получимследующую тройку и так далее.
7. Могут ли все тричисла n — 1, n, n + 1 быть антипростыми?
Решение. Доказать, что нет трех подряд идущихантипростых чисел или найти такую тройку не удалось. Однако заметим, что вжурнале КВАНТ №4 за 2007 год [1] также отмечается, что ответ на этот вопросавторам неизвестен. Во всяком случае, среди чисел до 2 000 000 таких троек нет.Мною повышена эта оценка до 3 136 000 000 чисел.
Верно следующее утверждение.
Если существует тройкаанипростых чисел n — 1,n, n + 1, то существует антипростое число вида />.
Доказательство:
Докажем, что еслисуществует тройка антипростых чисел вида n — 1, n, n + 1, то число n чётное. Действительно, если числа n — 1, n +1 – чётные, то их разность равна 2, т.е. при делениина 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чиселделится на />, но не делится на />, т.е. не антипростое — противоречие.
Так как /> антипростое и чётное, тооно делится на 4, то есть имеет вид />. Тогда />. Антипростое число,умноженное на антипростое число – анипростое число. То есть число /> тоже антипростое.
Верно и обратноеутверждение.
Если существуетантипростое число вида /> (4k – антипростое), то и существуеттройка подряд идущих антипростых чисел.
Доказательство:
/>, НОД(/>)=1.Значит числа /> антипростые, тоесть существует тройка подряд идущих антипростых чисел.
Данное утверждениеравносильно задаче о существовании трёх подряд идущих антиростых чисел. Самузадачу решить сложно. Но, возможно, проще окажется задача о существованииантипростого числа вида />. И еслитакое число существует, может ли при этом 4k быть антипростым?
Заметим, что из тройкианипростых чисел (n2, n2+1, n2+2), в которой n2 и n2+2 являются антипростыми, можнополучить числа /> и />, являющиеся антипростыми (антипростоеумноженное на антипростое число – анипростое число).
Но с помощью данногоалгоритма нельзя получить антипростое число вида />.Действительно, n2 и n2+2 – нечётны, то есть /> –чётное, так как n2 имеет вид />, то /> делится на 16, но не делитсяна 4, следовательно, /> не представимо ввиде />.
1.2 Исследованиеколичества антипростых чисел среди натуральных чисел
Будем исследоватьколичество антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле.
Необходимо попытатьсянайти или оценить количество антипростых чисел на различных отрезках (например,от 1 до 1000, от 1 до 1000000, от 1 до М (для произвольных натуральных значенийМ), от 1000 до 1000000 и т.п.), получить какие-либо общие закономерности.
Обозначим через p(т) количество антипростых чиселсреди всех натуральных чисел от 1 до т.
Обозначим через p(k, т) количество антипростых чисел среди всех натуральныхчисел от k до т.
Для оценки количестваантипростых чисел на различных отрезках была разработана программа на Паскале, котораянаходит антипростые числа (см Приложение Б).
Из таблицы (см ПриложениеА), которую выводит программа, несложно подсчитать количество антипростых чиселдля различных заданных отрезков. Например, от 1 до 1000 имеется 53 антипростыхчисла, от 1001 до 2000 – 24, от 2001 до 3000 – 18, от 3001 до 4000 – 19, от4001 до 5000 – 13, от 5001 до 6000 – 13, от 6001 до 7000 – 12, от 7001 до 8000– 11, от 8001 до 9000 – 11, от 9001 до 10 000 – 10 и т.д.
Но чтобы увидетьнекоторую закономерность, попытаемся рассуждать, как и с простыми числами.
Хорошо известен постулатБертрана [3, 4, 5, 6]: для любого натурального n/>2 на отрезке [n; 2n] лежит как минимум однопростое число. Такаягипотеза была выдвинута в 1845 году французским математиком Бертраном(проверившим её до n=3000000) и доказана в 1850 Чебышёвым. Рамануджан в 1920году нашёл более простое доказательство, а Эрдёш в 1932 — ещё более простое.
Для антипростых чиселзаметим нечто похожее.
На отрезке [n; n+2∙[/>]+1] находится квадрат натурального числа.Действительно, если n точный квадрат, то и n+2∙[/>]+1 точный квадрат. Если n не квадрат натуральногочисла, то число ([/>]+1)2– точный квадрат лежит на отрезке [n; n+2∙[/>]+1]. Заметим, что для n > 5 длина отрезка [n; n+2∙[/>]+1] меньше n.
