Реферат
Средниевеличины и показатели вариации
Содержание
1.Сущность средних в статистике
2.Виды средних величин и способы ихрасчёта
3.Основные показатели вариации и ихзначение в статистике
1. Сущность средних величинв статистике
В процессе изучениямассовых социально-экономических явлений возникает необходимость выявления ихобщих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Необходимость вобобщающем среднем показателе возникает в том случае, когда признаки,характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют.Например, размер дневной выработки ткачей на текстильной фабрике зависит отобщих условий производства, ткачи используют одинаковое сырьё, работают наодинаковых станках и т.д. В то же время часовая выработка отдельных ткачейколеблется, т.е. варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностейкаждого ткача (его квалификации, профессионального опыта и т.д.). Чтобыхарактеризовать дневную выработку всех ткачей предприятия, необходимо исчислитьсреднюю величину дневной выработки, так, как, только, в, этом, показателенайдут отражение общие для ткачей условия производства.
Таким образом, исчислениесредних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) отособенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявлениеобщих для данной совокупности типичных черт и свойств.
Таким образом, среднейвеличиной в статистике является обобщённая, количественна характеристикапризнака и статистической совокупности. Она выражает характерную, типичнуювеличину признака у единиц совокупности, образующихся в данных условиях места ивремени под влиянием всей совокупности факторов. Действие разнообразныхфакторов порождает колебание, вариацию усредняемого признака. Средняя величинаявляется общей мерой их действия, равнодействующей всех этих факторов. Средняявеличина характеризует совокупность по усредняемому признаку, но относится кединице совокупности. Например, средняя выработка продукции на одного рабочегоданного предприятия представляет собой отношение всей выработки (за любой периодвремени) к общей (средней за тот же период) численности его рабочих. Онахарактеризует производительность труда данной совокупности, но относится кодному рабочему. В средней величине массового явления погашаются индивидуальныеразличия единиц статистической совокупности в значениях усредняемого признака,обусловленные случайными обстоятельствами. Вследствие этого взаимопогашения всредней проявлявляется общее, закономерное свойство данной статистическойсовокупности явлений. Между средней и индивидуальными значениями осреднённогопризнака существует диалектическая связь как между общим и отдельным. Средняяявляется важнейшей категорией статистической науки и важнейшей формойобобщающих показателей. Многие явления общественной жизни становятся ясными, определёнными,лишь, будучи обобщенными, в форме средних величин. Таковы, например, упомянутаявыше производительность труда, совокупность рабочих, урожайностьсельскохозяйственных культур и т.д. Средняя выступает в статистике важнейшимметодом научного обобщения. В этом смысле говорят о методе средних величин,который широко применяется в экономической науке. Многие категорииэкономической науки определяются с использованием понятия средней.
Основным условиемправильного применения средней величины является однородность статистическойсовокупности по усредняемому признаку. Однородной статистической совокупностью называется такаясовокупность, в которой её составные элементы (единицы) сходны между собой посущественным для данного исследования признакам и относятся к одному и тому жетипу явлений. Однородная совокупность, будучи однородна по одним признакам,может быть разнородной по другим. Только в средних для таких совокупностейпроявляются специфические особенности, закономерности развития анализируемогоявления. Средняя вычисленная для неоднородной статистической совокупности,т.е. такой в которой объединены качественно различные явления, теряет своёнаучное значений. Такие средние являются фиктивными, не только не дающимипредставления о действительности, но и искажающими её. Для формированияоднородных статистических совокупностей производится соответствующаягруппировка. С помощью группировок и в качественно однородной совокупностимогут быть выделены характерные в количественном отношении группы. Для каждойиз них может быть вычислена своя средняя, называемая средней групповой(частной) в отличие от общей средней (для совокупности в целом).
2. Виды среднихвеличин
Большое значение вметодологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней, т.е. формулы покоторой можно правильно вычислить среднюю величину, и выбора весов средней.Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняяарифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняяквадратичная, мода и медиана. Применение той или иной формулы зависит отсодержания усредняемого признака и конкретных данных, по которым её необходиморассчитать. Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемымсредним исходным соотношением.
2.1 Средняяарифметическая
Средняя арифметическая — одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняяарифметическая рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальныхзначений (вариантов) варьирующего признака на их число. Средняя арифметическаяприменяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака явлений однороднойстатистической совокупности, образуется путём суммирования значений признакавсех единиц явлений статистической совокупности. Различают следующие среднеарифметические величины:
1) Простая средняяарифметическая, которая определяется путём простого суммированияколичественных значений варьирующего признака и деления этой сумы на ихварианты и рассчитывается по следующей формуле:
/>
где:
Х — средняя величинастатистической совокупности,
xi- сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистическойсовокупности,
ni — количество варьирующих вариантовявлений статистической совокупности.
