Введение
Современнаятеория автоматического регулирования является основной частью теорииуправления. Система автоматического регулирования состоит из регулируемогообъекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при измененииодной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов(управления или возмущения), изменяются регулируемые переменные. Цель же регулированиязаключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемыепеременные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи вомногих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этомнеобходимо выбирать такой закон регулирования, при котором сигналы управленияпроходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически непропускались.
Теорияавтоматического регулирования прошла значительный путь своего развития. Наначальном этапе были созданы методы анализа устойчивости, качества и точностирегулирования непрерывных линейных систем. Затем получили развитие методыанализа дискретных и дискретно-непрерывных систем. Можно отметить, что способырасчета непрерывных систем базируются на частотных методах, а расчетадискретных и дискретно-непрерывных — на методах z-преобразования.
В настоящеевремя развиваются методы анализа нелинейных систем автоматического регулирования.Нарушение принципа суперпозиции в нелинейных системах, наличие целого рядачередующихся (в зависимости от воздействия) режимов устойчивого, неустойчивогодвижений и автоколебаний затрудняют их анализ. Еще с большими трудностямивстречается проектировщик при расчете экстремальных и самонастраивающихсясистем регулирования.
1. Описание исходнойсхемы автоматического регулирования
Поскольку объект регулированияявляется элементом или звеном АСР, то свойства АСР зависят, прежде всего, отсвойств объекта регулирования. Поэтому для создания работоспособной АСРобеспечивающей требуемое качество регулирования, необходимо, прежде всего,знать свойства объекта регулирования (спастические и динамические).
Объект регулирования лабораторногостенда представляет собой объект с распределенными параметрами, т.к.регулируемая величина (температура) неодинакова в различных точках объекта какв равновесном состоянии, так и переходном режиме.
Для увеличения инерционности объекта,которая должна быть в десять раз больше измеряемого в этом объекте датчиком,предусмотрен металлический стакан, наполненный стружкой, а котором расположендатчик температуры. Это поз.воляет увеличить теплообъем объекта.
Требуемая температура (эталонная)задается устройством на входе регулятора-задатчиком (tэ).
Фактическая температура преобразуетсяв сигнал устройством tф. Обозначая сигналы на выходе этих устройстваналогичными им буквами, выразим отклонение фактическое от требуемого в видесигнала: ∆t = tэ – tф; называемого отклонением или рассогласованием.Регулятор преобразует ∆t по определенному закону управления и включаетисполнительное устройство. В нашем случае задача регулятора – ликвидностьотклонения ∆t, вызванные действием возмущений В, т.е. различных нагрузокна объекты управления (изменение окружающей температуры, изменение положенияшибера и т.д.).
Может возникнуть еще ошибка ∆tза счет изменения tэ, но, поскольку является известной заранее функцией, ошибкатакже может быть рассчитана заранее и скомпенсирована. Подобная системаназывается системой программного регулирования или просто САР.
В стенде предусмотренодвухпозиционное регулирование. При этом необходимо открыть заслонку, чтобыэлектронагревательный элемент постоянно обдувался воздухом. Регулированиетемпературы происходит за счет включения или выключения релейным элементомнагревательного элемента.
Для определения динамических свойствобъекта в стенде установлен самопишущий прибор, который регистрирует изменениятемпературы в объекте и фиксирует их на диаграммной ленте.
Любой технологический агрегат,являющийся объектом регулирования ОР, работает в установившемся режиме, если внем полностью соблюдается материальный и энергетический баланс. Основнойпараметр, характеризующий условия протекания технологического процесса (в нашемобъекте это температура) в установившемся состоянии остается неизменной.
Зависимость выходной величины отвходной величины в установившемся режиме называется статической характеристикойОР. Статические характеристики могут быть как линейными, с различнымикоэффициентами наклона, так и нелинейными, при чем большинство реальныхобъектов в целом имеют нелинейные.
/>
Рис 1. Статические характеристики ОР.
Эти характеристики ОР даютвозможность оценить степень связи между различными входными и выходнымивеличинами объекта.
Статические характеристики определяютрасчетным или экспериментальным путем.
Динамической характеристикой объектарегулирования называется зависимость выходной величины от входной величины впереходном режиме.
Поскольку имения выходной величины ОРпри различных возмущениях могут происходить по-разному, для исследованиядинамических характеристик объекта обычно используют типовые внешниевоздействия.
