Анализ моделина чувствительность
План
АННОТАЦИЯ
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ КАК СПОСОБМИНИМИЗАЦИИ РИСКА
1.1Понятие риска и необходимость его снижения
1.2 Анализчувствительности модели как способ восстановления финансового равновесия
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИМОДЕЛИ
2.1 Анализчувствительности оптимального решения
2.2 Изменения, влияющие на допустимость решения
2.3 Изменения, влияющие на оптимальность решения
2.4 Добавление в модель ЛП нового вида производственной деятельности
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Аннотация
Тема курсового проекта,представленная в пояснительной записке, звучит как «Анализ чувствительностимодели».
Объём даннойпояснительной записки к курсовому проекту по дисциплине «Исследование операций»составляет 25 страниц, количество используемых источников 7.
Данная пояснительнаязаписка содержит 2 (два) раздела, содержащих следующую информацию:теоретические основы анализа чувствительности модели и место этого анализа висследовании операций и в экономике в целом, а также описание практическогоприменения указанных методов в исследовании операций.
Глава1. Анализ модели на чувствительность как способ минимизации риска
1.1 Понятие риска инеобходимость его снижения
Для начала рассмотрим определение экономическихрисков разными авторами.
Б. А. Лагоша.Экономический риск – это вероятность (угроза) потери лицом или организациейчасти своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительныхрасходов в результате осуществления определенной производственной и финансовойполитики.
В. В. Витлинский.Экономический риск – это категория в деятельности субъектов хозяйствования,связанная с преодолением неопределенности, конфликтности в ситуацияхоценивания, управления, неминуемого выбора. Он имеет диалектическуюобъективно-субъективную структуру. Оценка риска является многомерной величиной,которая характеризует возможные отклонения от целей, от желательного (ожидаемого)результата, возможную неудачу (ущерб) с учетом влияния контролируемых(управляемых) и неконтролируемых (неуправляемых) факторов, прямых и обратныхсвязей.
Независимо от видасуществует два типа рисков:
1. Динамический риск- непредусмотренный риск при изменении стоимости основного капитала фирмы припринятии решения или изменению рыночных условий, политических обстоятельств.Такой риск может привести как к потерям, так и к прибылям.
2. Статический риск- риск потерь реальных активов в следствие нанесения вреда собственности, атакже потерь доходов. Этот риск приводит лишь к потерям.
Риск существует тогда,когда имеются возможности активного оценивания,управления, принятие решений. Когда отсутствуютальтернативы решений, то отсутствующий и риск. Источниками риска являютсяфакторы (предметы, явления, процедуры), которые вызывают неопределенность и конфликтность.
Для пониманияприроды экономического риска фундаментальное значение имеет связь риска иприбыли. Чтобы получить єкономическую прибыль, предприниматель должен заведомопойти на принятие рискованного решения, так как вместе с риском потерьсуществует возможность получения дополнительных доходов. “Кто не рискует, тoтне віигрівает”. Можно выбрать решение, содержащее меньше риска, ири этом будетполучена и меньшая прибыль, высший риск чаще всего связан с получением и высшейприбыли.
Принципиальноерешение о принятии рискованного проекта зависит от преимуществ между прибыльностьювложенных средств в проект и их надежностью, что, в свою очередь, понимаетсякак не рискованность получения доходов.
1.2 Анализчувствительности модели как способ восстановления финансового равновесия.
Основой сохранения ивосстановления финансового равновесия предприятия и снижения уровня рискаявляется анализ чувствительности предложенной модели. Анализ чувствительностисостоит из следующих этапов:
1. Выбор ключевогопоказателя, т.е. такого параметра, относительно которого и рассчитываетсячувствительность проекта (чаще всего это чистый приведенный доход и внутренняянорма доходности).
2. Выбор факторов,которые влияют на эти показатели.
3. Расчет значенийключевых показателей на разных этапах реализации проекта (поиск,проектирование, строительство, эксплуатация).