По аналогии докажем что на отрезке [n; n+2∙[/>]+1+2∙[/>]+3] лежит 2 квадрата натуральных чисел (т.е. 2антипростых числа). Очевидно, что /> и />. Если n не точный квадратнатурального числа, то число ([/>]+1)2и /> – точные квадраты лежат наотрезке [n; n+2∙[/>]+1+2∙[/>]+3]. Заметим, что для n > 10 длина этого отрезка меньше n.
Рассуждая аналогично, сучетом />, доказывается, что на отрезке /> лежит k квадратов натуральных чисел (где/> – суммавсех нечётных чисел от 1 до 2k-1, т.е. />). Заметим, чтодля любого натурального k найдётсянатуральное n такое что, /> (например, n = 9k2), т.е. существует такое n, для которого />. Следовательно, свозрастанием n минимальное количество антипростыхчисел на отрезках [n; 2n] увеличивается.
Заметим также, что аналоггипотезы Лежандра [3] о том, что для любого n ≥ 2 найдётся простое числов интервале [n2; (n+1)2], для антипростых чиселвыполняется. Ведь любой квадрат сам по себе уже антипростое число.
Для оценки количествачисел на отрезке от 1 до nпостроим график, на котором по оси Ox будем откладывать числа от 1 до 1 500 000, а по оси Oy – значениефункции p(n), т.е. количество антипростых чисел на отрезке от [1; n] (см рис. 1).
/>/>
Рисунок 1 – Графикфункции p(n)
Сравним график на рис. 1с графиком функции /> (см рис.2).
/>
Рисунок 2 – Графикфункции />
Для сравнения на рисунке3 представлены одновременно графики функций p(n) и />. Исследования показали, что на отрезкедо n=420000 /> /> p(n), а далее />/>p(n), причём процент ошибки небольшой (см. таблицу 1 вПриложение В). Так как вначале /> /> p(n), то процент ошибки убывает, после n=420000 он начинает возрастать, и при n=2000000 онприблизительно равен 2% .
/>
Рисунок 3 – Сравнениеграфиков функций p(n) и />
1.3 Исследование частотывстречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел
Будем исследовать частотувстречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле. Необходимоисследовать свойства частоты встречаемости антипростых чисел на отрезках длиныт, расположенных в ряду натуральных чисел от 1 до 1000000 и др. и получить какие-либообщие закономерности. Назовем частотой встречаемости антипростых чисел наотрезке [1, т] число t(т)= p(т)/т. Аналогично t(k, т) = p(k, т)/(т – k +1) – частота встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т]. Для оценки частоты встречаемости антипростых чисел наотрезке от 1 до m построим графикифункций t(т) = p(т)/т (см рис. 4).
/>
Рисунок 4 – Графикфункции />
Изучив график частоты t(т) = p(т)/т встречаемости антипростых чисел на отрезке от 1 до m, получим, что прималых значениях m он колеблется, то возрастая, то убывая (максимумы приантипростых m), но достигнув своего наибольшего значения /> при m = 9 приобретает тенденцию к убыванию.
На рисунке 5 представленграфики функций t(т)и y(x)=/> (/>) для />.
/>
Рисунок 5 — Графикфункции t(т) и y(x)=/>
Из графика на рис. 5 и изпредыдущего пункта при больших m получаем гипотезу t(т)/>.
В таблице 2 (смПриложение Г) приведено сравнение значений функций t(m), f(m)=/> и y(x)=/> до m= 1500000 ивычислена средняя ошибка приближения.
Средняя ошибкаприближения функции t(m) к функции f(m)=/> составила 1,185812%, а кфункции y(x)=/> – 0,280031%.
Исследование функции t(k, т) = p(k, т)/(т – k +1) – частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т], не позволило выявитьзакономерностей. Ясно лишь, что она при любом m принимает значения от 0 до 1.Всего различных значений не более m+1, а при m > 3 не более m и среди нихбудет 1. Есть гипотеза (строго это не доказано), что t(k, т) не периодическая функция. Это также будет следовать издоказанной ниже теоремы 5.
2 Обобщения обантипростых числах
Цель данной работы нетолько решить поставленные на турнире задачи, но и предложить свои вопросы дляисследования задачи об антипростых числах и исследовать их.
Докажем ряд теорем,которые могут представлять интерес при исследовании антипростых чисел.
