Лабораторная работа. «Имитационное моделирование системы фазовой автоподстройкичастоты в пакете моделирования динамических систем Simulink»
Цель работы: Изучить методы имитационного моделирования системыавтоматического регулирования и исследования основных характеристик систем фазовойавтоподстройки частоты (ФАП).
Домашнее задание
1. Составить математическую модель ФАП 1-го порядка и 2-го порядка.
2. Построить передаточные характеристики ФАП 1-го порядка и 2-го порядка с идеальными неидеальным интегратором.
3. Используя передаточные характеристики определить шумовую полосу ФАП 1-гопорядка и 2-го порядка и сравнить с расчетными выражениями.
4. Определить полосу захвата и удержания ФАП 1-го порядка.
Лабораторное задание
Моделирование систем передачи дискретных сообщений (ПДС) иих функциональных узлов на ЭВМ является экономичным способом их исследования и проектирования.Оно позволяет значительно ускорить процесс разработки и найти наиболее оптимальныехарактеристики их функционирования.
Моделирование на ЭВМ можно условно разбить на следующие этапы:
· формулировка задачи моделирования, разработка модели системы или устройстваи программы их исследования;
· составление модели;
· моделирование системы ПДС или устройства при заданных режимах работыи внешних воздействиях;
· интерпретация результатов моделирования, т.е. построение различныхвыводов о функционировании объекта по данным, полученным в результате моделирования.
/>
Рис.1. Структурная схема имитационной модели системы ФАП первого,второго и третьего порядка с контрольно-измерительными блоками: Power meter — измеритель мощности; Spectr_a, b, c, d, e — осциллографы и анализаторы спектра
/>
Рис.2Имитационная модель генератора входного сигнала ФАП с постоянной и линейно-изменяющейсячастотной расстройкой.
/>
Рис.3. Имитационная модель фазовогодетектора.
/>
Рис.4 Имитационная модель ФНЧ фазовогодетектора.
/>
Рис.5 Имитационная модель фильтра первого и второго порядкакольца ФАП второго и третьего порядка соответственно.
1. Построить модель фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) в пакете моделированиядинамических систем Simulink. Для этого открыть новое окномодели Simulink. В библиотечном модуле в соответствующихразделах найти типовые функциональные блоки структурной схемы модели ФАП и скопироватьих в окно модели. Соединить входы и выходы блоков в соответствии с рис.1.
2. Настроить общие параметры модели. Для этого необходимо выполнить командуParameters в позиции Simulation главного меню пакета Simulink. Откроется окно параметров модели. В закладке Solver установить время моделирования(Stop time)равным 5 секунд. Выбрать метод изменения независимых переменных с фиксированнымшагом (Type: Fixed-step) и метод решения дифференциальных уравнений при моделированиидискретный (discrete (no continuous states)). Установить время дискретизации (Fixed Step Size) для модели, исходя из следующих предпосылок: для сигналовгенераторов с частотой 10 Гц на один период колебания должно приходится 40 отсчетоввремени.
3. Настроить параметры каждого функционального блока структурной схемы. Указать,если требуется, в настройках блока время дискретизации (Sample time). Установить частоты опорного иуправляемого генераторов равными 10 Гц (если требуется указать значение в рад/с,ввести выражение 2*pi*f, где f — частота в герцах). Установить разность фаз между фазами опорногои управляемого генераторов (j = jг — jо)равной 90о (pi/2), при которой полезная составляющаяна выходе фазового детектора равна нулю. Проконтролировать установленные параметрыгенераторов, сравнивая осциллограммы их выходных сигналов
4. Установить постоянную времени RC-фильтра, включенногов блок фазового детектора, обеспечивающую подавление удвоенной частоты входногосигнала на его выходе в 10 раз, снять импульсную и передаточную характеристики фильтра,используя спектроанализатор.
5. Снять передаточную характеристику идеального пропорционально — интегрирующегофильтра (ПИФ) схемы ФАП, определяемой выражением F (p) = (1 + a/p),где а — коэффициент передачи интегрирующей ветви ПИФ, р — оператор Лапласа. Принятьзначение а в диапазоне [10,30] с шагом 5.
