Курсовая работа
"Пределпоследовательности.Теорема Штольца"
Содержание
Введение
Предел последовательности
Свойства сходящихся последовательностей
Примеры нахождения пределов последовательности
Теорема «Штольца»
Примеры на применение теоремы Штольца
Заключение
Список литературы
Введение
Одним из основополагающих разделов курса математического анализаявляется раздел, изучающий теорию предела последовательности и предела функции.Данная теория является значимой для изучения многих других разделов математическогоанализа, а также других дисциплин математики.
Целью данной курсовой работы является доказательство теоремыШтольца. В работе подробно рассмотрены следующие аспекты: понятие пределапоследовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательностис подробным разбором решения, теорема Штольца и примеры её применения.
Введение
Тема данной курсовой работы «Предел последовательности. ТеоремаШтольца». Для того чтобы углубиться в изучение данного вопроса, для начала,вспомним некоторые определения, утверждения и теоремы из начального изученияматематического анализа, вплотную касающиеся основной проблемы затронутой вкурсовой работе.
В физике и в других науках о природе встречалось множество различныхвеличин: время, длина, объём, вес и т.п. Любая из них, смотря по обстоятельствам,то принимала различные значения, то лишь одно.
В математике, однако, мы отвлекаемся от физического смысла рассматриваемойвеличины, интересуясь лишь числом, которым она выражается физический смысл величины,снова приобретает важность, лишь, когда занимаются приложениями математики.Таким образом, для нас переменная величина (или короче – переменная) являетсяотвлечённой или числовой переменной. Её обозначают каким-либо символом (буквой,например, х), которому приписывают числовые значения.
Переменная считается заданной,если указанно множество Х={х} Постоянную величину (короче – постоянную)удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению,что множество Х={х} состоит из одного элемента.
Перейдём к установлению понятия числовой последовательности.
Определение: если каждому n є N, поставлено в соответствие xn є N, то говорят,что
/> (1)
образуют числовую последовательность.
/> – члены последовательности
/> – общий член последовательности
Введённое определение подразумевает, что любая числовая последовательностьдолжна быть бесконечна, но не означает, что все члены должны быть различныечисла.
Числовая последовательность считается заданной, если указанзакон, по которому можно найти любой член последовательности.
Члены или элементы последовательности (1) занумерованы всеминатуральными числами в порядке возрастания номеров. При n+1 > n-1 член />следует за членом />(/>предшествует />), независимоот того, будет ли само число />больше, меньше или даже равночислу />.
Определение: Переменную x, принимающую некоторую последовательность (1) значений, мы– следуя Мерэ (Ch. Meray) – будем называть вариантой.
В школьном курсе математики можно встретить переменные именнотакого типа, типа варианты.
Например, последовательность вида
/>
(арифметическая) или вида
/>
(геометрическая прогрессия)
Переменный член той или другой прогрессии есть варианта.
В связи с определением длины окружности обычно рассматривается периметрправильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого изшестиугольника последовательным удвоением числа сторон. Таким образом, этаварианта принимает последовательность значений:
/>
/>
Упомянем ещё о десятичном приближении (по недостатку) к />, со всё возрастающей точностью. Оно принимает последовательностьзначений:
/>
и также представляет варианту.
Переменную x, пробегающую последовательность (1), часто обозначают через />, отождествляяеё с переменным («общим») членом этой последовательности.
Иногда варианта xп задаётся тем, что указываетнепосредственно выражение для xп; так, в случае арифметической илигеометрической прогрессии имеем, соответственно, xп =а+(n-1) d или xп =aqn-1. Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значениеварианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.
Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общеевыражение возможно лишь, если ввести число π; вообще периметр рm правильного вписанного m-угольника даётся формулой
/>
Предел последовательности
Определение 1: Числовая последовательность {хп}называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (т),что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство />, при этом число М (т)называют верхней (нижней) гранью.
Определение 2:Числовая последовательность {хп}называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуютМ, т, что для любого />
Обозначим А =max {|M|, |m|}, тогда очевидно, чточисловая последовательность будет ограничена, если для любого /> выполняется равенство |xn|≤А, последнеенеравенство есть условие ограниченности числовой последовательности.
