--PAGE_BREAK--
2. Уравнение тренда на основе линейной зависимости.
2.1. Основные элементы временного ряда.
Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:
-данные, характеризующие совокупность различных объектов в определённый момент времени.
-данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются временными рядами.
Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
-факторы, формирующие тенденцию ряда.
-факторы, формирующие циклические колебания ряда.
-случайные факторы.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.
Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 1. показан временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.
Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 2. представлен временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень базируется как сумма среднего уровня ряда и некоторой случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведён на рис. 3.
Очевидно, что реальные данные не следуют полностью из каких-либо описанных моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью.
2.2. Автокорреляция уровней временного ряда.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией. Количественно её можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми во времени.
Одна из рабочих формул для расчёта коэффициента корреляции имеет вид:
rxy = å(xj-`x) * (yj-`y) .
Öå(xj -`x)2 * å(yj -`y)2
В качестве переменной x мы рассмотрим ряд y2, y3,… yt; в качестве переменной yрассмотрим ряд y1, y2,… yt-1. Тогда данная формула примет вид:
r1 = å(yt-`y1) * (yt-1-`y2) ; где `y1 = åyt; `y2 =åyt-1 .
Öå(yt -`y1)2 * å(yt-1 -`y2)2 n — 1 n — 1
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.
Свойства коэффициента автокорреляции:
-во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной тенденции.
-во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости её значений от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать вывод: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
2.3. Моделирование тенденции временного ряда.
Одним из наиболее распространённых способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.
Т.к. зависимость от времени может принимать разные формы, для её формализации можно использовать различные виды функции. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:
-линейный тренд: `yt= a + b*t;
-гипербола:`yt = a + b/t;
-экспоненциальный тренд: `yt = e a+b*t;
-тренд в форме степенной функции: `yt = a*tb;
-парабола: `yt = a + b1*t + b2*t2 +… + bk*tk;
Параметры каждого из этих трендов можно определить методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2,… ,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.
Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространённых способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчёт некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляция первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни yt и yt-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит не6линейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.
Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков свидетельствуют о том, что ряд содержит тенденцию. Приблизительно равные значения коэффициентов автокорреляции по уровням этого ряда и по логарифмам уровней позволяют сделать следующий вывод: если ряд содержит нелинейную тенденцию, то она выражена в неявной форме. Поэтому для моделирования его тенденции в равной мере целесообразно использовать и линейную, и нелинейную функции, например степенной или экспоненциальный тренд. Для выявления наилучшего уравнения тренда необходимо определить параметры основных видов трендов.
Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов. Параметры линейного тренда:
a — начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;
b — средний за период абсолютный прирост уровней ряда.
Расчётные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения t = 1, 2, ..., n. Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста.
Задача №1
Десять человек различного возраста имеют следующие параметры:
Возраст, лет
18
20
21
22
22
24
25
26
31
39
Рост, см
174
183
182
180
178
179
185
185
184
182
Вес, кг
65
73
69
74
77
75
78
84
79
79
1. Определить результативный признак.
2. Рассчитать парные и частные коэффициенты корреляции. Сделать выводы.
Рассчитаем зависимость роста от возраста:
Фактор (X): возраст.
Результативный признак (Y): рост.
№
X
Y
X*Y
X2
Y2
Yx
Y-Yx
(Y-Yx)2
.
(X – X)2
1
18
174
3132
324
30276
179.50
-5.50
30.25
46.24
2
20
183
3660
400
33489
180.00
3.00
9.00
23.04
3
21
182
3822
441
33124
180.25
1.75
3.06
14.44
4
22
180
3960
484
32400
180.50
-0.50
0.25
7.84
5
22
178
3916
484
31684
180.50
-2.50
6.25
7.84
6
24
179
4296
576
32041
181.00
-2.00
4.00
0.64
7
25
185
4625
625
34225
181.25
3.75
14.06
0.04
8
26
185
4810
676
34225
181.50
3.50
12.25
1.44
9
31
184
5704
961
33856
182.75
1.25
1.56
38.44
10
39
182
7098
1521
33124
184.75
-2.75
7.56
201.64
S
248
1812
45023
6492
328444
1812
0.00
88.24
341.6
Определим параметры линейной функции с помощью системы уравнений:
n*a + b*åx = åy
a*åx + b*åx2 = åx*y
10*a + 248*b = 1812
248*a + 6492*b = 45023
a = 1812 — 248*b => 1812 – 248*b *248 + 6492*b = 45023
10 10
b = 0.25
a = 175
r = åx*y – (åx*åy)/n = 45023 – (248*1812)/10 =>
Ö(åx2 – (åx)2/n)*(åy2 – (åy)2/n) Ö(6492 – 2482/10)*(328444 – 18122/10)
r= 0.44 — прямая умеренная связь
r2= 0.19 — рост на 19% зависит от возраста
Тест Фишера:
Fcp = r2 * (n – 2)
1 – r2
Fcp = 0.19 * (10 – 2) = 1.78
1 – 0.19
Fтабл = 5.32
Fcp нулевая гипотеза подтвердилась, уравнение статистически незначимо.
Рассчитаем зависимость веса от возраста:
Фактор (X): возраст.
Результативный признак (Y): вес.
№
X
Y
X*Y
X2
Y2
Yx
Y-Yx
(Y-Yx)2
.
(X – X)2
1
18
65
1170
324
4225
71.70
-6.70
44.89
46.24
2
20
73
1460
400
5329
72.76
0.24
0.058
23.04
3
21
69
1449
441
4761
73.29
-4.29
18.40
14.44
4
22
74
1628
484
5476
73.82
0.18
0.032
7.84
5
22
77
1694
484
5929
73.82
3.18
10.11
7.84
6
24
75
1800
576
5625
74.88
0.12
0.014
0.64
7
25
78
1950
625
6084
75.41
2.59
6.71
0.04
8
26
84
2184
676
7056
75.94
8.06
64.96
1.44
9
31
79
2449
961
6241
78.59
0.41
0.17
38.44
10
39
79
3081
1521
6241
82.83
-3.83
14.67
201.64
S
248
753
18856
6492
56967
753.04
-0.04
160
341.6
Определим параметры линейной функции с помощью системы уравнений:
n*a + b*åx = åy
a*åx + b*åx2 = åx*y
10*a + 248*b = 753
248*a + 6492*b = 18856
a = 753 — 248*b => 1812 – 248*b *248 + 6492*b = 18856
10 10
b = 0.53
a = 62
r = åx*y – (åx*åy)/n = 18856 – (248*753)/10 =>
Ö(åx2 – (åx)2/n)*(åy2 – (åy)2/n) Ö(6492 – 2482/10)*(56967 – 7532/10)
продолжение
--PAGE_BREAK--