Теорема 1. Любое нечетноечисло можно представить как разность двух антипростых чисел.
Доказательство:
Заметим, что 1 = 9 – 8 и3 = 128 – 125. Пусть теперь 2p + 1 –произвольное нечетное число и p > 1. Тогда числа p2 и (p + 1)2– антипростые. Их разность, как легко заметить, равна 2p + 1.
Теорема 2. Любое натуральноечисло, делящееся на 4, можно представить как разность двух антипростых чисел.
Доказательство: Заметим,что 4 = 8 – 4 и 8 = 16 – 8. Пусть теперь 4p – произвольное число, делящееся на 4 и p > 2. Тогда числа(p – 1)2 и (p + 1)2 – антипростые. Их разность, как легкозаметить, равна 4p.
Теорема 3. Существует отрезок любой длины внатуральном ряду, на котором нет антипростых чисел.
Доказательство: Рассмотримсистему сравнений:
/>
(/> />–простые числа и />).
Если данная система имеетрешения, то тогда получим последовательность чисел длины /> такую, что каждый её членделится на />(/>), но не делится на />, то есть не являетсяантипростым числом. Но данная система имеет решения по Китайской теореме обостатках (числа /> попарно взаимнопростые).
Значит существует отрезоклюбой длины в натуральном ряду, на котором нет антипростых чисел.
Примечание. Китайскаятеорема об остатках[6].
Если /> – попарно взаимно простые числа, /> – такие числа, что />, тосуществует такое число />, что /> при всех />.
Также нам понадобитьсяследующий известный факт:
Лемма. Пусть НОД(b;d) = 1. Тогда найдется бесконечно много членов арифметической(геометрической) прогрессии с начальным членом 1 и разностью (знаменателем) bсравнимых с 1 по модулю d.
Теорема 4. В любой арифметической прогрессии (a0,d Î N, a0> 0), у которой НОД(a0;d) – антипростоеили 1, бесконечно много антипростых чисел.
Доказательство:
Пусть НОД(a0;d) = 1.Рассмотрим арифметическую прогрессию с членами вида a0+ a0kd.Каждый ее член является членом исходной арифметической прогрессии. При /> члены этой прогрессииантипростые числа. Но согласно лемме, найдется бесконечно много таких k.Следовательно, прогрессия содержит бесконечно много антипростых чисел.
В случае, когда НОД(a0;d) –антипростое, рассуждения аналогичны.
Теорема 5. Не существует арифметическойпрогрессии (/>,/>) состоящей только изантипростых чисел или такой у которой после n-ого члена все члены – антипростые числа.
Доказательство:
Если все членыарифметической прогрессии (разность />, />) после />-ого члена (/>) – антипростые числа, товзяв арифметическую прогрессию с /> иразностью />, получим арифметическуюпрогрессию, состоящую только из антипростых чисел.
Пусть существуетарифметическая прогрессия, состоящая только из антипростых чисел (/>).
Рассмотрим />, и простое число />.
Если /> представимо в виде />(то есть сравнение /> имеет решение), то тогда /> не антипростое число (делится на />,но не делится на />).
Но сравнение/> имеет решение согласнолемме, так как НОД(/>)=1. Значит /> не антипростое число – противоречие.
Значит не существуетарифметической прогрессии, состоящей только из антипростых чисел.
Следствие. В любойарифметической прогрессии(/>,/>) бесконечно много неантипростых чисел (если />, то и />).
Одно из примечательных втеории чисел понятий – совершенное число. Это натуральное число, равное суммесвоих натуральных делителей, исключая само число. На октябрь 2008 г. известно только 46 чётных совершенных чисел, нечетныхсовершенных чисел найдено не было. Встает вопрос, а могут ли антипростые числабыть совершенными? В этой связи интересны следующие две теоремы.
Теорема 6. Число вида /> не совершенно (/> – простое, />– натуральное).
Действительно, если /> – совершенно, то верноследующее:
/>
Следовательно /> – не совершенно.
Теорема 7. Число вида /> не совершенно (/>– целое).
Доказательство:
Пусть /> совершенно. Рассмотрим дваслучая:
1. />– чётно. Представим /> в виде произведенияпростых множителей:
/>. Количество натуральных делителейчисла /> равно />, притом количество чётных /> их сумма чётна, нечётных /> их сумма нечётна, суммавсех натуральных делителей /> –нечётна, но их сумма равна />–противоречие.