Определение 3:числовая последовательность /> называется бесконечно большойпоследовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется |/>|>A.
/>
Определение 4:числовая последовательность {αn} называется бесконечно малойпоследовательностью, если для любого наперёд заданного ε > 0, можноуказать такой номер N(ε), что для любого n > N(ε) будет выполняться неравенство | αn |
/>
Определение 5: числовая последовательность {хп}называется сходящейся, если существует такое число а, чтопоследовательность {хп – а} является бесконечно малой последовательностью.При этом само а – предел исходной числовой последовательности.
Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательностиявляются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.
В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано спонятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейсяпоследовательности можно дать в другой форме:
Определение 6: числовая последовательность {хп} называетсясходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого /> найдётся такой />, что длявсех n > N выполняется неравенство />
/>/> при />,
/>
а – предел последовательности
Т.к. />равносильно />, а это означает принадлежность интервалу хn є (a – ε; a+ ε) или, что то же самое, принадлежит ε – окрестности точки а. Тогда мыможем дать ещё одно определение сходящейся числовой последовательности.
Определение 7: числовая последовательность {хп}называется сходящейся, если существует такая точка а, что в любойдостаточно малой ε – окрестностиэтой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная снекоторого номера N.
Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а – пределпоследовательности {хп}, то xп – а являетсяэлементом бесконечно малой последовательности, т.е. xп – а = αn, где αn – элемент бесконечно малой последовательности.Следовательно, xп = а +αn, и тогда мы в праве утверждать, чтоесли числовая последовательность {хп} сходится, то её всегда можнопредставить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.
Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности{хп} можно представить в виде суммы постоянного числа и элементабесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел даннойпоследовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1:
Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Предположим, что последовательность {xn} имеет два предела (а ≠ b)
xn → a, следовательно xn = a + αn, где αn элемент бесконечно малой последовательности;
xn → b, следовательно xn = b + βn, где βn элемент бесконечно малой последовательности;
Оценим разность данных равенств 0 = a – b + (αn — βn),
обозначим αn — βn = γn, γn – элемент бесконечно малойпоследовательности,
следовательно, γn = b – a,
а это означает, что все элементы бесконечно малойпоследовательности равны одному и тому же числу b – a, и тогда b – a = 0 посвойству бесконечно малой последовательности,
следовательно, b = a,
следовательно, последовательность не может иметь двух различныхпределов.
Теорема 2:
Если все элементы последовательности {xn} равны С (постоянной), то пределпоследовательности {xn}, тоже равен С.
Доказательство:
Из определения предела, следует, С = С + 0.
Теорема 3:
Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn + уn} также сходится и её предел равен сумме её слагаемых (пределов).
Доказательство:
xn → a, следовательно xn = a + αn
уn → b, следовательно уn = b + βn
xn + уn = а + b + (αn + βn)
обозначим αn — βn = γn, следовательно xn + уn = а + b + γn, γn элемент бесконечно малойпоследовательности;
следовательно,
/>
Следствие: разностьдвух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, и еёпредел равен разности их пределов.
Теорема 4:
Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn * уn} также сходится и её предел равен произведению её множителей(пределов).
Доказательство:
xn → a, следовательно xn = a + αn
уn → b, следовательно уn = b + βn
xn * уn = (а + αn)*(b + βn)=аb+(а βn + bαn + αn βn)
обозначим γn = а βn + bαn + αn βn, где γn элемент бесконечно малой последовательности,получается
xn * уn = ab+ γn,
следовательно,
/>
Теорема 5:
Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к числам а и b соответственно, и если b ≠ 0, предел частного /> существует, конечен иравен частному пределов.
Доказательство:
Т.к.последовательность {уn} сходится к b, то по определению сходящейсяпоследовательности, для любого ε > 0, найдётся N(ε), такой что для всех n > N, будет выполнятся неравенство |b – yn|
Тогда положив />, видим, что
/>,
откудаследует
/>
следовательно
/>.
Т.к.,согласно условию b ≠ 0, то из последнего неравенства следует,что для всех n > N элементы последовательности {уn} не равны 0, значит именно с этогономера N можно определитьпоследовательность />
xn = a + αn
уn = b + βn, следовательно
/>
обозначим γn = αпb – aβn, γn элемент бесконечно малойпоследовательности.
