Вариант №1
Содержание:
1. Предмет экономико-математического моделирования, цельразработки экономико-математических методов.
2. Для условной экономики, состоящей из трех отраслей, заотчетный период известны межотраслевые потоки Хijотч ивектор конечного использования продукции Yотч. Соответствующие данные приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1.
Показатели первого и второго квадрантов отчетногомежотраслевого баланса (МОБ) (млн.руб.)отрасли
Межотраслевые потоки Хijотч
Конечное использование Yотч 1 2 3 1 30 10 15 90 2 35 50 20 25 3 15 25 30 60
Ориентируясь на эти данные, а также учитывая, что 30%валовой добавленной стоимости приходится на заработную плату решить следующиезадачи.
2.1. Привести числовую схему отчетного МОБ с дополнительнымвыделением показателей: промежуточное потребление, промежуточные затраты,валовой выпуск, зарплата, прочие элементы добавленной стоимости, валоваядобавленная стоимость.
2.2. Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат.
2.3. Построить модель для решения следующей проблемы.Предполагая неизменность технологических процессов в экономике, определить впрогнозном периоде валовой выпуск продукции отраслей, если конечноеиспользование продукции отраслей в прогнозном периоде (млн. руб.) определяетсявектором
120
(Ynp) = ( 30 )
60
2.4. Построить модель для решения следующей проблемы. Какоевлияние на динамику отраслевых пропорций в условиях рынка оказывает увеличениецены на продукцию второй отрасли в 2 раза. При этом учесть, что номинальныйрост заработной платы во всех отраслях от роста цен на 30%, прочие составляющиецены в реальном выражении неизменны.
2.5. Построить модель для решения следующей проблемы. Какизменятся индексы цен на продукцию отраслей, если инфлятогенным фактором выступаетувеличение зарплаты в третьей отрасли на 50%, в других отраслях зарплата вноминальном выражении осталась неизменной.
3. Для анализа зависимости прибыли предприятия (у) отставки налога (х) исследуются годовые данные предприятия за 12 лет: (объем выборкиn =12). Данные приведены в таблице 1.2
Таблица 1.2.
Данные предприятия о ставке налога и прибылигоды Ставка налога (%) Прибыль (тыс.у.е.) i хi уi 1 10 110 2 20 75 3 15 100 4 25 80 5 30 60 6 35 55 7 40 40 8 35 80 9 25 60 10 40 30 11 45 40 12 40 30
Ориентируясь на эти данныенеобходимо:
3.1. Построить диаграммурассеяния, отражающую зависимость инвестиций от объема производства,определить вид зависимости.
3.2. По методу наименьшихквадратов (МНК) оценить параметры уравнения регрессии, описывающего данный видзависимости. Построить регрессионную прямую. Определить расчетные значения ŷi,остатки еi = уi – ŷi, относительную ошибку аппроксимации.
3.3. Проверить качествоуравнения регрессии: стандартная ошибка регрессии, стандартная ошибкапараметров регрессии, статистическая значимость параметров регрессии,,коэффициент детерминации, автокорреляция остатков.
3.4. Спрогнозировать прибыльпредприятия, если прогнозируется снижение налогового давления до 33%.
4. На нефтеперерабатывающийзавод еженедельно поступает не более 500 тыс. тонн сырой нефти, в том числепервого сорта – до 100 тыс.т., второго сорта – до 100 тыс.т., третьего сорта –до 200 тыс.т., четвертого сорта – до 100 тыс.т. Из этого сырья завод производитпродукты нефтепереработки четырех видов (А, В, С, Д). Потребность в этихпродуктах в течении недели ограничена и не превышает по видам: А – 170 тыс.т.,В – 85 тыс.т., С – 20 тыс.т., Д- 85 тыс.т. Продукт С (смазочное масло) можетполучен только из нефти третьего сорта. Остальные продукты получают припереработке любого сорта сырой нефти, в т.ч. и третьего. Рентабельностьпереработки сырой нефти составляет: 1-го сорта – 1 у.е./т, 2-го сорта – 2у.е./т, 3-го сорта – а) при получении жидкого топлива 1,5 у.е./т, б) приполучении смазочного масла 2,5 у.е./т, 4-го сорта – 0,7 у.е./т. В таблице 1.4представлены характеристики сырой нефти по выходам нефтепродуктов.