Чем выше чувствительностьпоказателей к факторам внешней среды, тем более рискованным является проект.Для каждого показателя определяется чувствительность каждого момента времениили отрезка времени. Определяется эффективность проекта.
Часто во время анализачувствительности определяется точка безубыточности проекта, т.е. определяетсятот объем выпуска продукции, при котором предприятие выходит из зоны убытка.
Анализ чувствительностипроекта разрешает специалистам учитывать риск и неопределенность. Например,если цена продукции оказалась критической, то возможно усилить программумаркетинга или снизить стоимость проекта. Если критическим окажется объемвыпущенной продукции, то необходимо повысить квалификацию рабочих, уделитьвнимание обучению персонала, менеджерам и другим факторам повышения производительности.
Недостатки метода анализачувствительности:
1. Метод нерассчитан на все случайное и возможное обстоятельства.
2. Метод не уточняетвероятность реализации альтернативных проектов.
Глава2. Практическое применение анализа чувствительности модели
2.1Анализ чувствительности оптимального решения
Анализчувствительности выполняется уже после получения оптимального решения задачи линейногопрограммирования (ЛП). Его цель — определить, приведет ли изменениекоэффициентов исходной задачи к изменению текущего оптимального решения, и еслида, то, как эффективно найти новое оптимальное решение (если оно существует).
В общемслучае изменение коэффициентов исходной задачи может привести к одной изследующих четырех ситуаций.
1. Текущее базисноерешение остается неизменным.
2. Текущее решениестановится недопустимым.
3. Текущее решениестановится неоптимальным.
4. Текущее решениестановится неоптимальным и недопустимым.
Вовторой ситуации можно использовать двойственный симплекс-метод длявосстановления допустимости решения. В третьей ситуации мы используем прямойсимплекс-метод для получения нового оптимального решения. В четвертой дляполучения нового оптимального и допустимого решения следует воспользоваться какпрямым, так и двойственным симплекс-методом.
Дляобъяснения различных процедур анализа чувствительности используем модельфабрики игрушек TOYCO. Фабрика TOYCO собирает три вида детских игрушек:модели поездов, грузовиков и легковых автомобилей. Сборка модели каждого видатребует последовательного применения трех операций. В задаче необходимоопределить объемы производства каждого вида игрушек, максимизирующие общийдоход. Для удобства изложения материала повторим формулировки прямой идвойственной задач (табл.2.1).
Таблица2.1.Прямая задача Двойственная задача
Максимизировать /> при ограничениях
/>, (операция 1)
/>, (операция 2)
/>, (операция 3)
/>.
Минимизировать />
/> при ограничениях
/>,
/>,
/>,
/>.
Оптимальное решение
/>
Оптимальное решение
/>
Приведемсимплекс-таблицу, содержащую оптимальное решение прямой задачи.
Таблица2.2.
Базис /> /> /> /> /> /> Решение
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
Изменения,влияющие на допустимость решения.
Кнедопустимости текущего оптимального решения может привести (1) изменениеправых частей ограничений (т.е. изменение элементов вектора />) и (2) введение в множествоограничений задачи нового ограничения. В любом случае недопустимость решенияпроявится в том, что, по крайней мере, один элемент в векторе /> станет отрицательным, т.е.одна или несколько базисных переменных примут отрицательные значения.
Изменениеэлементов вектора /> правых частейограничений. В следующемпримере проиллюстрирован подход к исследованию ситуации, когда изменяетсянесколько элементов вектора Ь, содержащего значения правых частей ограничений.
Предположим,что фабрика игрушек TOYCO планируетрасширить производство своей продукции путем увеличения возможностей сборочныхлиний на />, что даст следующий фондрабочего времени для каждого вида сборочной операции: />, /> и /> минут соответственно. Этиизменения влияют только на правые части неравенств ограничений. По формуле /> найдем новое решениезадачи.
/>
Такимобразом, текущие базисные переменные />, /> и /> с новыми значениями />, /> и /> по-прежнему составляютдопустимое решение. Соответствующее этому решению оптимальное значение целевойфункции (максимальный доход) равно />.