2. />– нечётно. Представим /> в виде произведенияпростых множителей:
/>. Количество натуральных делителейчисла /> равно />, сумма их нечётна, но онаже равна />– противоречие.
Сложным оказался вопрос осуществовании трёх подряд идущих антипростых числах, пытаясь его ослабить, мыпопытались рассмотреть совместное расположение последовательно расположенныхпростых и антипростых чисел. При этом нами был поставлен ряд вопросов, накоторые удалось получить ответы.
Вопрос 1. Существуют литри подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либо простым,либо антипростым?
Ответ. Рассмотрим тройкивида (p1; p2; a) (a; p1; p2): Одно из чисел p1 или p2чётное, то есть 2,так как 1 не антипростое и не простое, то троек (a; p1; p2) нет. А тройка (p1; p2; a) всегоодна (2;3;4).
Рассмотрим тройки вида (/>). /> – нечётные (иначе одно неанипростое по задачи 1 пункта 1.1), тогда /> –чётно, то есть 2, но 1 не антипростое, то есть данной тройки не существует.
Очевидно, что тройки (p1; p2; p3 ) не существует.
Тройки (p; a1; a2), (p1; a; p2), (/>)существуют: (7; 8; 9), (3; 4; 5), (675;676;677) но доказать их конечность илибесконечность не удалось.
Примечание. В приведенныхобозначениях p – простое число, a – антипростое число.
Вопрос 2. Существуют личетыре подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либопростым, либо антипростым?
Ответ. Среди четырёхподряд идущих натуральных чисел два чётных, но из задачи 1 пункта 1.1, следуетчто они одновременно не могут быть антипростыми, также как и простыми. Значит,если существует четвёрка, то одно из них простое. Так как 1 не антипростое, тоимеем только одну четвёрку: (2;3;4;5).
Вопрос 3. Существуют липять или более подряд идущих натуральных чисел, каждое из которых является либопростым, либо антипростым?
Ответ. Как показано выше,существует только одна четверка подряд идущих натуральных числа, каждое изкоторых является либо простым, либо антипростым. Если бы существовало пять илиболее подряд идущих натуральных чисел, удовлетворяющих условию, то онисодержали бы эти четыре числа. Но 6 и 1 не простое и не антипростое. Значит,таких чисел нет.
Заключение
В процессе выполненияданной работы были решены задачи, предлагаемые на XI турнире юных математиков, и получены следующие результаты.
Для исследованияантипростых чисел была разработана программа на Паскале, которая вычисляетантипростые числа. В Приложении А представлена таблица антипростых чисел наотрезке до />. В принципе программапозволяет повысить значение n добольшей величины, а такжедает ответ, что среди чисел на отрезке до />3136000000троек антипростых чисел вида n — 1, n, n + 1 не найдено.
При исследованииколичества антипростых чисел были проведены сравнения значений функции p(n) с функцией/>,которые показали, на отрезке до n=420000 /> /> p(n), а далее /> /> p(n), причём процент ошибки небольшой. Так как вначале /> /> p(n), то процент ошибки убывает, после n=420000 он начинает возрастать, и при n=2000000 онприблизительно равен 2%.
При исследовании частотывстречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел были проведенысравнения значений функции t(m) с функцией f(m)=/> и t(m) с полученной функцией y(x)=/> (/>) до m= 1500000. Вычислена средняяошибка приближения. Средняя ошибка приближения функции t(m) к функции f(m)=/> составила1,185812%, а к функции y(x)=/> -0,280031%.
В обобщениях обантипростых числах были сформулированы и доказаны семь теорем, а также тривопроса.
В заключении следуетотметить, что тематика данной исследовательской работы является достаточноновой и поэтому и достаточно интересной.
В дальнейшем планируюпродолжать исследовать антипростые числа.
Списокиспользованных источников и литературы
1. Сендеров В.,Френкин Б. Гипотеза Каталана. — журнал "Квант",2007, №4. – С. 8-10.
2. Сендеров В.Решение задачи М2032. – журнал Квант", 2007, №4. – С. 19-21.
3. Оре О.Приглашение в теорию чисел – Серия «Библиотечка „Квант“»,М. 1980. – 128 с.
4. Виноградов И.М.Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 168 с.
5. Нестеренко Ю.В.Теория чисел. – М.: Академия, 2008. -273 с.