2)Среднеарифметическая взвешенная — средняя величина признака явления, вычисленная с учётомвесов. Веса средних величин — частоты, с которыми отдельные значения признакаосредняемого принимаются в расчёт при исчислении его средней величины. Выборвесов средней величины зависит от сущности усредняемого признака и характераданных, которыми располагают для вычисления средних величин. В качестве весовсредних величин могут быть показатели численности единиц или размеры частейстатистической совокупности (в форме абсолютных или относительных величин),обладающих данным вариантом (значением) усредняемого признака явлениястатистической совокупности, а также величины показателя связанного сусредняемым признаком. Среднеарифметическая взвешенная рассчитывается последующей формуле:
/>
где:
X- средняя арифметическая взвешенная,
х — величина отдельныхварьирующих вариантов явлений статистической совокупности,
f — веса.
Назначение простой, ивзвешенной средней арифметической является определение среднего значенияварьирующего признака. Если в изучаемой статистической совокупности вариантызначений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес, топрименяется простая средняя арифметическая, если же варианты значений данногопризнака встречаются в изучаемой совокупности по несколько раз или имеютразличные веса, для определения среднего значения варьирующего признакаприменяется средняя арифметическая взвешенная.
2.2 Средняягармоническая
Средняя гармоническаяприменяется для расчёта средней величины тогда, когда непосредственные данные овесах отсутствуют, а известны варианты усредняемого признака (х) и произведениязначений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w (w =xf).
Данная средняярассчитывается по следующим формулам:
1.)Среднегармоническая простая:
/>
где:
Х — средняя гармоническаяпростая,
х — сумма отдельных варьирующихвариантов явлений статистической совокупности,
n — количество варьирующихвариантов явлений статистической совокупности.
2) Среднегармоническаявзвешенная:
/>
где:
Х — средняя гармоническаявзвешенная,
х — сумма отдельныхварьирующих вариантов явлений статистической совокупности,
w — x f,
f — веса.
При использованиигармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот жерезультат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если быбыли известны все необходимые для этого данные.
2.3 Средняя агрегатная
Средняя агрегатнаярассчитывается по формуле:
/>
где:
X — средняя агрегатная,
w — x f,
х — сумма отдельныхварьирующих вариантов явлений статистической совокупности,
f — веса.
Средняя агрегатнаявычисляется в тех случаях, когда известны (имеются) значения числителя и значениязнаменателя исходного соотношения средней.
2.4 Средняягеометрическая
Средняя геометрическаяявляется одной из форм средней величины и вычисляется как корень n-й степени изпроизведения отдельных значений — вариантов признака (х) и определяется по следующейформуле:
/>
Или
/>
Средняя геометрическаяприменяется в основном при расчётах средних темпов роста.
2.5 Мода и медиана
Наряду с рассмотреннымивыше средними в качестве статистических характеристик вариационных рядоврассчитываются так называемые структурные средние — мода и медиана.
Модой (Мо) называетсянаиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Для дискретных рядов — этотвариант, имеющий наибольшую частоту.
В интервальныхвариационных рядах можно определить, прежде всего, интервал, в которомнаходится мода, т.е. так называемый модальный интервал. В вариационном ряду сравными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, врядах с неравными интервалами по наибольшей плотности распределения.
Для определения моды врядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида:
/>
где:
Хн — нижняя границамодального интервала,
h — величина интервала,
f1, f2,f3 — частоты (или частности) соответственно предмодального,модального и послемодального интервалов.
В интервальном рядумоду можно найти графически. Для этого в самом высоком столбце гистограммы отграниц двух смежных столбцов проводят две линии. Затем из точки их пересеченияопускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс,соответствующее перпендикуляру, и будет модой.
Во многих случаях прихарактеристике совокупности в качестве обобщённого показателя отдаётсяпредпочтение моде, а не средней арифметической.
Так, при изучении цен нарынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определённуюпродукцию, а модальная; при изучении спроса населения на определённый размеробуви или одежды представляет интерес определение модального размера обуви, асредний размер как таковой здесь вообще не имеет значения. Мода представляет нетолько самостоятельный интерес, но и исполняет роль вспомогательного показателяпри средней, характеризуя её типичность. Если средняя арифметическая близка позначению к моде, значит она типична.