Хотяновое решение и приводит к увеличению дохода фабрики, реализация мероприятий,необходимых для такого наращивания производства, требует определенного времени.Временной альтернативой такой модернизации производства может служить «перенос»неиспользуемого фонда рабочего времени третьей операции (/> минут) в фонд первой.Тогда фонд рабочего времени трех сборочных операций будет равен />, /> и /> минут соответственно. Сучетом новых ограничений получаем следующее решение.
/>
Полученноерешение не является допустимым, поскольку теперь />.Для возврата в область допустимых решений применим двойственный симплекс-метод.Сначала изменим значения в столбце «Решение» симплекс-таблицы (эти новыезначения выделены в следующей симплекс-таблице). Отметим, что соответствующеезначение целевой функции равно />.
Базис /> /> /> /> /> /> Решение
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
Всоответствии с двойственным симплекс-методом исключаемой переменной будет />, а вводимой – />. В результате получимследующую симплекс-таблицу с оптимальным допустимым решением. (В общем случаедля получения допустимого решения может потребоваться несколько итерацийдвойственного симплекс-метода).
Базис /> /> /> /> /> /> Решение
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
По существу,оптимальное решение осталось неизменным. Это означает, что в данном случае«перенос» части фонда рабочего времени третьей операции в фонд рабочего временипервой операции не приводит к улучшению целевой функции.
Интервалы допустимыхизменений для элементов вектора />. Другойспособ исследования влияния изменения доступности ресурсов (т.е. элементоввектора /> правых частей неравенствограничений) заключается в определении интервалов допустимости для этихэлементов, сохраняющих текущее решение допустимым. Следующий примериллюстрирует метод анализа чувствительности.
Пусть взадаче о фабрике игрушек TOYCOнас интересует интервал допустимости для значения фонда рабочего времени первойоперации. Заменим вектор /> вектором
/>.
Переменная/> представляет измененияфонда рабочего времени первой операции по сравнению с текущим уровнем в /> минут. Для того чтобытекущее базисное решение осталось недопустимым, необходимо выполнениенеравенства />. Отсюда получаем следующуюсистему неравенств.
/>.
Первоенеравенство /> порождает />, второе неравенство /> не зависит от />, третье /> дает условие />. Таким образом, текущеебазисное решение останется допустимым при выполнении неравенств />. Это эквивалентноследующему интервалу допустимости для фонда рабочего времени первой операции.
/> Фонд рабочего времени операции />
или
/> Фонд рабочего времени операции />
Изменениязначения целевой функции, соответствующее изменение />,равно />, где /> – стоимость (в долларах)одной минуты фонда рабочего времени первой операции (т.е. двойственная ценаэтого ресурса).
Чтобыпроиллюстрировать использование данного интервала допустимости, предположим,что фонд рабочего времени первой операции изменился от /> до /> минут. Текущее базисноерешение остается допустимым, поскольку новое значение фонда рабочего временипервой операции принадлежит интервалу допустимости. Для вычисления новыхзначений переменных воспользуемся значением />.Далее получим следующее.
/>.
Длявычисления нового значения целевой функции сначала найдем значения двойственныхцен.
/>.
Таким образом, стоимостьодной минуты фонда рабочего времени первой операции равна />. Тогда изменение оптимальногодохода составит />. Следуетпомнить, что данная стоимость минуты фонда рабочего времени первой операции,равная />, справедлива только дляуказанного выше интервала изменения />. Любоеизменение, выходящее за этот интервал, приводит к недопустимому решению. Втаком случае следует использовать двойственный симплекс-метод для нахождениянового решения, если оно существует.
2.2 Изменения, влияющиена оптимальность решения
Текущееоптимальное решение перестает быть оптимальным, если разности /> не удовлетворяют условиюоптимальности. Используя вектор двойственных цен />,запишем
/>.
Отсюдаследует, что на оптимальность решения влияют только коэффициенты с, целевойфункции (и, следовательно, вектор />) и/илистоимости ресурсов, представленные векторами />.Рассмотрим последовательно каждый фактор, влияющий на оптимальность решения.
