Иерархическоеуправление большими системами.
Большая система, как этократко было описано в главе 1, — это сложная система, составленная из множествакомпонентов или меньших подсистем, которые выполняют свои функции, имеют общиересурсы, и управляемая взаимосвязанными целями и ограничениями (Machmoud, 1977; Jamshidi, 1983). Хотя взаимодействиеподсистем может быть организованно в различных формах, одна из общеизвестных –это иерархическая, которая естественна для экономики, менеджмента, в управлениипредприятиями, в смешанных отраслях промышленности, таких как роботостроение,производство нефти, стали и бумаги. В этих иерархических структурах, подсистемырасположены на уровнях с различными степенями иерархичности. Подсистема накаком-либо уровне управляет или координирует подсистемы, расположенные науровне ниже ее, и, в свою очередь, управляется или координируется подсистемойрасположенной уровнем выше. Рисунок 4.1 показывает типичную иерархическую(многоуровневую) систему. Верхний уровень управления, иногда его называют координаторвысшего уровня (supremalcoordinator), можно сравнить с советомдиректоров корпорации, в то время как другие уровни можно сравнить спрезидентом, вице-президентом, директорами и т.д. Низший уровень может быть,например, управляющим завода, директором магазина и т.д. тогда как сама большаясистема – это корпорация. Несмотря на то, что представление иерархическойструктуры кажется вполне естественным, ее точное поведение еще не совсемизучено, из за того, что сделано мало исследований в области больших систем (March and Simon, 1958). Mesarovic и др. (1970) представили один из самых ранних формальныхколичественных подходов к иерархической (многоуровневой) системе.С тех пор былосделан много работ в этой области (Schoeffler and Lasdon, 1966; Benveniste et al., 1976; Smith and Sage, 1973; Geoffrion, 1970; Schoeffler, 1971; Pearson, 1971; Cohen and Jolland, 1976; Sandell et al., 1978; Singh,1980;Jamshidi, 1983; Huang and Shao, 1994a,b). Заинтересованный читатель можетнайти относительно исчерпывающую информацию об управлении многоуровневымисистемами и их применении в работе Mahmoud (1977).
В этом разделе даноописание понятия «иерархия», свойств и типов иерархических процессов ипредставлены некоторые причины для их существования. Полная оценкаиерархических методов представлена в разделе 4.6.
Ниже представленыосновные свойства иерархических систем, хотя они не общеприняты:
1. Иерархическаясистема состоит из управляющих блоков, которые организованны по принципупирамиды.
2. У системы естьобщая цель, которая может совпадать или не совпадать с целью отдельныхкомпонентов системы.
3. Различные уровнииерархии системы многократно обмениваются информацией между собой (обычновертикально).
4. С увеличениемуровня временной диапазон тоже увеличивается, то есть компоненты нижних уровнейбыстрее, чем компоненты верхних.
В иерархических(многоуровневых системах) можно выделить три основные структуры, в зависимостиот параметров модели, искомых переменных, поведения и окружающей среды,изменчивости и существования множества взаимоисключающих целей и задач.
1. Многопластовая иерархическаяструктура. В этой многоуровневой структуре уровни называют пластами. Подсистемынижнего уровня дают более точное описание большой системы, чем подсистемыверхнего уровня.
2. Многослойнаяиерархическая структура. Эта структура является результатом сложности процессарегулирования. Задачи управления распределены вертикально, как показано нарисунке 4.2 (Singh and Titli, 1978). В многослойной системе, которая изображена нарисунке, регуляция (на первом уровне) является прямым управлением, а за нимследует оптимизация (вычисление контрольных точек регуляторов), адаптация (непосредственнаяадаптация закона управления и модели управления) и самоорганизация (выбормодели и управление как функция параметров окружающей среды).
3. Многозвеннаяиерархическая система. Это самая распространенная из всех трех структур; онасостоит из нескольких подсистем, которые располагаются на уровнях такимобразом, что каждый уровень (как описано выше) может управлять подсистемаминижнего уровня, и управляется подсистемами верхних уровней. Эта структура, изображеннаяна рис 4.1, принимает во внимание взаимоисключающие цели и задачи различныхподуровней. Другими словами, ступени высшего уровня достигают взаимоисключающихцелей путем ослабления взаимодействия между ступенями низшего уровня. Распределениезадачи управления данной структуры показано на рисунке 4.2 и, в отличие отмногослойной структуры, – горизонтально.
Кроме вертикального игоризонтального распределения задач управления, существует третий способ –временное или функциональное распределение. Это распределение, дающееподсистемам функциональную оптимизацию проблемы, заключается в декомпозициизадачи на конечное число простых задач оптимизации на нижнем уровне и врезультате дает немалое сокращение вычислений. Эта схема использовалась дляиерархического управления дискретными системами у Jamshidi (1983).
Далее в этой главеговорится о том, как можно эффективно управлять иерархическими системами,используя процессы, известные как декомпозиция и согласование. Эти два процессапредставлены на рис 4.3. В итоге, определение иерархического управления: (а)декомпозиция – разделение системы на множество подсистем, и (б) согласованиеработы этих подсистем, пока не будет достигнуто оптимальное управление всейсистемой (посредством многоуровневого итеративного алгоритма).
