Математические модели в менеджменте и маркетинге

КОНСПЕКТпо дисциплине «Математические модели в менеджменте имаркетинге»
1. МЕТОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
В реальных системахуправления задачу оптимизации приходится решать с учетом нескольких критериевэффективности одновременно. В общем случае задача многокритериальной(векторной) оптимизации ставится следующим образом.
Имеется множество Xразличных (альтернативных) вариантов решения задачи управления. Вариант решения- это конкретное значение вектора параметров управления, то есть конкретныйвариант плана производства, или вариант загрузки оборудования, или вариантстратегии управления и т.п.
Каждый вариант решения х€ Х оценивается вектором критериев
/>
Очевидно вариант Х°является строго оптимальным, если
/>
где yiext- минимальное или максимальное значение критерия yi, в зависимости от требованийоптимизации.
Однако в реальныхсистемахсуществование строго оптимального решения У° маловероятно, а часто и невозможноиз-за противоречивости взаимосвязанных критериев. Например, при росте объемовпроизводства растет и расход ресурсов, хотя объем надо максимизировать, аресурсы минимизировать.
Практический интереспредставляет поиск существующих вариантов, близких к оптимальному. Такимивариантами являются так называемые Парето-оптимальные варианты, составляющиемножество PÌX •
Вариант x*Î Р если значение частного критерия yi(x*) для любого i, можно улучшить лишь за счет ухудшения других частныхкритериев. Другими словами, вариант X оптимален по Парето, если не найдется ниодного другого варианта X'€Х, такого, для которого
/>
причем хотя бы для одногоi выполняется
/>
Здесьи далее предполагается, что все частные критерии надо минимизировать.
Для поиска Х Î Р используется два подхода:
—   векторный критерий У преобразует(сворачивают) в обобщенный скалярный критерий Yc а затем применяют известные однокритериальныеметодыоптимизации (линейное, нелинейное, стохастическое программирование и т.п.) ;
—   применяют специальные методымногокритериальной оптимизации непосредственно по векторному критерию У..
Рассмотрим некоторыеспособы свертки. Наиболее простой способ — взвешенное линейное суммированиечастных критериев .
 
/>
где a- коэффициент важности (вес) частногокритерия Yi.. Для определения значений коэффициентов применяютэкспертные методы. Использовать линейную свертку суммированием нельзя, еслисуществует нелинейная зависимость частных критериев между собой.
Если один из частныхкритериев намного важнее остальных, для которых известныих предельнодопустимые значения b i, то оптимизация производится понаиболее важному (главному) критерию Ус=Yi а для остальных критериевустанавливаются ограничения:
/>
Если удалось упорядочитьвсе частные критерии по важности, но не удалось определитьих вес a и предельные значения b, то можно попытаться использоватьметод последовательных уступок. В этом методе на первом шаге производится поискX1*, оптимального по самому важному критерию y1. Остальные критерии при этом игнорируются. На 2-ом шаге выполняется поиск Х*2, оптимального по критерию y2 а на ухудшение критерия y1 накладываетсяограничение
/>
где D1/>-уступка, характеризующая допустимое отклонение y1 от егоминимального значения,найденного на 1-ом шаге.
Для простотыпредполагается, что все критерии надо минимизировать.
На t,-ом шаге отыскивается Xt*, длякоторого
/>
Наконец,на n. -ом шагеотыскивается X*=Xn, для которого
/>

Еще один способ свертки — выбор в качестве обобщенного скалярного критерия эвклидова расстоянияанализируемого варианта X до строго оптимального (идеального) варианта Х°. Самвариант X0 может не существовать, но таккакизмерение расстояния выполняется в критериальном пространстве, то должны бытьизвестны экстремальные значения этих критериев.
Свертка в этом случаеимеет вид
/>
Замечание I. Для оптимизациипо У с, (взвешенное суммирование, эвклидово расстояние ) или дляпошаговой оптимизации по частным критериям (методы главного критерия ипоследователь ных уступок) необходимо вычислять значения частных критериев
В сущности необходиморешать задачи прогноза и оптимизации по каждому yi и по ycдля чего используются известные модели и методыоптимизации.
