/>Кафедра высшей математики
Курсоваяработа
полинейной алгебре и аналитической геометрии
на тему:
Исследованиекривых и поверхностей второго порядка
Дубна,2002
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Теоретическая часть
Практическая часть
ВЫВОД
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Теоретическая часть
Практическая часть
ВЫВОД
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
Цель
1. Цельюданной курсовой работы является исследование кривой и формы поверхности второгопорядка. Закрепление полученных теоретических знаний и практических навыков поизучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
2. Ознакомление спакетами программ Microsoft® Word и Microsoft® Excel.
Постановка задачи
I.Для данного уравнения кривой второгопорядка:
1. Определить типданной кривой с помощью инвариантов.
2. Привестиуравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельногопереноса и поворота координатных осей.
3. Найти фокусы,директрисы и ассимптоты данной кривой (если они есть).
4. Построитьканоническую систему координат и данную кривую в общей системе координат.
II. Для данного канонического уравненияповерхности второго порядка:
1. Исследовать формуповерхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные всечениях;
2. Построитьповерхность в канонической системе координат.
Исследование кривойвторого порядка Теоретическая часть
Пусть кривая Г задана вдекартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:
/>. (1.1)
Если хотя бы один изкоэффициентов /> отличен от нуля, то кривую Г называют кривойвторого порядка.
Теорема 1. Для произвольной кривой второгопорядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XO¢Y, что в этой системе кривая Г имеетуравнение одного из следующих канонических видов:
1) />, а ³b> — эллипс,
2) /> — мнимыйэллипс,
3) /> — двемнимые пересекающиеся прямые
(точка),
4) /> —гипербола,
5) /> —две пересекающиеся прямые,
6) /> —парабола,
7) /> —две параллельные прямые,
8) /> — две мнимые параллельныепрямые,
9) /> —две совпадающие прямые.
В этих уравнениях a,b,p—положительные параметры.
Систему координат XO¢Y назовем канонической системой координат, а системукоординат xOy — общей системой координат.
/>/>/>Классификация кривых второго порядка
В зависимости от значенияинварианта /> принята следующая классификациякривых второго порядка:
· если /> кривая второго порядка Гназывается кривой эллиптического типа.
· если /> кривая второго порядка Гназывается кривой параболического типа.
· если /> кривая второго порядка Гназывается кривой гиперболического типа.
Кривая второго порядка Г называетсяцентральной, если />. Кривыеэллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.
Центром кривой второго порядка Г называетсятакая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположенысимметрично парами. Точка />является центром кривой второго порядка, определяемойуравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяютуравнениям:
/> /> (2.1)
/> (2.1)
Определитель этой системыравен />. Если />, то система имеетединственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены поформулам:
/>, />. (2.2)
Из теорем 1 и 2 получается следующая классификация кривыхвторого порядка с помощью инвариантов:
1) эллипс />
2) мнимый эллипс />
3) две мнимыепересекающиеся прямые (точка) />
4) гипербола />
5) две пересекающиесяпрямые /> (2.3)
6) парабола />
7) две параллельныепрямые />
8) две мнимыепараллельные прямые />
9) две совпадающие прямые />Практическая часть
Дано:/>/>
Определить тип кривой спомощью инвариантов в зависимости от β:
/>
Вычислим инварианты:
/>
/>
/>
1. Если />, то имеем линии эллиптического типа
Этих β будет эллипс
При/>
При/>
2. Если /> то пишем линии параболического типа,при этом, чтобы была парабола />
/>
3. Если />, то получаем линиигиперболического типа.
При />гипербола
При />корней нет, т.е. таких двухпересекающихся прямых, не существует.
Значение />
/>
/>
/>
/>
/> Тип кривой Мнимая точка Точка Эллипс Парабола Гипербола
Исследуем кривую приβ=0, тогда получим:
/>
Сперва повернём на уголφ:
/>/>/>
Найдём угол φ, такойчтобы коэффициент при/> был равен 0:
/>
/>
/>Пусть />
/>
/>
Сгруппируем членыуравнения и дополним до полного квадрата:
/>
/>
Произведём переноссистемы координат:
/> координаты нового центра O системы координат />
/>
т.е. мы правильноопределили каноническое уравнение
/>/>
/>
Определим фокус /> эллипс.
Расстояние между /> найдём по:
/>
В системе координат />
/>
Эксцентрический эллипс />
Директрисы />
Вывод
Исследовав общееуравнение кривой второго порядка и приведя его к каноническому виду, мыустановили, что данная кривая — эллипс. Мы получили каноническоеуравнение гиперболы при помощи преобразований параллельного переноса и поворотакоординатных осей.
