Содержание1.Вводные замечания2.Модели сигналов и помех3.Вероятностные характеристики случайных процессов4.Энергетические характеристики случайных процессов5.Узкополосные случайные процессы6.Временные характеристики случайных процессов7.Особенности нестационарных случайных процессов8.Классификация случайных процессов
Библиографический список
1. Вводные замечания
В процессеприема сигналов на вход приемного устройства поступает либо смесь сигнала ипомехи, либо помеха. Оптимальное приемное устройство обнаружения на первичномэтапе обработки должно наилучшим образом вынести решение о принятом сигнале,т.е. определить, присутствует или отсутствует сигнал, какой тип сигналаприсутствует (на втором этапе обработки), оценить значение того или иногопараметра (амплитуды, длительности, времени прихода, направление прихода ит.д.). Сформулированная задача может решаться при априорно неизвестных моделяхсигналов и помех, при неизвестных (мешающих) параметрах или неизвестных распределенияхсигналов и помех. Основная цель заключается в синтезе оптимальной структурыприемного устройства. Синтезированная структура чаще всего практическинереализуема, однако ее эффективность является потенциальной и дает верхнююграницу эффективности любых практически реализуемых структур.
Синтезоптимальных процедур обработки сигналов и помех может производиться сиспользованием различных методов оптимизации:
1.Использование корреляционной теории:
а) критериймаксимума отношения сигнал/помеха;
б) критерийминимума среднеквадратической ошибки.
2.Использование теории информации для максимизации пропускной способностисистемы. Главное направление – построение наилучших методов кодирования.
Применениетеории статистических решений.
Задачаоптимизации может быть решена только при наличии критерия, который задаетсяразработчиком системы.
Чтобывоспользоваться теорией статистических решений при синтезе оптимальных приемныхустройств, необходимо иметь математические модели сигналов и помех. Эти моделидолжны включать описание формы сигнала (если она известна). Статистическиехарактеристики и характер взаимодействия сигнала и помехи вплоть до n-мерных плотностей вероятностей.
Теориястатистических решений имеет следующие составные части:
1) теориюпроверки статистических гипотез:
а) двухальтернативныезадачи обнаружения или распознавания сигналов;
б) многоальтернативныезадачи при различении многих сигналов на фоне помех;
2) теориюоценки параметров, если эти параметры составляют счетное множество;
3) теорию оценкипроцесса, который необходимо выделить из входной смеси с минимальной ошибкой.
Постановказадачи синтеза оптимального приемного устройства и ее решение существеннымобразом зависят от объема априорных (доопытных) сведений о характеристикахсигналов и помех. По объему априорных данных различают задачи с полнойаприорной определенностью (детерминированный сигнал и помеха с полностьюизвестными вероятностными характеристиками), с частичной априорнойопределенностью (имеются известные параметры сигнала и помехи) и с априорнойнеопределенностью (известны лишь некоторые сведения о классах сигналов и помех)[5]. Следует заметить, что эффективность разработанных обнаружителей и измерителейпараметров существенно зависит от объема априорной информации.
Следует заметить,что, если о сигналах и помехах ничего неизвестно (полностью отсутствуетинформация о них), то такая задача не может быть решена.
2. Модели сигналови помех
Сигнал – этопроцесс, служащий для передачи информации или сообщения. Остальные процессы,воспринимаемые приемным устройством вместе с сигналом, являются помехами.
Сигналыклассифицируются по объему априорных сведений:
а) детерминированныесигналы (неслучайные);
б)детерминированные по форме сигналы со случайными параметрами (квазислучайные);
в)псевдослучайные, шумоподобные сигналы (они близки по свойствам к случайнымпроцессам, но генерируются детерминированным образом и при воспроизведенииполностью повторяются);
г) случайныесигналы.
Взависимости от характера изменения во времени сигналы подразделяются надискретные и непрерывные. Дискретные сигналы используются в цифровыхустройствах, в радиолокации. Непрерывные (континуальные) – в телефонии,радиовещании, телевидении и т.д. В последнее время дискретные сигналы используютсяи в цифровом телевидении и радиовещании.
Каждыйсигнал может быть охарактеризован по степени сложности в зависимости отвеличины, называемой базой сигнала: B = F∙T, где F –эффективная ширина спектра сигнала; Т – эффективная длительность сигнала. Если B » 1, то сигнал называется простым, приB >> 1 – сложным сигналом.Сложные сигналы получают либо из совокупности простых сигналов, либо с помощьюмодуляции. К сложным сигналам могут быть отнесены шумовые и шумоподобныесигналы. У таких сигналов />, где Т – эффективная длительностьсигнала (когда сигнал эквивалентен по энергии сигналу с прямоугольной формой); /> – интервалкорреляции процесса.
В различныхсистемах, как правило, излучают радиосигналы, отличающиеся по виду модуляции:амплитудно-модулированные, частотно-модулированные, фазомодулированные, сигналыс импульсными видами модуляции; манипулированные (по амплитуде, частоте, фазе исовмещенные) сигналы.
Врадиолокации чаще всего излучается последовательность радиоимпульсов.
Упрощеннаяструктура РЛС представлена на рис. 1, где использованы следующие обозначения:РПУ – радиопередающее устройство; РПрУ – радиоприемное устройство; АП –антенный переключатель; s0(t) – зондирующий сигнал; s(t) – отраженный сигнал; А – антенна; О – обнаруживаемыйобъект; V – скорость сканирования антенны.Облучение пространства производится периодическим зондирующим сигналом.
Импульсотражается от объекта обнаружения и возвращается с задержкой к антенне РЛС.Задержка определяется расстоянием между РЛС и объектом. Интенсивностьотраженного сигнала зависит от эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) объектаи условий распространения радиосигнала. В РЛС одна и та же антенная системаиспользуется при передаче и приеме сигналов. Интенсивность облучения объектазависит от формы диаграммы направленности антенны и угла между направлением наобъект и направлением максимального коэффициента направленного действия. Присканировании антенной системы (механическом или электронном вращении диаграммынаправленности) огибающая пачки импульсов отраженного сигнала повторяет формудиаграммы направленности (рис. 1). В режиме сопровождения объекта огибающаяпачки импульсов может иметь прямоугольную форму.