6. Манин Ю.И.,Панчишкин А.А. Теория чисел I. Введение в теорию чисел. – М.: ВИНИТИ, 1989.-402 с.
Приложение A — +Таблица антипростых чисел
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Приложение Б – Программанахождения антипростых чисел
programProject2;
var
k:real;
b,t,i,j,m,n:longint;
a:array[1..2000000]of longint;
begin
assign(output,'output.txt');
rewrite(output);
m:=3;
a[1]:=2;
a[2]:=3;
for i:=4 to2000000 do begin
t:=1;
k:=sqrt(i);
b:=trunc(k);
for j:=2 to bdo
if(i mod j)=0then
t:=t+1;
if t=1 thenbegin
a[m]:=i;
m:=m+1;
end;
end;
n:=1;
for i:=1 to2000000 do begin
t:=1;
for j:=1 tom-1 do
if(i moda[j])=0 then begin
b:=i div a[j];
if (b moda[j])=0 then
t:=t+1
else
begin
t:=1;
break;
end;
end;
if t>1 then
begin
writeln(i);
end;
end;
readln;
close(output);
end.
Приложение В – Таблица сравнения значений функций p(n) и />
/>
Таблица 1 – Сравнение значенийфункций p(n) и />
/>
/>
/>
Приложение Г – Таблицасравнения значений функций t(m), f(m)=/> иy(x)=/>
Таблица 2 – Сравнение значенийфункций t(m), f(m)=/> и y(x)=/>
Отрезок
[1; m] Количество антипростых чисел p(n)
Значение функции
t(m)
Значение функции
f(m)=/>
Значение функции
y(x)=/>
/>
/> [1; 20000] 266 0,0133 0,014142 0,0134 6,331847 0,75188 [1; 40000] 382 0,00955 0,01 0,009582228 4,712042 0,337463 [1; 60000] 473 0,007883 0,008165 0,007875417 3,572505 0,100424 [1; 80000] 551 0,006888 0,007071 0,006852171 2,665231 0,512948 [1; 100000] 618 0,00618 0,006325 0,006150963 2,339083 0,469855 [1; 120000] 677 0,005642 0,005774 0,005631644 2,336828 0,177647 [1; 140000] 734 0,005243 0,005345 0,005226926 1,952517 0,30386 [1; 160000] 785 0,004906 0,005 0,00489993 1,910828 0,128818 [1; 180000] 837 0,00465 0,004714 0,004628521 1,377316 0,461906 [1; 200000] 885 0,004425 0,004472 0,004398502 1,065219 0,598824 [1; 220000] 927 0,004214 0,004264 0,004200287 1,195594 0,316802 [1; 240000] 971 0,004046 0,004082 0,004027142 0,90586 0,461997 [1; 260000] 1010 0,003885 0,003922 0,003874173 0,970683 0,268815 [1; 280000] 1053 0,003761 0,00378 0,003737731 0,503374 0,611139 [1; 300000] 1089 0,00363 0,003651 0,00361503 0,591838 0,41241 [1; 320000] 1126 0,003519 0,003536 0,003503899 0,476985 0,42206 [1; 340000] 1165 0,003426 0,00343 0,003402621 0,102178 0,696032 [1; 360000] 1198 0,003328 0,003333 0,003309817 0,166945 0,539728 [1; 380000] 1228 0,003232 0,003244 0,003224362 0,397622 0,223323 [1; 400000] 1266 0,003165 0,003162 0,003145332 0,086014 0,621423 [1; 420000] 1296 0,003086 0,003086 0,003071957 0,011431 0,445845 [1; 440000] 1329 0,00302 0,003015 0,00300359 0,176831 0,558332 [1; 460000] 1359 0,002954 0,002949 0,002939686 0,186461 0,496296 [1; 480000] 1387 0,00289 0,002887 0,002879775 0,098007 0,339428 [1; 500000] 1422 0,002844 0,002828 0,002823459 0,547569 0,722272 [1; 520000] 1444 0,002777 0,002774 0,002770389 0,123233 0,235313 [1; 540000] 1474 0,00273 0,002722 0,002720264 0,292141 0,34312 [1; 560000] 1500 0,002679 0,002673 0,00267282 0,22247 0,214713 [1; 580000] 1529 0,002636 0,002626 0,002627826 0,382301 0,317905 [1; 600000] 1556 0,002593 