В разделе 4.2 описанавозможность применения согласования для иерархических систем. раздел 4.3посвящен управлению по разомкнутому контуру. Управлению по замкнутому контурупосвящен раздел 4.4, так же в нем даны определения «interaction prediction» и метода структурных возмущений. Вразделе 4.5 описано иерархическое управление, основанное на разложение на рядыТейлора и Чебышева. Проблема управления решается линейными алгебраическимиуравнениями. На примерах показаны различные методы решений. Оптимизациялинейных и нелинейных иерархических систем описана в главе 6. раздел 4.6содержит дальнейшее развитие методов иерархического управления.
4.2.Согласование иерархических структур.
Как было сказано впредыдущем параграфе, большие системы могут быть иерархически управляемы, длячего сначала надо провести декомпозицию на подсистемы и, затем согласоватьполученные подзадачи, преобразовывая сложную систему в многоуровневую. Этогопреобразования можно достичь различными путями. Однако, все эти пути, по сути, естькомбинация всего двух отдельных подходов: согласование модели (feasible) и согласование цели (dual-feasible). и методы описаны в следующих двухпараграфах, на примере статической оптимизации системы, состоящей из двухподсистем (динамическое программирование).
4.2.1Метод согласования модели.
Рассмотрим следующую статическуюоптимизационную задачу:
/> (4.2.1)
/> (4.2.2)
где x – вектор состояния системы, u – вектор управления, y – вектор взаимодействия междуподсистемами. Декомпозируем задачу и ее целевую функцию на две подсистемы:
/> (4.2.3)
и
/> (4.2.4)
где xi, ui, yi – управляющиевекторы системы и выходные векторы i-й подсистемы, соответственно. Такая декомпозиция дает функциюпроизводительности (функционал) для каждой подсистемы. Однако, вектора yi, i=1,2 подсистем взаимосвязаны. Цель метода согласования модели– преобразовать общую задачу в двухуровневую задачу установки значений векторовy1 и y2 в некоторые значения wi, i=1,2:
/> (4.2.5)
Данная задача разделяетсяна две последовательные подзадачи:
Первый уровень подсистемыi:
/> (4.2.6)
/> (4.2.7)
Второй уровень:
/> (4.2.8)
Эту минимизацию можнопредставить как:
/> (4.2.9)
/> (4.2.10)
В этой процедуресогласования переменная wi,которая фиксирует изменения переменной yi, называется переменной согласования. Кроме того, внутренниеизменения фиксируются добавлением вынужденной составляющей мат модели, этапроцедура называется согласованием модели. Другими словами, сам фактпредставления всех промежуточных значений переменных x, u и y, так же называется метод точнойдекомпозиции. Следовательно, система может оперировать с теми промежуточнымипеременными, которые ведут к локальной оптимизации. Первый уровень задачификсируется точным взаимодействием переменных с первоначальной задачейоптимизации, пока определяется задача выделения согласующих переменных второгоуровня.
Методсогласования цели.
Рассмотрим задачу статическойоптимизации (4.2.1)-(4.2.2). В методе согласования цели удаляются все связимежду подсистемами. Выходную переменную i-й подсистемы обозначим как yi, а входную – zi. Пустьвсе связи между подсистемами отсутствуют, т.е. />. При этом условии, zi действует как случайно управляемаяпеременная и оптимизирует подсистему подобно x, u и y. Кроме того, задача оптимизации,рассмотренная в предыдущем параграфе, решена для уже разделенной на двеподсистемы системой, где разделены взаимодействия подсистем и их целевыефункции. Далее необходимо убедится, что все подсистемы вместе решаютпервоначальную задачу, для этого должно выполнятся правило уравновешенноговзаимодействия, т.е. независимого выбора yi и zi длярешения (Mesarovic и др., 1969; Schoeffler, 1971).
Опишем процедурудекомпозиции задачи на отдельные подзадачи, которые содержат задачи первогоуровня. Второй уровень решения управляет первым, опираясь на правилоуравновешенного взаимодействия. С точки зрения математики, это многоуровневуюформулировку можно записать с помощь параметра веса />, который определяет штрафсистемы, где не сбалансировано взаимодействие. Целевая функция примет вид:
/> (4.2.11)
где /> – вектор параметроввеса (положительных и отрицательных), которые изменяют целевую функцию взависимости от разности y-z. Введем переменную z, тогда решение системы примет вид:
/> (4.2.12)
/> (4.2.13)
Набор допустимых системныхпеременных определяется так:
/> (4.2.14)
Целевая функцияминимизируется посредством S0:
/> (4.2.15)
Приняв за штраф /> и учитывая(4.2.11)-(4.2.13), задача первого уровня формулируется как:
Подсистема 1:
/> (4.2.16)
/> (4.2.17)
Подсистема 2:
/> (4.2.18)
/> (4.2.19)
Второй уровень управляетсогласованием переменной />, исходя из невязки по выходу:
/> (4.2.20)
Из задачи второго уровняясно, что согласующей переменной х управляют до тех пор, пока ошибка е недостигнет нуля, т.е. баланс взаимодействия поддерживается посредством целевойфункции задач первого уровня (4.2.16) и (4.2.18) и через переменную />, отсюда иназвание – согласование цели. На рис 4.4 изображено двухуровневое решение черезсогласование цели. Читатель может сравнить схемы 4.4 и 4.5.