6. Оборвать петлю обратной связи ФАП. Подключив измеритель средних значенийсигнала к выходу фильтра детектора, путем изменения значения фазы входного сигналав интервале j Í[p, p], снять дискриминационную характеристику Uд = h (j) фазового детектора.
7. К входу ГУН подключить источник постоянного напряжения и путем измененияего величины в диапазоне [-1,1] с шагом 0.5 измерить крутизну ГУН и построить характеристикууправления Dfу= f (Uу).
8. Подключив генератор пилообразного напряжения к входу генератора входногосигнала, управляемого напряжением, и установив начальную расстройку Df собственныхчастот генератора входного сигнала и ГУН, обеспечивающую отсутствие захвата, определитьполосу захвата ФАП 1-го и 2-го порядка.
9. Подключив генератор пилообразного напряжения к входу генератора входногосигнала, управляемого напряжением, и установив нулевую начальную расстройку Df собственныхчастот генератора входного сигнала и ГУН, определить полосу удержания ФАП 1-го и2-го порядка.
10. Анализируя сигнал управления на входе ГУН, определить время ввода в синхронизмФАП 1-го и 2-го порядка при начальных расстройках в диапазоне значений [-1,1] сшагом 1.
11. Построить зависимость полосы захвата ФАП 1-го и 2-го порядка от коэффициентаусиления петли обратной связи ФАП. Коэффициент усиления менять от 10 до 4 с шагом2.
12. Подключить к входу ФАП гармонический сигнал с начальной расстройкой в пределахполосы захвата и сигнал с выхода генератора нормального шума. С помощью измерителясредне — квадратичных значений определить дисперсию сигнала управления и величинуфазового джиттера сигнала ГУН, а также определить отношение сигнал-шум внутри кольцаФАП и на ее входе.
/>
Рис.6. Временная диаграмма сигнала управления ГУН ФАП первогопорядка при линейном изменении частоты входного сигнала, иллюстрирующая режимы биений,захвата, удержания и срыва синхронизма: Sу = 1 Гц/В, времяанализа 40 с, скорость изменения частоты входного сигнала 0.2 Гц/с, полоса удержанияравна полосе захвата Δfуд = Δfз = 1 Гц, режим слежениянаблюдается на временном интервале tÎ [23, 28] с.Основные определения
/>
Рис. П.1.1 Структурная схема системы фазовой автоподстройкичастоты
/>
Рис. П.1.2 Характеристика управления ГУН
Структурная схема системы ФАПЧ представлена на рис.П.1.1 Онасостоит из фазового детектора (ФД), фильтра низкой частоты петли регулирования,управляемой системы (УС), включающей генератор, управляемый по частоте напряжением(ГУН), и управляющий элемент (УЭ).
Управляющий элемент предназначен для изменения частотыуправляемого генератора.
Зависимость частоты генератора fгот уровня управляющего напряжения Uу называютхарактеристикой управления fг (Uу) (рис.П.1.2). Обычно используют линейный участокэтой характеристики. Крутизна управления, или по-другому крутизна управителя, определяетсяпо формуле Sу = Dfг / DUуи имеет размерность Гц/В.
Фазовый детектор (ФД) создает напряжение, определяемоеразностью фаз j колебаний управляемого генератораjг и колебаний опорного генератораjо.
Зависимость напряжения Uдна выходе ФД от разности фаз сравниваемых сигналов j = jг — jо называют дискриминационной характеристикойфазового детектора Uд (j), а Sд =dUд/dj — крутизной дискриминационной характеристики,или по-другому крутизной дискриминатора, с размерностью В/Гц. Удобно пользоватьсянормированной дискриминационной характеристикой
F (j)= Uд (j)/E,
где E — максимальное напряжение на выходеФД, которое зависит от амплитуд сравниваемых сигналов и схемы ФД. F (j) — периодическаяфункция, изменяющая свое значение в пределах ±1.
Характеристика ФД может иметь синусоидальную, рис.П.1.3а, треугольную,рис.П.1.3б, а также знаковую, трапецеидальную или пилообразную формы в зависимостиот схемы ФД.