Замечание 2. Приоптимизации по yc необходимо, чтобы критерии yi былинормализованы, то есть принимали значение в фиксированном интервале, например[0, l] и были безразмерны. Если известныверхняя yв и нижняя yнграницы изменения критерия yi, то нормализованное значение yiопределяетсякак
/>
Пример, Имеется двапроекта программного обеспечения автоматизированной подсистемы оперативногоуправления прокатным производством. Каждый вариант характеризуется следующимнабором частных критериев:
y1 — затраты на разработку, руб. ;
y2 — срокразработки, год ;
y3 — времярешения задач на ЭВМ, ч;
y4 — необходимое количество разработчиков, чел.;
y5 — количество высвобождаемых штатных сотрудников после внедрения системы,чел.
Определить лучший проектпрограммного обеспечения, используя для получения обобщенного критерияоптимальности метод Эвклидовой метрики.Исходные данные для расчета приведены в таблице.Номер варианта и характеристики частных критериев Частные критерии
y1
y2
y3
y4
y5 Вариант I 25000 3 2,5 10 I Вариант 2 30000 2 2,2 12 2
Вариант заказчика (идеальней yiext) 20000 3 2 10 2
Относительный коэффициент значимости частных критериев ( ai) 0,4 0,3 0,1 0,1 0,1
Минимально допустимое значение частного критерия (yiH) 20000 2 2 10 1
Максимально допустимое значение частного критерия (yB) 30000 3 2,5 15 3
Решениезадачи. Порядок решения задачи следующий:
!•Определение нормализованных значений частных критериевпо формуле,
/>
2.Вычисление обобщенного критерия эффективности по формуле
/>
2. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Возникновение теорииуправления запасами можно связать с работами Ф. Эджуорта и Ф. Харриса,появившимися в конце XIX — начале XX в., в которых исследовалась простаяоптимизационная модель определения экономичного размера партии поставки дляскладской системы с постоянным равномерным расходом и периодическимпоступлением хранимого продукта.
Запасами называется любойресурс на складе, который используется для удовлетворения будущих нужд. Примерамизапасов могут служить полуфабрикаты, готовые изделия, материалы, различныетовары, а также такие специфические товары, как денежная наличность,находящаяся в хранилище. Большинство организаций имеют примерно один типсистемы планирования и контроля запасов. В банке используются методы контроляза количеством наличности, в больнице применяются методы контроля поставкиразличных медицинских препаратов.
Существуют причины,побуждающие организации создавать запасы:
1) дискретность поставокпри непрерывном потреблении;
2) упущенная прибыль;
3) случайные колебания;
а) в спросе за периодмежду поставками,
б) в объеме поставок,
в) в длительностиинтервала между поставками;
4) предполагаемыеизменения конъюнктуры:
а) сезонность спроса,
б) сезонность производства,
в) ожидаемое повышениецен.
Имеются также причины,побуждающие предприятия стремиться к минимизации запасов на складах:
1) плата за физическоехранение запаса,
2) потери в количествезапаса,
3) моральный износпродукта.
Существует проблемаклассификации имеющихся в наличии запасов. Для решения этой задачи используетсяметодика административного наблюдения. Цель ее заключается в определениитой части запасов предприятия, которая требует наибольшего внимания со стороныотдела снабжения. Для этого каждый компонент запасов рассматривается по двумпараметрам: а) его доля в общем количестве запасов предприятия; б) его доля вобщей стоимости запасов предприятия.
Методика 20/80. В соответствии с этой методикойкомпоненты запаса, составляющие 20% его общего количества и 80% его общейстоимости, должны отслеживаться отделом снабжения более внимательно.
Методика АВС. В рамках этой методики запасы,имеющиеся в распоряжении предприятия, разделяются на три группы: группу А (10%общего количества запасов и 65% его стоимости); группу В (25% общего количествазапасов и 25% его стоимости); группу С (65% общего количества запасов и около10% его стоимости).