Позже мы увидим, чтопеременную согласования а можно истолковать как вектор управления Лагранжа изадачу второго уровня можно решить через хорошо известные итеративные поисковыеалгоритмы, такие как метод градиента, Ньютона и скоростного градиента.
4.3Иерархическое управление линейными системами.
В этом разделе формулировкасогласования цели для многоуровневых систем применяется к большим линейнымнепрерывным системам в контексте управления по разомкнутому циклу. Кромеподхода с балансом взаимодействия обсуждается так же другая схема, известнаякак метод наблюдения взаимодействия.
Пусть большаядинамическая взаимосвязанная система представлена в виде следующего уравнениясостояния:
/> (4.3.1)
где х и u – это векторы состояния (n x l) и управления (m x l). Принято считать, что система можетбыть разложена на N взаимосвязанныхподсистем si, i=1,…,N, иуправление состояния i-йподсистемы может быть представлено как:
/>, (4.3.2)
где x, u, xi, ui – имеют размерность n, m, ni, mi, соответственно, а gi – представляет взаимосвязи в i-й подсистеме, и:
/> (4.3.3)
/> (4.3.4)
Задачей оптимальногоуправления является поиск управляющих векторов u1,…,uN,таких, что оценочная функция
/> (4.3.5)
минимизирует объект(4.3.1) и подходящая область:
/> (4.3.6)
Учитывая возможностьдекомпозиции системы (4.3.1) на Nсоединенных подсистем (4.3.2), можно разложить ценовую функцию (4.3.6) ивзаимосвязи gi(x,t) (4.3.2), как:
/> (4.3.7)
/> (4.3.8)
/> (4.3.9)
где zi – вектор содержащий линейную (илинелинейную) комбинацию состояний Nподсистем. Исходя из описанных предположений, задача оптимального управлениябольшой системой может быть записана как:
/> (4.3.10)
/> (4.3.11)
/> (4.3.12)
/> (4.3.13)
Эта проблема, известнаякак иерархическое управление, была решена двухуровневой оптимизациейстатистической задачи в предыдущем параграфе. Применение двухуровневогосогласования цели для больших линейных систем описано далее.
4.3.1Двухуровневое согласование линейных систем
Рассмотрим большуюлинейную стационарную систему:
/> (4.3.14)
Система может бытьдекомпозирована как:
/> (4.3.15)
где вектор взаимодействия(k x l), записанный как:
/> (4.3.16)
это линейная комбинациясостояний N-1 подсистем, и Gij – это матрица ni x nj. Первоначальная задача оптимального управления системойсводится к оптимизации Nподсистем, которые удовлетворяют (4.3.15)-(4.3.16) и минимизируют:
/> (4.3.17)
где Qi – это неотрицательно определеннаяматрица ni x ni, Ri и Vi – это положительно определенныематрицы mi x mi и ki x ki, где
/> (4.3.18)
Физическая интерпретацияпоследнего слагаемого в интеграле (4.3.17) – это неточность в данной точке.Фактически, определяя это слагаемое, как будет видно дальше, мы избегаемвыраженных управлений. «Согласование цели» и «баланс взаимодействия»использованные у Mesarvic и др.(1970), так же известны как задача «linear-quadratic» у Pearson (1971) и передача у Singh (1980) и Jamshidi (1983).
В этой декомпозициибольшой взаимосвязанной линейной системы общие коэффициенты связи между ее N подсистемами – это переменнаявзаимосвязи zi(t), которые, вместе с (4.3.15)-(4.3.16), образуют ограничениесвязи. Эта формулировка называется глобальной и обозначается SG. Можно сделать следующее допущение.Глобальная проблема SG заменяетсягруппой N подзадач, соединенных вместе черезвектор параметров a=(a1,…,aN) и обозначенных si(a), i=1,…,N. Другимисловами, глобальная системная задача SG включена в группу подсистемных проблем si(a) через внутреннийпараметр (Sandell и др., 1978) таким образом, что для определенногозначения a*, подсистемы Si(a*), и i=1,…,N, дают желаемое решение для SG. Используя обозначенияиерархического управления, эта внутренняя идея это и есть понятие согласования,но используя терминологию математического программирования задач, онаназывается основной проблемой (Geoffrion, 1970). На рисунке 4.6 изображена двухуровневая структура управлениябольшой системой. Под этой стратегией, на i-й итерации каждый местный контроллер i получает /> от координатора (второй уровеньиерархии), решает /> и передает (сообщает) некоторуюфункцию /> этогорешения координатору.