Кривая разгона САР температуры(рис.2.) указывает динамические свойства ОР.
/>
Рис 1.2. Кривая разгона
По рисунку видно, что объект обладаетспособностью постепенно приостанавливать отклонение выходной величины отпервоначального значения и вновь восстанавливается равновесное состояние, т.е.объект обладает свойством самовыравнивания. Такие объекты называютсястатическими.
Объект обладает запаздыванием Тоб, ит.к. оно не значительно, в дальнейшем им будем пренебрегать.
Постоянная времени объекта Тоб – этоусловное время, в течение которого выходная величина изменилась бы отначального до нового установившегося значения, если бы это изменениепроисходило со скоростью, постоянной и максимальной для данного переходногопроцесса. Постоянная времени характеризует инерционность объекта, под которойпонимают его способность замедленно накапливать и расходовать вещество иэнергию, что становится возможным благодаря наличию в составе ОР сопротивлений иемкостей, препятствующих их поступлению и выходу.
Коэффициент передачи Коб ОР,представляет собой изменение выходной величины объекта при переходе изначального в новое в установившееся состояние, отнесенное к единичномувозмущению на входе.
Единичным возмущением считаютоднопроцентное изменение входной величины объекта (перемещение регулирующегооргана).
2. Динамическиеошибки в системах авторегулированияСистемы автоматического регулирования всегда находятсяпод влиянием двух видов воздействий: задающего и возмущающего. Задающеевоздействие определяет, каким должен быть выходной процесс, и оно единственное.Возмущающих воздействий может быть много и прикладываются они к различнымточкам системы, но в линейных системах всех их можно привести к входу и заменитьодним, более или менее сложным, возмущающим воздействием.
В следящей системетребуется, чтобы выходной процесс y(t) совпадал с задающим воздействием xз(t). Разница между ними является ошибкой δ(t) = xз(t) – y(t). Модель для расчета ошибки приведена на рис. 23.
/>
d(t)
xз(t)
y(t)
xв(t)
xз(t)
Кз(р)
Кр(р) />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Рис. 23
Изображение ошибки
Δ(p) = Xз(p) – Y(p) = Xз(p) – [Xз(p) + Xв(p)]Kз(р) =
= [1 –Kз(p)]Xз(p) – Kз(p)Xв(p) = Kош(p)Xз(p) – Kз(p)Xв(p). (10)
Как видим, ошибка состоитиз двух составляющих. Первая зависит от задающего воздействия и будетотсутствовать, если Кз(jω) = 1 во всем диапазоне частот,занятых спектром задающего воздействия. На практике частотная характеристика Кз(jω) отличается от 1 в области верхних частот. Значит,будут с ошибкой отрабатываться высокочастотные изменения задающего воздействия,и ошибка поэтому называется динамической. Вторая составляющая связана свозмущающим воздействием и появляется, если в области частот, занятых спектромвозмущающего воздействия, АЧХ замкнутой системы будет отлична от нуля.
Ошибка может определятьсяпри самых разнообразных задающем и возмущающем воздействиях. Обычно воздействиеберется одним из типовых: скачкообразным, гармоническим, полиномиальным илистационарным случайным процессом. Рассмотрим ошибки при двух последнихвоздействиях.
Если задающее воздействиеявляется медленно меняющимся процессом, то в течение некоторого временногоинтервала его можно описать полиномом: xз(t) = α0 +α1t + α2t2 +… Ошибку удобно представить в виде ряда по производнымвходного воздействия:
/>,
где коэффициенты Si определяются по передаточной функцииошибки Кош(p):
/>
/>.
Если S0 ≠ 0, система называетсястатической, если S0 = 0, –астатической. Число первых нулевых коэффициентов определяет порядок астатизма.
Ниже в таблице приведенывыражения для первых трех коэффициентов для систем с различными передаточнымифункциями Кр(р). Тип системы Статическая
Астатическая
1-го порядка
Астатическая
2-го порядка Kp(p)
K
/>(1+p)(1+pT)
K
/>p(1+pT)
K(1+p)
/>P2(1+pT) S0
1
/>1+K S1
K(1+T)
/>(1+K)2
1
/>K S2
K[(1+K)T-(1+T)2]
/>(1+K)3
KT – 1
/>K2
1
/>K
Практический интереспредставляют ошибки для каждого из слагаемых полиномиального воздействия. Есливоздействие постоянно (xз = =x0), то ошибку называют статическойδст; если xз(t) = Vxt, – скоростной δск, а при xз(t)=аxt2/2 – ошибкой по ускорению δуск. Так как эти воздействияимеют конечное количество производных, то ошибки определяются первыми членамиряда:
δст = S0x0,
δск = S0Vxt + S1Vx, (11)
δуск = S0axt2/2 + S1axt + S2ax.