0,002582 0,002585077 0,437446 0,318356 [1; 620000] 1582 0,002552 0,00254 0,002544392 0,455021 0,282996 [1; 640000] 1610 0,002516 0,0025 0,002505609 0,621118 0,398166 [1; 660000] 1634 0,002476 0,002462 0,002468583 0,562565 0,289788 [1; 680000] 1660 0,002441 0,002425 0,002433186 0,648057 0,327323 [1; 700000] 1684 0,002406 0,00239 0,002399301 0,634201 0,266598 [1; 720000] 1711 0,002376 0,002357 0,002366822 0,814946 0,402569 [1; 740000] 1733 0,002342 0,002325 0,002335656 0,723309 0,266293 [1; 760000] 1758 0,002313 0,002294 0,002305714 0,821412 0,321793 [1; 780000] 1780 0,002282 0,002265 0,00227692 0,766732 0,224861 [1; 800000] 1805 0,002256 0,002236 0,002249201 0,894494 0,312442 [1; 820000] 1825 0,002226 0,002209 0,002222491 0,762903 0,14014 [1; 840000] 1850 0,002202 0,002182 0,002196731 0,917282 0,256558 [1; 860000] 1871 0,002176 0,002157 0,002171865 0,869925 0,170839 [1; 880000] 1896 0,002155 0,002132 0,002147842 1,046081 0,311116 [1; 900000] 1919 0,002132 0,002108 0,002124617 1,127327 0,356696 [1; 920000] 1941 0,00211 0,002085 0,002102144 1,16782 0,362034 [1; 940000] 1959 0,002084 0,002063 0,002080386 1,017257 0,17547 [1; 960000] 1979 0,002061 0,002041 0,002059303 0,980708 0,104546 [1; 980000] 2004 0,002045 0,00202 0,002038862 1,202645 0,295148 [1; 1000000] 2026 0,002026 0,002 0,002019032 1,283317 0,34395 [1; 1020000] 2043 0,002003 0,00198 0,001999781 1,130642 0,157798 [1; 1040000] 2063 0,001984 0,001961 0,001981082 1,133892 0,129668 [1; 1060000] 2082 0,001964 0,001943 0,001962909 1,098654 0,063238 [1; 1080000] 2103 0,001947 0,001925 0,001945238 1,166858 0,101911 [1; 1100000] 2123 0,00193 0,001907 0,001928046 1,195587 0,101258 [1; 1120000] 2145 0,001915 0,00189 0,001911311 1,32396 0,201927 [1; 1140000] 2162 0,001896 0,001873 0,001895015 1,229618 0,077865 [1; 1160000] 2184 0,001883 0,001857 0,001879137 1,370608 0,192382 [1; 1180000] 2202 0,001866 0,001841 0,00186366 1,337144 0,130865 [1; 1200000] 2221 0,001851 0,001826 0,001848567 1,355685 0,122443 [1; 1220000] 2241 0,001837 0,001811 0,001833843 1,424712 0,165603 [1; 1240000] 2259 0,001822 0,001796 0,001819473 1,411875 0,126297 [1; 1260000] 2276 0,001806 0,001782 0,001805443 1,362283 0,050154 [1; 1280000] 2296 0,001794 0,001768 0,00179174 1,448532 0,11207 [1; 1300000] 2315 0,001781 0,001754 0,00177835 1,496724 0,135835 [1; 1320000] 2332 0,001767 0,001741 0,001765263 1,465478 0,079447 [1; 1340000] 2351 0,001754 0,001728 0,001752467 1,524144 0,114608 [1; 1360000] 2369 0,001742 0,001715 0,001739951 1,545768 0,112571 [1; 1380000] 2390 0,001732 0,001703 0,001727705 1,695899 0,241297 [1; 1400000] 2404 0,001717 0,00169 0,00171572 1,562732 0,082873 [1; 1420000] 2422 0,001706 0,001678 0,001703986 1,598883 0,096612 [1; 1440000] 2437 0,001692 0,001667 0,001692495 1,51826 0,007898 [1; 1460000] 2459 0,001684 0,001655 0,001681238 1,723904 0,17863 [1; 1480000] 2473 0,001671 0,001644 0,001670208 1,613222 0,044179 [1; 1500000] 2493 0,001662 0,001633 0,001659396 1,745297 0,156651 Средняя ошибка
/> 1,185812 Средняя ошибка
/> 0,280031