Реферат по предмету "Математика"


Правила дефферинцирования

Самостоятельная работа по дисциплине: «Математика»Лапшина Дмитрия Петровича  студента I курса группы 10п
Новокуйбышевский государственныйгуманитарно-технологический колледж
2010
Основные правила дифференцирования
Обозначимf(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1)(u  v) = u  v
2)(uv) = uv + uv
3)/>, если v 0
Этиправила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производныеосновных элементарных функций:
1)С= 0; 9) />
2)(xm)= mxm-1; 10) />
3)/> 11) />
4)/> 12) />
5)/> 13) />
6)/> 14) />
7)/>15) />
8)/> 16) />
Логарифмическоедифференцирование
Дифференцированиемногих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этогопоступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), томожно:
Прологарифмироватьобе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).
Продифференцироватьобе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: />.
Выразитьy' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.
Примеры.
y= xa – степенная функция с произвольным показателем.
/>.
/>
Показательно-степеннаяфункция и ее дифференцирование
Показательно-степеннойфункцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).
Логарифмическоедифференцирование применяется для нахождения производной отпоказательно-степенной функции.
/>
/>
Примеры
/>
/>.
Таблицапроизводных
Объединимв одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенныеранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основныхэлементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
а)/>.
б)/>.
/>.
/>.
/>.
/>
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
Примеры
/>
/>
/>. Найтиy'(–1).
/>
Производнаяобратных функций
Пустьтребуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ейфункция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Длярешения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
/>
т.к.g(y)  0 />
/>
т.е.производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример.Найти формулу для производной функции arctg.
Функцияarctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может бытьнайдена следующим образом:
/>
Известно,что /> 
Поприведенной выше формуле получаем:
/>
Т.к./> то можнозаписать окончательную формулу для производной арктангенса:
/>
Понятиедифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной
Пустьфункция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции внекоторой точке х0  [a; b] определяется равенством
/>
Следовательно,по свойству предела
/>
Умножаявсе члены полученного равенства на Δx, получим:
Δy = f '(x0)·Δx + a·Δx.
Итак,бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может бытьпредставлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе –бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную частьприращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции вточке х0 и обозначают через dy.
Такимобразом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, топроизведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называютдифференциалом функции и обозначают:dy = f '(x)·Δx (1)
Найдемдифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx.Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ееприращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:dy = f '(x)dx
Ноиз этого соотношения следует, что />. Следовательно, производную f'(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалунезависимой переменной.
Ранеемы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существованиедифференциала в этой точке.
Справедливои обратное утверждение.
Еслидля данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можнопредставить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малаявеличина, удовлетворяющая условию />, т.е. если для функции y=f(x)существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеетпроизводную в точке x и f '(x)=А.
Действительно,имеем />, итак как />приΔx→0, то />.
Такимобразом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциалаимеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
Примеры.Найти дифференциалы функций:
/>
/>.
Геометрическийсмысл дифференциала
/>
Рассмотримфункцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точкуM(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через αугол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадимнезависимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращениеΔy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будетсоответствовать точка
M1(x+Δx;y+Δy).
ИзΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, тоNT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтомуdy = NT.
Такимобразом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x иΔx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точкех.
Теоремаоб инвариантности дифференциала
Ранеемы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функцииy=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.
Покажем,что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимойпеременной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложнойфункции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилудифференцирования сложной функции:
/>.
Следовательно,по определению
/>,
ноg'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.
Мыдоказали следующую теорему.
Теорема.Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же видdy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимойпеременной.
Иначеговоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функциинезависимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойстводифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.
Пример./>. Найтиdy.
Учитываясвойство инвариантности дифференциала, находим
/>.
Применениедифференциала к приближенным вычислениям
Пустьнам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точкеx0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Какмы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммыΔy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциалана величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторымслагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенствомΔy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к.,по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откудаf(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
Примеры:
y= x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е.Δy), когда x изменяется от 3 до 3, 01.
ИмеемΔy≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x– 2, f'(3)=4, Δx=0, 01.
ПоэтомуΔy ≈ 4·0, 01 = 0, 04.
Вычислитьприближенно значение функции />в точке x = 17.
Пустьx0= 16.
ТогдаΔx = x – x0= 17 – 16 = 1,
/>,
/>.
Такимобразом, />.
Вычислитьln 0, 99.
Будемрассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0, 99.
Положимx0 = 1. Тогда Δx = – 0, 01, f(x0)=0.
/>, f'(1)=1.Поэтому f(0, 99) ≈ 0 – 0, 01 = – 0, 01.
Список литературы
ВыгодскийМ.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Джангар, 2000. — 864 с.
ГордонВ.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ,2000. – 96 с.
ДемидовичБ.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1996.
МордковичА.Г Алгебра 7-11. 2001-2003г
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта referat.ru


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Elizabethan Theatre Essay Research Paper Elizabeths EnglandIn
Реферат Euthanasia Essay Research Paper EUTHANASIAEuthanasiaRenaldo La FoucadeEducation
Реферат Automatic water and foam fire fighting sistems. Sprinklers, spray nozzles and water mist nozzles. General technical reguirements. Test methods москва 2001 Дата введения
Реферат Анализ пьесы "Мещанин во дворянстве"
Реферат Критерии устойчивого развития муниципальные аспекты
Реферат История русской письменности для школьников
Реферат Мода как совокупность групповых предпочтений
Реферат Армия и государство в Древнем Риме
Реферат Анализ рассказа И.А.Бунина "Господин из Сан-Франциско"
Реферат Реформы М.М. Сперанского
Реферат Анализ финансовой деятельности производственного предприятия на примере ООО Корпорация Кондор
Реферат Аналіз ліричного твору "Клён ты мой опавший…" Сергія Єсеніна
Реферат Особливості технологічного процесу виробництва десертної продукції
Реферат Александр Сергеевич Пушкин и Булат Окуджава
Реферат Роль і місце педагогіки в системі людинознавчих наук