Дисперсійнийаналізта побудова статистичнихграфіків
Дисперсійнийаналіз
Характеристики варіації
В одних сукупностях індивідуальнізначення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значновідхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тимбільш надійні й типові характеристики центра розподілу, передусім середнявеличина. Вимірювання ступеня коливання ознаки, її варіації — невід'ємнаскладова аналізу закономірностей розподілу. Міри варіації широковикористовуються у практичній діяльності: для оцінювання диференціації домашніхгосподарств за рівнем доходу, фінансового ризику інвестування, ритмічностіроботи підприємств, сталості врожайності сільськогосподарських культур тощо.
На основі характеристик варіаціїоцінюється інтенсивність структурних зрушень, щільність взаємозв'язків соціально-економічнихявищ, точність результатів вибіркового обстеження.
Для вимірювання таоцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. Доабсолютних належать: варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичневідхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтівваріації, локалізації, концентрації.
Узагальнюючою характеристикоюваріації є середнє відхилення:
а) лінійне
/>,
б) квадратичне, або стандартне
/>;
в) дисперсія (середній квадратвідхилень)
/>.
Видита взаємозв'язок дисперсій
Дисперсія посідає особливе місце устатистичному аналізі соціально-економічних явищ. На відміну від іншиххарактеристик варіації завдяки своїм математичним властивостям вона єневіддільним і важливим елементом інших статистичних методів, зокремадисперсійного аналізу.
Для ознак метричної шкали дисперсія —це середній квадра відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:
/>.
Як і будь-яка середня, дисперсія маєпевні математичні властивості. Сформулюємо найважливіші з них.
1. Якщо всі значення варіант xj зменшити на сталу величину А, то дисперсія не зміниться:
/>.
2. Якщо всі значення варіант xj змінити в А раз, то дисперсія зміниться в А2 раз:
/>.
3. Якщо частоти замінити частками,дисперсія не зміниться. Нескладнимиалгебраїчними перетвореннями можна довести,
що дисперсія — це різниця квадратів />. Якщо
/>,
то, замінивши /> і поділивши всі складові на п,дістанемо:
/>,
де /> – квадрат середньої величини; /> – середнійквадрат значень ознаки.
Дисперсія альтернативної ознакиобчислюється як добуток часток: />, де d1 — частка елементів сукупності, яким властива ознака, d0 — частка решти елементів />. Застосуємо основну формулу дисперсіїдо цих характеристик структури:
/>.
Якщо, скажімо, у збиральному цехучастка висококваліфікованих робітників становить d1= 0,2, то дисперсія частки
σ2=0,2 (1-0,2)=0,16.
Дисперсія альтернативної ознакишироко використовується при проектуванні вибіркових обстежень, обробці данихсоціологічних опитувань, статистичному контролі якості продукції тощо. За відсутності первинних даних пророзподіл сукупності припускають, що d1=d0=0,5 і використовують максимальнезначення
дисперсії σ2 =0,5·0,5=0,25.
Якщо сукупність розбито на групи запевною ознакою х, то длябудь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності,так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня />, центром розподілу в j-й групі — групова середня />. Відхиленняіндивідуальних значень ознаки у від загальної середньої /> можна подати як двіскладові: />.Узагальнюючими характеристиками цих відхилень є дисперсії: загальна, групова таміжгрупова.
Загальна дисперсія характеризує варіацію ознакиу навколо загальної середньої:
/>.
Групова дисперсія характеризує варіаціювідносно групової середньої:
/>.
Оскільки в групи об'єднуються певноюмірою схожі елементи сукупності, то варіація в групах, як правило, менша, ніж уцілому по сукупності. Якщо причинні комплекси, що формують варіацію в різнихгрупах, неоднакові, то й групові дисперсії різняться між собою.
Узагальнюючою міроювнутрішньогрупової варіації є середня з групових дисперсій:
/>.
Різними є й групові середні />. Міроюваріації їх навколо загальної середньої є міжгрупова дисперсія
/>.