Исследованиеформы поверхности второго порядка Теоретическая часть
Поверхностью второгопорядка S называется геометрическоеместо точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнениювида:
/>,
где по крайней мере одиниз коэффициентов /> отличен от нуля.
Уравнение (3.1) называют общимуравнением поверхности второго порядка S, а систему координатOxyz называют общей системой координат.
/>/>/>Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартовапрямоугольная система координат /> что вэтой системе поверхность Sимеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.
1) />— эллипсоид,
2) /> — мнимый эллипсоид,
3) /> — однополостныйгиперболоид,
4) /> — двуполостныйгиперболоид,
5) /> — конус,
6) />— мнимый конус (точка),
7) /> —эллиптический параболоид,
8) /> —гиперболический параболоид,
9) /> —эллиптический цилиндр,
10) /> — мнимыйэллиптический цилиндр,
11) /> — две мнимыепересекающиеся плоскости (ось
O'Z),
12) /> —гиперболический цилиндр,
13) /> — двепересекающиеся плоскости,
14) /> —параболический цилиндр,
15) /> — двепараллельные плоскости,
16) /> — две мнимыепараллельные плоскости,
17) /> —две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).
В выше перечисленныхуравнениях a, b, c, p — положительные параметры. Систему координат /> называют канонической.
/>/>/>Исследованиеформы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями
Если дано каноническоеуравнение поверхности S, топредставление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ееплоскостями:
Z= h— параллельными координатной плоскости XO'Y,
X= h — параллельными координатной плоскости YO'Z,
Y= h — параллельными координатной плоскости XO'Z. Практическая часть
Дано:
/>;
Это эллипсоид впрямоугольной декартовой системе координат Oxyz, где оси OX, OY, OZ — оси симметрии.
1. Рассмотрим линии /> плоскостями Z=h (h=const):
/> (1)
Плоскость Z=h параллельна плоскости Oxy.
Уравнения проекций /> на Oxy имеют вид:
/>
Если />, то />, и тогда поделим обе частиуравнения на />, получим:
/>
Это уравнение эллипсов сполуосями />, />; увеличивающиеся суменьшением />, центр эллипса (0;0;h)
При различных h имеем:
/>
/>
Если />, тогда /> и значит линии /> удовлетворяющих уравнению(1) нет.
2. Рассмотрим /> полученные в сечениях эллипсоидаплоскостями X=h:
/> (2)
Уравнение проекций /> на YOZ.
/>
Это уравнение эллипсов сполуосями />, />;
Если />, то a=3, b=2, и/>
Если />, тогда мы получаемсемейство эллипсов:
/>/>, />;/>
/> />,/>;/>
Если />, тогда/> — это уравнение точки скоординатами (h;0;0).
Если />, тогда /> и значит линии /> удовлетворяющих уравнению (2) нет.
3. Рассмотрим /> полученные в сечениях эллипсоидаплоскостями Y=h:
/> (3)
Уравнения эллипсов,проекций /> на YOZ иимеют центры (0;h;0).
Полуоси />, />
Если />, тогда />, уравнение точек скоординатами (0;h;0).
Если />, тогда мы получаемсемейство эллипсов:
/>/>, />;/>
/> />,/>;/>
Если />, тогда /> и значит линии /> удовлетворяющих уравнению (3) нет.
Построим однополостный гиперболоид
/>
в канонической системекоординат /> проанализировав уравнениеповерхности и результаты исследования методом сечения ее плоскостями.
/>Вывод
Проанализировав уравнениеэллипсоида />, получили некоторыепредставления о форме эллипсоида.
Из уравнения следует, чтооси OX, OY, OZ — осисимметрии, плоскости XOY, YOZ, XOZ — плоскости симметрии.
Рассекая поверхностьплоскостями y=h,z=h,x=h, в сеченияхимеем эллипсы, наибольшие из которых получаются в плоскостях x=0, y=0, z=0,полуоси их уменьшаются с увеличением />,вершины эллипсов имеют координаты /> по оси X; /> пооси Y; /> пооси Z.
Список используемойлитературы
1. Копылова Т. В.Конспект лекций по линейной алгебре;
2. Копылова Т. В.Линейная алгебра. — Дубна: Международный университет природы, общества ичеловека «Дубна», 1996;
3. Ефимова Л. В.,Демидович Б. П. Линейная алгебра и основы математического анализа. — М: Наука,1993.