Министерствообразования и науки Российской Федерации
Федеральноегосударственное образовательное учреждение высшего профессиональногообразования
«Чувашскийгосударственный университет имени И.Н. Ульянова»
Кафедрарегиональной экономики и предпринимательства
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА
Прогнозированиев национальной экономике
«Моделипрогнозирования на основе временных рядов»
Канаш 2009 г.
Содержание
Введение
1. Задачи анализа временныхрядов. Первоначальная обработка временных рядов.
2. Методы нахождения параметровуравнения тренда. Метод наименьших квадратов.
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Существует множествоматематических моделей, посредством которых решаются те, или иные задачи. Вовсех сферах деятельности человека важным моментом является прогнозированиепоследующих событий. Сейчас существует более 100 методов и методикпрогнозирования, Условно их можно разделить на фактографические и экспертные.Фактографические методы основаны на анализе информации об объекте, а экспертные– на суждениях экспертов, которые получены при проведении коллективных илииндивидуальных опросов.
1. Задачианализа временных рядов. Первоначальная обработка временных рядов
Основные задачи анализавременных рядов. Базисная цель статистического анализа временного рядазаключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда:
1.определить, какие из неслучайныхфункций присутствуют в разложении (1), т.е. определить значения индикаторов ci;
2.построить «хорошие» оценки для технеслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1);
3.подобрать модель, адекватноописывающую поведение случайных остатков et, и статистически оценить параметрыэтой модели.
Успешное решениеперечисленных задач, обусловленных базовой целью статистического анализавременного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целейисследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочногопрогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрическогоанализа временных рядов.
Временные рядыотражают тенденцию изменения параметров системы во времени, поэтому входнымпараметром х является момент времени.
Выходной параметр y называется уровнем ряда. В случае отсутствия ярковыраженных изменений в течение времени, общая тенденция сохраняется. Ряд можноописать уравнением вида
YT= F (t) + ET,
где
F(t) – детерминированная функция времени.
ET– случайная величина
Во временных рядахпроводится операция анализа и сглаживания тренда, который отражает влияниенекоторых факторов. Для построения тренда применяется МНК-критерий.
Существуютмоментальные и интервальные ряды. В моментальных рядах отражаются абсолютныевеличины, по состоянию на определенный момент времени, а в интервальных –относительные величины (показатель за год, месяц, и т.д.). Исследование данныхпри помощи рядов позволяет во многих случаях более четко представитьдетерминированную функцию. При этом рассчитываются базисные и цепные показатели(прирост, коэффициент роста, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, идр.). Под базисными показателями понимают, показатели, которые соотносятся кначальному уровню ряда. Цепные показатели относятся к предыдущему уровню.
Прогноз явлений повременным рядам состоит из двух этапов:
- Прогноз детерминированной компоненты.
- Прогноз случайной компоненты.
Обе проблемы связаны санализом результатов парных экспериментов. В отличие от аппроксимации иинтерполяции анализ временных рядов включает в себя методы оценки случайныхкомпонент. Поэтому прогнозирование при помощи временных рядов является болееточным.
Исследование рядовимеет большое значение и для технических, и для экономических систем.
2. Методы нахожденияпараметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов
Одна из важнейших задачстатистики — определение в рядах динамики общей тенденции развития.
Основной тенденциейразвития называется плавное и устойчивое изменение уровня во времени, свободноеот случайных колебаний. Задача состоит в выявлении общей тенденции в измененииуровней ряда, освобожденной от действия различных факторов.
Изучение тренда включаетдва основных этапа:
· ряд динамикипроверяется на наличие тренда;
· производитсявыравнивание временного ряда и непосредственно выделение тренда сэкстраполяцией полученных результатов.
С этой целью рядыдинамики подвергаются обработке методами укрупнение интервалов, скользящейсредней и аналитического выравнивания:
1. Методукрупнения интервалов.
Одним из наиболееэлементарных способов изучения общей тенденции в ряду динамики являетсяукрупнение интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов, к которымотносятся уровни ряда динамики. Например, преобразование месячных периодов вквартальные, квартальных в годовые и т.д.
2. Метод скользящей средней.