Изменениекоэффициентов целевой функции. Для определения влияния изменений коэффициентов целевой функции следуетпересчитать разности /> только для небазисныхпеременных, поскольку при любых изменениях коэффициентов />, соответствующих базисным переменным,разности /> всегда остаются равныминулю.
Вычислительнаяпроцедура заключается в следующем.
1. Вычисляетсявектор двойственных цен /> длянового вектора коэффициентов />.
2. Вычисляютсяразности /> для текущей небазисной переменной/>. При этом возможны дваварианта.
a. Если условие оптимальности выполняется,текущее решение остается оптимальным, но значение целевой функции можетизмениться.
Если условиеоптимальности не выполняется, следует применить (прямой) симплекс-метод дляполучения нового оптимального решения.
Предположим,что фабрика игрушек TOYCO проводит новую ценовую политикуотносительно своих изделий. В соответствии с этим доход от одной модели поезда,грузовика и легкового автомобиля составляет соответственно />, /> и />. Получаем новую целевуюфункцию для этой модели
Максимизировать
/>.
Посколькутекущее базисное решение /> состоитиз переменных х2, х3 и х6, имеем />. Вычислим вектордвойственных цен.
/>.
Разности/> для небазисных переменных />, /> и /> вычисляются по формуле />:
/>,
/>,
/>.
Отметим,что здесь использовалось новое значение коэффициента целевой функции />.
Вычисленияпоказывают, что текущее решение />, /> и /> остается оптимальным.Новое значение целевой функции равно
/>.
Предположим,что в рассматриваемой задаче целевая функция имеет следующий вид.
Максимизировать/>.
Этафункция совпадает с предыдущей целевой функцией, за исключением того, чтокоэффициент при переменной /> теперьравен />. Поэтому необходимопересчитать только разность />. Врезультате получаем следующее.
/>
Отсюда следует, что переменную /> необходимо включить вбазисное решение. Имеем следующую симплекс-таблицу.
Базис /> /> /> /> /> /> Решение
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> />
Новые значения разностей /> для небазисных переменных />, /> и /> в симплекс-таблицевыделены. Все остальные элементы таблицы остались такими же, как и в исходнойтаблице с оптимальным решением. Для нахождения нового оптимального решенияследует ввести в базис переменную /> иисключить из него переменную />. Врезультате получим решение />, />, /> и />
Крометого; для исследования влияния коэффициентов целевой функции на оптимальностьрешения можно также вычислить (по отдельности) интервалы изменения каждогокоэффициента, сохраняющие оптимальность текущего решения. Для этого следуетзаменить текущий коэффициент су выражением />,где /> — величина (положительнаяили отрицательная) изменения коэффициента />.
Ограничения на величины /> можно определить путемвычисления новых разностей /> иналожения на них соответствующего условия оптимальности, которое зависит оттого, рассматривается ли задача минимизации или максимизации.
Пусть взадаче о фабрике игрушек TOYCOнас интересует интервал допустимости для значения фонда рабочего времени первойоперации. Заменим вектор /> вектором
/>.
Переменная/> представляет измененияфонда рабочего времени первой операции по сравнению с текущим уровнем в /> минут. Для того чтобытекущее базисное решение осталось недопустимым, необходимо выполнениенеравенства />. Отсюда получаем следующуюсистему неравенств.
/>.
Первоенеравенство /> порождает />, второе неравенство /> не зависит от />, третье /> дает условие />. Таким образом, текущеебазисное решение останется допустимым при выполнении неравенств />. Это эквивалентноследующему интервалу допустимости для фонда рабочего времени первой операции.
/> Фонд рабочего времени операции />
или
/> Фонд рабочего времени операции />
Изменениязначения целевой функции, соответствующее изменение />,равно />, где /> – стоимость (в долларах)одной минуты фонда рабочего времени первой операции (т.е. двойственная ценаэтого ресурса).
