/>Министерство общего и профессионального образования РФ
Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет
Кафедра РЭНиГМ
Реферат
«Анализ функции фильтрационного сопротивления для неустановившегося притока жидкости (газа) к несовершенной скважине»
Выполнил студент
Группы НГР-96-1
Принял профессор
Телков А. П.
Тюмень 1999 г.
Рассмотрим функция (F) котораяесть функция пяти параметровF=F (f, rc,h, x, t*), каждый из которых — безразмерная величина, соответственно равная
/>/>/>/>/>(1)
гдеr — радиус наблюдения;
x — коэффициент пьезопроводности;
Т — полное время наблюдения;
h — мощность пласта;
b — мощность вскрытого пласта;
z — координата;
t — текущее время.
Названная функция может быть использована для определения понижения (повышения) давления на забое скважины после ее пуска (остановки), а также для анализа распределения потенциала (давления) в пласте во время работы скважины.
Уравнение, описывающее изменение давления на забое, т. е. приx=h; r=rc или r=rc, имеет вид
/>(2)
где безразмерное значение депрессии связано с размерным следующим соотношением
/> где/>(3)
здесьQ — дебит;
m — коэффициент вязкости;
k — коэффициент проницаемости.
Аналитическое выражениеF для определения изменения давления на забое скважины запишем в виде
/>(4)
Уравнение (2) в приведенном виде не может использоваться для решения инженерных задач по следующим причинам: во-первых, функция (4) сложна и требует табулирования; во-вторых, вид функции исключает возможность выделить время в качестве слагаемого и свести решение уравнения (2) к уравнению прямой для интерпретации кривых восстановления (понижения) давления в скважинах традиционными методами. Чтобы избежать этого, можно поступить следующим образом.
В нефтепромысловом деле при гидродинамических исследованиях скважин широко используется интегрально-показательная функция. Несовершенство по степени вскрытия пласта в этом случае учитывается введением дополнительных фильтрационных сопротивлений(C1), взятых из решения задач для установившегося притока. В соответствии с этим уравнение притока записывается в виде
/>(5)
Как видно, дополнительные фильтрационные сопротивления являются функцией геометрии пласта. Насколько верно допущение о возможности использования значенийC1(rс, h), пока еще ни теоретически, ни экспериментально не доказано.
Для неустановившегося притока уравнение (2) запишем аналогично в виде двух слагаемых, где в отличие от выражения (5) значения фильтрационных сопротивлений являются функцией трех параметров (rс, h, f0)
/>(6)
Как _ видим, дополнительное слагаемоеR(rc, h, f) в уравнении (6) зависит не только от геометрии пласта, нои от параметра Фурье (f). В дальнейшем будем называть это слагаемое функцией фильтрационного сопротивления. Заметим, что приh=l (скважина совершенная по степени вскрытия) уравнение (2) представляет собой интегрально-показательную функцию
/>(7)
С учетом равенства (7) решение (6) запишем в виде
/>(8)
Разрешая уравнение (8) относительно функции сопротивления и учитывая уравнение (2), находим
/>(9)
и на основании равенства (7) приведем выражение (9) к виду
/>(10)
Численное значениеR(rс,h,fo) рассчитано по уравнению (10) на ЭВМ в широком диапазоне изменения параметров rc, h,f. Интеграл (2) вычислялся методом Гаусса, оценка его сходимости выполнена согласно работе [3]. С учетом равенства (7) вычисления дополнительно проконтролированы по значениям интегрально-показательной функции.
С целью выяснения поведения депрессии и функции сопротивления проанализируем их зависимость от значений безразмерных параметров.
1. Определим поведение Dр в зависимости от значений параметров rс, h, f.
Результаты расчетов значений депрессии для каждого фиксированного rc сведены в таблицы, каждая из которых представляет собой матрицу размером 10х15. Элементы матрицы это значения депрессии Dp(rc) для фиксированных h и f. Матрица построена таким образом, что каждый ее столбец есть численное значение депрессии в зависимости от h,.а каждая строка соответствует численному значению депрессии в зависимости от fo (табл. 1). Таким образом, осуществлен переход от значений безразмерной депрессии Dp(rc, h, f) к относительной депрессии
Dр*i,j (rc).