Отже, загальна дисперсія складаєтьсяз двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, друга — міжгруповуваріацію.
Взаємозв'язок дисперсій називається правиломрозкладання (декомпозиції) варіації:
/>.
40Види статистичних графіків і способи їх побудови
Статистичніграфіки і правила їх побудови
Внаслідок опрацювання даних різнихвидів спостережень дістають багато цифрового матеріалу, який розмішують утаблицях. Застосування табличного методу суттєво полегшує орієнтування взібраному та згрупованому матеріалі. Проте здебільшого статистичні дослідженняне обмежуються лише таблицями.
Таблична форма викладу кількісногоматеріалу не завжди дає змогу достатньо наочно і чітко відобразити загальнукартину стану чи розвитку якого-небудь явища, розкрити закономірності зв'язкустатистичних показників або їхнього розподілу. А тому для розв'язання цих таінших завдань поряд із статистичними таблицями широко застосовують графічнийспосіб зображення статистичних величин.
Статистичний графік — це спосіб наочного зображення йузагальнення статистичних даних про соціально-економічні явища процеси задопомогою геометричних образів, малюнків або схематичних географічних карт.
Графіки застосовують здебільшого дляхарактеристики (порівняння) розвитку показників у часі й просторі, вивченняструктури та структурних зрушень, контролю за виконанням планових завдань,характеристики розміщення і поширення явищ у просторі, а також для аналізузв'язків і залежностей між різними показниками або між значеннями варіаційноїознаки і частотами чи частками. Для побудови статистичного графіка потрібно знати,з якою метою складається графік, вивчити вихідний матеріал та оволодітиметодикою графічних зображень.
Основні елементи графіка: поле графіка, графічніобрази, масштабні орієнтири та експлікація графіка. Кожний елемент має своєпризначення і виконує відповідну роль у побудові й інтерпретації
Поле графіка — це простір, на якому розташовуютьсягеометричні та інші знаки, тобто графічне зображення. Цей простір має певнийрозмір і обмежується або аркушем чистого паперу, або географічною чи контурноюкартою.
Розмір поля залежить від призначенняграфіка. В статистичних дослідженнях найчастіше застосовують графіки у виглядіпрямокутників з нерівними сторонами по вертикалі і горизонталі, а також іграфіки у вигляді квадратів. Співвідношення нерівних сторін полів графіказвичайно беруть від 1: 1,33 до 1: 1,50, якщо вертикальну сторону прийняти за1.
Просторові орієнтири задають увигляді прямокутної системи координат, тобто координатної сітки. В картограмахзасобами просторової орієнтації є географічні карти.
Графічний образ — це сукупність різноманітнихгеометричних та графічних знаків, за допомогою яких відображують статистичнівеличини. У статистичних графіках використовують такі геометричні знаки, яккрапки, відрізки прямих ліній, квадрати, прямокутники, кола, півкола, сектори,а також негеометричні знаки-символи у вигляді силуетів або малюнків. Це і єосновою графіка, його мовою.
Масштабні орієнтири статистичних графіків — цемасштаб, масштабні шкали і масштабні знаки, які використовуються для визначеннярозмірів геометричних та інших графічних знаків.
Масштаб — умовна міра переведеннячислового значення статистичного явища в графічне і навпаки. Тобто це довжинавідрізка шкали, прийнята за числову одиницю. Наприклад, 1 см на графікувідповідає 1000 одиницям виробленої продукції, або 1 см2 дорівнює 100 км2 надосліджуваній території.
При побудові графіка масштаб має бутитаким, аби ясно і чітко проявлялися відмінності зображення статистичних величині можна було їх легко порівнювати між собою. Найпоширенішою для статистичнихграфіків є система прямокутних координат. Найкраще співвідношення масштабу поосі абсцис і ординат становить 1,41: 1, відоме під назвою «золотого перетину».На осі ординат графіка має бути нульова точка. У випадках, коли мінімальнезначення ознаки набагато вище нуля, доцільно робити розрив вертикальної шкали.
