МинистерствоТоплива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Практическое занятие №3
подисциплине
«ИспользованиеЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»
Тема: ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS ДЛЯРЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКА.
Вариант№8
Выполнил: студент группыЭСЭ 22-В
Левицкий П.В.
Проверил:_______________________
Севастополь2008
ПЛАН
1. Данные вариантазадания.
2. Решение дифференциального уравненияN-го порядка
2.1. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощихарактеристического уравнения:
· при y(t) = 0 и заданных начальных условиях ;
· при y(t) = 1(t) инулевых начальных условиях;
· при y(t) = 1(t) изаданных начальных условиях;
· при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;
2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом:
· при y(t) = 0 и заданных начальных условиях;
· при y(t) = 1(t) инулевых начальных условиях;
· при y(t) = 1(t) изаданных начальных условиях;
· при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;
1.Данные варианта задания
ПРИЛОЖЕНИЕ №1
( к практическому занятию№3)
Дифференциальное уравнения4-го порядка
/>/>
Т а б л и ц а № 1
№
вар Коэффициенты дифференциального уравнения 4–го порядка Правая часть уравнения и начальные условия
а0
а1
а2
а3
а4
b0
y(t) = 1(t)
x0(0) = 1
x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0
y(t) = cos(aּπּt)
x0(0) = -1
x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0 8 10 20 1.7 0.16 0.08 10 a = 0.35
2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка
2.1 Решениедифференциальных уравнений N-го порядкаметодом интегрирования при помощи характеристического уравнения
2.1.1При y(t) = 0 и заданных начальных условиях
Дифференциальноеуравнение 4-го порядка, описывающее динамические процессы электротехническойсистемы имеет вид:
Водимуравнение, пользуясь панелью «Исчисления» в Mathcad.
/>
При заданныхпо условию значениях коэффициентов, уравнение примет вид:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Данноелинейное дифференциальное уравнения 4-го порядка преобразуем
в системудифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Обозначим:
/> />
/>
/>
/>
/>
Зададимвектор начальных значений:
/>
СПРАВКА: ВMathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решатьпоставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численными методами.
· rkfixed(y0,t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,
· Rkadapt(y0,t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
· Buistoer(y0,t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;
o у0 —вектор начальных значений в точке to размера NXI;
o t0 —начальная точка расчета,
o t1 —конечная точка расчета,
o M —число шагов, на которых численный метод находит решение;
o D —векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у Приэтом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.
Таким образом,воспользуемся функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решениясистемы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута наинтервале от t0до t1 при M фиксированных шагахрешения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнениядинамики электротехнической системы с помощью встроенной функции rkfixed выглядиттак:
Зададиминтервал интегрирования t0 — t1, количество шагов интегрирования М,вектор заданных начальных условий ic и правую часть дифференциального уравнения y(t):
/>
/>
/>
/>
/>
Сформируем матрицу системы дифференциальныхуравнений, соответствующую заданному дифференциальному уравнению 4-го порядка.
/>
Применимфункцию:
/>
/>
-Интервалвремени.
/>
-Значениеискомой координаты.
/>
Рисунок1.Матрица решений системы уравнений.
По этойтаблице можно определять расчётные значения исходного вектора на заданном шаге.
Результатычисленного решения дифференциального уравнения можно вывести в виде таблицы спрокруткой времени и искомой неизвестной (см файл в Mathcad). Согласно выбранному Мполучили 1500 строк.
/>/>
/>/>
Рисунок2.Результаты пошагового решения дифференциального уравнения, представленные ввиде таблицы.
Графическоепредставление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-гопорядка в декартовой системе координат представлено на рисунке 3. Графикизображён так, что можно проверить значения строки 1500. При Т=150,Х=4,563*10^130
/> />
Рисунок 3.Графическое представление результатов численного решения дифференциальногоуравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 0 и заданныхначальных условиях.
2.1.2 При y(t) = 1(t) и нулевыхначальных условиях
В этом случаенеобходимо изменить начальные условия и задать правую часть дифференциальногоуравнения.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
Рисунок 4.Графическое представление результатов численного решения дифференциальногоуравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и нулевых начальныхусловиях.
2.1.3 При y(t) = 1(t) изаданных начальных условиях
Изменимусловия решения дифференциального уравнения. Зададим начальные условия дляискомой переменной х0(0) = 1, начальные условия для другихпеременных равны нулю.( x1(0)= x2(0)= x3(0) = 0).См.таблицу1.
/>
Рисунок 5.Графическое представление результатов численного решения дифференциальногоуравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальныхусловиях. х0(0) = 1
Зададимначальные условия для искомой переменной х0(0) =- 1, начальныеусловия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).
/>/>
/>/>
Рисунок 6.Графическое представление результатов численного решения дифференциальногоуравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальныхусловиях х0(0) =- 1.
2.1.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях.
a= 0.35
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
Рисунок 7.Графическое представление результатов численного решения дифференциальногоуравнения 4-го порядка в декартовой системе координат.
При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35)._
При y(t) = cos(aּπּt) и ненулевых начальных условиях.
a= 0.35
/>/>
Рисунок 8.Графическое представление результатов численного решения дифференциальногоуравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальныхусловиях(a= 0.35; x0(0)= -1).
2.2. Решение дифференциальныхуравнений N-го порядка операторнымметодом.
2.2.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )
Кдифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа призаданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомойпеременной:
К линейныедифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применимпреобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменныекомплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторноедифференцирование- умножением на S^2 и т.д.
/>
/>
/>
Используяобратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:
/>
/>
На рис. 9.показаны графики изменения переменной, полученных в результате решениязаданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) иоператорным методом (Н(t)).
/>
Рисунок 9.Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решениядифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданныхначальных условиях.
2.2.2При y(t) = 1(t) и нулевых начальныхусловиях
/>-Изображение поЛапласу y(t) = 1(t)
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок10.Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решениядифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальныхусловиях.
2.2.3 При y(t) = 1(t) изаданных начальных условиях
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок11.Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решениядифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.
2.2.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях
/>
/>
/>
/>
Рисунок11.Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решениядифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальныхусловиях;
3.Выводы по работе №3
В процесседанной практической работы я изучилвозможности математического пакета MathCad в среде Windows для решениядифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетахэлектротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальныхуравнений N-го порядка. Заданное уравнение 4-го порядка описывает динамическиепроцессы электротехнической системы. Оно было преобразовано в системудифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Мывоспользовались функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получили матрицу решениясистемы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута наинтервале от t0до t1 при M фиксированных шагахрешения и правыми частями уравнений, записанными в D. Получено численное играфическое представление результатов.
Решениеуравнения операторным методом предполагает применение преобразования Лапласа. Вданной работе мы использовали преобразование Лапласа к искомой переменнойсистемы, в частности, теорему о дифференцировании оригинала и свойстволинейности преобразования Лапласа. Мы применили преобразование Лапласа (функцияlaplace), чтобы переменныевещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента s, дифференцированиезаменить умножением на s, повторное на s в квадрате и т.д. Из полученных в комплексной областиалгебраических уравнений нашли отношение выходной характеристики к входной. Этоизображение обычно представляет собой передаточную функцию системы автоматическогоуправления. Используя обратное преобразование Лапласа( функция invlaplace), найден оригиналискомой переменной.
Графикиизменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциальногоуравнения двумя методами совпадают.