Оглавление
Введение
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5. Динамическая экономико-математическая модельКейнса
Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционноезвено
Нелинейная динамическая модель Кейнса
Заключение
Литература
Введение
В настоящее время математическоемоделирование все настойчивее вторгается в область социально-экономическихнаук. И дело здесь совсем не в том, что математизация является идеаломстрогости для всякой науки.
Возможность использованияматематического моделирования связана с существованием устойчивых тенденций,которые характеризуют многие социально-экономические процессы. В наибольшейстепени сказанное относится к экономике, где математические методы активноприменяются с прошлого века.
Значение моделированиякак метода исследований определяется тем, что модель представляет собойконцептуальный инструмент, ориентированный на анализ изучаемых процессов и ихпрогнозирование. Именно поэтому, например, в современных курсах поэкономической теории наряду с содержательным анализом широко применяется методматематического моделирования.
Следует, однако, иметь ввиду, что возможности метода математического моделирования при анализеконкретных социально-экономических процессов достаточно ограничены.
В данной курсовой работебудут рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов,такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различныемодели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева,динамическая экономико-математическая модель Кейнса.
Задание 1
Национальная экономикастраны может быть описана мультипликативной производственной функцией вида:
/>,
где [P]=у.д.е. – объём ВВП страны, [K]=у.д.е – объём национальныхпроизводственных фондов (капитал), [L]=чел. – численность населения страны, занятого в производственной сфере(труд). В развитие национальной экономики инвестируется S у.д.е. Считается, что все средстваидут на развитие производства, решить задачу об оптимальном распределенииинвестиций по привлечению дополнительных единиц труда и капитала с цельюмаксимального прироста ВВП. Задачу решить методом Лагранжа и графоаналитическимметодом, считая, что стоимость одной дополнительной единицы капитала составляетS1, единицы труда – S2, а связь между ними носит линейный характер и может быть описана уравнением S=S1·K+S2·L.
Исходные данные:
?1 = 0.4; ?2 = 0.6; S = 50000; S1 = 5; S2 = 15.
Решение:
P = ?0· K0.4· L0.6
5 · K + 15 · L = 50000
Наиболее рациональнымспособом решения такой задачи является способ множителей Лагранжа.
P (K, L,?):
/>
/>
/>
/>
Т.к. K ? 0 и L ? 0,следовательно:
/>
/>
Графическаяиллюстрация решения задачи:
/>
Если в экономикустраны, развитие которой описывается функцией P= ?K0.4 ·L0.6 инвестировать S= 50000 у.д.е, то для получениямаксимального прироста ВВП эти средства нужно распределить так чтобы создатьдополнительных L= 2000 рабочих мест и привлечь дополнительно K= 4000 у.д.е. производственныхфондов, при условии что известны стоимости единицы труда S2= 15 и единицы капитала S1= 5.
Задание 2
Распределение доходовнаселения страны может быть описано функцией распределения доходов:
/>
где C – минимально возможный уровеньдохода; F(x) – доля населения страны с уровнем дохода, меньшим, чем Х(распределение Парето).
Учитывая, что среднийотносительный доход тех, чей уровень дохода меньше Х, может быть заданфункцией:
/>
Построить кривую Лоренцав системе координат, показывающей неравномерность в распределении доходовнаселения страны.
Значениями x принять равными:
а) при с
б) при 3с
Исходные данные:
? = 1.6; c = 3500.
Решение:
а) 3500F(x) L(x) x 0,00 0,00 3500 0,25 0,10 4200 0,42 0,18 4900 0,53 0,25 5600 0,61 0,30 6300 0,67 0,34 7000 0,72 0,38 7700 0,75 0,41 8400 0,78 0,44 9100 0,81 0,46 9800 0,83 0,48 10500
б) 10500F(x) L(x) x 0,83 0,48 10500 0,87 0,53 12250 0,89 0,56 14000 0,91 0,59 15750 0,92 0,62 17500 0,93 0,64 19250 0,94 0,66 21000
/>
Задание 3
Первоначальный банковскийвклад S0размещен на n лет под р1% годовых с начислением процента m1 раз в год. Сравнить конечную сумму вклада, еслиусловия договора изменятся на р2% и m2 раз, и рассчитать для обоих вариантов эффективную ставкупроцента, а также величину дисконта и дисконт-фактора.
Найти величину разовогоплатежа для погашения долгосрочного кредита на сумму Sn, данного банком под р% на n лет.
Исходные данные:
S0= 3500; n = 6; p1 = 16; m1 = 3; p2 = 14; m2 = 2; p = 25; Sn =200000.
Решение:
Конечная сумма вклада
/>
Эффективная ставкапроцента
/>
Дисконт
/>
Дисконт-фактор
/>
а) />=8917,70
/> = 0.1687
/> = 0.1379 %
/> = 0.8621
б) />= 7882,67
/> = 0.1449
/> = 0.1228 %
/> = 0.8772
Сравнивполученные результаты, видим, что при увеличении учетной ставке процента иколичества начислений в год – конечная сумма вклада увеличивается.
в) />
/>= 127156,58
Задание4
В таблице приведеныданные об исполнении баланса за отчетный период (в у.д.е.).Отрасли потребление Конечный продукт Валовой выпуск Машиностроение Металлургия Энергетика производство Машиностроение 25 15 10 60 100 Металлургия 10 15 20 120 200 Энергетика 15 5 10 150 240
Решить задачумежотраслевого баланса, если конечное потребление первой отрасли не изменилось,второй отрасли увеличилось в 1,5 раза, третьей уменьшилось на 25%.
