--PAGE_BREAK--Числа Фибоначчи и «золотая пропорция».
1.Разделим отрезок АВ единичной длины на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.
С2 А С1 В
Обозначим для этого искомую длину большей части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию
_1_ = __х__
х 1-х (1.1)
откуда х2=1-х (1.2)
положительным корнем(1.1) являются _-1_+_√_5_
2
так что отношения в пропорции (1.1) равны
_1_ = ___2___ = ___2(1+√5)__ = _1+√5_ = а
х -1+√ 5 (-1+√5)(1+√5) 2
каждое такое деление (точкой С1) называется делением в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением илизолотым пропорцией (сечением).
Если взять отрицательный корень этого уравнения, то делящая точка С2 окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением). Как это видно на рисунке. Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:
_С2 В_ = _А В_ = а
АВ С2А
2.Фактическое построение точки, делящей отрезок золотым сечение, осуществляется без труда.
Рис. 3 Рис. 4
Пусть АВ=1; востановим из точки перпендикуляр и возьмем точку Е, для которой АЕ=1/2 (рис. 3). Тогда ЕВ = √ 1+(1/2)2 = √5/2.
Проведя из Е, как из центра дугу через А до пересечения с ЕВ в точке D, мы получаем
ВD = _√5-1_
2
Наконец проведя через D дугу с центром в В, мы находим искомую точку С1.точку внешнего деления С2 можно найти из условия АС2 = ВС1.
3.Золотое сечение довольно часто встречается в геометрии, например, для квадрата, вписанного в полукруг (см. рис. 4), точка С делит золотым сечением отрезок АВ.
Сторона правильного десятиугольника (рис.5) вписанного в круг радиуса R, как известно равна
2R sin 360°/2,10 т.е. 2R sin 18°
таким образом,
а10 =2R _√5-1_ = R _√5-1_ = _R_
4 2 а
Иными словами а10 равно большей части радиуса круга, разделенного золотым сечением.
Рис. 5 Рис. 6
4.Рассмотрим правильный пятиугольник. Его диагонали образуют правильный звездчатый пятиугольник (рис. 6).Точка С делит отрезок АD золотым сечением.
Золотая пропорция просматривается и в других геометрических фигурах.
5.Прямоугольники золотого сечения выглядят «пропорционально» и приятны на вид. Вещами, имеющими такую форму приятно пользоваться. Поэтому многим «прямоугольным» предметам нашего обихода (книгам, спичечным коробкам, чемоданам и т.д.) часто придается именно такая форма различными философами-идеалистами древности и средневековья внешняя красота прямоугольников золотого сечения и других фигур, в которых наблюдается деление в среднем и крайнем отношении, возводилась в эстетический и даже философский принцип. Золотым сечением и еще некоторыми числовыми отношениями пытались не только описать, но и объяснить явления природы и даже общественной жизни.
6.Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.
Так взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх.
На многих шишках семена расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.
У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать собственно 55 и 89.
Про то, как первозданная и необузданная природа функционирует и развивается по математическим законам, описанными числами Фибоначчи, мы попробуем разобраться в следующей главе.
продолжение
--PAGE_BREAK--Глава 2: Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в живом. Совершенство форм в «золотых пропорциях».
По мнению ученого И. Шевелева, пропорции тела человека отвечают геометрической гармонии, основанной на соотношениях в прямоугольнике «два квадрата», диагональ которого равна √5, а стороны 1 и 2. По его данным, мужская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,528: 2 и разделена пополам в лонном сращении. Женская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,472: 2. Высота «венчания» человека – шея и голова, равны 0,326. Пропорции венчания отвечают золотому сечению: 0,202: 0,326. Пуп делит тело человека в золотой пропорции: 1,1236: 0,764 = 1,618. Расстояние от локтевого сустава до конца пальцев равно 0,528.
В приведенных отношениях числа 0,528, 0,326, 0,202 образуют ряд золотой пропорции, а число 0,472 является производным золотой пропорции. Отношение 528/472 названо архитектором В. Жолтовским «функцией золотого сечения». Прямоугольник, построенный на отношении функции, является «живым квадратом». Случайно ли, что в построении в мужских и женских тел, по методу разработанному Шевелевым, соотношения прямоугольника их тел отвечают функции Жолтовского?
