Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0:
Исходя из определения производной и теоремы о связи предела и бесконечно малой получаем:
при малых Dх само отношение сколь угодно мало отличается от и можно принять, что:
Итак, если функция f(x) дифференцируема в точке х0, т. е. приращение Dу можно записать в виде суммы двух слагаемых (или опр. 2 §33):
, где .
Первое слагаемое: является при Dх®0 бесконечно малой одного порядка с Dх, оно линейно относительно Dх:
Второе слагаемое: a(Dх)Dх при Dх®0 - бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх:
.
Таким образом, первое слагаемое является главной частью приращения функции f(x), а вторым слагаемым можно пренебречь.
Определение 1: Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0, называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции dy=f¢(х0)Dх.
Рассмотрим функцию y=x и вычислим её дифференциал по формуле dy=f¢(х0)Dх:
dy=dх=1·Dх=Dх, то есть: dх=Dх. Будем называть дифференциалом независимой переменной дифференциал функции у=х.
Определение 2: Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной: dх=Dх. Получаем:
dy=f¢(х0)dх и .