Чтобыпроиллюстрировать использование данного интервала допустимости, предположим,что фонд рабочего времени первой операции изменился от /> до /> минут. Текущее базисноерешение остается допустимым, поскольку новое значение фонда рабочего временипервой операции принадлежит интервалу допустимости. Для вычисления новыхзначений переменных воспользуемся значением />.Далее получим следующее.
/>.
Длявычисления нового значения целевой функции сначала найдем значения двойственныхцен.
/>.
Таким образом, стоимостьодной минуты фонда рабочего времени первой операции равна />. Тогда изменение оптимальногодохода составит />. Следуетпомнить, что данная стоимость минуты фонда рабочего времени первой операции,равная />, справедлива только дляуказанного выше интервала изменения />. Любоеизменение, выходящее за этот интервал, приводит к недопустимому решению. Втаком случае следует использовать двойственный симплекс-метод для нахождениянового решения, если оно существует.
Достаточноеправило допустимости. Этоупрощенное правило можно использовать для проверки того, что одновременные изменения/>, />, />, /> элементов вектора /> (правых частей неравенствограничений) сохранят допустимость текущего решения. Предположим, что праваячасть /> />-го ограничения была измененана />, причем независимо от измененияправых частей других ограничений, и соответствующий интервал допустимости /> рассчитан так, какпоказано в примере 4.7-2. Очевидно, что />,поскольку величина /> соответствуетмаксимальному уменьшению (возрастанию) значения />.Положим /> равным или отношению />, или /> в зависимости от того,будет ли величина /> отрицательнойили положительной. По определению />.Достаточное правило допустимости гласит, что для данных изменений />, />, />, /> достаточным (ненеобходимым) условием того, что текущее решение останется допустимым, будетвыполнение неравенства />. Еслиэто условие не выполняется, то текущее решение может быть как допустимым, так инедопустимым. Сформулированное правило неприменимо, если /> выходят из своихинтервалов допустимости.
В действительностидостаточное правило допустимости является очень слабым критерием допустимостирешения и на практике применяется редко. Даже в том случае, когда допустимостьрешения может быть подтверждена с помощью этого правила, все равно дляполучения нового оптимального решении будет, использовано условие допустимостипрямого симплекс-метода.
Добавлениеновых ограничений. Добавление нового ограничения в существующую модель ЛП можетпривести к одной из следующих ситуаций.
1. Новое ограничениеявляется избыточным. Это означает, что новое ограничение выполняется притекущем оптимальном решении.
2. Новое ограничениене выполняется при ткущем оптимальном решении. В этом случае необходимоприменить двойственный симплекс-метод, чтобы получить (или хотя бы попытатьсяполучить) новое оптимальное решение.
Отметим, что добавлениенеизбыточного нового ограничения может только ухудшить текущее оптимальноезначение целевой функции.
Предположим,что в модели фабрики игрушек TOYCOвремя выполнения новой четвертой операции составляет соответственно />, /> и /> минуту при сборке однойигрушки различных видов. В этом случае четвертое ограничение /> не будет избыточным, итекущее оптимальное решение ему не удовлетворяет. Мы должны ввести новоеограничение в симплекс-таблицу, где представлено текущее оптимальное решение.
Базис /> /> /> /> /> /> /> Решение
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
Посколькупеременные /> и /> являются базисными, из />-строки следует исключитьсоответствующие им коэффициенты (т.е. надо сделать их нулевыми). Для этого надовыполнить следующую операцию.
Новая />-строка /> Старая />-строка />(/>-строка)/>(/>-строка)/>
Врезультате получим новую симплекс-таблицу.