Координатор, в своюочередь, оценивает следующее значение />, т.е.:
/> (4.3.19)
где ei – это l-й размер шага итерации, и новый компонент dl, как мы вскоре увидим, часто беретсяза функцию ошибка взаимодействия:
/> (4.3.20)
Внутреннюю переменнуювзаимодействия zi(*) в (4.3.20)можно считать частью управляющей переменной доступной для контроллера i, в этом случае вектор параметра a(t) является набором двойных переменных или множителемЛагранжа, который соответствует ограничениям уравнения взаимодействия (4.3.16).Фундаментальная идея, которая стоит за этим подходом должна преобразоватьзадачу поиска минимума первоначальной системы в более легкую задачу поискамаксимума, решение которой можно получить посредством двухуровневой итеративнойсхемы. Которая обсуждалась выше.
Введем двойную функцию
/> (4.3.21)
к объекту (4.3.15), где ЛагранжианL(*) определен как:
/> (4.3.22)
где вектор параметра асостоит из k множителей Лагранжа. Таким образом, первоначальноограниченная (взаимодействием подсистем) оптимизационная задача превращается внеограниченную, другими словами ограничение (4.3.16) удовлетворяется черезопределение набора множителей Лагранжа ai, i=1,…,k. В таких случаях, когда функцииограничений выпуклые, теорема сильной двойственности Лагранжа (Geoffrion, 1971a, b; Singh, 1980) показывает, что
/> (4.3.23)
определяя, чтоминимизация J в (4.3.17) для объекта(4.3.15)-(4.3.16) эквивалентна максимуму двойной функции q(a) в (4.3.21) по параметру a. Чтобы облегчить решение этой задачи, замечено, что дляопределенного набора этих множителей Лагранжа а=а*, Лагранжиан можно переписатьв виде:
/>(4.3.24)
который обнаруживает, чтодекомпозицию применяют к Лагранжиану таким образом, что, подлагранжиан Li существует для каждой подсистемы. Каждая подсистема будетстремиться минимизировать свой собственный подлагранжиан Li, как определенно в (4.3.24) дляобъекта (4.3.15) и используя множители Лагранжа a*, которые считаются известными функциями на первом уровнеиерархии. Результат каждой такой минимизации позволит определить двойственнуюфункцию q(a*) в (4.3.21). На втором уровне, на котором решение всехподсистем первого уровня известны, значение q(a*) будет изменено типичнойнеограниченной оптимизацией, например метод Ньютона, градиента или скоростногоградиента. Градиентные методы используются потому, что градиент q(a)определяется:
/> (4.3.25)
это ошибки взаимодействияподсистем, которые известны из решений первого уровня и /> определяет градиент f по х. На втором уровне вектор a изменяется по формуле (4.3.19) ирисунку 4.6. Если применяется градиентный метод (с крутым склоном), вектор dl в (4.3.19) является просто l-й итеративной ошибкой взаимодействияel(t). Однако, для повышения точности вычислений определимскоростной градиент как:
/> (4.3.26)
где
/> (4.3.27)
и d0=e0. Как только вектор ошибки e(t) достигает нуля,появляется оптимальное иерархическое управление s. Ниже дана пошаговая процедура вычисления для методасогласования цели иерархического управления.
Алгоритм 4.1. Методсогласования цели.
Шаг 1. Для каждойподсистемы первого уровня, минимизируем каждый подлагранжиан Li, используя известный множительЛагранжа a=a*, так как подсистемы линейные, может быть использовано уравнениеРиккати. Сохраним решение. (Читатели не знакомые с уравнением Риккати могутпрочитать раздел 4.3.2, метод прогнозирования взаимодействия).
Шаг 2. На втором уровнеиспользуется итеративный метод скоростного градиента, похожий на(4.3.26)-(4.3.27), чтобы изменить траектории a*(t) как в (4.3.19).Как только общая ошибка взаимодействия системы будет нормализована из
/> (4.3.28)
и будет достаточно мала,будет достигнуто оптимальное решение для системы. Здесь /> – размер шага интегрирования.
Два примера нижеиллюстрируют метод согласования цели или баланса взаимодействия. Первый пример,который был предложен Pearson(1971), и позже рассмотрен Singh(1980) и Jamshidi (1983), использован в изменненойформе. Второй пример показывает модель многоколенной задачи загрязнения реки (Beck, 1974; Singh, 1975). Полная оценка многоуровневых методов дана всекции 4.6, а описание нелинейных многоуровневых нелинейных систем в главе 6.Две альтернативы решения этого иерархического управления основаны нарасширенных рядах Тейлора и Чебышева в разделе 4.6.
Пример 4.3.1. Рассмотримсистему 12-го порядка введенную Pearson(1971) и показанную на рис 4.7 с уравнением состояния:
/> (4.3.29)
и квадратичной функциейоценки:
/> (4.3.30)
с
/>
где
/>
Вектор выхода системыпредставлен как:
/> (4.3.31)
Необходимо найтистратегию иерархического управления по методу баланса взаимодействий(согласования цели).
