Постановка задачи
Целью данного исследования являетсяизучение изменения выработки рабочего (млн. руб.) под действием следующихфакторов:
1. Выполнение норм выработки, %
2. Удельный вес рабочих, невыполняющихнормы, %
3. Вооруженность рабочего активнойчастью основных фондов, руб/чел
4. Электровооруженность труда рабочего,кВтчас/чел
5. Удельный вес обновленных основныхфондов, %
Выдвинем гипотезы о характерезависимости между факторами и результирующим показателем:
I. Зависимость между выполнением нормы выработки и выработкой рабочего:
— Выполнение норм выработкиувеличилось – объем выработки рабочего увеличился.
— Выполнение норм выработкиувеличилось – объем выработки рабочего не изменился.
— Выполнение норм выработкиувеличилось – объем выработки рабочего уменьшился.
II. Зависимость между удельным весомрабочих, невыполняющих нормы, и выработкой рабочего:
— Удельный вес рабочих, невыполняющихнормы, увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
— Удельный вес рабочих, невыполняющихнормы, увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
— Удельный вес рабочих, невыполняющихнормы, увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
III. Зависимость между вооруженностью рабочего активной частью основныхфондов и выработкой рабочего:
— Вооруженностьрабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочегоувеличился.
— Вооруженностьрабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочегоне изменился.
— Вооруженностьрабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочегоуменьшился.
IV. Зависимость между электровооруженностьютруда рабочего и выработкой рабочего:
— Электровооруженность труда рабочегоувеличилась – объем выработки рабочего увеличился.
— Электровооруженность труда рабочегоувеличилась – объем выработки рабочего не изменился.
— Электровооруженность труда рабочегоувеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.
V. Зависимость между удельным весом обновленных фондов и выработкойрабочего:
— Удельный вес обновленных основныхфондов увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
— Удельный вес обновленных основныхфондов увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
— Удельный вес обновленных основныхфондов увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
Проверка требований, предъявляемых кисходным данным
1. Проверим данные на однородность.Используя коэффициент вариации (который должен быть меньше или равен 0,33), мыможем сказать, что следующие факторы являются неоднородными:
— Удельный весрабочих, невыполняющих нормы, %
— Удельный весобновленных основных фондов, %
2. Проверим достаточность наблюдений.Для этого должно выполняться соотношение n-p-1>30 или n/p≥4(3), получаем, что 35-5-1
3. Определим форму зависимости итесноту связи между факторами и результирующим показателем. Для этого построимполя корреляции и рассчитаем корреляционную матрицу. Cвязь между выработкой рабочего и:
· выполнением норм выработки прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
· удельным весом рабочих, невыполняющих нормы обратная и достаточно тесная
(r ≈ -0,88)
· вооруженностью рабочего активной частью основных фондов прямая идостаточно тесная (r ≈ 0,97)
· электровооруженностью труда рабочего прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
· удельным весом обновленных основных фондов прямая и слабая (r ≈ 0,06)
Далее проведеманализ существенности факторов, оставляя наиболее значимые для нашей модели. Витоге получаем, что у нас остается только 3 фактора: удельный вес рабочих,невыполняющих нормы, вооруженность рабочего активной частью основных фондов,электровооруженностью труда рабочего, которые наименее зависимы друг от друга инаиболее сильно влияют на наш результирующий показатель.
На основе этих выводовначинаем расчет параметров регрессионной модели.
регрессионныймодель норма выработка
Расчет параметров регрессионноймоделиРегрессионная статистика Множественный R 0.987 R-квадрат 0.973 Нормированный R-квадрат 0.968 Стандартная ошибка 191.728 Наблюдения 32
Из данной таблицы видно, что связьмежду результирующим показателем и факторами, влияющими на него довольно тесная(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, чтоданные факторы объясняют зависимый показатель ≈ на 98% (коэффициентдетерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 5 35004128.889 7000825.778 190.449 1.28667E-19 Остаток 26 955747.986 36759.538 Итого 31 35959876.875 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Y-пересечение 1474.909 477.841 3.087 0.005 Выполнение норм выработки, % 0.206 3.963 0.052 0.959 Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % -300.376 75.323 -3.988 0.000 Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел 2.483 0.295 8.429 0.000 Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел 0.569 0.152 3.743 0.001 Удельный вес обновленных основных фондов, % -0.680 12.887 -0.053 0.958
Проверим статистическую значимостьпараметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр моделисчитается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В нашем случае t табличное = 2,056 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений –количество факторов –1 = 32-5-1=26. Таким образом получаем, что
— t выполнения норм выработки
0,052
— t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного
|-3,988|> 2,056, поэтому данный фактор надежный
— t вооруженности рабочего активной частью основных фондов >t табличного
8,429 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
— t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,743 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
— t удельного веса обновленных основных фондов
|-0,053|
Исключив выполнение норм выработки,мы получаем следующие результатыРегрессионная статистика Множественный R 0,987 R-квадрат 0,973 Нормированный R-квадрат 0,969 Стандартная ошибка 188,153 Наблюдения 32
Из данной таблицы видно, что связьмежду результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, чтоданные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98%(коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 4 35004029,967 8751007,492 247,191 7,62398E-21 Остаток 27 955846,908 35401,737 Итого 31 35959876,875 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Y-пересечение 1491,715 344,700 4,328 0,0002 Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % -301,202 72,248 -4,169 0,0003 Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел 2,491 0,243 10,230 0,0000 Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел 0,568 0,149 3,817 0,0007 Удельный вес обновленных основных фондов, % -0,347 10,966 -0,032 0,9750
Проверим статистическую значимостьпараметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр моделисчитается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В этом случае t табличное = 2,052 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений –количество факторов –1 = 32-4-1=27. Таким образом получаем, что
— t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > tтабличного
|-4,169|> 2,052, поэтому данныйфактор надежный
— t вооруженности рабочего активной частью основных фондов >t табличного
10,230 > 2,052, поэтому данныйфактор надежный
— t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,817 > 2,052, поэтому данныйфактор надежный
— t удельного веса обновленных основных фондов
|-0,032|
Исключив удельный вес обновленныхосновных фондов, мы получаем следующие результатыРегрессионная статистика Множественный R 0,987 R-квадрат 0,973 Нормированный R-квадрат 0,971 Стандартная ошибка 184,766 Наблюдения 32
Из данной таблицы видно, что связьмежду результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, чтоданные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98%(коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 3 35003994,574 11667998,191 341,783 3,76386E-22
Остаток 28 955882,301 34138,654
Итого 31 35959876,875
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Y-пересечение 1494,197 329,602 4,533 0,000099 Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % -301,747 68,898 -4,380 0,000151 Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел 2,491 0,239 10,430 0,000000 Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел 0,566 0,132 4,299 0,000187 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Уровень значимости у обоих факторовменьше 0,05.