Базис /> /> /> /> /> /> /> Решение
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
С помощью двойственногосимплекс-метода находим новое оптимальное решение />,/>, /> и />
2.4Добавление в модель ЛП нового вида производственной деятельности
Введение в модельлинейного программирования нового вида производственной деятельности эквивалентнодобавлению новой переменной в задачу ЛП. Добавление нового вида производственнойдеятельности интуитивно обосновано только в том случае, если эта деятельностьэкономически рентабельна, т.е. улучшает оптимальное значение целевой функции.Это условие можно проверить путем вычисления для новой переменной разности />, где /> – вектор оптимальныхзначений двойственной задачи, /> и /> – соответственно ресурсы,используемые для обеспечения нового вида деятельности, и доход от единицы«выхода» этой деятельности. Если вычисленное значение разности /> удовлетворяет условиюоптимальности, то новая деятельность нежелательна, поскольку не улучшает оптимальногорешения. Если же вычисленное значение разности /> неудовлетворяет условию оптимальности, то новый вид деятельности являетсярентабельным и соответствующая ему переменная должна быть включена в базисноерешение.
Оптимальноерешение задачи ЛП о фабрике игрушек TOYCO показывает, что производство моделей поездов нерентабельно. Поэтомуфабрика планирует заменить производство этих моделей выпуском новых игрушек, аименно моделью пожарной машины, причем ее сборка будет осуществляться сиспользованием тех же производственных мощностей. Фабрика подсчитала доход отновой игрушки в /> за одну модель.Ее время сборки на каждой из трех технологических операций составляетсоответственно />, /> и /> минуты.
Обозначимчерез /> объем производства новойпродукции. Поскольку в этой ситуации текущий базисный вектор /> не изменился, можно длядальнейших использовать текущий вектор значений переменных двойственной задачи />. Вычисляем разность />.
/>
Полученныйрезультат показывает, что экономически целесообразно включить переменную /> в оптимальное базисноерешение. Для нахождения нового оптимального решения сначала вычисляем
/>.
Отсюдаследует, что текущая симплекс-таблица должна быть приведена к следующему виду.
Базис /> /> /> /> /> /> /> Решение
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
Теперь новое оптимальноерешение можно найти путем введения в базис переменной и исключения из негопеременной. Введение в модель ЛП нового вида деятельности, как видно изприведенной выше, можно рассматривать как обобщение ситуации, когда происходитизменение в векторе ресурсов, используемых для существующей деятельности.Поэтому изменение параметров существующего вида деятельности отдельно мы нерассматриваем.
Предположим, что фабрикаигрушек TOYCO изменила конструкцию выпускаемых моделей, и теперь для ихпроизводства необходима четвертая сборочная операция. Ежедневный фонд рабочеговремени этой операции составляет минут. Время выполнения этой операции присборке одной игрушки различных видов составляет соответственно />, /> и /> минуту. В результатеполучаем новое ограничение: />. Этоограничение является избыточным, поскольку оно удовлетворяется при текущемоптимальном решении />, /> и />. Таким образом, текущееоптимальное решение остается неизменным.
Заключение
В даннойработе нашел свое отражение такой способ минимизации риска как анализ модели начувствительность. На практическом примере работы игрушечной фабрики мырассмотрели основные способы анализа чувствительности модели. Все они имеютсвои преимущества и недостатки, которые должно оценивать лицо, принимающеерешение о целесообразности применения того или иного метода в качестве минимизирующегориск. Также в данной работе рассмотрены основные сферы применения анализамодели на чувствительность, то есть – экономические (предпринимательские)риски.
Список использованной литературы
1. Bradley S., Hax A.,Magnanti T. Applied Mathematical Programming, Addison-Wesley, Reading, Mass,1977.
2. Bazaraa M., Jarvis J.,Sheraii M. Linear Programming and Network Flows, 2nd ed., Wiley, New York, 1990.
3. Nering E., Tucker A. LinearProgramming and Related Problems, Academic Press, Boston, 1992.
4. Ашманов С.А. Линейноепрограммирование. — М.: Наука, 1981.
5. Гольдштейн Е.Г. Теориядвойственности в математическом программировании и ее приложения. — М.: Наука,1971.
6. Гольдштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейноепрограммирование: Теория, методы и приложения.— М.: Наука, 1969.
7. Моделирование рисковых ситуаций вэкономике и бизнесе: Учеб. пособие /А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев,Т.П. Барановская; Под ред. БА. Лагоши. – 2-е изд., пере раб. и доп. – М.:Финансы и статистика, 2001.