Масштабна шкала — це лінія, поділенана відрізки точками відповідно до прийнятого масштабу. Носієм шкали звичайно єпряма або крива лінії. Залежно від цього масштабні шкали поділяють на: прямолінійніі кругові.
Довжину відрізків між сусіднімиподілками шкали називають графічним інтервалом, а різницю між числовимизначеннями цих поділок — числовим інтервалом. Обидва інтервали можуть бутирівними і нерівними.
Шкалу, в якій рівним графічним інтерваламвідповідають рівні числові інтервали, називають рівномірною, або арифметичною.
Якщо рівним графічним інтерваламвідповідають нерівні числові інтервали, шкалу називають нерівномірною, абофункціональною. Для побудови статистичних графіків з функціональною шкалоюнайчастіше застосовують логарифмічну функцію />
Масштабні знаки — це еталони, які зображаютьна графіку статистичні величини у вигляді квадратів, кругів, силуетів тощо.Ними користуються для визначення розмірів і співвідношення статистичнихвеличин, зображених на графіку, тобто для порівняння графічних знаків зізнаком-еталоном.
Експлікація графіка — це пояснення, що розкривають його змісті основні елементи: заголовок (назва) графіка, одиниці виміру, умовніпозначення.
Назва графіка має зрозуміло, чітко істисло розкривати його основний зміст і відповідати на три запитання — «що?»,«коли?», «де?».
На кожній масштабній шкалі графікавказують відповідні, статистичні величини та одиниці їхвимірювання.
Пояснювальні написи до окремихелементів графічного образу можуть лежати в полі графіка або виноситись якумовні позначення за його межі.
Класифікація статистичних графіків дає можливість визначитиїхні загальні риси, аналітичні можливості та метод побудови. Графікикласифікуються за функціонально-цільовим призначенням, видами, формами і тинамиосновних елементів:
• за загальним призначенням:
аналітичні, ілюстративні таінформаційні;
• за функціонально-цільовимпризначенням:
графіки групувань і рядів розподілу,динаміки, взаємозв'язку і порівняння;
• за формою графічних образів:
крапкові, лінійні, площинні,просторові і фігурні;
• за типом системи координат:
графіки у прямокутній і полярнійсистемі координат;
• за масштабними шкалами:
графіки з рівномірними,функціональними і мішаними шкалами.
Класифікація графіків за виглядом їхполя дає змогу виділити дві великі групи графіків: діаграми і статистичнікарти.
З огляду на розв'язувані завданнярозрізняють статистичні графіки:
1) порівняння статистичних величин;
2) структури і структурних зрушень;
3) зображення динаміки статистичнихпоказників;
4) контролю виконання плану;
5) розташування і поширення впросторі;
6) варіаційних рядів;
7) взаємозв'язку і взаємозалежності.
Графіки, які застосовують длязображення статистичних даних, надзвичайно різноманітні.
Здебільшого для графічного порівняннявеличин статистичного показника, які характеризують його зміну в просторі,застосовують діаграми.
Діаграми – це види графіків, в яких цифровим(кількісним) даним відповідають різні геометричні фігури і лінії. Діаграмибувають стовпчикові, стрічкові, секторні, лінійні та інші.
Стовпчикові діаграми – найбільш простий, наочнийі поширений вид графіків в одному вимірі. На осі абсцис на однаковій відстаніодин від одного відкладають рівні відрізки – основи стовпчиків.
Якщо стовпчики-прямокутники, якізображують числа, розташувати не по вертикалі, а по горизонталі, тоді це – стрічковадіаграма.
Стовпчикові і стрічкові діаграми взаємозамінні,оскільки в обох випадках використовують один вимір – висоту стовпчика абодовжину стрічки.
Для порівняння кількох абсолютнихзначень використовують також квадратні діаграми. Для того щоб визначити сторониквадрата, потрібно добути корінь квадратний із абсолютного значення, щохарактеризує явище.