Для удобства построения и иллюстрации графических зависимостей выполнена нормировка матрицы. С этой целью каждый элемент i-й строки матрицы поделен на максимальное значение депрессии в данной строке, что соответствует значениюj==15. Тогда элементы новой матрицы определятся выражением
/>(11)
Условимся элементы матрицы называть значениями относительной депрессии. На рис. 1 приведен график изменения относительной депрессии при фиксированных значениях h. Характер поведения относительной депрессии позволяет описать графики уравнением пучка прямых
/>/>(12)
Рис. 1. Поведение относительной депрессии(rc=0,0200,hi=const, f) при значениях h, равных: 1— 0,1; 2 — 0,3; 3—0,5;4 — 0.7; 5 —0,9; 6—1,0.
гдеki — угловой коэффициент прямой, который определяетсяh и от индексаj не зависит.
Анализ зависимости поведения депрессии Dp*i,j от fдля всех rc >0,01 показывает, что графики этой зависимости можно описать уравнением пучка прямых для любого значения h. Для rc0,01 в графиках зависимости появляются начальные нелинейные участки, переходящие при дальнейшем уменьшении параметра f(или же при увеличении его обратной величины 1/foj) в прямые для всех значенийh
(рис. 2). Приh=l,0 поведение депрессии строго линейно. Кроме того, протяженность нелинейного участка для разных rc приh=const различна. И чем меньше значение безразмерного радиуса rc, тем больше протяженность нелинейного участка (рис. 2).
2. Определим поведениеR(rc, h, f) и ее зависимость от безразмерных параметров rc, h, f.
ЗначенияR(rc, h, f) рассчитаны для тех же величин параметров rc, h, f. которые указаны в пункте 1, обработка результатов также аналогична. Переход от безразмерной функции сопротивленияR(rc, h, f) к относительнойR*i,j (rc) осуществлен согласно выражению
/>.(13)
Анализ поведенияR*i,j (rc) и результаты обработки расчетного материала, где установлена ее зависимость от параметров rc, h, f, частично приведены на рис, 2 (кривые даны пунктиром).
При гc >0,01 для любогоhiR*i,j (rc) уже не зависит отf0i.
Из анализа данных расчета и графиков рис. 2 следует: при rc
что для одного и того же значения rc абсцисса точки перехода нелинейного участка в линейный дляR*i,j (rc) имеет то же самое значение, что и абсцисса точек перехода для графиков зависимостиDp*i,j (rc) отln(l/f0i ) (линияCD). Начиная с этого момента,R*i,j (rc) для данного rc при дальнейшем наблюдении зависит не от времени, а только отhi • И чем выше степень вскрытия, т. е. чем совершеннее скважина,. тем меньше будет значениеR*i,j (rc) И приh=l (скважина совершенная по степени вскрытия) функция сопротивления равна нулю. Очевидно, нелинейностьDp*i,j (rc) связана с характером поведения функции сопротивления, которая, в свою очередь, зависит от параметра Фурье. Отметим также, что в точке С (рис. 2) численное значение функции сопротивления становится равным значению фильтрационных сопротивлений(C1(rc, h)) для притока установившегося режима.
/>
Рис. 2. Поведение относительной депрессии и относительной функции фильтрационного сопротивления (rc=0,0014,h=const, f) приh, равных: 1,1'—0,1; 2,2'— 0,3; 3,3'—0,5; 4,4'—0,7; 5,5'— 0,9;6,6'— 1,0.
выводы
1. Депрессия на забое несовершенной по степени вскрытия скважины для всех rc
2. ВеличинаR(rc, h, f) для неустановившегося притока качественно описывает С1(rc,h) для установившегося, и ее численное значение при любом вскрытии пласта всегда меньше численного значенияС1(rc,h) при установившемся притоке.
3. Полученное аналитическое решение для неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважине в бесконечном по протяженности пласте преобразовано в прямолинейную анаморфозу, которая позволяет эффективно интерпретировать кривые восстановления забойного давления.
4. Выбор fo, дающего значения Dp*i,j(rc)=1, не влияет на протяженность нелинейного участка, соответствующего неустановившемуся движению, на графики зависимостиDp*i,j(rc) от ln(1/f0i).
ЛИТЕРАТУРА
1. Т е л к о в В. А. Приток к точечному стоку в пространстве и к линии стоков в полу бесконечном пласте. НТС. Вып. 30, Уфа, 1975.
2. Л е о н о в В. И„ Телков В. А., Каптелинин Н. Д. Сведение задачи неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважине к решению уравнения пьезопроводности. Тезисы докладов на XIII научно-техническом семинаре по гидродинамическим методам исследований и контролю процессов разработки нефтяных месторождений. Полтава, 1976.
3. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы. Изд-во «Наука», М., 1974.