Таблица 1.3.
Выход продуктов переработки ( по видам) из 1т сыройнефтиСорт сырой нефти А В С Д 1 0,6 0,2 0,1 2 0,5 0,2 0,2 3а 0,4 0,3 0,2 3б 0,4 0,1 0,2 0,2 4 0,3 0,3 0,3
Построить оптимизационнуюмодель для определения: какое количество нефти каждого сорта необходимо заводуперерабатывать, чтобы получить требующийся ассортимент продуктов переработки имаксимальную прибыль. Описать характерные особенности получаемого на основемодели оптимального плана.
1. Предмет экономико-математического моделирования, цельразработки экономико-математических методов.
В любом из современных курсов экономики в той илииной степени используется математический аппарат: анализируются графикиразличных зависимостей, проводится математическая обработка тех или иныхстатистических данных и т.д. С переходом отечественной экономики на рыночныеотношения роль математических методов многократно возрастает. Действительно,центральная проблема экономики — это проблема рационального выбора. В плановойэкономике ( по крайней мере на микроуровне, т.е. на уровне отдельногопредприятия) нет выбора, а значит, роль математического подхода сильно принижена.В условиях же рыночной экономики, когда каждой хозяйственной единице надосамостоятельно принимать решение, т.е. делать выбор, становится необходимымматематический расчет. Поэтому роль математических методов в экономикепостоянно возрастает.
В чем видятся преимущества математическогоподхода? Отметим лишь два момента.
1. Возрастает необходимость в уточнении понятий.Математика по сути не может оперировать с нечетко, а тем более неконкретноопределенными понятиями. Следовательно, если мы хотим использоватьматематические методы, то должны с самого начала четко сформулировать задачу. Втом числе четко сформулировать все сделанные допущения.
2. Сильная продвинутость математических теорий (линейнаяалгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный ирегрессионный анализ, дифференциальные уравнения и т.д.) предоставляет к нашимуслугам очень мощный и развитый математический аппарат.
Разумеется, в использовании математическихметодов есть свои слабые стороны. При попытке формализовать экономическуюситуацию может получиться очень сложная математическая задача. Для того чтобыее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую не оправданные сточки зрения экономики. Поэтому исследователя подстерегает опасность заниматьсяматематической техникой вместо анализа подлинной экономической ситуации.Главное и, по существу, единственное средство борьбы против этого — проверкаопытными данными выводов математической теории.
Для изучения различных экономических явлений экономистыиспользуют их упрощенные формальные описания, называемые экономическимимоделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительскоговыбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия натоварных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели,экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление иотбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы.Формализация основных особенностей функционирования экономических объектовпозволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такиеоценки в управлении.
Экономические модели позволяют выявитьособенности функционирования экономического объекта и на основе этогопредсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров.Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшениеэкономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию.Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оцененыважные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемуюситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно,что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.
Для любого экономического субъекта возможностьпрогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатовили избежание потерь, в том числе и в государственной политике.
Под экономико-математической моделью понимаетсяматематическое описание исследуемого экономического процесса и объекта. Этамодель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде спомощью математических соотношений. Использование математического моделированияв экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширитьобласть экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.
Применение экономико-математических методов имоделей позволяет существенно улучшить качество планирования и получитьдополнительный эффект без вовлечения в производство дополнительных ресурсов.