/>
Рис. 1
/>
Рис 1
При обзоревремя облучения ограничено, и принимаемый сигнал представляет собойограниченную по времени пачку радиоимпульсов. Модуляция по амплитуде импульсовв пачке определяется не только формой диаграммы направленности, но и скоростью V обзора, от нее зависит и числоимпульсов в пачке. Обычно огибающая пачки – детерминированная функция,поскольку вид диаграммы направленности и скорость обзора известны.
Запаздываниеотраженного сигнала зависит от дальности r до объекта – />, где c – скорость распространения радиоволны в пространстве. Прираспространении сигнал ослабляется относительно излученного в 106 – 1010 раз понапряжению. Кроме того, изменение угла между направлением максимума диаграммынаправленности антенны и объектом и поворот объекта за время облучения приводитк случайным изменениям амплитуды импульсов принимаемого сигнала. За счетрадиальной скорости объекта Vrизменяется и частота отраженного сигнала (доплеровский эффект), при этомприращение частоты несущего колебания />. Изменяются параметры сигнала вканале связи и во входных трактах приемной системы.
Приотражении сигнала от объекта происходит изменение поляризации падающей волны.Эти изменения зависят от формы объекта и могут быть использованы прираспознавании объектов.
Построить модельсигнала, которая учитывала бы все эти влияния и изменения сложно, поэтомуучитывают только часть рассмотренных изменений.
Основныемодели сигналов
а)Детерминированный сигнал:
/>.
Всепараметры сигнала: амплитуда А, закон ее изменения во времени S0(t), частота w0 и закон изменения начальной фазы /> во времени известны, т.е.огибающая S(t) и фаза /> являются детерминированными функциямивремени.
б) Одиночныйсигнал со случайной амплитудой и фазой
/>,
где А, j, t – случайные параметры.
Случайныепараметры задаются плотностями вероятности. Распределение амплитуд А чаще всегополагают релеевским
/>,
где s2 – дисперсия флюктуаций амплитуды.
Начальнаяфаза j и задержка t распределены равномерно, т.е.
/>,
где Т –период зондирования, определяемый максимальной однозначной дальностью действияРЛС.
Функции s0(t) и /> – детерминированные.
Длядвижущихся объектов локации к несущей частоте w0 добавляется доплеровский сдвиг />, где /> – случайная величина,знак которой зависит от направления перемещения объекта в радиальном направленииотносительно РЛС.
в)Нефлюктуирующая пачка радиоимпульсов
/>,
где />; функция H2(t) – функция, обусловленная формой диаграммы направленности(рис. 2б); Т0 – период следования импульсов в пачке; К = const.
г)Флюктуирующая пачка импульсов:
– дружно-флюктуирующаяпачка – амплитуды радиоимпульсов в пачке неизменны, но изменяются независимо отпачки к пачке, что соответствует медленному изменению ЭПР отражающего объектаво времени или изменению параметров канала распространения электромагнитнойволны и т.д. (рис. 2);
– быстро-флюктуирующаяпачка – амплитуды радиоимпульсов изменяются в пачке от импульса к импульсунезависимо (рис. 3).
Взависимости от характера изменения начальной фазы колебаний от импульса кимпульсу в пачке различают когерентные и некогерентные пачки радиоимпульсов.Когерентная пачка может быть образована путем вырезания импульсов изнепрерывного стабильного гармонического колебания. Начальные фазы в этом случаеили одинаковы во всех радиоимпульсах пачки, или изменяются по известномузакону. Некогерентная пачка состоит из радиоимпульсов с независимо-изменяющейсяначальной фазой.
/>
Рис. 2
/>
Рис. 3
Помехиразделяются на естественные (неорганизованные) и искусственные(организованные), внутренние и внешние.
По способуобразования помехи могут быть пассивными и активными. Естественные пассивныепомехи создаются отражениями от местных предметов (в радиолокации) и земнойповерхности, растительности и т.д.; отражениями от метеорных следов иатмосферных неоднородностей (в радиосвязи на УКВ).
Активныепомехи имеют самостоятельный источник, в то время как пассивные помехиобусловлены излучением зондирующего сигнала. По характеру изменения во временипомехи бывают флюктуационные (гладкие) и импульсные.
В качествепомех могут быть случайные, шумоподобные или детерминированные процессы. Извсех помех наибольшее воздействие на подавляемую РЛС оказывает белый(широкополосный) шум с нормальным распределением, поскольку он имеет наибольшуюинформационную емкость.
Чаще всего вкачестве моделей помех используется их описание с помощью статистическиххарактеристик. Наиболее полной характеристикой является n-мерная плотность вероятности. Однаков некоторых частных, но очень важных случаях помеха может быть охарактеризованаодномерной или двумерной плотностями вероятности.
Сигналы ипомехи могут быть представлены в виде некоторых множеств в частотно-временнойсистеме координат (рис. 4).
Каждыйсигнал или помехи занимают по осям w и tопределенные отрезки, зависящие от полосы частот Dw и длительности t. Чем больше Dw и t, темэффективнее помеха с точки зрения подавления сигнала. Наилучшей помехойявляется белый шум, который заполняет всю плоскость w, t, и обладает наибольшими дезинформационными свойствами. Еслишум узкополосный, то он занимает ограниченную площадь, поскольку имеетнеравномерную спектральную плотность мощности. От такой помехи можноизбавиться, перестроив несущую частоту w0 сигнала.
Дляпространственно-временных сигналов и помех используются дополнительныекоординаты: угол места и азимут. И тогда источники помех могут быть точечнымипо угловым координатам или распределенные в конкретных секторах.
/>
Рис. 4
Геометрическоепредставление сигналов и помех связано с введением многомерного пространствавыборок и широко используется в теории сигналов [7, 8]. Пусть имеетсяреализация x(t) случайного процесса X(t). В соответствиис теоремой Котельникова эта реализация может быть представлена в видедискретных отсчетов xi = x(iDt). Число этих отсчетов (единичныхизмерений) – N, совместно они образуют выборку X размером N – />, i – номер измерения в выборке X. Если представим n-мерное пространство, в котором на каждой оси координат отложимсоответствующие по номеру измерения, то вся выборка будет соответствовать точкеэтого пространства или вектору, конец которого лежит в этой точке. Длинавектора в данном пространстве может быть представлена так:
/>.
Эта величинаназывается нормой вектора в эвклидовом пространстве. В пространстве Хемминганорма выражается иначе:
/>.