Збільшити наочність зображеннястатистичних явищ можна, замінивши абстрактні геометричні фігури малюнками.Такий вид діаграм називають фігурними діаграмами.
Фігурні діаграми будують двомаспособами:
· малюютьфігури, розмір яких пропорційний розміру зображуваного явища;
· встановлюютьпевний масштаб для фігур.
Для статистичного дослідження складусукупності використовують структурні діаграми – діаграми співвідношення питомоїваги, які характеризують відношення окремих частин сукупності у загальному їхобсязі. Такі діаграми поділяють на стовпчикові, стрічкові і секторні.
Зміну статистичних явищ у часіілюструють динамічні графіки. Лінійні графіки характеризують зміни явищ учасі, виявляють залежності між двома показниками тощо. У лінійному графікудинаміки шкала на осі ординат має починатися з нуля, інакше діаграманеправильно відображатиме характер розвитку явища.
Різновидом лінійних діаграм є радіальнідіаграми, які відображають процеси і явища, періодично повторювані в часі(переважно сезонні коливання).
43 За даними про ціни та обсягреалізації цукру в трьох магазинах міста визначити середню 1кг цукру за I квартал, II квартал, і за півріччя. Результативідобразити графічно, зробити висновки.Магазин I квартал II квартал Ціна за 1кг, грн Реалізовано тонн Ціна за 1кг, грн Реалізовано тонн 1 2,90 60,3 2,95 51,7 2 2,75 45,5 3,20 40,0 3 3,10 50,0 3,00 42,5
Розв’язання:
Будуємо таблицю для визначенняотриманих грошей кожним магазином.Магазин І квартал І квартал І квартал ІІ квартал Р1, грн q1, тонн P2, грн q2, тонн P1q1, грн P2q2, грн 1 2,90 60,3 2,95 51,7 174,87 152,51 2 2,75 45,5 3,20 40,0 125,12 128,00 3 3,10 50,0 3,00 42,5 155,00 127,50 Σ 155,8 134,2 454,99 408,01
Визначаємо середню зважену ціну за 1кг цукру за І квартал:
/>грн за 1 кг,
Визначаємо середню зважену ціну за 1кг цукру за І квартал:
/>грн за 1кг.
Визначаємо середню зважену ціну за1кг цукру за півріччя:
/>грн за 1 кг.
Відповідь:
середня зважена ціна за 1 кг цукру заІ квартал становить – 2,92грн,
середня зважена ціна за 1 кг цукру заІІ квартал становить – 3,04грн,
середня зважена ціна за 1 кг цукру запівріччя становить – 2,97грн,
59 У звітному періоді було проданошкіряного взуття на 50 тис. грн., гумового – на 20 тис. грн. і комбінованого –на 10 тис. грн. Визначити загальний індекс цін на взуття, якщо відомо, що цінизросли на шкіряне взуття на 15%, на гумове – на 10%, на комбіноване – на 8%.
Розв’язання:
Формула визначення загального індексувиглядає так:
/>,
де q – обсяг виробництва,
p – ціна на товар,
p1q1 – товарооборот взуття після зростання цін,
p0q0 – товарооборот взуття у звітному (базисному) періоді.
Підставляємо значення у формулу:
/>
Отже, загальний індекс цін на взуттястановить 13%.
Відповідь: загальний індекс цін навзуття становить 13%.
Списоквикористаної літератури
1. УманецьТ. В., Пігарєв Ю. Б.
Статистика: Навч. посіб. – 2-ге вид.,випр. – К.: Вікар, 2003. – 623 с. – (Вища освіта XXI століття).
2. ГерасименкоС. С., Головач А. В., Єріна А. М. та ін.
Статистика: Підручник. За наук. ред…д-ра екон. наук. С. С. Герасименка. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: КНЕУ,2000. – 467 с.
3. Теорія статистики: Навчальнийпосібник / Вашків П. Г., Пастер П. І.,Сторожук В. П., Ткач Є. І. – К.: Либідь, 2001. – 320 с.