С учетом изменений строимновый вектор конечного потребления:
/>
Находим матрицу прямыхзатрат в условиях взаимодействия трех отраслей:
/>
Т.к. aij ? 0, /> = 0.5 ? 1, /> = 0.175 ? 1, /> = 0.167 ? 1 –
матрица A продуктивна, следовательно,продуктивна и сама модель.
Находим матрицу E-A, представляющую собой матрицу полных затрат, каждый элементкоторой выражает стоимостные затраты той части валового выпуска котораянеобходима для выпуска единицы конечного продукта.
/>
Определитель матрицы:
/>
Вычислим матрицу C составленную из алгебраическихдополнений матрицы E-A:
/>
И транспонируем ее:
/>
Находим новый векторвалового выпуска продукции тремя отраслями:
/>
/>
Чтобымашиностроение дало 60 у.д.е., металлургия 120 у.д.е., энергетика 150 у.д.е.конечного продукта идущего на непроизводственное потребление необходимообеспечить следующие объемы валового выпуска отраслей: Машиностроение — 109,772у.д.е.
Металлургия– 212,934 у.д.е.
Энергетика– 140,269 у.д.е.
Задание 5. Динамическаяэкономико-математическая модель Кейнса
Экономика в форме динамической моделиКейнса как инерционное звено
В этой модели предполагается,что ВВП /> в следующем году равен совокупномуспросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса напотребительские (C) и инвестиционные(I) товары, зависит только от ВВПтекущего года:
/>
При линейной зависимостиспроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса наинвестиционные товары приходим к соотношению
/>
где /> - минимальный объем фондапотребления;
/> – склонность к потреблению.
Соотношение, действующеепри дискретности времени в один год, при дискретности ?t примет форму:
/>
где (1 – с) – склонностьк накоплению.
При t > 0 приходим к уравнению инертного звена (рольпостоянной времени выполняет величина />, обратная склонности к накоплению):
/>
Последнее уравнение имеетравновесное (стационарное) решение
/>
Если в начальный моментспрос на инвестиционные товары изменился с величины I0до I (I > I0), то в экономике будет происходить переходный процесс отзначения ВВП
/>
до значения yE(см. рис.1). При этом
/>.
Нелинейная динамическая модель Кейнса
Рассмотрим нелинейнуюмодель Кейнса как нелинейное динамическое звено первого порядка:
/>
т.е. скорость роста ВВПявляется функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае
/>
Поскольку y(y>0) – ВВП, а x=I(I>0) – инвестиции, то из экономических соображений следует,что
/>
т.е с увеличением ВВПскорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций – возрастает.
Пусть при t=0 инвестиции были равны I0и система находилась в некотором равновесномсостоянии (y0,I0), первая компонента которогоопределяется из уравнения (инвестиции I0считаютсяизвестными)
/>
При увеличении инвестицийс I0до I=I0+?I(?I>0) система будет удовлетворятьуравнению
/>
Представим ВВП в видесуммы постоянной и переменной частей:
/>
Переменная часть ?(t) удовлетворяет уравнению
/>
Если приращениеинвестиций ?I сравнительномало, то при эволюторном характере функции f(y,I) переменная часть ?(t) также сравнительно мала. Поэтомуправую часть можно разложить в окрестности точки (y0,I0) в ряд Тейлора, отбросив членывторого и более высоких порядков:
/>
После перенесения члена,содержащего ?, в левую часть и деления обеих частей на
/>
получаем уравнениеинерционного звена:
/>
где
/>
– обобщенная предельнаясклонность к сбережению в начальном состоянии;
/>
Из вышеописанноговытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:
/>
а ВВП в целом будет изменятьсякак функция
/>
При этом новоеравновесное состояние ВВП
/>
Заключение
В данной курсовой работебыли рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов,такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различныемодели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева,динамическая экономико-математическая модель Кейнса.
Как можно было заключитьиз вышеизложенного, математические методы имеют большую степеньуниверсальности. Основой этой универсальности является языкматематики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об однойи той же проблеме совершенно по-разному, видят разные ееособенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы наматематический язык сразу выявляет общие закономерности, и даже можетдать уже практически готовое решение, полученное ранее где-тов другой отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкойиспользования математики является формализация количественных и качественныхсторон проблемы.
Литература
1. Бережная Е.В., Бережной В.И.Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы истатистика, 2005. 368 с.
2. Ильченко А.Н.Экономико-математические методы. М.: Финансы и статистика, 2006 287 с.
3. Колемаев В.А.Экономико-математическое моделирование: Моделирование макроэкономическихпроцессов и систем. М.: ЮНИТИ, 2005 295 с.
4. Колемаев В.А. Математическая экономика.М.: ЮНИТИ, 2005. 399 с.
5. Найденков В.И. Прогнозирование имоделирование национальной экономики: Конспект лекций. М.: ПРИОР, 2004. 156 с.
6. Орехов Н.А., Левин А.Г., ГорбуновЕ.А., Математические методы и модели в экономике. М.: ЮНИТИ, 2004. 302 с.
7. Просветов Г.И. Математические моделив экономике. Спб.: РДЛ, 2006. 151 с.
8. Федосеев В.В.Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2005 391 с.
9. Хазанова Л.Э. Математические методы вэкономике. Спб.: Волтерс Клувер, 2005. 132 с.
10. Шелобаев С.И.Экономико-математические методы и модели. М.: ЮНИТИ, 2005. 286 с.