Решение: Из схемысистемы, показанной на рисунке 4.7 (пунктирные линии) и матрицы состояния(4.3.29) ясно, что есть четыре подсистемы третьего порядка соединенных черезшесть ограничивающих уравнений (по числу пунктирных линий на рис. 4.7):
/> (4.3.32)
где ei, i=1,…,6 представляет ошибки взаимодействия между четырехподсистемами. Задачи подсистем первого уровня были решены через набор изчетырех матричных уравнений Риккати третьего порядка:
/> (4.3.33)
где Ki(t) – это положительно определенная матрица Риккати ni x ni и />. Методы «без взаимодействия» и«удвоения» решают дифференциальное матричное уравнение Риккати, предложены Davison и Maki в 1973 и рассмотрены Jamshidi в 1980, были использованы длякомпьютерного решения (4.3.33). Уравнения состояния подсистем были решеныстандартным методом Рунге-Кутта четвертого порядка, а итерации второго уровнябыли выполнены по схеме скоростного градиента (4.3.19), (4.3.26)-(4.3.27),используя кубическую сплайн интерполяцию (Hewlett-Packard,1979) для оценки подходящих численных интегралов. Размер шага был выбран />=0.1, как и вболее ранних рассмотрениях этого примера (Pearson, 1971; Singh,1980). Алгоритм скоростного градиента позволил уменьшить ошибку с 1 до />за шестьитераций, как показано на рисунке 4.8, который был в тесной связи срезультатами предыдущих исследований модифицированной версии системы (4.3.29), полученнымиSingh (1980). Рассмотрим второй пример.
Пример 4.3.2. Рассмотримдвухколенную модель задачи управления загрязнением реки.
/> (4.3.34)
где каждое колено (подсистема)реки имеет два состояния – x1 –это концентрация биохимической потребности в кислороде (БПК) (биохимическаяпотребность в кислороде представляет собой уровень содержания кислородаполученного в результате распада органического вещества) и х2 – этоконцентрация растворенного кислорода (РК) – и управление u1 – это БПК вод втекающих в реку. Дляквадратичной функции оценки
/> (4.3.35)
С Q=diag(2,4,2,4) и R=diag(2,2), необходимо найти оптимальноеуправление, которое оптимизирует (4.3.35) для объекта (4.3.34) при x(0)=(11 -11)T.
Решение: Как видно из(4.3.34)-(4.3.35), две задачи первого уровня идентичны, и матричное уравнениеРиккати второго порядка решается интегрированием (4.3.33) используя методРунге-Кутта четвертого порядка при /> =0.1. Ошибка взаимодействия вэтом примере снижена до /> за 15 итераций, как показано нарисунке 4.9. Оптимальные концентрации БПК и РК двух колен реки показаны нарисунке 4.10.
4.3.2.Метод прогнозирования взаимодействия.
Альтернативный подход коптимальному управлению иерархическими системами, который имеет как открытый,так и закрытый контур управления, — это метод прогнозирования взаимодействия,который основывается на работе Takahara (1965), который избегает упоминания о градиентных итерациях второгоуровня. Рассмотрим большую линейную взаимосвязанную систему, котораядекомпозирована на N подсистем, каждая из которых можетбыть описана
/> (4.3.36)
Где вектор взаимодействияzi:
/> (4.3.37)
Задача оптимальногоуправления на первом уровне – найти управление ui(t), котороеудовлетворяет (4.3.36)-(4.3.37), минимизируя обычную квадратичную функциюоценки:
/> (4.3.38)
Эту задачу можно решить введениеммножества множителей Лагранжа ai(t), и векторов косостояния pi(t), чтобы увеличить ограничение уравнения взаимодействия(4.3.37) и подсистем динамического ограничения (4.3.36) до подынтегральной функцииоценки, т.е. Гамильтониан i-йподсистемы будет определен как:
/> (4.3.39)
Затем должно бытьнаписано несколько необходимых условий:
/> (4.3.40)
/> (4.3.41)
/> (4.3.42)
/> (4.3.43)
где векторы ai(t) и zi(t) – уже не считаются неизвестными напервом уровне, и фактически ai(t) увеличивает zi(t), чтобы образовать широкоразмерный вектор согласования,который мы рассмотрим ниже. Для решения задачи первого уровня, надо принять /> как известную.Замете, что ui(t) можно выделить из (4.3.43):
/> (4.3.44)
и подставить в(4.3.40)-(4.3.42), получив:
/> (4.3.45)
/> (4.3.46)
который образует линейнуюдвухточечную краевую (ДТК) задачу, и, как в (4.3.33) />. Можно увидеть, что ДТК задача можетбыть разложена введением матрицы Риккати. Это выглядит как:
/> (4.3.47)
где gi(t) – это разомкнутый сопряженный или компенсирующий вектор,размерностью ni. Если обе части уравнения (4.3.47)продифференцированы и /> и /> из (4.3.46) и (4.3.45)подставлены в него, можно вновь использовать (4.3.47) и уравнительныекоэффициенты для первого и нулевого порядка xi(t), получив следующие матричныеи векторные дифференциальные уравнения:
/> (4.3.48)
/> (4.3.49)
где конечные условия Ki(tf) и gi(tf) вытекают из (4.3.41) и (4.3.47).