2. Задача№1
1.1. При построении числовойсхемы отчетного МОБ ориентируемся на два вида балансовых соотношений
— для отраслей производителей:вся валовая продукция отрасли-производителя (хi)распределяется на текущее промежуточное
n
потребление (Σ xij) и конечное использование (уi)
j=1
n ____
xi= Σ xij + уi, i = 1,n; (1)
j=1
— для отраслей-потребителей:валовые затраты отрасли-потребителя (хj)
n
определяются промежуточнымизатратами (Σ xij) и валовой добавленной
i=1
стоимостью (۷ j)
n ____
xj= Σ xij+ ۷j, j = 1,n; (2)
i=1
Заполнение элементов таблицы 2осуществляется по следующей схеме.
В соответствии с формулой (1)объем валового выпуска первой отрасли в отчетном периоде определяется суммойпромежуточного потребления и конечного использования, т.е.
х1отч= х11отч + х12отч + х13отч+у1отч = 30+10+15+90 = 145,
аналогично для второй и третьейотрасли:
х2отч = 35+50+20+25= 130,
х3отч =15 +25+30+60 = 130.
Таблица 1.
Показатели отчетного МОБ (млн.руб.)Отрасли- Отрасли- потребители Промежу-точное Конечное Валовый производители 1 2 3 Потребле-ние использование выпуск 1 30 10 15 55 90 145 2 35 50 20 105 25 130 3 15 25 30 70 60 130 Промежуточные затраты 80 85 65 230 175 405 Зарплата 20 14 20 54 Прочие элементы добавленной стоимости 45 31 45 121 Валовая добавленная стоимость 65 45 65 175 Валовой выпуск 145 130 130 405
В соответствии с формулой (2)объем валового выпуска первой отрасли в отчетном периоде определяется суммойпромежуточных затрат и валовой добавленной стоимости. Поскольку валовой выпускотраслей уже найден (xiотч), апромежуточные затраты легко определить на основе данных о
n
межотраслевых потоках (Σ xij, j = 1,3), находим валовую добавленную
i=1
стоимость первой отрасли:
۷ 1 = х1отч– ( х11отч + х21отч +х31отч)= 145 – (30+35+15) = 65,
аналогично для второй и третьейотрасли:
۷ 2 = 130 –(10 + 50 + 25 ) = 45,
۷ 3 = 130 – (15 + 20 + 30 ) = 65.
Учитывая, что 30% валовойдобавленной стоимости приходится на зарплату, рассчитываем уровень зарплатыотраслей (zi):
z1 = 30% * ۷1 = 0,3 * 65 = 19,5,
z2 = 0,3 *45 = 13,5,
z3 = 0,3 *65 = 19,5;
и как балансирующий элемент –прочие элементы добавленной стоимости (di):
d1 = ۷1 — z1 =65-19,5 = 45,5,
d2 = 45 –13,5 = 31,5,
d3 = 65 –19,5 = 45,5.
1.2. Матрица коэффициентовпрямых затрат ( аij)n*n рассчитывается на основеотчетного МОБ по формуле:
___ ___
аijотч = Хijотч, i = 1,n, j =1,n (3)
хjотч
Для нашей задачи в соответствиис соотношением (3), получаем:
а11отч = Х11отч = 30_ = 0,2069,
х1отч 145
а12отч = Х12отч = 10_ = 0,0769,
х2отч 130
и т.д.
Вычисления оформляются в видематрицы прямых затрат
/>
1.3. Для решения задачииспользуем балансовое уравнение модели МОБ, связывающее показатели I и IIквадратов МОБ – прогнозные значения валового выпуска отраслей хiпр и конечногоиспользования уiпр:
n ____
хiпр = Σаijпрхjпр + уiпр, i =1,n. (4)
j=1
Предложение неизменностидинамики технологических процессов означает, что технологическая матрицапрогнозного периода определяется технологической матрицей отчетного периода,т.е.
___ __
аijпр = аijотч, i = 1,3, j =1,3
Тогда соотношения (4) длянашего примера перепишутся следующим образом:
/>
Данная система одновременныхуравнений представляет собой модель для решения задачи 1.3.