Необходимо отметить, чтоклассификация запасов может быть основана не только на показателях доли в общейстоимости и в общем количестве. Ряд их видов может быть причислен к болеевысокому классу на основании таких характеристик, как проблемы с поставкой,проблемы качества и т.д. Преимущества методики деления видов запасов на классызаключаются в возможности выбора порядка контроля и управления для каждого изних. Если в ходе классификации мы основывались на методе АВС анализа, имеетсмысл обратить внимание на следующие моменты политики управления запасами.
1. Виды запасов класса Атребуют более внимательного и частого проведения инвентаризации состояниязапасов, правильность учета запасов этой группы должна подтверждаться чаще.
2. Планирование ипрогнозирование, касающиеся запасов класса А, должны характеризоваться большейстепенью точности, нежели относящиеся к запасам групп В и С.
3. Для категории А нужностараться создать страховой запас, чтобы избежать больших расходов, связанных сотсутствием запасов этой группы.
4. Методы и приемыуправления запасами, рассматривающиеся далее, должны прежде всего применяться кзапасам групп А и В. Что касается запасов группы С, обычно момент возобновлениязаказа по ним определяют исходя из конкретных условий, а не на основеколичественного метода, чтобы свести к минимуму расходы на их контроль.
Рассмотрим определяющиепонятия теории управления запасами.
Издержки выполнениязаказа (издержки заказа) — накладные расходы, связанные с реализацией заказа. Впромышленности такими издержками являются затраты наподготовительно-заготовочные операции.
Издержки хранения —расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможныепроценты на капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в абсолютныхединицах, или в процентах от закупочной цены и связываются с определеннымпромежутком времени.
Упущенная прибыль —издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающим в результатеотсутствия продукта на складе.
Совокупные издержки запериод представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенногодохода. Иногда к ним прибавляются издержки на покупку товаров.
Срок выполнения заказа —срок между заказом и его выполнением. Точка восстановления — уровень запаса,при котором делается новый заказ.
1. Краткаяхарактеристика моделей управления запасами
1.1. Модель оптимальногоразмера заказа.
Предпосылки: 1) темп спросана товар известен и постоянен;
2) получение заказамгновенно;
3) отсутствуютколичественные скидки при закупке больших партий товара;
4) единственныеменяющиеся параметры — издержки заказа и хранения;
5) исключается дефицит вслучае своевременного заказа.
Исходные данные: темпспроса, издержки заказа и хранения.
Результат: оптимальныйразмер заказа, время между заказами и их количество за период.
1.2. Модель оптимальногоразмера заказа в предположении, что получение заказа не мгновенно. Следовательно,нужно найти объем запасов, при котором необходимо делать новый заказ.
Исходные данные: темпспроса, издержки заказа и хранения, время выполнения заказа.
Результат: оптимальныйразмер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.
1.3. Модель оптимальногоразмера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная сним упущенная прибыль. Необходимо найти точку восстановления.
Исходные данные: темпспроса, издержки заказа и хранения, упущенная прибыль.
Результат: оптимальный размерзаказа, время между заказами, точка восстановления запаса.
1.4. Модель с учетомпроизводства (в сочетании с условиями 1.1—1.3). Необходимо рассматриватьуровень ежедневного производства и уровень ежедневного спроса.
Исходные данные: темпспроса, издержки заказа, хранения и упущенная прибыль, темп производства.
Результат: оптимальныйуровень запасов (точка восстановления запаса).
1.5. Модель сколичественными скидками. Появляется возможность количественных скидок взависимости от размера заказа. Рассматривается зависимость издержек хранения отцены товара. Оптимальный уровень заказа определяется исходя из условияминимизации общих издержек для каждого вида скидок.
2. Моделитипа 1.1—1.5 с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа
Вместо предпосылки опостоянстве и детерминированности спроса на товар используется болеереалистичный подход о предполагаемой известности распределения темпа спроса ивремени выполнения заказа.
