ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА
ИССЛЕДОВАНИЕФУНКЦИЙ
СОДЕРЖАНИЕ
1. Основные теоремы дифференциального исчисления
1.1 Локальные экстремумы функции
1.2 Основные теоремы дифференциальногоисчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
/>2. Исследование функций
2.1 Достаточные условия экстремума функции
2.2 Исследование функций на выпуклость ивогнутость. Точка перегиба
2.3 Асимптоты графика функции
2.4 Общая схема построения графика функции
Литература
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1 Локальныеэкстремумы функции
Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0–внутренняя точка множества Х.
Обозначим через U(х0) окрестность точки х0.В точке х0функция f(х)имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, чтодля всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £ f(х0).
Аналогично: функция f(х) имеет в точке х0локальныйминимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этойокрестности выполнено условие f(х)³ f(х0).
Точки локальных максимумаи минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них –локальными экстремумами функции.
Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этогоотрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевымэкстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а»и левой для «b» полуокрестностью.
Проиллюстрируем данныевыше определения:
/>
На рисунке точки х1,х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 –точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.
Заметим, что наряду слокальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумыи максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (вэтой точке функция f(х) принимаетнаибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точкасоответственно глобального минимума.
1.2 Основные теоремы дифференциальногоисчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
Рассмотрим некоторыетеоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведенияфункций. Они носят названия основных теорем математического анализа илиосновных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязьпроизводной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теоремуФерма.
Пьер Ферма (1601–1665) –французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободноевремя. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны дветеоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целыхположительных числах х, у, z) ималая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся нар, то ар-1 – 1 делится на р).
Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0существует конечная производная f'(x0), то f'(x0) = 0.
Доказательство.
Пусть, дляопределенности, в точке х0функция имеет локальный минимум, то есть f(х) ³ f(х0), х Î U(х0).Тогда в силу дифференцируемости
f(х) в точке х0получим:
при х > х0:
/>
при х
/>
Следовательно, этинеравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда
/>
Теорема доказана.
Геометрический смыслтеоремы Ферма: если х0Î (а, b)является точкой минимума или максимума функции f(х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции вточке (х0, f(х0)), параллельна оси Ох:
/>
/>
Заметим, что оба условиятеоремы Ферма – интервал (а, b) идифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.
Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).
В точке х0= 0функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует.Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условиедифференцируемости функции в точке х0).
/>
Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1].
В точке х0= 1функция имеет краевой максимум. />/> ТеоремаФерма не выполняется, так как точка х0= 1 Ï (–1; 1).
Мишель Ролль (1652–1719)– французский математик, член Парижской академии наук. Разработал методотделения действительных корней алгебраических уравнений.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна наотрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точкаx, а '(x) = 0.
Доказательство:
1) если f(x) = constна [a, b], то f'(х)= 0, х Î (a, b);
2) если f(x) ¹ const на [a, b], то непрерывнаяна [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторыхточках отрезка
[a, b]. Следовательно,max f(x) или min f(x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теоремеФерма имеем, что f'(x) = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смыслтеоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f(x) в точке (x, f(x)) ïï Ox (см. рисунок).
Заметим, что все условиятеоремы существенны.
/>
Пример 3. f (x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.
В точке х = 0 нарушеноусловие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни водной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается.
Пример 4. />
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала
(0; 1) производная неравна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывнойна [0; 1].
Огюстен Коши (1789–1857) –французский математик, член Парижской академии наук, почетный членПетербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическомуанализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другимматематическим наукам.
Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b] идифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, х Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
/> . (1)
Доказательство.
Рассмотримвспомогательную функцию /> /> ФункцияF(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно,по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) =0:
/>
Следовательно:
/>.
Теорема доказана.
Жозеф Луи Лагранж(1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской иПетербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования поматематическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, поалгебре и теории чисел, механике, астрономии.Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначениядля производной (y', f '(x)).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
/>
/> (2)
Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу(2).
Теорема доказана.
Равенство (2) называют формулойконечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.
Геометрический смыслтеоремы Лагранжа.
При выполнении условийтеоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы однаточка x, такая, что касательная к графикуфункции f (x) в точке (x, f(x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).
Рассмотрим следствия изтеоремы Лагранжа:
1. (условие постоянствафункции на отрезке). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f'(x) = 0, х Î (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].
/>
2. Пусть функции f(x) и g(х)непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f'(x) = g'(х), х Î (a, b). Тогда f(x) = g(х) +С, где С = const.
3. (условие монотонностифункции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f'(x) > 0, х Î (a, b), то f(x)строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x)
х Î (a, b), то f(x)строго монотонно убывает на (a, b).
2. ИССЛЕДОВАНИЕФУНКЦИЙ
2.1 Достаточныеусловия экстремума функции
В лекции 1 мы рассмотрелиосновные теоремы математического анализа, которые широко используются приисследовании функции, построении ее графика.
По теореме Ферма: издифференцируемости функции f(x) в точке локального экстремума х0следует, что f'(x0) = 0. Данное условие является необходимым условиемсуществования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0– экстремум функции f(x) и в этой точке существует производная, то f'(x0) = 0. Точки х0, в которых f'(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, чторавенство нулю производной
в точке не являетсядостаточным для существования локального экстремума в этой точке.