/>
Рис. П.1.3Нормированные характеристики ФД
Фильтр нижней частоты (ФНЧ) применяется для выделенияполезной низкочастотной составляющей из сигнала на выходе фазового детектора. Впетле ФАП для повышения порядка могут быть применены идеальный и неидеальный интегрирующиефильтры. Неидеально-интегрирующий фильтр характеризуется коэффициентом передачиK (p) = 1/ (1+pT),где T = R*C, рис.1.4а. Пропорционально-интегрирующий фильтр с неидеальныминтегратором, рис.1.4б, имеет коэффициент передачи K (p) = (1 + p m T) / (1 + p T), где T = C* (R+R1), m = R1/ (R+R1). Коэффициент передачи пропорционально-интегрирующего фильтрас идеальным интегратором описывается выражением K (p) = ( (а + p) / p),где а — коэффициент передачи интегрирующей ветви.
/>
Рис. П.1.4 Схемы неидеальных ФНЧ:
а) неидеальный интегрирующий фильтр;
б) неидеальный пропорционально-интегрирующий фильтр
Функционирование системы ФАП состоит в следующем. Гармоническийсигнал с частотой wги фазой jг с выхода управляемогогенератора ФАП поступает на первый вход фазового детектора, на второй вход которогопоступает входной гармонический сигнал от опорного генератора с частотой wо и фазой jо. Разность частот (fг — fо)= Δfн в начальный момент времени определяет начальную частотнуюрасстройку Δfн системы ФАП. Амплитуда напряжения Uд на выходе ФД зависит от разности фаз сигналов наего входах. Полученное напряжение Uд, после низкочастотнойфильтрации, поступает на управляющий элемент, который так изменяет частоту управляемогогенератора ФАП, что бы его частота wги частота wо сталиравными, а разность фаз на выходе ФД постоянной. Для обеспечения режима захватаи последующего удержания крутизна дискриминатора Sди крутизна управителя Sу должны быть противоположнымипо знаку.
Соответственно ФАП, как система автоматического регулирования,является адаптивным (следящим) фильтром, обеспечивающим фильтрацию входного сигналапутем изменения частоты ГУН сигналом управления, формируемого, в общем случае, навыходе фильтра петли ФАП, который подключен к выходу фазового детектора. Для ФАП1 — го порядка фильтр петли ФАП отсутствует и Uу= Uд. В зависимости от параметров кольца системаФАП может работать как при постоянной так и при изменяющейся частотной расстройкемежду входным сигналом ФАП и сигналом ГУН.
В результате моделирования должны быть получены качественныеи количественные характеристики системы ФАП: полоса захвата, полоса удержания, времявхождения в синхронизм, а также переходные процессы фазы и частоты в системе.
Если частоты управляемого и опорного генератора равны, а эффектмедленных изменений параметров управляемого генератора, определяющих его частоту,в среднем полностью компенсируются действием ФАП, то говорят, что система работаетв режиме удержания.
Если в среднем разность частот вырабатываемых генераторамисигналов равна нулю, а разность их фаз периодически меняется, то система ФАП находитсяв режимеквазисинхронизма. Это неблагоприятный режим для системы и поэтомупри проектировании необходимо добиться того, чтобы он не возникал.
Если в системе происходит непрерывное нарастание разности фазуправляемого и опорного генераторов, то говорят, что система находится в режимебиений. Переходное состояние системы, при котором режим биений переходит в режимудержания или квазисинхронизма, называется режимом захвата.
Под полосой удержания Δfуд понимается областьрасстроек, при которой возможен режим удержания. Полоса захвата Δfз — это область начальных расстроек, в которой при любых начальных условиях устанавливаетсярежим удержания или квазисинхронизма.
На практике полоса удержания Δfуд определяетсяпутем медленного изменения в режиме синхронизма частоты опорного генератора какв сторону повышения, так и в сторону понижения, до моментов выхода системы ФАП изсинхронизма. Разность найденных частот характеризует полосу удержания. Соответственнополоса захвата Δfз определяется по наступлению синхронизма системыФАП при медленном изменении начальной расстройки Δfн от большихзначений к малым путем изменения частоты опорного генератора. Для ФАП 1 — го порядкаΔfз = Δfуд = SуE, причем для шумовых возмущений со стороны входа системы — линеризированнаямодель ФАП является эквивалентом RC — фильтру с постояннойвремени t =1/ SдSуE, а установившаяся фазоваяошибка в режиме слежения jуст =arcsin (Δfн/ SуE). Для систем ФАП большего порядка полосы удержания и захватане равны друг другу.Элементы теории систем фазового регулирования. Система фазовойавтоподстройки частоты
Система фазовой автоподстройки частоты состоит из трех основныхэлементов: перемножителя, инвариантного во времени линейного фильтра иуправляемого генератора, рис. П.2.1.
