Министерствообразования РБ
Учреждениеобразования
«Гомельский Государственный
университетимени Ф. Скорины »
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Курсовая работа
«Уравнения равновесия»
Исполнитель:
Студентка группы М-41 ____________ ПолякЕ. М.
Научный руководитель:
Кандидат физико-математических наук
____________ Вересович П.П.
Гомель 2006
Содержание
Введение 3
Постановка задачи 4
Уравнения равновесия 5
Решение уравнений равновесия 12
Заключение 16
Список использованнойлитературы 17
/>/>Введение
Актуальнымнаправлением научно-технического прогресса является развитие и широкоеиспользование возможностей современных высокопроизводительных компьютеров,сетей мультипрограммных ЭВМ и на этой основе — применение математическихметодов моделирования в научных исследованиях. Развитие вычислительной техникив Республике Беларусь приводит к необходимости создания систем и сетей ЭВМ,эффективно обслуживающих запросы различных пользователей. Благодоря задачам,связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительныхсистем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетейпередачи данных и сетей ЭВМ теория сетей массового обслуживания (СМО) являетсясравнительно новым и быстро развивающимся разделом теории массовогообслуживания.
Исходнымматериалом для аналитического исследования СМО является стационарное(инвариантное) распределение вероятностей состояний. Ввиду сложности имногомерности случайных процессов, описывающих функционирование таких сетей,большинство аналитических результатов связано с получением стационарногораспределения в форме произведения множителей, характеризующих стационарноераспределение отдельных узлов сети.
Актуальнымвопросом, связанным с исследованием СМО является доказательство инвариатностистационарного распределения таких сетей относительно функционального видараспределений длительности обслуживания в узлах, позволяющее при проектированиии эксплуатации реальных сетей, считать, что обслуживание в узлах имеет наиболеепростое для анализа распределение — экспоненциальное.
/>/>Постановка задачи
Сетьсостоит из двух приборов, на каждый из которых поступает простейший поток спараметрами /> и /> соответственно. В случае,если прибор занят, заявка, поступающая на него выбивает заявку находящуюся наприборе, и та становится в очередь на дообслуживание. После обслуживания на Iприборе заявка с вероятностью /> уходитиз сети, а с вероятностью /> поступаетна II прибор. Аналогично, после обслуживания на II приборе заявка свероятностью /> уходит из сети, а свероятностью /> поступает на I прибор.
Пусть/> - число заявок в очередина I приборе, /> - число заявок вочереди на II приборе, /> - функцияраспределения времени обслуживания />-ойзаявки на I приборе, /> - функцияраспределения времени обслуживания />-ойзаявки на II приборе. Предполагается, что
/> = />
/> = />
Требуетсядоказать, что стационарное распределение /> независит от вида функций распределения времени обслуживания />. При этом можно считать,что
/>,
где
/>, />,
т.е.когда /> - экспоненциальны./>/>Уравнения равновесия
Введемслучайный процесс
/>,
где/> - число заявок в очередина I приборе в момент времени />, /> - число заявок в очередина II приборе в момент времени />, /> -время, которое еще будетдообслуживаться заявка с момента />, стоящаяi-ой в очереди I прибора, /> -время,которое еще будет дообслуживаться заявка с момента />,стоящая j-ой в очереди II прибора.
Пустьсуществует стационарное эргодическое распределение процесса /> и процесса />, т.к. процесс /> - это процесс />, дополненный непрерывнымикомпонентами до того, чтобы быть марковским.