/> (4.3.50)
В результате данногоуравнения оптимальное уравнение первого уровня становится
/> (4.3.51)
который имеет частичнуюзакрытую обратную связь и прямую (открытую) обратную связь. Можно сделать двавывода. Первый, решение дифференциального, симметричного матричного уравненияРиккати, в которое включены ni(ni+1)/2 нелинейных скалярных уравнений независит от первоначального состояния xi(0). Второй, в отличие от Ki(t), gi(t) в (4.3.49)посредством zi(t) зависит от xi(0). Это свойство будет использовано в разделе4.4, чтобы получить абсолютно закрытое управление в иерархической структуре.
Задача второго уровня сильноизменяет новый вектор согласования />. Для этой цели определитеаддитивно отделяемый Лагранжиан:
/> (4.3.52)
Значение ai(t) и zi(t) можно получить из:
/> (4.3.53)
/> (4.3.54)
т.е.:
/> (4.3.55)
Процедура согласованиявторого уровня на итерации (l+1) имеетвид:
/> (4.3.56)
Метод прогнозированиявзаимодействия формулируется следующим алгоритмом:
Алгоритм 4.2 Методпрогнозирования взаимодействия для непрерывных систем:
Шаг 1. Решить N независимых дифференциальныхматричных уравнений Риккати (4.3.48) с конечным условием (4.3.50) и сохраните Ki(t), i=1,2…,N. Инициализируйте ai(t) случайными числами и найдите соответствующее значение для zi(t).
Шаг 2. На l-й итерации используйте значения /> чтобы решитьсопряженное уравнение (4.3.49), с конечным условием (4.3.50). Сохраните gi(t), i=1,2,…,N.
Шаг 3. Решите уравнениесостояния
/> (4.3.57)
И сохраните xi(t), i=1,2,…,N.
Шаг 4. На втором уровне используйтерезультаты шагов 2 и 3 и (4.3.56) чтобы изменить согласующий вектор:
/>
Шаг 5. Проверьте сходимостьна втором уровне, оценив общую ошибку взаимодействия:
/> (4.3.58)
Шаг 6. Если необходимаясходимость достигнута – остановитесь. Иначе, установите l=l+1 и перейдите кшагу 2.
Важно отметить, что взависимости от типа цифрового компьютера, и его операционной системы, расчетыподсистем могут осуществляться параллельно, а также N-матричное уравнение Риккати на шаге 1 не зависит от xi(0), и значит их необходимо вычислитьодин раз, не зависимо от числа итераций второго уровня в алгоритмепрогнозирования взаимодействия (4.3.56). В отличие от методов согласованияцели, zi(t) не нужен в функции оценки, который был необходим, чтобыизбежать однородности, о чем будет написано в следующем разделе.
Метод прогнозированиявзаимодействия, введенный Tokahara (1965), был рассмотрен многими исследователями, которые внесли в негосущественный вклад. Среди них Titli (1972) который назвал этот метод смешанным(Singh, 1980) и Cohen и др. (1974), который предоставил более убедительныедоказательства сходимости чем предложенные ранее. Smith и Sage(1973) рассмотрели эту схему для нелинейных систем, которая будет рассмотрена вГлаве 6. Сравнение методов прогнозирования взаимодействия, согласования цели иподходов без интеграции, рассмотренных в разделе 4.4, дано в разделе 4.5.Следующие два примера, а потом пример в САПР иллюстрирует метод прогнозированиявзаимодействий.
Пример 4.3.3. Рассмотримсистему четвертого порядка
/> (4.3.59)
Где x(0)=(-1,0.1,1.0,-0.5)T, квадратичная функция оценки Q=daig(2,1,1,2), R=diag(1,2) и нет граничного штрафа. Надоиспользовать метод прогнозирования взаимодействия и найти оптимальноеуправление для tf =1.
Решение: Системуразделили на две подсистемы второго порядка и применили методы, описанные валгоритме 4.2. На первом шаге решили два независимых дифференциальных матричныхуравнения Риккати используя как дублирующий алгоритм Davison и Maki(1973), так и стандартный метод Рунге-Кутта. Элементы матрицы Риккати былипредставлены в виде квадратичного полинома в ряде Чебышева (Newhouse,1962), для удобства вычислений:
/> (4.3.60)
На первом уровне былирешены два сопряженных уравнения второго порядка в виде (4.3.49) и двауравнения состояния подсистем, как показано в алгоритме 4.2 в шаге 3, используяметод четвертого порядка Рунге-Кутта и первоначальные значения
/> (4.3.61)
На втором уровне векторывзаимодействия [a11(t),a12(t),z11(t),z12(t)] и [a21(t),a22(t),z21(t),z22(t)]T были спрогнозированы сиспользованием рекурсивных отношений (4.3.56), и на каждой итерации производилсяобмен информацией с подсчетом общей ошибки взаимодействия (4.3.58) для /> и программыкубической сплайн интерполяции. Ошибку взаимодействия снизили до /> за шестьитераций, как показано на рисунке 4.11. Были получены оптимальные значениявыхода для Ci =(1 1) и сигнала управления. Затем для сравнения первоначальнуюсистему (4.3.59) оптимизировали, решив нестационарное матричное уравнениеРиккати четвертого порядка обратным интегрированием, и для хi(t), i=1,2,3,4; yj(t) и uj(t), j=1,2. Значения выхода и сигналыуправления как для случая иерархического управления, так и дляцентрализованного, показаны на рисунке 4.12. Отметьте относительно точноесоответствие между значениями выхода для первоначальной соединенной ииерархической разъединенной систем. Но как и ожидалось, эти два уравненияразличны.