Выявление общей тенденцииряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощьюскользящей средней.
Скользящая средняя — подвижная динамическая средняя, которая рассчитывается по ряду припоследовательном передвижении на один интервал, то есть сначала вычисляютсредний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем — средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго. Таким образом,средняя как бы скользит по ряду динамики от его начала к концу, каждый разотбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.
При этом посредствомосреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, и общаятенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретическиеуровни). И так, суть метода заключается в замене абсолютных данных среднимиарифметическими за определенные периоды.
Скользящая средняяобладает достаточной гибкостью, но недостатком метода является укорачиваниесглаженного ряда по сравнению с фактическим, что ведет к потери информации.Кроме того, скользящая средняя не дает аналитического выражения тренда.
Период скользящей можетбыть четным и нечетным. Практически удобнее использовать нечетный период, таккак в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периодаскольжения. Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3,следующие:
/>; />; /> и т.д.
Полученные средниезаписываются к соответствующему срединному интервалу.
Особенность сглаживанияпо четному числу уровней состоит в том, что каждая из численных (например,четырехчленных) средних относится к соответствующим промежуткам между смежнымипериодами. Для получения значений сглаженных уровней соответствующих периодовнеобходимо произвести центрирование расчетных средних.
Недостатком способасглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не даеттеоретических рядов, в основе которых лежала бы математически выраженнаязакономерность.
3. Методаналитического выравнивания.
Более совершенным приемомизучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание.При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят изтого, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степеньюточности приближения выражены определенными математическими функциями. Видуравнения определяется характером динамики развития конкретного явления.Логический анализ при выборе вида уравнения может быть основан на рассчитанныхпоказателях динамики, а именно:
· если относительностабильны абсолютные приросты (первые разности уровней приблизительно равны), сглаживаниеможет быть выполнено по прямой;
· если абсолютныеприросты равномерно увеличиваются (вторые разности уровней приблизительноравны), можно принять параболу второго порядка;
· при ускоренновозрастающих или замедляющихся абсолютных приростах — параболу третьегопорядка;
· при относительностабильных темпах роста- показательную функцию.
Для аналитическоговыравнивания наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей:прямая (линейная), парабола второго порядка, показательная (логарифмическая)кривая, гиперболическая.
Цель аналитическоговыравнивания — определение аналитической или графической зависимости. Напрактике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции,а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Чаще всего привыравнивании используются следующие зависимости; линейная, параболическая иэкспоненциальная.
После выяснения характеракривой развития необходимо определить ее параметры, что можно сделатьразличными методами:
1) решением системыуравнений по известным уровням ряда динамики;
2) методом среднихзначений (линейных отклонений), который заключается в следующем: рядрасчленяется на две примерно равные части, и вводятся преобразования, чтобысумма выровненных значений в каждой части совпала с суммой фактическихзначений, например, в случае выравнивания прямой линии />;
3) выравниваниемряда динамики с помощью метода конечных разностей;
4) методом наименьшихквадратов: это некоторый прием получения оценки детерминированной компоненты />, характеризующих тренд или ряд изучаемого явления.
Во многих случаях моделированиерядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не даетудовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметныепериодические колебания вокруг общей тенденции. В таких случаях следуетиспользовать гармонический анализ.
Для менеджерапредпочтительно применение именно этого метода, поскольку он определяет закон,по которому можно достаточно точно спрогнозировать значения уровней ряда.Однако его применение требует достаточных знаний в области высшей математики и математическойстатистики.
2.1 Экстраполяциятенденции как метод прогнозирования
Основа большинстваметодов прогнозирования — экстраполяция тенденции, связанная с распространениемзакономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за егопределы или, другими словами, это получение представлений о будущем на основеинформации, относящейся к прошлому и настоящему.
Экстраполяция, проводимаяв будущее,- это перспектива, а в прошлое,- ретроспектива.
Предпосылкиприменения экстраполяции:
· развитие исследуемого явления в целомследует описывать плавной кривой;
· общая тенденция развития явления впрошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.
Экстраполяцию в общемвиде можно представить так:
/>,
где /> - прогнозируемый уровень; /> — текущей уровень прогнозного ряда;
Т- срок экстраполяции; /> — параметр уравнения тренда.