Для расчета этих ошибокнадо знать только три первых коэффициента.
На рис. 24 показано, как отрабатываются постоянное илинейное воздействия в статической и астатических системах. Видим, чтостатическая система обладает наибольшими ошибками. Чем выше порядок астатизма,тем точнее система отрабатывает полиномиальное воздействие.
б
а
Стат
Стат
Аст1
Аст2
Аст
t
t />/>/>
y(t) />/>
y(t) />
x(t) = Vxt
x(t) = x0
y
y
x
x />/>/>/>/>/>/>/>/>Рис. 24
Рассмотрим теперь ошибкипри случайных воздействиях. Задающее воздействие описывается медленноменяющимся случайным процессом, спектральная плотность Sxз(ω) которого сосредоточена в области низких частот.Возмущающее воздействие является широкополосным процессом со спектральнойплотностью Sxв(ω), и его часто считают белымшумом. Если задающее и возмущающее воздействия некоррелированы, то всоответствии с выражением (10) энергетический спектр динамической ошибки
Sдин(ω) = Sxз(ω)|Кош(jω)|2.
Дисперсия динамическойошибки
/>.
Дисперсия ошибки по возмущению
/>.
Рассмотрим, как влияеттип системы (статическая или астатическая) на ошибки при случайныхвоздействиях. На рис. 25, а изображены ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы для трехтипов систем, передаточные функции которых приведены в таблице. Этихарактеристики различаются лишь в области нижних частот, а в области средних иверхних частот одинаковы. Если коэффициент передачи разомкнутой системы К достаточно большой, то
/>
и АЧХ замкнутой системы для всех трех типов будутблизки друг к другу (см. рис. 25, б). Следовательно, статическая и астатическиесистемы будут иметь примерно одинаковые ошибки.
б
а />/>/>
Аст2
Аст1
Стат
Кз(w) />/>/>/>
1
0,5
К
10
1
0,1
w, рад/с />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Стат
Аст1
Аст2
100
10
0,1
w, рад/с
-p
40
j, рад
L, дБ />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Рис. 25
Как правило, изменениекакого-либо параметра системы (коэффициента передачи К или постоянной времени Т) приводитк противоположному изменению дисперсий динамической ошибки и ошибки повозмущению. Рассмотрим это на примере астатической системы первого порядка.
Допустим, задающеевоздействие формируется из белого шума с спектральной плотностью Sз0 пропусканием его черезинтегрирующую цепь с постоянной времени Tx. Тогда дисперсия задающего воздействия
автоматическийрегулирование передача
/>.
Для расчета дисперсиидинамической ошибки нужно знать частотную характеристику ошибки Кош(jω):
/>.
Дисперсия динамическойошибки:
/>.
Вводя относительныевеличины α = 1/Tx и β = T/Tx и учитываявыражение для дисперсии задающего воздействия, получаем:
/>. (12)
Видим, что при К = 0 дисперсия динамической ошибкиравна дисперсии задающего воздействия. Это объясняется тем, что при К = 0выходной процесс y(t) = 0 и ошибка становится равнойзадающему воздействию. С увеличением коэффициента передачи К дисперсия уменьшается и стремится кпостоянной величине, равной β. На первый взгляд может показаться, чтополучен результат, противоречащий здравому смыслу. Ведь с увеличениемкоэффициента передачи разомкнутой системы расширяется полоса пропусканиязамкнутой системы, значит, должны лучше отрабатываться высокочастотныесоставляющие задающего воздействия, и ошибка должна стремиться к нулю. Ноникакого противоречия нет. Результат объясним, если учесть форму частотнойхарактеристики ошибки. С увеличением К уменьшается запас устойчивости по фазеи, следовательно, увеличивается подъем АЧХ замкнутой системы в области верхнихчастот. А так как Кош(jω) = 1 – Кз(jω), то уменьшение спектральной плотности задающеговоздействия компенсируется увеличением модуля частотной характеристики ошибки.