Медианой (Ме)называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда.(Ранжированным называют ряд, у которого значения признака записаны в порядкевозрастания или убывания.)
Чтобы найти медиану,сначала определяется её порядковый номер. Для этого при нечётном числе единиц ксумме всех частот прибавляется единица, и всё делится на два. При чётном числеединиц в ряду будет две средних единицы, и по всем правилам медиана должнаопределяться как средняя из значений этих двух единиц. Однако практически причётном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы,порядковый номер которой определяется по общей сумме частот, делённой на два.Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти её значение.
В интервальных рядахпосле определения порядкового номера медианы по накопительным частотам(частностям) отыскивается медиальный интервал, а затем при помощи простейшегоинтерполяционного приёма определяется значение самой медианы. Этот расчёт выражаетследующая формула:
/>
где:
Xn- нижняя граница медианногоинтервала,
h — величина медианного интервала,
/> — порядковый номер медианы,
SMe- 1 частота (частотность),накопленная до медианного интервала,
FMe- частота (частность) медианногоинтервала.
Согласно записаннойформуле к нижней границе медианного интервала прибавляется такая часть величиныинтервала, которая приходится на долю единиц этой группы, недостающих допорядкового номера медианы. Другими словами, расчёт медианы построен напредположении, что нарастание признака среди единиц каждой группы происходитравномерно. На основе сказанного можно рассчитать медиану и по иному. Определивмедианный интервал, можно из верхней границы медианного интервала (Хв) вычестьту часть интервала, которая приходится на долю единиц, превышающих порядковыйномер медианы, т.е. по следующей формуле:
/>
Медиану можно такжеопределить и графически. Для этого строиться кумулята и из точки на шкаленакопленных частот (частностей), соответствующей порядковому номеру медианы,проводится прямая, параллельная оси х до пересечения с кумулятой. Затем източки пересечения указанной прямой с куммулятой опускается перпендикуляр на осьабсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведённой ординате(перпендикуляру), и будет медианой.
По такому же принципулегко найти значение признака у любой единицы ранжированного ряда.
Таким образом, длярасчёта средней величины вариационного ряда можно использовать целуюсовокупность показателей.
3. Основные показателивариации и их значение в статистике
При изучении варьирующегопризнака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчётом среднейвеличины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относитьсядалеко не к одинаковым по составу совокупностям. Это можно проиллюстрироватьследующим условным примером, отражающим данные о числе дворов в агрохозяйствахдвух районов:
/>
Среднее число дворов вагрохозяйствах двух районов одинаково — 160. Однако состав этих агрохозяйств вдвух районах далеко не одинаков. Поэтому возникает необходимость измеритьвариацию признака в совокупности.
Для этой цели встатистике рассчитывают ряд характеристик, т.е. показателей. Самым элементарнымпоказателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность междумаксимальными и минимальными значениями признака в данном вариационном ряду,т.е. R = Xmax — Xmin. В нашем примере в 1 районе R = 300 — 80 — 220, а вовтором районе R = 180 — 145 = 35.
Показатель размахавариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значенияпризнака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц. Иногда находятотношение размаха вариации к средней арифметической и пользуются этойвеличиной, именуя её показателем осцилляции.
Более точно можноопределить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всехвариантов от средней арифметической. Таких показателей в статистике два — среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.
Среднее линейноеотклонениепредставляет собой среднюю арифметическую из абсолютных величин отклоненийвариантов от средней. Знаки отклонений в данном случае игнорируются, впротивном случае сумма всех отклонений будет равна нулю. Данный показательрассчитывается по формуле:
а) длянесгрупированных данных:
/>
б) для вариационногоряда:
/>
Следует иметь в виду, чтосреднее линейное отклонение будет минимальным, если отклонения рассчитаны отмедианы, т.е. по формуле:
/>
Среднее квадратическоеотклонение (s) исчисляется следующимобразом — каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадратысуммируются (с учётом весов), после чего сумма квадратов делиться на число членовряда и из частного извлекается корень квадратный.
Все данные действиявыражаются следующими формулами:
а) длянесгрупированных данных:
/>/>
б) для вариационногоряда:
/>
f, т.е. среднее квадратическоеотклонение предятавляет собой корень квадратный из средней арифметическойквадратов отклонений средней. Выражение под корнем носит название дисперсии. Дисперсияимеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейшихпоказателей вариации.