Получаем следующую модель
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
Проверим полученнуюмодель на надежность с помощью критерия Фишера. В нашем случае Fрасч.= 341,783, а Fтабл.=2,947,поэтому данная модель является надежной (Fрасч>Fтабл).
Для оценки качества регрессиирассчитаем среднюю ошибку аппроксимацииНаблюдение Предсказанное выработка рабочего, млн.руб. Остатки Выработка рабочего, (млн.руб.) фактич Отн погреш 1 3960,03 -269,03 3691,00 0,07 2 3442,05 273,95 3716,00 0,07 3 3905,43 -140,43 3765,00 0,04 4 4186,50 -167,50 4019,00 0,04 5 4237,83 15,17 4253,00 0,00 6 4201,88 61,12 4263,00 0,01 7 4364,52 -77,52 4287,00 0,02 8 4631,87 -158,87 4473,00 0,04 9 4549,11 19,89 4569,00 0,00 10 4777,32 -180,32 4597,00 0,04 11 4824,86 -176,86 4648,00 0,04 12 5180,78 -40,78 5140,00 0,01 13 5200,13 18,87 5219,00 0,00 14 5020,98 231,02 5252,00 0,04 15 5446,69 -168,69 5278,00 0,03 16 5151,89 130,11 5282,00 0,02 17 5321,41 43,59 5365,00 0,01 18 5404,72 -38,72 5366,00 0,01 19 5398,77 111,23 5510,00 0,02 20 5391,17 143,83 5535,00 0,03 21 5748,79 -130,79 5618,00 0,02 22 5326,94 355,06 5682,00 0,06 23 5577,32 176,68 5754,00 0,03 24 6048,86 -52,86 5996,00 0,01 25 6311,85 -212,85 6099,00 0,03 26 6099,09 8,91 6108,00 0,00 27 6270,27 359,73 6630,00 0,05 28 6653,02 97,98 6751,00 0,01 29 6810,74 15,26 6826,00 0,00 30 7123,60 98,40 7222,00 0,01 31 7722,25 -388,25 7334,00 0,05 32 7555,35 42,65 7598,00 0,01 0,86 Средняя относительная ошибка аппроксимации 2,679
В нашем случае, ошибка аппроксимации (έ)равна:
έ= (0,86/32)*100%=2,68%
Так как средняя ошибка аппроксимациидопускается не более 10%, то точность нашей модели можно считать приемлемой.
Анализ результатов моделирования
Итак, в нашем случае, получилосьследующие уравнение регрессии в натуральном масштабе
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
Анализируя его, мы можем сделатьследующие выводы:
· если удельный весрабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 %, а вооруженность рабочегоактивной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутсяна прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 301,747 млн. руб.
· если вооруженностьрабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 руб./чел., а удельныйвес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочегооставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 2,491 млн. руб.
· еслиэлектровооруженность труда рабочего увеличить на 1 кВтчас/чел, а удельный весрабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основныхфондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,566млн. руб.
Рассчитаем уравнение регрессии встандартизованном масштабе:
β2= -301,75*(0,87/1077,03)= -0,242 β3=2,49*(273,33/ 1077,03)= 0,632
β4=0,57*(358,26/1077,03)=0,188
Уравнение регрессии встандартизованном масштабе имеет следующий вид
t0=-0,242t2+0,632t3+0,188t4
Это значит, что:
· если удельныйвесрабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 его стандартное отклонение, а вооруженностьрабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочегоостанутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,242σ.
· если вооруженностьрабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 его стандартногоотклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженностьтруда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,632σ.
· еслиэлектровооруженность труда рабочего увелечить на 1 его стандартного отклонения,а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активнойчастью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увелечитсяна 0,188 σ.
Рассчитаем коэффициенты эластичности
Э2= -301,75*(0,28/5370,19)= -0,016 и Э3=2,49*(1028,09/5370,19)=0,477
Э4= 0,57*(2474/5370,19)= 0,261
из этого следует, что:
· если удельныйвесрабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1%, а вооруженность рабочегоактивной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутсяна прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,016%.
· есливооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на %, аудельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность трударабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,477%.
· еслиэлектровооруженность труда рабочего увеличить на 1%, а удельный вес рабочих,невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондовоставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,261%.