Рассмотрим подробнеемодели с фиксированным размером заказа. Модели с вероятностным распределениемспроса и времени выполнения заказа рассмотрены в следующем разделе, где онирешаются на основе имитационного подхода.
Модель 1.1 наиболееэкономичного размера заказа. Заказ, пополняющий запасы, поступает как однапартия. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью пока не достигаетнуля. В этой точке поступает заказ, размер которого равен Q, и уровень запасоввосстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным решениемзадачи будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие издержки запериод (рис. 11.1).
Пусть Q — размер заказа;Т — протяженность периода планирования; D — величина спроса за периодпланирования; d — величина спроса в единицу времени; К — издержки заказа; Н —удельные издержки хранения за период; h — удельные издержки хранения в единицувремени.
Тогда:
(D/Q)K — совокупныеиздержки заказа;
Модель 1.3 оптимальногоразмера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная сним упущенная прибыль (рис. 11.3).
Пусть р — упущеннаяприбыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицыпродукта;
Р — упущенная прибыль запериод, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта. Тогда:
Q* =( 2dK/h)l/2х ((Р+hVp)1/2=
=( 2DK/H)1/2 х((Р+Н)/P)1/2 — оптимальный размер заказа;
S* =( 2dK/h)1/2 x (p/(h+p))1/2 =
=(2DK/H)1/2 х(Р/(H+Р))1/2 — максимальный размер запаса;
R = Q*— S* — максимальныйдефицит.
Модель 1.4 производства ираспределения. В предыдущей модели мы допускали, что пополнение запасапроисходит единовременно. Но в некоторых случаях, особенно в промышленномпроизводстве, для комплектования партии товаров требуется значительное время ипроизводство товаров для пополнения запасов происходит одновременно судовлетворением спроса. Такой случай показан на рис. 11.4.
Спрос и производствоявляются частью цикла восстановления запасов. Пусть u — уровень производства вединицу времени, К — фиксированные издержки производства.
Тогда:
совокупные издержкихранения = (средний уровень запасов) х Н = Q/2[l-d/u] Н;
средний уровень запасов =(максимальный уровень запасов)/2;
максимальный уровеньзапасов = u t — d t = Q(l—d/u);
время выполнения заказа t= Q/u; издержки заказа == (D/Q) К;
оптимальный размер заказаQ* =(2dK/h [(l-(d/u)])1/2 = (2DK/H [(l-(d/u)])1/2;
максимальный уровеньзапасов S* = Q*((l—(d/u))).
Модель 1.5 сколичественными скидками. Для увеличения объема продаж компании частопредлагают количественные скидки своим покупателям. Количественная скидка —сокращенная цена на товар в случае покупки большого количества этого товара.Типичные примеры количественных скидок приведены в табл. 11.1.
Пусть I — доля издержекхранения в цене продукта с. Тогда h = (Ixc) и Q* =( 2dK/(Ixc))l/2 —оптимальный размер заказа.
Пример 2. Рассмотримпример, объясняющий принцип принятия решения в условиях скидки. Магазин«Медвежонок» продает игрушечные гоночные машинки. Эта фирма имееттаблицу скидок на машинки в случае покупок их в определенном количестве (табл.11.1). Издержки заказа составляют 49 тыс.р. Годовой спрос на машинки равен5000. Годовые издержки хранения в отношении к цене составляют 20%, или 0,2.Необходимо найти размер заказа, минимизирующий общие издержки.
Решение.
Рассчитаем оптимальныйразмер заказа для каждого вида скидок, т.е. Ql*, Q2* и Q3*, и получим Q1* =700; Q2* = 714; Q3* = 718.
Так как Ql* — величинамежду 0 и 999, то ее можно оставить прежней. Q2* меньше количества,необходимого для получения скидки, следовательно, его значение необходимопринять равным 1000 единиц. Аналогично Q3* берем равным 2000 единиц. ПолучимQl* = 700; Q2* = 1000; Q3* = 2000.
