Судоку и хроматические многочлены

10

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ ГОМЕЛЬСКОГО ГОРОДСКОГО

ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО КОМИТЕТА

Государственное учреждение образования

"Средняя общеобразовательная школа № 22 г. Гомеля"

Конкурсная работа

"Судоку и хроматические многочлены"

Ученика

9Б класса

ГУО СОШ№22 г. Гомеля

Громыко Ильи Алексеевича

Научный руководитель -

Горский Сергей Михайлович,

учитель математики

Государственного учреждения образования

СОШ №22 г. Гомеля

Гомель 2009

Содержание

• 1. Хроматические многочлены
• 2. Подсчет решений судоку
• Заключение
• Список использованных источников
• Приложение

Введение

Первое упоминание о латинских квадратах (в связи с решением карточных задач) относится к 1723 г. Систематическое изучение латинских квадратов началось с работ Эйлера.

В XVIII веке, когда Эйлер ввел понятие греко-латинских (ортогональных) квадратов, они были просто новыми чисто математическими объектами. В дальнейшем латинские и особенно ортогональные латинские квадраты нашли применения в различных областях.

В комбинаторике полные системы ортогональных латинских квадратов соответствуют конечным аффинным и проективным плоскостям. Латинские квадраты используются при построении квадратов Рума (турниров игры в бридж). В конце XIX века Кэли показал, что таблица умножения элементов конечной группы является латинским квадратом. В 30-х годах XX века возникло понятие квазигруппы, в которой таблицей умножения может быть любой латинский квадрат.

Системы попарно ортогональных латинских квадратов используются при построении сеточных методов интегрирования в вычислительной математике.

В 30-х годах XX века Р. Фишер предложил использовать латинские (и ортогональные латинские) квадраты для планирования сельскохозяйственных экспериментов.

Еще одна область применения латинских квадратов - построение кодов, исправляющих ошибки.

Вряд ли Эйлер предполагал, что латинские квадраты будут столь широко применяться, однако его математическая интуиция помогла правильно оценить естественность конструкции и нетривиальность свойств латинских квадратов.

Между головоломкой судоку и латинскими квадратами существует прямая взаимосвязь: завершенная сетка судоку является специальным типом латинского квадрата с дополнительной особенностью - никаких повторяющихся чисел в любом блоке 3х3.

Для каждого, кто пытался, решить задачу судоку, естественно возникают несколько вопросов. Для данной задачи, решение существует? Если решение существует, оно единственное? Если решение не единственное, сколько решений есть? Кроме того, есть систематический путь определения всех решений? Каково минимальное количество данных, с помощью которых можно гарантировать уникальное решение? В большинстве задач - минимум 17. Неизвестно в настоящее время, если задача с 16 данными, дающее единственное решение. Gordon Royle собрал 36 628 задач судоку с 17 числами, имеющие единственное решение.

Мы переформулируем эти вопросы в математическом контексте и попытаемся ответить на них. Более точно, мы интерпретируем судоку как задачу окрашивания вершин в теории графов. Это позволит нам, обобщить вопросы и рассматривать их в более широком смысле.

1. Хроматические многочлены

m-раскраска графа G - отображение f между вершинами G и множеством {1, 2,..., ь}. Такое отображение называется соответствующей раскраской, если f (x) <>f (y) всякий раз, когда x и y смежные в G. Минимальное количество цветов требовавшихся, чтобы правильно окрашивать грани графа G называется хроматическое число G и обозначенное x (G). Не трудно видеть, что судоку является проблемой раскраски графа. На самом деле, мы соединяем граф с сеткой 9 x 9 судоку следующим образом. Граф будет иметь 81 грани с каждой вершиной, соответствующей ячейке в сетке. Две четких грани будут смежными тогда и только тогда соответствующие ячейки в сетке, также в той же строчке, или той же колонне, или той же подсетке.

Мы обозначим этот графа Xn и называем это граф судоку ранга n. Квадрат судоку ранга n будет соответствующей раскраской этого графа, использовавшего n² цвета. Задача судоку интерпретируется в частичную раскраску, и вопрос является независимо ли от этой частичной раскраски раскраска может быть завершена.