/>
1.4. Поскольку увеличение цены на продукциювторой отрасли в 2 раза является инфлятогенным фактором в экономике, произойдетповышение цен на продукцию первой и третьей отраслей. Обозначим индекс ростацен на продукцию первой отрасли р1, третьей отрасли – р3.Построение модели осуществляется с целью нахождения индексов р1 и р3при условии, что р2 = 2 и соответствующих ограничений на ростзаработной платы. Очевидно, что инфляционные процессы вызовут изменениеноминальных потоков МОБ. Исходя из экономического смысла показателей отчетногоМОБ, в новых ценах I и III квадранты МОБ перепишутся как представлено втаблице 3.
Таблица 2.
Показатели I и III квадрантов МОБ
в новых ценах (млн.руб.)отрасли-производители отрасли-потребители 1 2 3 1
30*р1
10*р1
15*р1 2 35*2 50*2 20*2 3
15*р3
25*р3
30*р3 зарплата
19,5*р1*0,7 13,5*2*0,7
19,5*р3*0,7 прочие элементы добавленной стоимости
45,5*р1 31,5*2
45,5*р3
валовый выпуск
145*р1
130*2
130*р3
Поскольку индекс цен на продукцию второй отрасли равен 2и величина затрат на продукцию второй отрасли не влияет на формирование цены вэтой отрасли, то баланс описывается для первой и третьей отрасли. Модельстроится с использованием балансовых соотношений (2) в новых ценах:
/>
Данная система одновременных уравнений представляетсобой балансовую модель для решения задачи (1.4). Поскольку в дальнейшемсистема будет решатся на ПЭВМ и использованием стандартного ППП, необходимопровести подобные и записать модель в стандартном виде:
/>
1.5. Задача решается аналогичнорешению задачи 1.4. Отличительной особенностью данной задачи является то, чтоинфлятогенным фактором выступает рост заработной платы на 50% в третьейотрасли, хотя в остальных отраслях зарплата остается неизменной. Данный факторвызовет рост цен на продукцию отраслей соответственно в р1, р2,р3 раз. В новых ценах показатели I и IIIквадрантов МОБ представлены в табл. 4.
Таблица 3.
Показатели I и III квадрантов МОБ
в новых ценах (млн.руб.)отрасли-производители отрасли-потребители 1 2 3 1
30*р1
10*р1
15*р1 2
35*р2
50*р2
20*р2 3
15*р3
25*р3
30*р3 зарплата 19,5*1 13,5*1 19,5*1,5 прочие элементы добавленной стоимости
45,5*р1
31,5*р2
45,5*р3
валовый выпуск
145*р1
130*р2
130*р3
С учетом указанных условий соотношения МОБ (2)запишутся:
Система уравнений представляетсобой балансовую модель для решения задачи (1.5). После при/>
ведения подобных модель имеет вид:
/>
3. Задача №2.
2.1. Для определения видазависимости построим диаграмму рассеяния по имеющимся данным.
/>
Рис.1. Диаграмма рассеяния ирегрессионная прямая, отражающая зависимость инвестиций от объема производства
Расположение точек надиаграмме рассеяния позволяет предположить линейную связь между прибыльюпредприятия и ставкой налога. Поэтому имеет смысл искать зависимость в виделинейной функции: />/>ŷ = b0 + b1х.Очевидно также, что данная зависимость прямая: с увеличением ставки налогаприбыль уменьшается.
2.2. В нашем примере прииспользовании МНК минимизируется следующая функция />, т.е. сумма квадратовотклонений эмпирических значений уiот расчетных значений ŷiдолжно быть минимальным. Согласно МНК для нашего примера воспользуемсяследующими формулами расчета:
/>
/>
Для нахождения оценокпараметров b0 и b1 в ручном режиме составим рабочую таблицу, котораясодержит исходные данные и промежуточные результаты.