Представим входной сигнал ФАП в виде/>, соответственно сигналуправляемого генератора ФАП — />, где А и K1 — соответственно эффективныенапряжения входного сигнала и сигнала генератора управляемого напряжением (ГУН),θ (t) — полная фаза входного сигнала, а θ'(t) — полная фаза сигнала ГУН, причем θ (t) = w0 t + θ1 (t) и θ'(t) = w0 t + θ2 (t), а θ1(t) и θ2 (t)- составляющие полной фазы относительно линейной фазы.
Еслu отключить управляющий сигнал е(t) от управляемого генератора, то генератордаст синусоидальный сигнал постоянной частоты w0.После подключения управляющего сигнала частота генератора становится равной [w0+ K2e (t)], где K2- коэффициент пропорциональности размерности радиан на секунду на вольт.
/>
Рис. П.2.1 Система фазовой автоподстройки частоты
Таким образом, частотасигнала ГУН, определяемая производной от полной фазы сигнала на выходеуправляемого генератора будет равна
/>
Сигнал x (t) на выходе перемножителя фазового детектора, равныйпроизведению сигналов входного сигнала и сигнала ГУН, определится выражением
/>
Слагаемое суммарной частоты ослабляется совместным действием фильтра иуправляемого генератора, так что его можно отбросить.
После прохождения сигналом фазового детектора линейногоинвариантного во времени фильтра сигнал е (t) на выходе равен
/>
Причем предполагается, что входной сигнал включен в момент t= 0. Слагаемое e0(t) представляет сигнал на выходе, зависящий только отначальных условий в схеме фильтра в момент t = 0. В случае, когданачальные условия можно выбирать произвольно, e0(t) º0 при любыхзначениях t.
Функция h (t) называется импульснойпереходной функцией фильтра и представляет обратное преобразование Лапласаот его передаточной функции F (р). В большинстве случаев линейный фильтрпредставляет электрическую схему, состоящую из линейных элементов ссосредоточенными постоянными (сопротивления, конденсаторы и индуктивности) и,возможно, из линейных усилителей. Соотношение между сигналами на входе и навыходе в такой системе описывается дифференциальным уравнением
/>
где т £п. Отношение двух многочленов
/>
называется передаточной функцией схемы, описываемойприведенным выше дифференциальным уравнением.
С учетом сделанных обозначений частота сигнала ГУНопределится выражением
/>
Определяя фазовую ошибку в виде /> а коэффициент усиления петлирегулирования ФАП как/>получим интегро-дифференциальноеуравнение, описывающее работу кольца фазовой автоподстройки при известной фазевходного сигнала q (t):
/>
Принимая во внимание, что
/>
/>
уравнение представляется в виде
/>
которому соответствует модель, изображенная на рис.П.2.2.
/>
Рис. П.2.2 Блок-схемасистемы фазовой автоподстройки частот
В схеме, полученной на основе математической модели, поотношению к схеме на основе физической модели, перемножитель заменяетсявычитающим устройством и синусоидальной нелинейностью, а управляемый генератор- интегратором. Последняя из упомянутых замен означает, что фаза выходногосигнала управляемого генератора пропорциональна интегралу управляющего сигнала.Следует заметить также, что усиление петли регулирования возрастает привозрастании амплитуды принятого сигнала. Если фаза принятого сигнала q (t) известна,то фазовую ошибку j (t) можно найти, решив нелинейное интегро-дифференциальноеуравнение.
Линейное приближение и переходный процесс
Если фазовая ошибка j(t) равна нулю, то говорят, что произошел «захват»фазы в системе фазовой автоподстройки частоты.
Если ошибка j (t) все время мала по сравнению с 1 рад, то можновоспользоваться приближением />, которое дает ошибку менее 5%. Вэтом случае говорят, что система регулирования близка к захвату фазы, асинусоидальную нелинейность может быть аппроксимирована линейной зависимостью.