Далее необходиморассчитать общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затемвыбрать наименьшее значение.
Рассмотрим следующуютаблицу.
Выберем тот размерзаказа, который минимизирует общие годовые, издержки. Из таблицы видно, чтозаказ в размере 1000 игрушечных гоночных машинок будет минимизироватьсовокупные издержки.
3. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Имитация — это попыткадублировать особенности, внешний вид и характеристики реальной системы. Идеяимитации состоит в:
1) математическомописании реальной ситуации,
2) изучении ее свойств иособенностей,
3)формировании выводов ипринятии решений, связанных с воздействием на эту ситуацию и основанных нарезультатах имитации. Причем реальная система не подвергается воздействиям дотех пор, пока преимущества или недостатки тех или иных управленческих решенийне будут оценены с помощью модели этой системы.
Метод Монте-Карло.Имитация с помощью метода Монте-Карло состоит из пяти простых этапов:
1. Установлениераспределения вероятностей для существенных переменных.
2. Построениеинтегрального распределения вероятности для всех переменных.
3. Установление интерваласлучайных чисел для каждой переменной.
4. Генерация случайныхчисел.
5. Имитация путем многихпопыток.
Проимитируем спрос наавтомашины в салоне ЛОГОВАЗ в течение 10 последовательных дней. Для этого изтаблицы случайных чисел мы выбираем значения, начиная из верхнего левого угла идвигаясь вниз в первом столбце.
39 — спрос за 10 дней.39/10 = 3,9 — средний ежедневный спрос.
Пример 2. Груженые баржи,отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров, достигают Астрахани.Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода0,1,...,5 барж показана в таблице. В этой же таблице указаны интегральныевероятности и соответствующие интервалы случайных чисел для каждого возможногозначения.
Аналогичная информациядана о числе разгружаемых барж.
Имитация очереди наразгрузку барж в порту Астрахани представлена в следующей таблице.4. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Магазинэлектрооборудования Проводкова продает электрические дрели. В течение 300 днейПроводкой регистрировал дневной спрос на дрели. Распределение вероятностейвеличины спроса показано в таблице. Интегральные вероятности величин спросапоказаны в четвертом столбце табл. В пятом столбце определены интервалыслучайных чисел для определения возможных значений спроса.
Когда Проводков делаетзаказ, чтобы возобновить свои запасы электрических дрелей, его выполнениепроисходит с лагом в 1, 2 или 3 дня. Это означает, что время восстановлениязапаса подчиняется вероятностному распределению. В табл. показаны данные,позволяющие определить вероятности сроков выполнения заказов и интервалыслучайных чисел на основе информации о 50 заказах.
Первая стратегиярезервирования, которую хочет имитировать Проводков, — делать заказ в объеме 10дрелей при запасе на складе 5 штук.
Реализуетсячетырехшаговый процесс имитации.
1. Каждый имитируемый деньначинается с проверки, поступил ли сделанный заказ. Если заказ выполнен, тотекущий запас увеличивается на величину заказа (в данном случае — на 10единиц).
2. Путем выбораслучайного числа генерируется дневной спрос для соответствующего распределениявероятностей.
3. Рассчитываетсяитоговый запас, равный исходному запасу за вычетом величины спроса. Если запаснедостаточен для удовлетворения дневного спроса, спрос удовлетворяется,насколько это возможно. Фиксируется число нереализованных продаж.
4. Определяется, снизилсяли запас до точки восстановления (в примере — 5 единиц). Если да, причем неожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается заказ.
Первый экспериментПроводкова. Объем заказа — 10 штук, точка восстановления запаса — 5 штук.
среднее число упущенныхпродаж = 2 упущенные продажи / 10 дней =0,2 шт./день.