Если /> и />, то в пределепереходим к бесконечному пространству />, в котором норма определяется так
/>.
Для реальныхпроцессов /> иимеет размерность величины x.
Всеуказанные пространства линейны, и для них определены операции сложенияэлементов множества и умножения элемента на число. Причем обе эти операцииудовлетворяют условиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Средилинейных пространств можно выделить метрические пространства, для которыхсуществует метрика />, т.е. норма разности векторов,которая больше или равна нулю. Метрика (расстояние) обладает следующимисвойствами:
а) />; б) />; в) />,
где x, y, z – элементыпространства.
Дляэвклидова конечно-мерного пространства /> –
/>,
для непрерывногопространства /> аналогично
/>.
Важнымявляется понятие скалярного произведения. Оно характеризует собой проекциюодного вектора на другой и определяется в /> так:
/>,
т.е. суммапроизведений одноименных проекций векторов на оси координат. В непрерывномпространстве />: />, причем скалярное произведение /> всегда небольше произведения норм векторов (неравенство Шварца).
Угол междувекторами определяется так
/>.
Если определитьнорму через скалярное произведение, то говорят, что норма порождена скалярнымпроизведением, а пространство, отвечающее такому произведению, называетсягильбертовым.
Введемпонятие случайного вектора. Случайный вектор – это такой вектор, координатыкоторого есть случайные величины. Этот вектор /> в пространстве выборок незанимает какого-либо фиксированного положения. Его конец может оказаться в тойили иной области пространства с известной вероятностью, которую можноподсчитать, зная совместное распределение случайных величин />. Конец вектора можнопредставить себе не как определенную точку, а как облако, переменная плотностькоторого выражает вероятность нахождения конца вектора в данном элементе объемапространства. Геометрически это облако отображается гиперсферой в n-мерном пространстве (рис. 5).
/>
Рис. 5
Элементарныйобъем в пространстве выборок />. Вероятность попадания концавектора в этот объем будет равна
/>,
где /> – плотностьвероятности случайного процесса X(t).
Еслигиперсфера имеет размеры W,то попаданию точки в эту гиперсферу соответствует вероятность
/>,
где /> – проекциигиперсферы W на осикоординат системы.
Этовыражением может быть записано в векторной форме
/>.
Если /> распределеныпо нормальному закону с одинаковой дисперсией каждой их независимых компонент,то вероятность попасть в элементарный объем /> пространства выборок равна
/>,
где /> – расстояниеот начала системы координат до элемента />.
В данномслучае облако имеет сферическую форму. При различных дисперсиях облаковытягивается вдоль тех осей, которым соответствуют единичные измерения сбольшей дисперсией.
Если даныдва случайных процесса x и h, то косинус угла между их векторамисоответствует нормированному коэффициенту взаимной корреляции. Геометрически онхарактеризует проекцию единичных векторов одного на другой. Если x = h, то /> – линейная зависимость, если жеони перпендикулярны, то /> – показывает полное отсутствиекоррелированности. В этом случае векторы ортогональны, а процессы некоррелированы.
Длянормальных процессов некоррелированность означает и независимость, посколькудля них иной случайной зависимости, кроме линейной, не существует. Доказываетсятакое утверждение подстановкой коэффициента корреляции, равного нулю, вдвумерную нормальную плотность вероятности. В результате такой подстановкиплотность вероятности преобразуется к произведению одномерных плотностейвероятности, что является необходимым и достаточным условием статистическойнезависимости двух случайных величин, входящих в систему. 3.Вероятностные характеристики случайных процессов
1. Наиболееполными вероятностными характеристиками случайных процессов (СП) являютсяразличные виды распределений вероятностей мгновенных значений, среди которыхосновное применение получили интегральная функция распределения вероятностей иплотность вероятности.
Для ансамбляреализаций СП (рис. 6) одномерная интегральная функция распределенияопределяется как вероятность того, что мгновенные значения реализаций непревысят некоторый фиксированный уровень x в момент времени t.
Аналогичноопределяется n-мерная интегральная функция распределениякак вероятность совместного выполнения неравенств:
/>. (1)
Видыодномерной интегральной функции распределения для различных процессов показанына рис. 8.
/>.
В отличие отинтегральных функций распределения случайных величин, эта характеристика СП вобщем случае (для нестационарных СП) зависит от времени.
/>
Рис. 6
Так же как идля случайных величин, /> (положительная определенность), /> при x2 > x1 (интегральная функция является неубывающей), /> (ограниченность).
/>
Рис. 7
Хотяинтегральная функция распределения вероятности определена и для непрерывных, идля дискретных процессов, большее распространение получила плотностьвероятности, определенная только для непрерывных СП.
Одномернаяплотность вероятности определяется как производная от интегральной функции поаргументу x:
/>.
Для n-мерной плотности в соответствии с(1) имеем:
/>. (2)
Изпредставления производной в виде предела отношения конечных приращений /> можно сделатьвывод, что плотность вероятности характеризует относительную частоту пребываниямгновенных значений в элементарном интервале Dx.
На рис. 7приведены графики плотности вероятности для реализаций различной формы.
Аналогичноерассмотрение n-мерной плотности вероятности позволяетинтерпретировать ее как вероятность того, что значение функции находятся впределах n коридоров Dx или, иначе, что реализация примет заданнуюформу (рис. 8).
/>
Рис. 8
Свойстваплотности вероятности:
– положительнаяопределенность – />;
– свойствосимметрии – значения плотности вероятности не меняются при перестановкеаргументов;
– свойствонормировки />;
– свойствосогласованности (число интегралов в правой части равно n – m)
/>
– плотностьвероятности меньшего порядка вычисляется путем интегрирования по «лишним»аргументам;
– размерностьплотности вероятности обратна размерности случайной величины.
Наиболеешироко в радиотехнике используются следующие распределения.
1.Нормальной (гауссово) распределение (рис. 9):
/>
Рис. 9
/>,
где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение(СКО).
Длянормального распределения характерна симметрия относительно математическогоожидания и большие значения случайной величины встречаются значительно режемалых:
/> /> />.