/>
Пример 1. у = х3, у' = 3х2,у'(0) = 0, но
в точке х0= 0нет экстремума.
Точками, подозрительнымина экстремум функции f(x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеютминимум в точке х0= 0:
/>
/> f '(0) = 0 f '(0) $ f '(0) = ¥
Рассмотрим достаточныеусловия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответитьна вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?».
Теорема 1 (первое достаточное условиеэкстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируемав некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0(проколотаяокрестность означает, что сама точка х0выбрасывается изокрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:
1) если /> (1)
то в точке х0– локальный максимум;
2) если /> (2)
то в точке х0– локальный минимум.
Доказательство.
Из неравенств (1) иследствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х х0функция не возрастает, то есть
/> (3)
Следовательно, из (3)получаем, что в точке х0функция имеет локальный максимум.
Аналогично можнорассмотреть неравенства (2) для локального минимума:/> />
f (x) f (x)
f '(х) ³ 0 f '(х) £ 0 f '(х) £ 0 f '(х) ³ 0
Теорема доказана.
Пример 2. Исследовать на монотонность и локальныйэкстремум функцию /> с помощью производной первогопорядка.
Решение. Найдем стационарные точки функции:
/>
Þ х2 –1 = 0 Þ х1 = –1, х2 =1.
Заметим, что даннаяфункция не определена в точке х = 0. Следовательно:х (–¥; –1) –1 (–1; 0) (0; 1) 1 (1; +¥) у' + – – – + у
/> –2
/> –
/> 2
/>
max min
То есть функция /> возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0;1), имеет локальный максимум в точке
х1 = –1, равныйуmax (–1) = –2; имеет локальный минимум вточке х2 = 1,
уmin (1) = 2.
Теорема 2 (второе достаточное условиеэкстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0–стационарная точка
(f ' (х0) = 0), в которой f '' (х0)> 0, то в точке х0функция имеет локальный минимум. Если же f '' (х0)
Доказательство. Пусть для определенности f '' (х0) > 0. Тогда
/>
Следовательно:
при х
при х > х0, f ' (х) > 0.
Поэтому по теореме 1 вточке х0функция имеет локальный минимум.
Теоремадоказана.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию /> с помощью второй производной.
Решение. В примере 2 для данной функции мынашли первую производную /> и стационарные точки х1= –1, х2 = 1.
Найдем вторую производнуюданной функции:
/>
Найдем значения второйпроизводной в стационарных точках.
/> Þ в точке х1 = –1 функцияимеет локальный максимум;
/> Þ в точке х2 = 1 функцияимеет локальный минимум (по теореме 2).
Заметим, что теорема 1более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки,в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматриваеттри случая: равенство производной нулю, производная не существует, равнабесконечности в подозрительных на экстремум точках.
2.2 Исследованиефункций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1,х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1,f(х1)) и В (х2, f(х2)) графика функции f(х) проведем прямую, отрезокАВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).
Функция f(х) называется выпуклойвниз на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 (х) £ у (х), х Î [х1, х2] Ì (a, b):
/>
Заметим, что выпуклуювниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяетсявыпуклость функции вверх.
Функция f(х) называется выпуклойвверх на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 (х) ³ у (х), х Î [х1, х2] Ì (a, b):
/>
Теорема 3 (достаточное условие выпуклости).Если f(х) – дважды непрерывнодифференцируема на интервале (a, b) и
1) f ''(х) > 0, х Î (a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вниз;
2) f ''(х) (х) выпукла вверх.
Точка х0называется точкой перегиба функции f(х), если $ d – окрест-ность точки х0,что для всех х Î (х0– d, х0) график функции находится с однойстороны касательной, а для всех х Î (х0, х0+ d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f(х) в точке х0, тоесть точка х0– точка перегиба функции f(х), если при переходе через точку х0функция f(х) меняет характервыпуклости:
/>
х0– d х0 х0+ d
Теорема 4 (необходимое условие существованияточки перегиба). Если функция f(х) имеет непрерывную в точке х0производную f '' и х0– точка перегиба, то f '' (х0) = 0.
Доказательство.
Если бы f '' (х0) 0, то по теореме 3 в точке х0функция f(х) была бы выпукла вверх иливниз. Следовательно, f ''(х0) = 0.
Теоремадоказана.
Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Еслифункция f(х) дважды непрерывнодифференцируема в окрестности точки х0и при переходе через точку х0производная f ''(х) меняет знак, то точка х0является точкой перегиба функции f(х).
/>
Пример 4. Исследовать на выпуклость инайти точки перегиба функции у = х3.
Решение. у' = 3х2, у'' =6х = 0 Þ х0= 0 – точка, подозрительная на перегиб.
В точке х0= 0 функция у = х3 имеет перегиб:х (–¥; 0) (0; +¥) у'' – + у выпукла вверх выпукла вниз точка перегиба
Пример 5. Исследовать на выпуклость инайти точки перегиба функции />.