Второй экспериментПроводкова. Проводков оценил, что каждый заказ на дрели обходится ему в 10 000р., хранение каждой дрели — в 5000 в день, одна упущенная продажа — в 80 000 р.Этой информации достаточно, чтобы оценить средние ежедневные затраты для этойстратегии управления запасами. Определим три составляющие затрат:
ежедневные затраты назаказы = (затраты на один заказ) х (среднее число заказов в день) = 10000 х 0,3= 3000;
ежедневные затраты нахранение = (затраты на хранение одной единицы в течение дня) х (средняявеличина конечного запаса) = 5000 х 4,1 = 20500;
ежедневные упущенныевозможности = (прибыль от упущенной продажи) х (среднее число упущенных продажв день) = 80000 х 0,2 = 16000,
общие ежедневные затраты= затраты на заказы + затраты на хранение + упущенные продажи = 39500.
5. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 1. Основныепонятия
Производственнаяфункция - этофункция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемогоили используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная- значения объемов выпускаемой продукции
/>
Точное толкование понятийзатрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а такжевыбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственнойсистемы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических,плановых, прогнозных), наличия исходных данных.
На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могутизмеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях).Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объемчеловеко-часов — натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработнойплаты (ее величина — стоимостный показатель); выпуск продукции может бытьпредставлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.)или в виде своей стоимости.
На макроэкономическомуровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях ипредставляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарныевеличины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемыхпродуктов на их цены.
Производственнаяфункция несколькихпеременных — это функция, независимые переменные которой принимают значенияобъемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных л равно числуресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:
/>
При построении ПФ длярегиона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, илидохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход)региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах,в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х1 (=К) -объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (х2(=L) — количество единиц затрачиваемогов течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Такимобразом строят двухфакторную f(х1,х2), или Y=f{K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Вкачестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов.Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особогофактора роста производства может быть включен технический прогресс.
ПФ у =f(х1, х2)называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависятот времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпускамогут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временныхрядов.
Пример . Для моделирования отдельного регионаили страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и намикроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у = ax1a1x2a2, где а0, а1, а2 -параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а1 + а2= 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) поимени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладныхзадач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классутак называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х1= K равно объему используемогоосновного капитала (объему используемых основных фондов — в отечественнойтерминологии), x2=L— затратам живого труда, тогда ПФКД приобретаетвид, часто используемый в литературе:
/>
 
Пример. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: у= а0+ а1х1 + a2x2. (двухфакторная) и у= а0+ а1х1+ a2x2+ …+anxn(многофакторная). ЛПФ принадлежит кклассу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативнойПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Длядвухфакторной мультипликативной ПФ
Выполняя обратныйпереход, из аддитивной ПФ получим мультипликативную ПФ.
Еслиа1 + а2 = 1, то ее можно записать в несколько другой форме:
/>
/>
называются соответственнопроизводителностью труда и капиталовооруженностью труда.Используя новые символы, получим
/>
т.е. из двухфакторнойПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0
Отметим здесь, что дробь Y/ K — называется производительностью капитала или капиталоотдачей,обратные дроби K / Y и L / Y называются соответственно капиталоемкостьюи трудоемкостью выпуска.
ПФ называется динамической,если:
1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины(как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемойпродукции;
2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.
Отметим, что еслипараметры ПФ оценивались по данным врменных рядов (объемовресурсов и выпуска) продолжительностью T0лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметровимеет продолжительность T0лет), то экстраполяционные расчетыпо такой ПФ
 следует проводить не более чем на T0 / 3 лет вперед (т.е. промежутокэкстраполяции должен иметь продолжительность не более чем T0/3 лет).
При построении ПФ научно-техническийпрогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП еpt, где параметр (число) p(p>0) характеризует темп прироставыпуска под влиянием НТП:
/>
Эта ПФ — простейшийпример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованныйв одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях техническийпрогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда иликапиталоотдачу: Y(t) = f(A(t)-L(t), K(t)) или Y(t) = f(A(t) K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим иликапиталосберегающим НТП.