2.Равномерное распределение (рис. 10):
/> />
Рис. 10
Экспоненциальноераспределение (рис. 11):
/> />
Рис. 11
4.Распределение Рэлея (распределение огибающей узкополосного нормального СП):
/> />
Рис. 12
2.Распределения вероятностей, хотя и является наиболее употребимыми в теориихарактеристиками, не всегда доступны для экспериментального определения и вомногих случаях слишком громоздки в теоретических исследованиях. Более простымиявляются числовые характеристики СП, определяемые как некоторые функционалы отплотности вероятности. Наиболее широко из них используются моментные функции,определяемые как среднее значение различных степенных преобразований СП.
Начальныеодномерные моменты определяются в виде
/>. (3)
Особоезначение имеют первый начальный момент – математическое ожидание /> и второйначальный момент
/>.
сигналслучайный помеха прием
Физическийсмысл этих характеристик: среднее значение и средняя мощность СП, выделяемая насопротивлении в 1 Ом, соответственно (если СП есть напряжение, стационарное по постояннойсоставляющей и мощности). Второй начальный момент характеризует степеньразбросанности случайной величины относительно начала координат. Размерностьматематического ожидания совпадает с размерностью величины x (для x в виде напряжения – вольты), а размерность m2 – с размерностью квадрата величины x.
В случаестационарных СП моменты не зависят от времени, для нестационарных могут бытьфункциями времени (в зависимости от типа не-стационарности), что поясняетсярис. 13.
/>
Рис. 13
Центральныемоменты определяются аналогично начальным моментам, но для центрированногопроцесса />:
/>. (4)
Поэтомувсегда />.
Второйцентральный момент – дисперсия СП – определяется в виде
/>
ихарактеризует степень разбросанности значений относительно математическогоожидания или, иначе, среднюю мощность переменной составляющей процесса,выделяемой на сопротивлении в 1 Ом. Очевидна связь между начальными ицентральными моментами:
/>, в частности />.
Отметим, чтотретий центральный момент (p = 3в (4)) характеризует асимметрию распределения вероятностей (для симметричных плотностейвероятности />),а четвертый (p = 4) – степень остроты вершины плотностивероятности.
Рассмотримпример вычисления одномерных моментов распределения.
ПРИМЕР 1.Процесс с треугольной симметричной плотностью вероятности виден на экранеосциллографа в виде шумовой дорожки с размахом от -2 до +4 В. При выключеннойразвертке яркость вертикальной линии в центре экрана равномерна. Оценитьматематическое ожидание и дисперсию процесса.
Решениепримера 1. Сведения о форме распределения и его границах позволяет записатьаналитическое выражение для плотности вероятности (рис. 14).
При этоммаксимальное значение плотности вероятности fm, достигаемое при x=1 В, определяется из условия нормировки, т.е. равенства площадитреугольника единице:
/>,
откуда />.
/>
Рис. 14
/>
Такоесимметричное треугольное распределение называют также законом Симпсона.
Всоответствии с определениями математическое ожидание и дисперсия равны
/> = 1 В;
/>.
Однакоудобнее вычислить вначале второй начальный момент
/> = 7 В2,
тогда /> = 6 В2.
Смешанныеначальные моменты определяются соотношением
/>
/>. (5)
Смешанныецентральные моменты определяются аналогично, но с заменой x в формуле (5) на центрированноезначение />.
Ввиду того,что значения x в смешанных моментах определяются вразличные моменты времени, появляется возможность оценки статистической взаимозависимостизначений процессов, разделенных заданными интервалами. Наиболее важным являетсяпростейший из смешанных моментов, отображающий линейную статистическуювзаимозависимость и называется корреляционной и ковариационной функцией:
/>;
/>. (6)
Как видно изопределения, размерность корреляционной функции определяется размерностьюквадрата величины x (для напряжения– В2).
Длястационарного СП корреляционная функция зависит только от разности />:
/>.
Следуетзаметить, что при t =0 максимальное значение K(0) =s2.
На рис. 15приведены примеры реализаций процессов с разными корреляционными функциями.
Кромефункционалов на основе степенных функций (моментов) возможны и другие типыфункционалов в качестве статистических характеристик СП. Важнейшим среди нихявляется функционал, основанный на экспоненциальном преобразовании и называемыйхарактеристической функцией
/>. (7)
Нетруднозаметить, что данное выражение представляет преобразование Фурье от плотностивероятности, отличающееся от обычного лишь знаком в показателе экспоненты.
Поэтомуможно записать и обратное преобразование, позволяющее по характеристической функциивосстановить плотность вероятности:
/>.
Соответственнодля n-мерного случая имеем
/>
/>. (8)
/>
Рис. 15
Основныесвойства характеристической функции состоят в следующем:
– свойствонормировки />;
– свойствосимметрии />;
– свойствосогласованности
/>;
– определениехарактеристической функции суммы независимых случайных величин
/>.
Как видно изанализа перечисленных свойств, различные преобразования характеристическойфункции проще плотности вероятности. Простая связь также междухарактеристической функцией и моментами плотности вероятности.
Пользуясьопределением характеристической функции (7), продифференцируем ее k раз по аргументу u:
/>.
Отсюда
/>.
Можнозаметить, что операция дифференцирования намного проще, операция интегрированияпри определении моментов плотности вероятности.
ПРИМЕР 2.Может ли существовать процесс с характеристической функцией прямоугольнойформы?
Решениепримера 2. На рис. 16 представлена характеристическая функция прямоугольнойформы (а) и соответствующая ей плотность вероятности (б).
/>
Рис. 16
Так какхарактеристическая функция является преобразованием Фурье от плотностивероятности, то ее обратное преобразование Фурье должно обладать всемисвойствами плотности вероятности. В данном случае
/>.
Графикплотности вероятности представлен на рис. 16б.
Как видно извыражения для f(x) и рисунка, полученная плотность вероятности неудовлетворяет условию положительной определенности (/>), следовательно, процесс сзаданной характеристической функцией не может существовать.4. Энергетическиехарактеристики случайных процессов
Кэнергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральнуюплотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.
В разделе 2было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментоввторого порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционнойфункций, т.е.
/> />.
Основныесвойства автокорреляционной функции:
– свойствосимметрии />,для стационарных процессов – четность />;
– свойствоограниченности />, для стационарных процессов />;
– свойствонеограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов) />;
– свойство положительнойопределенности интеграла
/>;
– размерностьсоответствует квадрату размерности случайного процесса.
Это свойствоследует из определения спектральной плотности мощности (для случайныхнапряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.
Длявзаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:
/>; />;
/>; />.
Ввидуограниченности корреляционной функции частот используют нормированныекорреляционные функции
/>; />,
причем />; />.
Для болеекомпактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервалакорреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь междузначениями процесса.
Основныеопределения интервала корреляции:
– интегральный (дляположительно определенных корреляционных функций) />. Геометрически он характеризуетширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t> 0 (рис. 17а);
– абсолютныйинтервал корреляции /> (в отличие от предыдущего можетиспользоваться для знакопеременных функций />) (рис. 17б);
– квадратичныйинтервал корреляции />;
– максимальныйинтервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)
/>.
/>
Рис. 17
/>
Рис. 18
Обычноуровень a выбирается исходя из рассматриваемойзадачи и имеет значения 1/e;0,1; 9,05; 0,01 и т.д.
Последнееопределение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выборконкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобствомматематического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляциииспользуется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которогослучайные величины в сечениях случайного процесса можно считатьнекоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выборомуровня a.
Большоезначение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП.При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида
/>.
Приисследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеетядро преобразования вида />, так как отклик линейных системна гармоническое воздействие также является гармоническим.
ПреобразованиеФурье от k-й реализации СП дает также случайнуюфункцию частоты, зависящую от номера реализации:
/>.
В условияхреального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервалнаблюдения T
/>.
Приведенныевыражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условияприменимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится ккакому-либо определенному пределу.
Определимквадрат модуля спектральной плотности k-й реализации
/>.
Предполагаяпроцесс стационарным и центрированным, заменяя /> и производя статистическоеусреднение по множеству реализаций, определим:
/>.
Разделив обечасти полученного равенства на T иберя предел />,получим
/>.
Пояснимфизический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея
/>,
определим />; />;
/>;
/>; />.
Такимобразом, спектральная плотность мощности или энергетический спектр – этоусредненная по всем реализациям функция распределения мощности по частотам.
Следовательно,спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаныпреобразованием Фурье (теорема Винера – Хинчина):
/> (9)
Полагая t = 0, получим
/>.
Учитываясвойство четности корреляционной функции, запишем
/>,
/>.
В полученныхформулах G(w) определялась для положительных значенийкруговой частоты w,причем G(w) = G(–w). В отличие от такого «двухстороннего» математического спектра, введемодносторонний физический спектр:
/>.
Тогдаформулы теоремы Винера – Хинчина примут вид:
/> (10)
Частоиспользуется нормированная спектральная плотность мощности
/>.
Изопределения G(w) следуют методы егоэкспериментального определения (рис. 19). А именно: измеряется квадратичнымприбором среднеквадратическое отклонение процесса в узкой полосе (с помощьюполосового фильтры с прямоугольной АЧХ), возводится в квадрат, а затем делитсяна эту полосу Dfэ (полоса такая, что S(f0) » const в пределах Dfэ) (рис. 20).
/>
Рис. 19 Рис.20
Тогда />.
Дляодиночного колебательного контура />, где Q – добротность контура, следовательно
/>.
Спектральнаяплотность мощности не отражает фазовой структуры сигнала. Две совершенно разныезависимости могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.
Поскольку G(w) и K(t) связаны преобразованием Фурье, для них справедливы основные теоремы оспектрах.
Ширинаспектра определяется так же, как и интервал корреляции.
Эффективная(или неудачное название – энергетическая) ширина спектра
/>.
Определяюттакже ширину спектра на уровне a: />.
Рассмотримсвязь интервала корреляции и ширины спектра.
Так как />, а />, то
/>. (11)
Такимобразом, произведение /> – порядка единицы.
Различаютширокополосные и узкополосные процессы (рис. 22а и б).
/>
а б
Рис. 22
Дляузкополосных процессов />. Поскольку для узкополосныхслучайных процессов значение спектральной плотности мощности при нулевойчастоте всегда равно нулю (или очень близко к нему), то корреляционная функцияявляется всегда знакопеременной и ее площадь равна нулю (из теоремы Винера –Хинчина).
Один изшироко распространенных в теории широкополосных процессов – белый шум сравномерным спектром />. Его корреляционная функция равна
/>.
Противоположныйслучай – узкополосный процесс – квазидетерминированный СП с дискретным спектром
/>,
где x1, x2 – случайные величины, не зависящие от t, />.
Функция X(t) представляет собой гармоническое колебание со случайнойамплитудой /> ифазой />,распределение которого не зависит от времени. Этот процесс будет стационарнымлишь при /> ипри />.Тогда /> зависиттолько от t, причем x1 и x2 некоррелированы.
В этомслучае />;
/>
/>. (рис. 23)
/>
Рис. 23
Длястационарных СП X(t) и Y(t) вводят такжевзаимную спектральную плотность мощности
/>;
/>; />;
/>; />.
Взаимнаяспектральная плотность мощности двух процессов комплексная, если взаимнаякорреляционная функция нечетная, действительная часть такой спектральнойплотности четная, а мнимая – нечетная функция: />.
Для суммыстационарных и стационарно-связанных процессов существует соотношение
/>.5. Узкополосныеслучайные процессы
Важностьэтих процессов для статистической радиотехники требуют более подробного ихрассмотрения.
Для болееподробного анализа определим огибающую /> и фазу /> узкополосного случайного процесса(УСП). Часто огибающую определяют по формуле
/>, (12)
где /> – сопряженныйс /> поГильберту процесс. Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению дляУСП, получаем />. Точность выражения иногда можетвызывать сомнение, поскольку только для гармонических колебаний равенство (12)несомненно. Определим, насколько параметры УСП влияют на точность этой формулы.
Используяизвестные соотношения для комплексной амплитуды аналитического сигнала />, получим
/> и />. (13)
Применяяпреобразование Гильберта к исходному выражению для УСП и используя составляющие(13) комплексной огибающей, можно записать
/>.
Разложимфункции /> и/> вподынтегральных выражениях в ряд Тейлора в окрестности точки x=t и почленно проинтегрируем. Получим
/>
/> =
/>, (14)
где Q(t) – остаточное слагаемое, характеризующее отброшенную частьсуммы. Подставив в выражение (14) /> и />, получим
/>. (15)
Из формулы(15) видно, что если можно пренебречь функцией Q(t), то сопряженныйпо Гильберту УСП имеет такую же огибающую, что и исходный УСП.