При этом могутиспользоваться разные методы в зависимости от исходной информации.
Упрощенные приемыцелесообразны при недостаточной информации о предыстории развития явления (нетдостаточно длинного ряда или информация заданна только двумя точками: на началои конец периода). Упрощенные приемы основываются на средних показателяхдинамики, и можно выделить:
1. Методсреднего абсолютного прироста.
Для нахожденияинтересующего нас аналитического выражения тенденции на любую дату необходимоопределить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его кпоследнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.
/>,
где t- срок прогноза; i- номер последнего уровня.
Применение вэкстраполяции среднего абсолютного прироста предполагает, что развитие явленияпроисходит по арифметической прогрессии и относится в прогнозировании к классу«наивных» моделей, ибо чаше всего развитие явления следует по иному пути, чемарифметическая прогрессия Т.С. Вместе с тем в ряде случаев этот метод можетнайти применение как предварительный прогноз, если у исследователя нетдинамического ряда: информация дана лишь на начало и конец периода (например,данные одного баланса).
2. Методсреднего темпа роста.
Осуществляется, когдаобщая тенденция характеризуется показательной кривой
/>,
где /> - последний уровень ряда динамики; k- средний коэффициент роста.
3. Выравниваниерядов по какой-либо аналитической формуле.
Экстраполяция даетвозможность получить точечное значение прогнозов. Точное совпадение фактическихданных и прогнозных точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых,имеет малую вероятность.
Любой статистическийпрогноз носит приближенный характер, поэтому целесообразно определениедоверительных интервалов прогноза:
/>, />,
где /> - коэффициент доверия по распределению Стьюдента приуровне значимости />; /> — средняя квадратическая ошибка тренда; k- число параметров в уравнении; /> - расчетное значение уровня.
Аналитические методыоснованы на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду ипредставлении закономерности развития явления во времени в виде уравнениятренда, то есть математической функции уровней динамического ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).
Аналитическое сглаживаниепозволяет не только определить общую тенденцию изменения явления нарассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, вотношении которых нет исходных данных.
Адаптивные методыиспользуются в условиях сильной колеблемости уровней динамического ряда ипозволяют при изучении тенденции учитывать степень влияния предыдущих уровнейна последующие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятсяметоды скользящих и экспоненциальных средних, метод гармонических весов, методыавторегрессионных преобразований.
Цель адаптивных методовзаключается в построении самонастраивающихся моделей, способных учитыватьинформационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточноточные оценки будущим членам данного ряда. ТС
Прогноз получается какэкстраполяция последней тенденции. В разных методиках прогнозирования процесснастройки (адаптации) модели осуществляется по-разному, и можно выделить:
1) метод скользящейсредней (адаптивной фильтрации, метод Бонса-Дженкинса);
2) методэкспоненциального сглаживания (методы Хольда, Брауна, экспоненциальнойсредней).
Скользящие средниепредставляют собой средние уровни за определенные периоды времени путемпоследовательного передвижения начала периода на единицу времени. При простойскользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными, а приисчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интерваласглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до серединыинтервала сглаживания.
Особенность методаэкспоненциального сглаживания в том, что в процедуре выравнивания каждогонаблюдения используется только значения предыдущих уравнений, взятых сопределенным весом. Смысл экспоненциальных средних состоит в нахождении такихсредних, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления отмомента, для которого определяется средние.
Заключение
Для временных рядовглавный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Цельтаких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информациюможно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех илииных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности)и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться дляэкстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогнозаможет служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей.Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, каккорректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные моделимогут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюденийпри исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается каквходная информация.
Списоклитературы
1. А.О. Крыштановский.Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения:экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51. [Статья]
2. Прогнозирование ипланирование в условиях рынка: Учеб. пособие для Вузов / Под. ред. Т.Г.Морозовой, А.В. Пикулькина. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 1999.
3. Бокс Дж.,Дженкинс Г. (1974) Анализ временных рядов. Прогноз и управление. — М.: Мир, 1974. — Вып. 1, 2.