/>,
а тогда изпоследнего равенства, следует
/>, откуда
/>
Характерные примеры нахождения пределов последовательности
Числовая последовательность задана общим членом xп, рассмотрим его:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
принахождении такого предела говорят, что будем раскрывать неопределённость вида />.
/>при нахождении такогопредела, говорят, что будем раскрывать неопределенность вида />.
Для раскрытиянеопределённости /> доделим числительи знаменатель на наибольшую степень n.
/>
/>
/>
Таким образом,имеет место правило:
Пределотношения двух многочленов равен бесконечности, если степень числителя большестепени знаменателя, нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя иотношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя изнаменателя равны.
Для упрощениязадачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаемк помощи теоремы Штольца.
ТеоремаШтольца
Для определения пределов неопределённых выражений /> типа />часто бываетполезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz).
Теорема: Пусть варианта />, причём – хотя бы начиная с некоторого места – с возрастанием п и упвозрастает: т.е. уп+1 > yn. Тогда
/>
если только существует предел справа (конечный или дажебесконечный).
Доказательство: Допустим сначала,что этот предел равен конечному числу L:
/>
Тогда по любому заданному /> найдется такой номер N, что для n > N будет
/>
или
/>.
Значит, какое бы n > N ни взять,все дроби
/>
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастанияуп вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержитсяи дробь
/>
числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей,а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N
/>
запишем тождество
/>
откуда
/>.
Второе слагаемое справа, как мы видели выше, при n > N становится .
Первое же слагаемое, ввиду того, что, также будет , скажем, для n > N’. Если при этом взять N’ > N, то для n > N’ очевидно
/>,
что и доказывает наше утверждение.
Случай бесконечного предела приводится к выше рассмотренному.Пусть, например,
/>
Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)
/>
следовательно, вместе с уn и />, причем варианта хп возрастаетс возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить кобратному отношению />:
/>
(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что
/>,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров на применение данной теоремы
1. Вычислить />
Установимодно вспомогательное неравенство (неравенство Як. Бернулли):
если п –натуральное число, большее единицы, и γ>1, то
/> (*)
Действительно,положив γ =1+λ, где λ > 0, по формуле Бинома Ньютона будемиметь:
/>
так какненаписанные члены положительны, то
/>,
чторавносильно неравенству (*).
так же и внашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формулеБинома Ньютона
/>.
Так как для n > 2, очевидно, />, то окончательно,
/>
При k = 1, получаем сразу
/>
так что
/>
Так как этотрезультат верен при любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать(по крайней мере, для достаточно больших n)
/>
так что
/> (а > 1).
Доказанный,таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и для k
Этотрезультат с помощью теоремы Штольца получается сразу
/>
2. Применим теорему Штольца кдоказательству следующего интересного предложения (Коши):
Если варианта ап имеет предел (конечный илибесконечный), то тот же предел имеет и варианта
/>
(«среднее арифметическое» первых п значений варианты ап).
Действительно, полагая по теореме Штольца
/>
имеем:
/>
Например, если мы знаем, что />, то и
/>
3. Рассмотрим теперь варианту(считая к – натуральным)
/>,
которая представляет неопределённость вида />.
Полагая в теореме Штольца
/>
будем иметь
/>
НО />
так что />
используя следующее утверждение
/>
/>,
/>
Второй множитель здесь имеет конечный предел />.Если степени многочленов равны k = l, то предел отношения многочленов равен пределу отношения коэффициентовпри старших степенях многочленов.
Если k
Если k > l, то рассматриваемое отношение стремится к />
в итоге мы получаем
/>
Заключение
В данной работе мы рассмотрели теорему Штольца и её применение напрактике. Рассмотренные примеры показывают, что данная теорема достаточной мереоблегчает процесс нахождения пределов неопределённых выражений />, помогая вычислитьискомый предел, не прибегая к вспомогательным неравенствам.
Списоклитературы
1. Г.М. Фихтенгольц, Курсдифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.
2. Б.П. Демидович, Сборник задач иупражнений по математическому анализу. М., 1977.
3. Л.Д Кудрявцев, Курс математическогоанализа, т. 1, М., 1988.