Модель пропорции человека, предложенная Шевелевым, довольно точно отвечает рисункам мужских фигур Леонарда Винчи и Микеланджело, но в других фигурах она не оправдывается. Можно найти ряд интересных отношений (фигура Поликтета, созданная Дорифором вписывается в прямоугольник с отношением сторон, близким к 1: (√5 +1)). В лонном сращении тело атлета делится на две части, равные (√5+1)/2, то есть вписывается в два прямоугольника золотой пропорции. Пуп делит тело Поликтета в пропорции золотого сечения.
Этой же пропорции отвечает и прямоугольник венчания. Расстояние между сосками груди относится к ширине тела в пропорции ½ и т.д. такой анализ можно продолжить и найти еще ряд интересных отношений, но нужно отметить, что все они приближенны. Представляется наиболее устойчивым и достоверным лишь золотое сечение, проявляющееся неоднократно в пропорциях гармонически развитого тела человека и согласующееся с закономерностями пропорций в других организмах.
Известно, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг. Но и здесь соответствие квадрату среднестатистическое, приближенное, у людей могут быть отклонения от этой идеальной геометрии.
По – видимому, во всех пропорциях тела человека существуют некоторые идеальные, но «мертвые» соотношения частей, являющиеся основной гармонии.
Давно уже существует мнение, что пяти-лучевая симметрия, проявляется и в строении человеческих тел, где лучами служат голова, две руки и две ноги.
В связи с этим многие исследователи математических закономерностей тела человека вписывали его в пентаграмму. Так назвали позу человека с раздвинутыми на 180* руками и разведенными на 90º ногами. Такая модель нашла отражение и в построениях Леонардо да Винчи и Дюрера.
Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким – то образом проявиться.
Займемся «инвентаризацией» частей человеческого тела. У него одно туловище, одна голова, одно сердце и т. д.; многие части тела и органы парные, например, руки, ноги, глаза, почки. Из трех частей состоят ноги, руки, пальцы рук. На руках и ногах по пять пальцев, а рука вместе с пальцами состоит из восьми частей. У человека 12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента).
Характерно строение кисти человека. Кисть состоит из трех основных частей: запястья, пясти и пальцев. В состав запястья входит 8 косточек, оно сочленяется с 5 костями пясти, которые составляют основу ладони. Каждый палец состоит из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Позвоночник человека состоит из 34 позвонков.
С. В. Петухов при анализе строения животных и человека использовал отношение, связывающее все три части и называемое вурфом. Если это отношение отвечает 1,309…, что равно Ф2/2, оно называется золотым вурфом. Оказалось, что вурф руки человека равен 1,33, вурф ноги – 1,29, вурф пальцев – 1,34. С точностью около 3% вурфы всех трехчленных блоков человеческого тела равны между собой и близки к 1,309, то есть являются золотым вурфом.
Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют все числа Фибоначчи от 1 до 34.
Общее число костей скелета человека близко к 233, то есть отвечает еще одному числу Фибоначчи.
В развитии организма человека, в эволюции его конституции, в усложнении организации значительную, а может быть, и определяющую роль играл рост «по Фибоначчи», членение целого на части путем развертывания ряда чисел Фибоначчи. Конечно, на эту закономерность развития человека налагались и другие факторы. И все же дискретность[U1] «по Фибоначчи прослеживается и довольно отчетливо. И не только на костях скелета, а также на мышцах, на строении головного мозга и волоса.
Этот список частей тела человека можно продолжить. Нетрудно видеть, что в их перечне очень часто встречаются числа Фибоначчи или близкие к ним величины.
Ряд этих чисел не только отражает дискретный характер роста и членения целого на части, но и отвечает золотой пропорции. Отношения рядом стоящих чисел Фибоначчи приближается к золотой пропорции, значит, и соотношения чисел различных органов часто отвечает золотой пропорции.
продолжение
--PAGE_BREAK--