В этом случае работа системы описывается линейнымуравнением, которое получается при замене sinφ на φ в интегро-дифференциальном уравнении
/>
которое в предположении, что преобразования Лапласасуществуют, в операторной форме имеет вид
/>
где F (p)- передаточная функция линейного фильтра, а j(р) — преобразование Лапласа для j(t), q(p) — преобразование Лапласа для q (t).
Уравнению соответствует блок-схема, изображенная на рис. П.2.3.
j(p)
q1(p)
q2(p)
1/p
F(p) />
Рис. П.2.3 Линейная модель системы фазовой автоподстройкичастот
Из интегро-дифференциального уравнения в операторной форменетрудно получить выражения для величины фазовой ошибки φ (р) ифазы θ2 (р) выходного сигнала ГУН, обеспечивающегослежения за изменениями фазы входного сигнала θ1 (р)
/>/>
Отношение Н (р) = θ2 (р) / θ1(р) и равное
/>
называется передаточной функцией замкнутой петлирегулирования. Используя ее, получим следующие соотношения между j (p), q1 (p),q2 (p):
/>,
/>.
Результат обратного преобразования:
/>
называется импульсной переходной функцией замкнутой петлирегулирования. Если F (p) являетсярациональной функцией, то Н (p) — также рациональная функция. Условиеустойчивости приводит к требованию, чтобы нули функции [1 + A K F (p)/p] находились в левой полуплоскости. Выполнив обратноепреобразование над θ2 (р) и φ (р), получим
/>
Полученные выражения позволяют исследовать работу ФАП приразличных законах изменения фазы входного сигнала θ1 (р).
Пусть, например, принимаемый сигнал имеет постоянную частотуw [рад/сек] и начальную фазу q0 и пусть всистеме регулирования не будет фильтра. Тогда
/>/>.
В этом случае q2(t) = (w-w0)t+q0,так что
/>
Обратное преобразование дает
/>
Если предел limj(t) существует, его называют установившейсяфазовой ошибкой. Из формулы для j (t) следует, что в рассматриваемом случае установившаясяфазовая ошибка равна (w-w0) / (AK)[рад], что означает, что управляемый генератор синхронизирован спринимаемым сигналом по частоте, но захват по фазе не может быть достигнут. Длятого чтобы линейная модель была применима, необходимо, чтобы величины (w-w0)/ (AK) и q0были малы.
Сохраняя тот же сигнал на входе, введем в систему фильтр,характеризуемый передаточной функцией/>. Такой фильтр состоит изпараллельного соединения прямого пути и идеального интегратора, имеющегоусиление а, как показано на рис. П.2.4 В данном случае передаточная функциязамкнутой петли регулирования имеет вид
/>
а преобразование Лапласа для фазовой ошибки соответственноравно
/>
Для определения величины установившейся фазовой ошибки можновоспользоваться предельной теоремой для преобразования Лапласа:
/>
Таким образом, введя в петлю регулирования второй интегратор, можносвести к нулю установившуюся фазовую ошибку в случае принимаемого сигнала,имеющего вид синусоиды постоянной частоты. Захваченная по фазе петлярегулирования без фильтра называется петлей регулирования первого порядка, апетля с фильтром, содержащим идеальный интегратор, называется петлейрегулирования второго порядка. Вообще, порядок системы регулирования равенчислу конечных полюсов передаточной функции разомкнутой системы, т.е. в данномслучае числу полюсов функции АКF (p) /p.
/>
Рис. П.2.4 Схема фильтра для ФАП-2
Если интегратор в фильтре не идеальный, рис.П.2.5, то передаточнаяфункция примет вид
/>
/>
Рис. П.2.5 Схема фильтра неидеальной петли ФАП-2
Она совпадает с передаточной функцией системы, состоящей изфильтра низких частот и усилителя и изображенной на рис. П.2.5, где а =1/R2C и e = l/ (R1 + R2)С. Эту схему легче реализовать, чем аналоговый интегратор, изображенныйна рис. П.2.4, ее передаточная функция будет близка к передаточной функциианалогового интегратора, если сделать R1гораздо больше R2 и скомпенсироватьослабление, применив усилитель с большим усилением.
