Зміст
Моделювання економіки. Транспортна задача.
Список використаної літератури
Моделювання економіки. Транспортна задача
Опишемо як вирішуються транспортні задачі та наведемо приклад рішення за допомогою надбудови „Поиск решения” у MS Excel.
Нехай існує [m] пунктів, у яких зосереджено деякий однорідний вантаж. Номер пункту зосередження [i] = 1,m. Нехай відома кільккість вантажу, що знаходиться у кожному пункті зосередження [ai]. Цей вантаж треба доставити до [n] пунктів споживання. Номер пункту споживання [j]=1,n. Нехай відома потреба [bij] у цьому вантажі у кожному пункті споживання. Також відомі питомі витрати на перевезення вантажу з i-того пункту зосередження до j-того пункту споживання [cij]. Треба визначити, скільки вантажу треба везти з кожного з пунктів зосередження до кожного з пунктів споживання таким чином, щоб з кожного пункту зосередження загалом вивозилоси не більше, ніж там є, а до кожного пункту споживання не менше від потреби (/>), і загальна вартість перевезень була якомога меншою.
Розв’язок:
Позначимо невідомі обсяги перевезень з кодного пункту зосередження до кожного пункту споживання [xij]. Отже, умова про те, що загальна кількість вантажу, вивезена з кожного пункту зосередження, не перевищує кільксітвантажу в ньому:
/>
Умова про те, що потреба кожного пункту споживання має задовільнятися:
/>
Обсяги перевезень між кожним пунктом зосередження і споживання – невід’мні величчини:
/>
Розглянуті нерівності визначають деяку множину, до якої належить багато варіантів перевезень. Серед цих варіантів треба обрати такі, що мінімізували б функцію:
/>
(пошук умовного мінімуму для функції багатьох змінних).
Приклад
Заводи деякої автомобільної фірми розміщено у містах А, В, С та D. Основні центри розподілення продукції сконцентровано у містах 1, 2, 3 та 4. Обсяги виробництва заводів наведено у таблиці, так само як величини попиту у центрах розподілення. Вартість перевезення автомобілів залізницею по кожному із маршрутів або час перевезення по кожному із маршрутів наведено у таблиці.
Побудуйте математичну модель, яка дозволить визначити кількість автомобілів, що перевозиться з кожного заводу у кожен розподільчий центр, та оптимальний план перевезень таким чином, щоб загальні транспортні витрати були мінімальними.
Пункт
71
Місто А
1000
Місто В
1300
Місто С
1400
Місто D
800
Розподільчий центр (РЦ) у місті 1
1300
РЦ у місті 2
1500
РЦ у місті 3
500
РЦ у місті 4
1200
Пункт
Критерій оптимальності – вартість перевезення автомобілів, $/шт
71
A-1
150
A-2
95
A-3
100
A-4
50
B-1
65
B-2
45
B-3
55
B-4
130
С-1
65
С-2
80
С-3
75
С-4
65
D-1
55
D-2
80
D-3
60
D-4
40
Для рішення задачі побудуємо її математичну модель.
Невідомими є обсяги перевезень. Нехай xij – обсяги перевезень з і-го постачальника до j-го продавця. Цільовою функцією є залежність вартості від розміру партії постачання:
/>(1),
де cij – вартості перевезень с i-го постачальника до j-го продавця.
Цільова функція
F = 150x11 + 95x12 + 100x13 +50x14 + 65x21 +45x22 +55x23 +130x24 +65x31 + 80x32 +75x33 +65x34 +55x41 +80x42 +60x43 +40x44 → min.
Крім цього, невідомі повинні задовольняти таким обмеженням:
— ненегативність обсягів постачань
xij≥0.
— розглянемо модель типу:
/>, />
Розмістимо дані ситуаційної задачі в спеціальній таблиці:
Покупці
Постачальники
1
2
3
4
Виробництво
А
150
95
100
50
1000
B
65
45
55
130
1300--PAGE_BREAK--
C
65
80
75
65
1400
D
55
80
60
40
800
Попит
1300
1500
500
1200
У клітинах, що стоять на перетині постачальника й покупця, ставимо довільні цифри, відстань від споживача до постачальника.
Перевіримо ситуацію на баланс:
Виробництво = 1000 + 1300 + 1400 + 800 = 4500
Попит = 1300 + 1500 + 500 + 1200 = 4500
Баланс виконується, тому не треба додавати фіктивні пункти споживання чи попиту.
Побудуємо план перевезень методом північно-західного кута:
Покупці
Постачальники
а
б
в
г
Виробництво
А
1000
1000
B
300
1000
1300
C
500
500
400
1400
D
800
800
Попит
1300
1500
500
1200
Розрахуємо середню вартість, на яку перевозиться вантаж:
/>
/>
Ще раз побудуємо план:
ПокупціПостачальники
а
б
в
г
Виробництво
А
1000
1000
B
300
800
200
1300
C
200
700
300
200
1400
D
800
800
Попит
1300
1500
500
1200
Розрахуємо середню вартість:
/>
Як бачимо, другий план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 18,89 $.
Для перевірки оптимальності складеного плану перевезень скористаємося надбудовою „Поиск решения” MS Excel (рис.1.1 і.1.3).
До комірки F10 внесено формулу =СУММ(B10:E10) і простягнуто її до комірки F13, до комірки В14 внесено формулу =СУММ(B10:B13) і простягнуто її до комірки Е14. До цільовій комірці G14 введено формулу (1) у вигляді виразу =СУММПРОИЗВ(B4:E7;B10:E13).
/>
Рис.1.1.
На рис.1.2. наведено внесення обмежень моделі у діалоговому вікні надбудови „Поиск решения”.
/>
/>
Рис.1.3.
Розрахуємо середню вартість:
/>
Як бачимо, останній план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 23,11 $.
Список використаної літератури
Николин В.И. Автотранспортный процесс и оптимизация его элементов. — М.: Транспорт, 1990.
Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. — Л.: СЗПИ, 1986.
Геронимус Б.А. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. — М.: Транспорт, 1982.
Аникин Б.А., Тяпухин А.П. Коммерческая логистика // Издательство Велби. М.: –2005. – 432 с. Покупці 1 2 3 4 Виробництво
Постачальники
А 150 95 100 50 1000
B 65 45 55 130 1300
C 65 80 75 65 1400
D 55 80 60 40 800
Попит 1300 1500 500 1200
1000 1000
1300 1300
1200 200 1400
100 500 200 800
1300 1500 500 1200
246000 />