Множество направлений раскраски графа G с m цветами как хорошо известно будет полиномом в со степенью m и будет равняться количеству граней G.

Теорема 1. Пусть G будет конечный граф с v гранями. Пусть, C будет частичная соответствующая раскраска t граней G, использовавших d0 цвета. Пусть pGC (m) быть множеством направлений, завершающим эту раскраску использования m цветами, чтобы получать соответствующую раскраску G. Тогда, pGC (m), полином с целыми коэффициентами и степенью v-t для m>d0.

Данная задача Sudoku (X3, C), имеет уникальное решение тогда и только тогда это число pX3 C (9) = 1. Это будет чрезвычайно интересным, чтобы определяться под которым условия частичная раскраска может быть распространена на уникальную раскраску.

Теорема 2. Пусть, G будет граф с хроматическим числом x (G) и C будет частичная раскраска G, использовавшая только x (G) - 2 цвета. Если частичная раскраска может быть завершена в общую соответствующую раскраску G, тогда есть по крайней мере два пути расширения раскраски.

2. Подсчет решений судоку

Мы кратко рассмотрим вопрос единственности решения для задачи Sudoku. В начале не всегда ясно имеет ли данная задача решение. В этой части, мы получим необходимые условия для того, чтобы быть определить единственное решение.

На рисунке 1. пример задачи судоку, которая имеет точно два решения.

Это наблюдение лидирует в следующее замечания. Если в решении в задачу судоку мы указали бы, что конфигурация на рисунке 3 в том же вертикальном стеке, тогда по крайней мере одно из этих данных должны быть включены как "данный" в начальной задаче, в противном случае, у нас было бы два возможных решения в начальной задаче возникающие просто перестановкой a и b в конфигурации.

Как замечено ранее, если точное число "цветов" использованных в данной задаче судоку - самое большее семь, тогда есть по крайней мере два решения в задачу. Мы отметим, что это было таким поскольку мы могли взаимообмен два неиспользованных цвета и все еще получать правильное решение. Множественность решений может также видна из хроматического многочлена. Если d0 количество использовавшихся цветов, мы видели, что pX3,C (m), полином по m, m> d0. Так как хроматическое число X3 = 9, мы должны иметь pX 3 C (m) = 0 для m = d0,d0 + 1,...,8. Как pX 3C (m), полином с целыми коэффициентами, мы можем записать pX3,C (m) = (m - d0) (m- (d0+ 1)) … (m-8) q (m), для некоторого полинома q (ь) с целыми коэффициентами. При m = 9 получаем pX3,C (9) = (9-d0) Б=q (9) и право сторонняя сторона больше или равна 2 если d0>= 7. Это дает нам установленное необходимое условие для там, чтобы было единственное решение, при условии, что у задачи есть решение.

Заключение

Интересно отметить, что задача судоку чрезвычайно популярна по нескольким причинам. Заслуживает внимания то, что эта задача судоку вызвала несколько проблем математической природы, которые пока нерешены. Мы уже упомянули проблему "минимальной задачи судоку", где мы спрашиваем, если есть задача судоку с 16 или меньшими данными, которые допускают единственное решение.

Мы уже прокомментировали что, если только 7 или меньшее количество цветов использованы, задача не имеет единственного решения.

Эти вопросы предполагают более общий вопрос определения "минимума судоку" для общей задачи ранга n.

Мы уже отмечали различные симметрии квадратов судоку. Например, применяя перестановку к элементам {1,2,..., n2}, мы получим новый квадрат судоку. Таким образом, начиная с одного такого квадрата, мы можем произвести n²! новых судоку. Есть также ленточные перестановки их n!, а также перестановки столбцов, которых также n!. Мы можем переставить колонки в пределах полосы, а также столбцы в пределах стека - n! ⁿ симметрий. В итоге, это генерирует группу симметрии, которые могут быть рассмотрены как подгруппа Sn4. Будет интересным определить размер и структуру этой подгруппы.

Список использованных источников

S. Bammel and J. Rothstein, The number of 9 Ч 9 Latin squares, Discrete Math.11 (1975), 93-95.