Передаточная функция замкнутой системы равна
/>
При такой передаточной функции преобразование Лапласафазовой ошибки равно
/>
и ее установившееся значение будет
/>
что равно установившейся фазовой ошибке петли первогопорядка, уменьшенной в e/а раз. Это иявляется мерой степени приближения рассматриваемой петли к идеальной петлевторого порядка.
Наконец, рассмотримпринимаемый сигнал, частота которого линейно изменяется во времени
/>
где R есть скорость изменениячастоты в радианах в секунду за секунду. Это соответствует, например, случаюприема сигнала, передаваемого с помощью генератора постоянной частоты с бортасамолета, перемещающегося с постоянным радиальным ускорением Rc/w[м/сек2] по отношению к приемнику, где с — скоростьраспространения в метрах в секунду. Тогда
/>
Если для слежения за таким сигналом применить петлю первогопорядка [F (s) = I], то преобразование Лапласаошибки будет иметь вид
/>
и фазовая ошибка j(t) неограниченно возрастает при t®¥, как это следует изприменения предельной теоремы. Такой же результат получается для неидеальнойпетли второго порядка. Таким образом, необходимо применить по меньшей мереидеальную петлю второго порядка. В этом случае
/>
так что установившаяся фазовая ошибка будет равна
/>
Отсюда следует, что, чем больше величина усиления петли, тем меньшеошибка. Для того чтобы линейная модель, на которой было основано рассмотрение,была применима, фазовая ошибка должна быть мала по сравнению с 1 рад.
Установившуюся ошибку можно свести к нулю при помощи петли третьегопорядка. Для этого необходимо ввести в фильтр петли второй интегратор, какпоказано на рис. П.2.6 Передаточная функция фильтра будет
/>
Тогда передаточная функция замкнутой петли примет вид
/>
и преобразование Лапласа фазовой ошибки будет равно
/>
откуда следует, что установившаяся фазовая ошибка равнанулю.
Рассмотренные выше случаи сведены в табл.1. Из нее видно, в частности,что для отслеживания постоянной частоты (или угловой скорости) с конечнойошибкой достаточно применить петлю первого порядка, а для отслеживания линейноизменяющейся частоты (или углового ускорения) с конечной ошибкой необходимапетля второго порядка. Увеличение на единицу порядка системы приводит кустранению установившейся ошибки, а понижение порядка на единицу приводит кнеограниченному возрастанию ошибки.
Эти замечания справедливы для всех линейных систем регулирования.
Однако полученные количественные соотношения основаны на предположениио малости ошибки, которое дало возможность воспользоваться линейной моделью.
/>
Рис. П.2.6 Схема фильтра петли регулирования ФАП-3
Таблица 1Фаза принимаемого сигнала Порядок системы Передаточная функция фильтра Передаточная функция замкнутой системы Установившаяся ошибка Шумовая полоса ФАП
wt+q0 первый 1 AK/ (p+AK)
(w-w0) /AK AK/4
wt+q0 второй 1+a/p
AK (p+a) / (p2 +Akp+Aka) (AK+а) /4
wt+q0 второй (неидеальной) (p+a) / (p+e)
AK (p+a) / (p2 + (Ak+e) +Aka)
(e/a) ( (w-w0) /AK) (АК/4) * [ (AK+а) / (AK+ε)]
1/2 (Rt2+wt+q0) второй 1+a/p
AK (p+a) / (p2 +Akp+Aka) R/aAK (AK+а) /4
1/2 (Rt2+wt+q0) Третий
1+a/s+b/ s2
AK (s2+as+b) / (s3 +Aks2+aAks+bAK)
(АК/4) * [ (аAK+а2-b) / (aAK-b)]
Литература
1. Радиотехнические цепи и сигналы. Под ред. К.А. Самойло. — М.: Радио исвязь, 1982.
2. Э.Д. Витерби. Принципы когерентной связи. — М.: Советское радио, 1970.
3. Г.А. Емельянов, В.О. Шварцман. Передача дискретной информации. — М.:Связь, 1982.
4. В.С. Чернега. Проектирование технических средств обмена и передачиинформации. — М.: Высшая школа, 1990.
Д.А. Абдулаев, М.Н. Арипов.Передача дискретных сообщений в задачах и упражнениях. — М.: Радио и связь,1985.