Из таблицопределенных интегралов известно:
/>
/>
С учетомэтих выражений формулу для Q(t) можно записать:
/>
/>
Считаем, чтополоса огибающей равна />, поэтому вторые производные посвоим значениям не превосходят />. Поэтому можно полагать, что
/>.
Следовательно:
/>.
Отсюдавидно, что для УСП функции u(t) и u1(t) имеютодинаковую огибающую с погрешностью, зависящей от отношения ширины спектра кего средней частоте. Для узкополосных случайных процессов обязательным являетсявыражение />,следовательно, огибающая удовлетворяет требованиям, которые к ней предъявляютсяв соответствии с определением УСП, т.е. является касательной в точках,соответствующих максимальным значениям УСП (или вблизи от них), и имеет общиезначения с ним в точках касания. Степень «близости» точки касания к максимальномузначению зависит от того же отношения />.
Фаза /> однозначноопределяется известными соотношениями для представления комплексного числа впоказательной форме.
ГрафическиУСП можно представить в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью />, длина векторамедленно меняется во времени так же, как и фазовый угол />. Исходный УСП являетсяпроекцией вектора на горизонтальную ось. Если всю систему координат заставитьвращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении, то таже проекция будет огибающей />.
Еслиисходный УСП является нормальным, то /> и /> также являются нормальнымислучайными процессами. Если УСП u(t) нормален, стационарен, имеетнулевое среднее значение и функцию корреляции />, то /> и /> также имеют нулевые средниезначения и корреляционную функцию />. В то же время /> и /> взаимнонекоррелированы, а так как они нормальны, то и взаимно независимы. Сомножитель /> являетсяогибающей корреляционной функции />.
Огибающая ифаза узкополосного случайного процесса. Плотности вероятности огибающей и фазыУСП можно получить, совершая преобразования, которые были использованы для ихполучения. Эти преобразования показывают, что огибающая и фаза являютсянезависимыми. СВ как в совпадающие, так и в несовпадающие моменты времени.Одномерная плотность вероятности огибающей (в один момент времени) подчиняетсязакону Рэлея, а плотность вероятности фазы равномерна в пределах от /> до />.
Сложныепреобразования показывают, что центрированная корреляционная функция огибающейприближенно равна квадрату огибающей корреляционной функции исходного УСП.Спектральная плотность мощности огибающей имеет два слагаемых: дельта-функцию,соответствующую постоянной составляющей огибающей, и спектральную плотностьфлюктуационной составляющей, которая является преобразованием Фурье от квадратаогибающей корреляционной функции исходного УСП.
Если СПявляется суммой узкополосного нормального процесса и синусоиды со случайнойначальной фазой, то мгновенные значения синусоиды распределены по законуарксинуса, сумма – по бимодальному закону, соответствующему свертке нормальногозакона и закона арксинуса. После применения тех же преобразований, что и дляузкополосного нормального СП, получим для огибающей распределение Райса
/>,
где />, А0 –амплитуда синусоидального сигнала; /> – среднеквадратическое отклонениешума.
При /> распределениеРайса переходит в распределение Рэлея.
При большихотношениях />,т.е. при А0 >> 1 (отношение сигнал/шум), распределение Райса может бытьаппроксимировано нормальным распределением с математическим ожиданием, равнымА0.
6. Временныехарактеристики случайных процессов
Во многихслучаях, особенно при экспериментальных исследованиях, вместо ансамбля естьлишь одна реализация. Тогда усреднение производится по времени и при некоторыхусловиях дает результаты, близкие к усреднению по множеству.
Простейшийвариант усреднения состоит в определении среднего арифметического значения.Выделим в отрезке реализации СП длительностью T n дискретных отсчетов с интервалом между ними Dt,
/> (рис. 24).
Среднееарифметическое значение определим известным образом:
/>.
Умножимчислитель и знаменатель этого выражения на Dt:
/>.
/>
Рис. 24
При Dt ® 0 и n ® ¥ сумма перейдет в интеграл,описывающий временное усреднение реализации (обозначается чертой сверху или вданном пособии: />) или функции от нее:
/>. (16)
В общем видеможно записать операцию (16) с помощью оператора временного усреднения ST:
/>.
Для тогочтобы результат не зависел от длительности отрезка T, возьмем предел при T ® ¥:
/>.
Приэкспериментальных исследованиях выполнение условия T ® ¥невозможно, но достаточно выполнения условия />.
Часто началореализации и начало времени интегрирования не совпадают, поэтому оператор /> правильнеезаписать в виде оператора текущего среднего:
/>. (17)
Используетсятакже симметричная форма этого оператора:
/>. (18)
Частотныехарактеристики операторов (4.17) и (4.18) равны соответственно:
/>, />,
т.е.отличаются лишь фазовым множителем />.
Практическичасто используется оператор экспоненциального сглаживания, реализуемый спомощью интегрирующей RC-цепив форме
/>
и имеющийхарактеристику
/>.
Производявременное усреднение некоторой функции g[x(t)], лежащей в основе какой-либовероятностной характеристики, получим соответствующую временную характеристику.В частности, дисперсия, полученная временным усреднением, равна
/>;
Временнаякорреляционная функция –
/>.
Аналогамираспределений вероятностей являются величины относительного времени пребыванияреализации ниже некоторого уровня и в интервале уровней (рис. 25).
Аналогинтегральной функции распределения вероятностей – относительное времяпребывания реализации ниже некоторого уровня (рис. 25а):
/>; />.
Аналогплотности вероятности – относительное время пребывания реализации в интервале Dx на уровне x (рис. 25б):
/>;
/>.
/>
Рис. 25
Процессы,для которых временные характеристики сходятся в некотором смысле квероятностным при T ® ¥, называются эргодическими. Различаютдва вида сходимости.
Последовательностьслучайных величин /> сходится по вероятности кслучайной величине x,если для любого e > 0
/>.
Сходимость свероятностью 1 (или почти всюду) определяется следующим образом:
/>.
Сходимость всреднем определяется из условия:
/>,
в частности,сходимость в среднеквадратическом –
/>.
Изсходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, а из сходимости всреднеквадратическом также следует сходимость по вероятности.