Решение. В примере 3 мы уже находили вторуюпроизводную данной функции />. Так как /> то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотримпромежутки выпуклости:х (–¥; 0) (0; +¥) у'' – – + у выпукла вверх – выпукла вниз функция не определена
2.3 Асимптоты графика функции
Асимптотой будем называть прямую, к которойграфик функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные инаклонные асимптоты.
Прямая х = х0называется вертикальной асимптотой графика функции f(х), если хотя бы один изпределов f(х0– 0) или f(х0+ 0) равенбесконечности.
Пример 6. Найти вертикальные асимптотыфункций:
а) /> б) /> в) />
Решение. Вертикальными асимптотами функцийбудут прямые х = х0, где х0– точки, в которых функция неопределена.
а) х = 3 – вертикальнаяасимптота функции />. Действительно, />;
б) х = 2, х = –4– вертикальные асимптоты функции />. Действительно,
/>,
/>;
в) х = 0 – вертикальнаяасимптота функции /> Действительно, />.
Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывнойфункции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, если f(х) = kx + b + α(х), />, то есть если наклоннаяасимптота для графика функции f(х) существует, то разность ординат функции f(х) и прямой у = kx + b вточке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® –¥.
Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + bявлялась наклонной асимптотой графика функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, необходимо и достаточносуществование конечных пределов:
/> (4)
Следовательно, если хотябы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция неимеет наклонных асимптот.
Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции />
Решение. Найдем пределы (4):
/>
Следовательно, k = 1.
/>
Следовательно, b = 0.
Таким образом, функция /> имеет наклонную асимптоту
у = kx + b = 1 · х + 0 = х.
Ответ: у = х – наклонная асимптота.
Пример 8. Найти асимптоты функции />.
Решение.
а) функция неопределеннав точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно, прямые х1= –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.
Действительно, />.
/>;
б) у = kx + b.
/>
/>
Следовательно, у = 2х + 1– наклонная асимптота данной функции.
Ответ: х1 = –1, х2 =1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп-
тоты.
2.4 Общая схемапостроения графика функции
1. Находим областьопределения функции.
2. Исследуем функцию напериодичность, четность или нечетность.
3. Исследуем функцию намонотонность и экстремум.
4. Находим промежуткивыпуклости и точки перегиба.
5. Находим асимптотыграфика функции.
6. Находим точкипересечения графика функции с осями координат.
7. Строим график.
Прежде чем перейти кпримерам, напомним определения четности и нечетности функции.
Функция у = f(х) называется четной,если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение(–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f(х) = f(–х). График четнойфункции симметричен относительно оси ординат.
Функция у = f(х) называется нечетной длялюбого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) такжепринадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f(–х) = –f(х). График не-четнойфункции симметричен относительно начала координат.
Пример 9. Построить график />.
Решение. Мы используем данные, полученные дляэтой функции в других примерах.
1. D (у) = (–¥; 0) È (0; +¥).
2. /> Следовательно, функция нечетная. Ее графикбудет симметричен относительно начала координат.
3. (см. пример 2).Исследуем функцию на монотонность и экстремум:х (–¥; –1) –1 (–1; 0) (0; 1) 1 (1; +¥) у' + – – – + у
/> –2
/> –
/> 2
/>
max min
4. (см. пример 5).Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.х (–¥; 0) (0; +¥) у'' – – + у выпукла вверх – выпукла вниз функция не определена
Несмотря на то, чтофункция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в нейнет перегиба, так как в этой точке функция не определена.
5. (см. примеры 6 и 7).Найдем асимптоты функции:
а) х = 0 – вертикальнаяасимптота;
б) у = х – наклоннаяасимптота.
6. Точек пересечения сосями координат у данной функции нет, так как />, прилюбых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).
7. По полученным даннымстроим график функции:
/>
Пример 10. Построить график функции />.
Решение.
1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).
2. /> – функция нечетная. Следовательно, графикфункции будет симметричен относительно начала координат.
3. Исследуем функцию намонотонность и экстремум:
/>
3х2 – х4= 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2= />, х3 = />.х
(–¥;/>)
/>
(/>; 0) –1 (–1; 0) (0; 1) 1
(1; />)
/>
(/>; +¥) у' – + – + + – + – у
/> 2,6
/> –
/>
/> –
/> –2,6
/>
4. Исследуем функцию навыпуклость и точки перегиба:
/>
/>
х = 0 – точка,подозрительная на перегиб.х (–¥; –1) –1 (–1; 0) (0; 1) 1 (0; +¥) у'' + – – + – – у
выпукла
вниз –
выпукла
вверх выпукла вниз –
выпукла
вниз перегиб
5. Найдем асимптотыфункции:
а) х = –1, х = 1 –вертикальные асимптоты.
Действительно:
/>
/>
б) у = kx + b.
/>,
/>
Þ у = –1х + 0 = – х – наклоннаяасимптота.
6. Найдем точкипересечения с осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осямикоординат.
7. Строим график:
/>
ЛИТЕРАТУРА
1. ГусакА. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: Тетрасистемс,1998. – 415 с.
2. МинченковЮ. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции:Учебно-методическое пособие.– Мн.: ЧИУиП, 2007.– 20 с.