Пусть функция , где точка М=(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по двум переменным. Пусть задан вектор (определено направление ). Рассмотрим точку , лежащую на , и точку также расположенную на . Функция при перемещении М в положение получит приращение
.
Обозначим через .
Предел
называют производной функциипо направлению и обозначают .
ТЕОРЕМА (о вычислении производной функции по заданному направлению)
Если и функция непрерывна вместе со своими частными производными, тогда справедливо равенство:
. (5)
Заметим, что частные производные являются частным случаем производной по направлению.
Производная характеризует скорость изменения функции по направлению вектора .
Определение. Пусть задана функция в области . Вектор
называют градиентом функции .