Дисперсия ошибки повозмущению при условии, что возмущающее воздействие является белым шумом соспектральной плотностью Sв0,равна:
/>.
Дисперсия пропорциональнакоэффициенту передачи разомкнутой системы и не зависит от постоянной времени Т.Это объясняется следующим образом. При малом К, когда К 1/T, частота среза увеличивается вменьшей степени, чем растет К, но из-за уменьшения запаса устойчивости по фазе в АЧХ замкнутойсистемы появляется подъем в области верхних частот. Это иллюстрируетсячастотными характеристиками, представленными на рис. 26. Площадь под |Кз(jω)|2 остается неизменной, а именно онаопределяет дисперсию ошибки по возмущению.
Дисперсия суммарнойошибки при некоррелированных задающем и возмущающем воздействиях σ2Σ= σ2дин + σ2воз. Зависимость дисперсий
/>/>/>
0 />/>/>
w, рад/с />/>/>/>
Кз(w)
Т = 0
Т = 0,02с
Т = 0,05с
Т = 0,1с
3
2
1
К
100
50
20
10 />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Lр(w)
0
40
20
1
10
w, рад/с
L, дБ />/>/>/>/>/>/>Рис. 26
ошибок от коэффициентапередачи К приведена нарис. 27.Видим, что существует оптимальный коэффициент передачи К, при которомдисперсия суммарной ошибки минимальна, хотя этот оптимум не очень ярко выражени при изменении коэффициента передачи в 2 раза дисперсия практически неизменяется. Если задающее и возмущающее воздействия коррелированы, то прирасчете ошибок нужно учесть составляющие, связанные с взаимными энергетическимиспектрами воздействий.
Исследование проводитсяпараллельно на трех идентичных моделях (рис. 28). Модель содержит два линейныхзвена, задаваемых передаточными функциями. Передаточную функцию второго звенапринять равной К/(1 + pT), а первого – в зависимости от типасистемы: для статической – 1/(1 + p), для астатической первого порядка – 1/p, для астатической второго порядка – (1 + р)/p2./>Рис. 28
На вход системы можноподать любое из воздействий: постоянное, линейное, квадратичное илиузкополосный случайный процесс, подсоединив выход соответствующего блока квходу системы.
Заключение
Формирование систем автоматическогорегулирования, как правило, выполняют на основе аналитических методов анализаили синтеза. На этом этапе проектирования систем регулирования на основепринятые допущений составляют математическую модель системы и выбираютпредварительную ее структуру. В зависимости от типа модели (линейная илинелинейная) выбирают метод расчета для определения параметров, обеспечивающихзаданные показатели устойчивости, точности и качества. После этого уточняютматематическую модель и с использованием средств математического моделированияопределяют динамические процессы в системе. При действии различных входныхсигналов снимают частотные характеристики и сравнивают с расчетными. Затемокончательно устанавливают запасы устойчивости системы по фазе и модулю и находятосновные показатели качества.
Далее, задавая на модельтиповые управляющие воздействия; снимают характеристики точности. На основанииматематического моделирования составляют технические требования на аппаратурусистемы. Из изготовленной аппаратуры собирают регулятор и передают его наполунатурное моделирование, при котором объект регулирования набирают в видематематической модели.
Развитие теорииавтоматического регулирования на основе уравнений состояния и z-преобразований,принципа максимума и метода динамического программирования совершенствует методикупроектирования систем регулирования и позволяет создавать высокоэффективныеавтоматические системы для самых различных отраслей народного хозяйства.Полученные таким образом системы автоматического регулирования обеспечиваютвысокое качество выпускаемой продукции, снижают ее себестоимость и увеличиваютпроизводительность труда.
Список литературы:
1.Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радиотехника, 2003. 288с.
2. ПервачевС.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1982. 296 с.
3.Радиоавтоматика: Учебное пособие / Под ред. В.А.Бесекерского. М.: Высшая школа,1985.271 с.
4. Системырадиоавтоматики и их модели: Учеб. пособие / Ю.Н.Гришаев; Рязан. радиотехн.институт. Рязань, 1977. 46 с.
5.Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.:Связь, 1972.448 с.
6. Синтезчастотных характеристик линейных систем автоматического регулирования: Метод.указания / Рязан. гос. Радиотехн.акад.; Сост. Ю.Н.Гришаев. Рязань, 2000. 12 с.