Теперь рассмотрим второйпример.
Пример 4.3.4. Рассмотримсистему восьмого порядка
/>
Необходимо использоватьметод прогнозирования взаимодействия для нахождения u*.
Решение: Система быларазложена на две подсистемы четвертого порядка и были выбраны tf=2, />=0.1, Q1=Q2=I4, R1=R2=1. Первоначальные значения />, i=1,2 и состояние х0 были приняты за />, /> и />. Сходимостьбыла очень быстрой, как видно на рисунке 4.13. Всего за четыре итерации второгоуровня ошибка взаимодействия была снижена до />. Фактически была быстраясходимость для различных x0 и />.
САПР пример 4.3.1.Рассмотрим систему четвертого порядка в примере 4.3.1 в (4.3.59):
/>
Где x(0)=(-1,0.1,1.0,-0.5)T, квадратичная функция оценки Q =diag(2,1,1,2), R=diag(1,2) и нетграничного штрафа. Необходимо использовать LSSPAK или подобное программное обеспечение и методпрогнозирования взаимодействия и найти оптимальное управление для tf=2.
Решение: Как и раньше, системаделится на две подсистемы второго порядка, и уравнения Риккати для подсистемрешаются с использованием RICRKUTот LSSPAK/PC, а их решения представлены в виде полинома четвертогопорядка для удобства вычислений. Используя программу INTRPRD от LSSPAK/PC реализуют алгоритм прогнозированиявзаимодействия и схождение достигается за пять итераций. Точные выборки извыполнения этого САПр примера приведены ниже. Инструкции для вычерчиванияпрограммы прогнозирования взаимодействия появляются, когда на экране появитсячертеж; нажмите Enter, чтобывернуться к меню.
Если вы хотите вывестичертежи через принтер откройте DOSфайл GRAPHICS до запуска программы, когда вызахотите вывести чертеж, нажмите shift-PrtScr.
Optimizationvia the interaction prediction method.
Initial time(to): 0
Final time(tf): 2
Step size(Dt): .1
Total no. of2nd level iterations = 6
Errortolerance for multi-level iterations — .00001
Order ofoverall large scale system = 4
Order ofoverall control vector (r) = 2
Number ofsubsystems in large scale system = 2
MatrixSubsystem state orders-n sub i 0.200D+01 0.200D+01
MatrixSubsystem input orders-r sub i 0.100D+01 0.100D+01
Polynomialapproximation for the Ricatti matrices to be used.
Matrix Ricatticoefficients for SS# 10.453D+01 -.259D+01 0.794D+01 -762D+01 O.186D+01 0.978D-01 -.793D-01 0.252D+00 .233D+00 0.571D-01 0.490D+00 0.759D-02 -.109D+00 0.975D-01 -.531D-01
Matrix Ricatticoefficients for SS# 20.112D+01 -.815D+01 0.361D+01 0.455D+01 0.105D+01 -0.149D+00 -.322D-01 0.697D-01 .284D-01 0.183D-01 0.815D+00 0.642D-01 -.295D+00 0.305D+00 -.138D+00
System MatrixA0.200D+01 0.100D+00 0.100D-01 0.000D+00 0.200D+00 0.100D+01 0.100D+00 0.500D+00 0.500D-01 0.150D+00 0.100D+01 0.500D-01 0.000D+00 -0.200D+00 0.250D+00 -0.120D+01
Matrix InputMatrix B0.100D+01 O.OOOD+00 0.100D+00 O.OOOD+00 O.OOOD+00 O.250D+O0
Matrix InputCost Function R0.100D+01 O.OOOD+OO 0.000D+O0 0.200D+01
MatrixLagrange Multiplier Initial Values 0.100D+01 O.IOOD+Ol 0.100D+01 0.100D+01
Matrix Initialconditions vector xO-.100D+01 0.100D+00 0.100D+01 -.500D+00
Subsystem no.1 at 2nd level iteration no. 1
Subsystem no.2 at 2nd level iteration no. 1
At secondlevel iteration no. 1 interaction error = 0.347D+00
Subsystem no.1 at 2nd level iteration no. 2
Subsystem no.2 at 2nd level iteration no. 2
At secondlevel iteration no. 2 interaction error = 0.771D — 03
Subsystem no.1 at 2nd level iteration no. 3
Subsystem no.2 at 2nd level iteration no. 3
At secondlevel iteration no. 3 interaction error = 0.507D — 03
Subsystem no.1 at 2nd level iteration no. 4
Subsystem no.2 at 2nd level iteration no. 4
At secondlevel iteration no. 4 interaction error = 0.323D — 04
Subsystem no.1 at 2nd level iteration no. 5
Subsystem no.2 at 2nd level iteration no. 5
At secondlevel iteration no. 5 interaction error = 0.310D — 05
Оптимальные откликипоказаны на рисунке 4.14, а схождение на рисунке 4.15.