Часто имеетместо не эргодичность процесса, а эргодичность по отношению к математическомуожиданию, корреляционной функции или иной вероятностной характеристике.7. Особенностинестационарных случайных процессов
НестационарныеСП, в отличие от стационарных, составляют столь широкий класс, что в нем трудновыделить свойства, относящиеся ко всему классу. Одним из таких свойств, лежащихв основе определения нестационарности, является зависимость вероятностныххарактеристик этих процессов от времени.
В частности,
/>,
/>.
Примерпроцесса, существенно нестационарного по математическому ожиданию, приведен нарис. 26а, по дисперсии – на рис. 26б.
Нестационарностьпо математическому ожиданию хорошо описывается моделью аддитивногонестационарного процесса:
X(t) = Y(t)+ j(t),
где Y(t) – стационарный СП; j(t) –детерминированная функция.
Нестационарностьпо дисперсии описывается моделью мультипликативного нестационарного процесса: X(t) = Y(t)·j(t).
Простейшиепримеры нестационарности по моментным функциям в более общем виде описываютсязависимостями вероятностных распределений от времени.
/>
Рис. 26
Болеесложным является отображение нестационарности в рамках многомерных (и дажедвумерных) вероятностных характеристик. Наиболее широко используютсякорреляционные и спектральные характеристики. Поскольку корреляционная функциянестационарного СП зависит от двух моментов времени, спектр нестационарногопроцесса не может быть определен столь однозначно, как в стационарном случае.Существует несколько определений спектра нестационарных процессов:
а) двойнойпо частоте спектр или биспектр:
/>. (19)
В случаестационарного процесса /> и соотношение (19) переходит втеорему Винера – Хинчина. Биспектр (19) трудно физически интерпретировать ииспользовать при анализе цепей, хотя он отображает всю информацию о частотныхсвойствах процесса;
б) мгновенныйчастотно-временной спектр.
Заменим в /> переменныеследующим образом: />, t = t1 – t2 и выполним преобразование Фурье откорреляционной функции по аргументу t:
/>. (20)
Мгновенныйспектр (20) зависит как от частоты, так и от времени и при медленнойнестационарности имеет наглядную физическую интерпретацию как изменение«обычной» спектральной плотности мощности во времени (рис. 27);
в)усредненная спектральная плотность мощности
/>,
где />.
Этот спектрне отображает динамики процесса, но дает представление о среднем распределениидисперсии процесса по частоте;
г)аппаратурный спектр определяется как среднее значение дисперсии процесса навыходе узкополосного фильтра с импульсной реакцией h(t):
/>.
/>
Рис. 27
Этот спектрдопускает аппаратурное определение, но использование его в теории достаточнотрудоемко.
ПРИМЕР
Решениепримера Рассмотрим пример нестационарного СП, имеющего плотность вероятности,выраженную функцией
/>
где />; a0 = 1 1/В; k = 2 1/Вс.
Необходимонайти математическое ожидание процесса и нарисовать ориентировочно возможныйвид реализации процесса.
Для решениязадачи прежде всего определим незаданную функцию А(t) из условия нормировки:
/>.
Отсюда A(t) = a(t).
Посколькупроцесс нестационарный, его математическое ожидание может зависеть от времени ив данном случае равно
/>.
Учитываяизвестное значение определенного интеграла [1]
/> при />
где /> –гамма-функция, />, получим
/>.
Возможныйвид реализаций процесса, не противоречащий виду распределения, приведен на рис.28.
/>
Рис. 28
На рис. 28штриховой линией показано изменение математического ожидания процесса.8. Классификация случайных процессов
Классификацияв любой науке служит для упорядочения объектов исследования, а значит, и используемыхметодов анализа и синтеза. В ряде случаев удачная, логически оправданная иестественная классификация процесса помогает вскрыть новые закономерности(например, периодическая система Менделеева, классификация звезд на основедиаграммы Герцшпрунга – Рассела в астрономии и т.д.).
Классификацияпроизводится по каким-либо признакам. Наиболее существенными признаками для СПявляются зависимости их вероятностных характеристик от времени и номерареализации.
Обозначимчерез q(l) произвольную вероятностную характеристику;
/> – операторусреднения по множеству;
/> – операторусреднения по времени.
Еслиодновременно используется усреднение и по множеству, и по времени, тополучаемая при этом оценка вероятностной характеристики />(l) имеет такой вид:
/>,
где l – аргумент вероятностнойхарактеристики (частота /> в спектральной плотностимощности; интервал /> в корреляционной функции).
Истинноезначение оценки вероятностной характеристики получается с помощью предельногоперехода при неограниченном возрастании числа реализаций N и их длительностей T, т.е.
/>.
Характеристику,полученную усреднением и по множеству, и по времени, будем называть среднейвероятностной характеристикой. Если же усреднение производится только помножеству, то получается t –текущая вероятностная характеристика:
/>;
только повремени – k-текущая вероятностнаяхарактеристика:
/>.
Взависимости от видов получаемых характеристик СП можно классифицировать такимобразом:
– />(k, l) = />(l) – однородный процесс, т.е. получаемая характеристика независит от номера реализации;
– />(t, l) = />(l) – стационарный процесс, т.е. получаемая характеристика независит от начала отсчета времени;
– />(t, l) = />(k, l) = />(l) – эргодический случайный процесс.
Схематичнопроцессы могут быть представлены в виде множеств, изображенных на рис. 29.
/>
Рис. 29
Приведеннаяукрупненная классификация, конечно, не является исчерпывающей, поэтомуиспользуется классификация по многим другим признакам.
По видуобластей существования и значений случайной функции СП делятся на непрерывные(непрерывные области существования и значений – рис. 30а), дискретные(непрерывное множество значений аргумента и дискретное множество значений –рис. 30б), непрерывные случайные последовательности (дискретная областьсуществования и непрерывная область значений – рис. 30в) и дискретные случайныепоследовательности (дискретная функция дискретного аргумента – рис. 30г).
По видураспределений вероятностей различают процессы с конечной и бесконечнойобластями значений, с симметричной и несимметричной плотностью вероятности,гауссовы (нормальные) и негауссовы.
/>
Рис. 30
Покорреляционной связи значений различают коррелированные и некоррелированные СП,по виду спектра – широкополосные и узкополосные СП, по характеру временнойсвязи – периодические, непериодические и почти периодические.
По видунестационарности процессы делятся на аддитивные, мультипликативные,стационарные на интервале (квазистационарные), со стационарными приращениями,периодически нестационарные, с быстрой и медленной нестационарностью и т.д.