Изучимповедение процесса /> в устойчивомрежиме. Пусть
/>
Введемв рассмотрение событие А, состоящее в том, что
/>
/>
а)Предположим, что за время от /> до /> не было поступлениятребований. Тому, чтобы /> неизменило за время /> своего значенияи при этом выполнилось событие А, отвечает выражение:
/>
/>
б)Тому, что за время от /> до /> на 1-ом приборе обслуженазаявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:
/>
/>
Тому,что за время от /> до /> на 2-ом приборе обслуженазаявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:
/>
/>
в)Тому, что за время от /> до /> на 1-ый прибор поступилазаявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше,чем />, где /> - определяется моментомпоступления заявки внутри интервала />. Этомуслучаю отвечает слагаемое:
/>
/> />
Тому,что за время от /> до /> на 2-ой прибор поступилазаявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше,чем />, где /> - определяется моментомпоступления заявки внутри интервала />. Этомуслучаю отвечает слагаемое:
/>
/> />
г)Если в интервале /> заявка окончиласвое обслуживание на I приборе и перешла на II, то время на ее дообслуживаниеII прибором должно быть не больше, чем />,где /> - определяется моментомпоступления заявки внутри интервала />.
/>
/>
/>
Еслив интервале /> заявка окончила своеобслуживание на II приборе и перешла на I, то время на ее дообслуживание Iприбором должно быть не больше, чем />, где /> - определяется моментомпоступления заявки внутри интервала />.
/>
/>
/>
Наконец,остальные случаи, благодаря событию А сводятся к тому, что за время /> либо поступало, либообслужено более одной заявки, или заявки поступали и обслуживались. Дляпростейшего входящего потока вероятность поступления двух и более заявок завремя /> есть />. Если же мы будемрассматривать слагаемые, соответствующие возможности окончания обслуживания всочетании с поступлением заявок, то, очевидно, что эти слагаемые есть />. Таким образом, приходим кследующим соотношениям:
/>
/> />
/> />
/> />
/> />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вводяобозначение
/>
/>
иучитывая, что
/>
/>
/>
/> />
/>
/>
/>
/>
/>,
последнеесоотношение перепишется в виде
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рассматриваявсе слагаемые в последнем соотношении как сложные функции от />, разлагаем их в рядТейлора в окрестности 0 с остаточным членом в форме Пеано:
/>
/>
/>.
Послечего приводим подобные слагаемые и устремляем /> к/>. Тогда вводя обозначение
/>
иучитывая, что
/>,
/>,
/>,
получаем,что свободные члены сократились, а слагаемые, содержащие своим сомножителем /> образуют уравнениямравновесия.
Такимобразом, приходим к уравнениям равновесия:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>. Решениеуравнений равновесия
Покажем,что /> удовлетворяет нашимуравнениям равновесия, где /> - решениедля случая, когда /> и /> - экспоненциальны, т.е.
/>,
/>.
Дляэтого распишем все частные производные функции />.
/>
/>
/>
/>
/>
/>.
Сучетом вида функции /> уравненияравновесия перепишутся в виде
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>.
Подставив/> в это уравнение и,учитывая, что
/>
/>
/>
приходимк выводу, что функция
/>
/>.
естьнеотрицательное, абсолютно-непрерывное решение исходных уравнений равновесия.
Отсюдаследует, что стационарное распределение /> независит от вида функций распределения времени обслуживания /> и />, поскольку />, при этом можно считать,что
/>,
где
/>, />,
т.е.когда /> и /> - экспоненциальны.
Заключение
Такимобразом, для рассматриваемой сети массового обслуживания установлена инвариантностьстационарного распределения относительно функционального вида распределенийдлительности обслуживания в узлах, т.е. установили, что стационарноераспределение /> не зависит отвида функций распределения времени обслуживания /> и/>, если известно, что дляних выполняется следующие ограничения:
/> = />
/> = />
Приэтом, можно считать, что функции распределения времени обслуживания /> и /> имеют экспоненциальныйвид.
Списокиспользованной литературы
1. БуриковА.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А.//Теория массового обслуживания:Учебное пособие по спецкурсу.-Гродно: 1984г.-108с.
2. ГнеденкоБ.В., Коваленко И.Н. // Введение в теорию массового обслуживания.-Москва:Наука. 1966г.-432с.