Другие применения методапрогнозирования взаимодействия представлены в разделе задач.
4.3.3 Согласованиецели и однородность
Когда в (4.3.15) –(4.3.17) обсуждался метод согласования цели, было замечено, что положительноопределенные матрицы Si были введены вфункцию оценки (4.3.17) для того, чтобы избежать однородности. Чтобы убедится вэтом, обратимся к задаче минимизации Li в (4.1.24) для объекта (4.3.15). Пусть i-й Гамильтониан подсистемы имеет вид:
/> (4.3.62)
Одно из необходимыхуравнений для решения задачи i-йподсистемы на первом уровне
/> (4.3.63)
или
/> (4.3.64)
где однородное решение появляется,если /> непоявляется в функции оценки. Чтобы избежать однородности на первом уровне возможныдва альтернативных подхода. Следующий пример иллюстрирует два подхода.
Пример 4.3.5. Рассмотриследующую систему:
/> (4.3.65)
Необходимо найти (u1,u2), такие, чтобы они удовлетворяли (4.3.65), а квадратичнаяфункция оценки
/> (4.3.66)
минимизировалась методомсогласования цели.
Решение: Из (4.3.65)–(4.3.66) ясно, что систему можно разделить на две подсистемы первого порядка.
/> (4.3.67)
/> (4.3.68)
с ограничением взаимодействия
/> (4.3.69)
Задача в настоящий моментимеет следующий Гамильтониан:
/>/>(4.3.70)
в котором переменнаявзаимодействия появляется линейно. Применение метода согласования цели дляданной формулировки приведет к однородности, так как z1 появляется линейно в(4.3.70). Следующая системная переформулировка задач поможет избежатьоднородности.
Часть а – подсистема 1,переменные состояния
Часть б – подсистема 1,переменные управления
Часть в – подсистема 2,переменные состояния
Часть г – подсистема 2,переменные управления
4.3.3.а.Переформулировка 1.
Bauman (1968) предложил переписатьограничения взаимодействия квадратичной формы
/> (4.3.71)
которая даст следующеенеобходимое условие для оптимизации на первом уровне:
/> (4.3.72)
для первой подсистемы и
/> (4.3.73)
для второй подсистемы. Послевведения формулы Риккати (4.3.72) и (4.3.73) мы получим:
/>
и
/>
где ki(t) – i-яскалярная нестационарная матрица Риккати для подсистемы. Согласование на второмуровне достигается через следующие итерации:
/>
Эта переформулировкапомогает избежать однородности, но делает схождение итераций второго уровняочень медленным.
4.3.3.б.Переформулировка 2.
Singh (1980) предложил альтернативнуюформулировку, которая не только позволит избежать однородности, но и дастхорошее схождение процедура основывается на том, чтобы найти х через векторвзаимодействия z и подставить егов функцию оценки, т.е. zможно представить как:
/>
где G – считается неоднородной ипереформулированный Гамильтониан представлен в виде:
/>
В этом примере матрица G – однородна, но решение можнополучить. Гамильтониан имеет вид:
/>
А задача подсистемыпервого уровня имеет вид
/>
и
/>
вторую подсистему можнорешить сразу же, так как уравнение p2 – косостояние отделено от х2 и может бытьрешено в обратном порядке и подставлено в уравнение х2, что приведет к тому,что решение уравнения Риккати в данном примере не требуется. Но для первойподсистемы, исходя из формулировки задач первого уровня в прогнозированиивзаимодействия (4.3.40) – (4.3.51), необходимо как уравнение Риккати, так иоткрытое сопряженное (компенсирующее) векторное уравнение. Для этого примеразадача первой подсистемы имеет вид
/>
где два дифференциальныхуравнения для ki(t) и gi(t)нужно решить в обратном порядке. В то время как для второй подсистемы не нужнорешать вспомогательное уравнение, надо решить два таких уравнения для первойподсистемы. В общем эта переформулировка требует решения
/> (4.3.74)
что означает, чтоуравнения вектора косостояния pотделено от х и может быть решено в обратном порядке (без решения уравненияРиккати) и подставлено в верхнее уравнение для нахождения х. Так как матрицы A, B, Q и R – блок-диагональные, задачу (4.3.74)можно разделить на N задач подсистем с условием, что /> отделяемо от z, где V=G-1.