Выборпризнаков классификации определяется характером решаемой задачи.
Рассмотримпример классификации СП.
ПРИМЕР 4.
Решениепримера 4. Охарактеризовать процесс X(t) в отношении стационарности, однородностии эргодичности, если процесс представлен моделью:
/>,
где А –случайная амплитуда с рэлеевским распределением; />– случайная величина с равномернымраспределением на интервале [–p, p]; />0 = const.
Выборочныереализации процесса X(t) представлены на рис. 31.
/>
Рис. 31
Из рис. 31 ианалитического представления квазидетерминированного процесса X(t) очевидно, что его вероятностные характеристики (например,математическое ожидание, дисперсия, плотность вероятности и т.д.) не зависят отвремени, т.е. процесс является стационарным. В то же время каждая из реализацийхарактеризуется своей дисперсией, поэтому процесс неоднороден и не являетсяэргодическим, т.е. его характеристики нельзя оценить по одной реализации.
ПРИМЕР 5. Позаданной графически функции распределения /> стационарного случайногоколебания (рис. 32) определить плотность вероятности и изобразить возможный видреализации этого процесса.
/>
Рис. 32
Рассчитатьматематическое ожидание, второй начальный момент и дисперсию процесса.
Решениепримера 5. Плотность вероятности /> связана с функцией распределения /> черезпроизводную, поэтому на первом участке u от -6 до -3 В производная, характеризующая тангенс угла наклона/> к оси u равна 0,4/3 = 0,13 1/В. При u = 1 В /> имеет скачок на 0,3, поэтому вплотности вероятности есть d-функция с площадью, равной величине скачка. На участке от 3 до 7 В также/> имеетпостоянный наклон, равный 0,3/6 = 0,05 1/В. Полученная плотность вероятностипредставлена на рис. 3 Для проверки вычислений необходимо найти площадь,ограниченную плотностью вероятности (условие нормировки): />.
/>
Рис. 33
Математическоеожидание равно:
mu = /> =/>= –0,325 В.
Второйначальный момент – m2u = />48,9 В2.
Дисперсия – /> = 48,5 –0,105625 » 48,4 В2.
Реализациядлительностью Т, судя по виду плотности вероятности на разных интервалахвремени, должна иметь горизонтальные участки на уровне +1 В, суммарнаядлительность которых должна составлять Т/ На участках от -6 до -3 В и от +1 до+7 В в реализации имеются наклонные прямые линии со случайным наклоном, чтосоответствует неизменным значениям плотности вероятности. На первом участкемгновенные значения реализации находятся 0,4Т, а на втором – 0,3Т.
Возможныйвид реализации представлен на рис. 34.
/>
Рис. 34
ПРИМЕР 6. Нарис. 35 представлена реализация случайного процесса. Изобразить приближенноплотность вероятности и функцию распределения. Рассчитать (также приближенно)математическое ожидание, среднеквадратическое значение (СКЗ) исреднеквадратическое отклонение (СКО).
/>
Рис. 35
Решениепримера 6. Для определения плотности вероятности необходимо в соответствии с ееопределением рассчитать вероятности следующих событий:
- соответствиямгновенных значений уровню -10 мА (вероятность р1);
- нахождениямгновенных значений реализации в интервале от -10 до -4 мА (вероятность р2);
- соответствия мгновенныхзначений уровню -4 мА (вероятность р3);
- нахождениямгновенных значений реализации в интервале от -4 до + 8 мА (вероятность р4);
- соответствиямгновенных значений уровню + мА В (вероятность р5);
- нахождениямгновенных значений реализации в интервале от +8 до +10 мА (вероятность р6).
Длянахождения перечисленных вероятностей необходимо посчитать интервал времени, втечение которого происходили эти события, а затем поделить найденные интервалына длительность реализации, составляющую 25 мс (см. рис. 35). В результатеполучим частоты событий (оценку вероятностей). Результаты расчетов представленыв табл. 1.
Таблица 1Вероятность р1 р2 р3 р4 р5 р6
Оценка
вероятности 0,04 0,18 0,2 0,36 0,1 0,12
Для расчетазначений плотности вероятности в интервалах (-10, -4) мА, (-4, + 8) мА и (+8,+12) мА необходимо полученные вероятности разделить на соответствующиеинтервалы, предполагая на этих участках постоянную плотность вероятности, таккак мгновенные значения в их пределах меняются по линейному закону (рис. 35).Результаты расчетов представлены на рис. 36.
Математическоеожидание равно:
/> />мА
(впредположении стационарности заданного реализацией СП по математическомуожиданию).
Второй начальныймомент –
m2i = />36,08 мА2
(впредположении стационарности заданного реализацией СП по второму начальному моменту).
Дисперсия –
/> = 36,08 –0,1024 » 35,98 мА2
(в предположениистационарности заданного реализацией СП по дисперсии).
Следовательно,СКЗ = /> » 6,01 мА; СКО = /> » 6,0 мА.
Библиографическийсписок
1. Гоноровский, И.С.Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] / И.С. Гоноровский. – М.: Радио исвязь, 2006. – 608 с.
1. Манжос, В.Н.Теория и техника обработки радиолокационной информа-ции на фоне помех [Текст] /Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. – М.: Радио и связь, 2011. – 416 с.
2. Жовинский, В.Н.Инженерный экспресс-анализ случайных процессов [Текст] / А.Н. Жовинский, В.Н.Жовинский. – М.: Энергия, 2009. – 112 с.
3. Царьков, Н.М.Многоканальные радиолокационные измерители [Текст] / Н.М. Царьков. – М.: Сов.радио, 2010. – 192 с.
2. Математическиеосновы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. – М.:Сов. радио, 2009. – 208 с.
3. Федосов, В.П.Статистическая радиотехника [Текст]: конспект лекций / В.П. Федосов, В.П.Рыжов. – Таганрог: Изд-во ТРТИ, 2008. – 76 с.
4. Фомичев, К.И.Моноимпульсная радиолокация [Текст] / А.И. Леонов, К.И. Фомичев. – М.: Сов.радио, 2010. – 370 с.
5. Гнеденко, Б.Н.Курс теории вероятности [Текст] / Б.Н. Гнеденко. – М.: Физматгиз, 2011. – 203с.