Пример .. Поиведем вариант ПФКД с учетом НТП v(t} =
/>
Выделение существенныхвидов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формыфункции f называется спецификацией ПФ .
Преобразование реальных иэкспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значенийпараметров ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного икорреляционного анализа, называется параметризацией ПФ .
Проверка истинности(адекватности) ПФ называется ее верификацией.
Выбор аналитической формыПФ (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическимисоображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенностивзаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня)или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня),особенности реальных или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е.особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессесовершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ. Отметимздесь, что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью методанаименьших квадратов.2.Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции
/>
называется среднейпроизводительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) илисредним выпуском по i-му ресурсу(фактору производства). Символика: Аi=f(x)/xi.
Напомним, что в случаедвухфакторной ПФКД /> для средних производительностей Y/K и Y/L основного капитала и труда были использованысоответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти терминыиспользуют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых х1=Киx2=L.
/>
называется предельной(маржинальной) производительностью i-го ресурса (факторапроизводства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (факторупроизводства). Символика: Mi=df(x)/dxi.
Следовательно, ППФ(приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у,если объем затрат х i-го ресурса вырастает на одну(достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемогоресурса.
Отношение предельнойпроизводительности Mii-го ресурса к его средней производительностиАiназывается (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства)(ЭВФ). Символика:
/>
Сумма Е1+ Е2 = Еx называется эластичностьюпроизводства.
Е (приближенно) показывает, насколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-горесурса 1 увеличатся на один процент при неизменных объемах другогоресурса.
Обратим внимание на то,что i — номер заменяемого ресурса, j -номерзамещающего ресурса. Используется также термин: предельнаятехнологическая норма замены (замещения) i-ого ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий(но менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов./>Непосредственно проверяется, что для двухфакторнойПФ справедливо равенство
/>
т.е. (предельная) нормазамены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первомуи второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объемупервого ресурса. Если х1 = К, х2= L, то отношение x1/x2=K/Lназывается капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) нормазамены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска поосновному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.
Пусть ПФ — двухфакторная.При постоянном выпуске у и малых приращениях Дх1, и Дх2,имеем приближенное равенство
/>
Предельная норма заменыресурсов R12 (приближенно) показывает, насколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у= а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну(малую) единицу. 3. Пример
Имеются статистическиеданные по производственному объединению “Угледобыча":
Условное время t Средн. годовая списочн. численность Х1, тыс.чел Балансовая стоим. основных фондов Х2, млн.грн. Валовая продукция Y, млн.грн 1 3,6 100 416 2 4,1 105 464 3 3,8 90 400 4 3,2 110 432 5 3,5 125 480 /> /> /> /> />
Балансовая стоимость основных фондови валовая продукция производственного объединения даны с учетом пересчета поиндексу цен.
Вычислить производственную функциюКобба-Дугласа; определить коэффициенты эластичности валовой продукции посписочной численности и стоимости основных фондов, а также предельныепроизводительности по этим факторам. По результатам расчетов сформулироватьвыводы.
Решение:
Производственная функцияКобба-Дугласа имеет следующий вид
/> 
где b0, b1, b2– параметры уравнения.
Для оценки параметров прологарифмируемуравнение и выполним замену переменных:
ln y =ln b0+ b1ln x1 + b2 ln x2
b’0= ln b0, y’= ln y, x’1= ln x1, x’2= ln x2.
В результате этих преобразованийполучим линейную модель
y’= b’0+ b1 x’1+ b2 x’2.

Для определения значенийкоэффициентов этой модели прологарифмируем исходные значения у и х1,х2, а затем используем метод наименьших квадратов.
В результате вычислений спомощью функции ЛИНЕЙН пакетаEXCELполучим
b1 = 0,424, b2= 0,680,
ln b0= 2,369 откуда b0= 10,690.
Следовательно, производственнаяфункция Кобба-Дугласа имеет следующий вид
Y=10,690X10,424X20,68.
Коэффициент эластичностиваловой продукции по списочной численности (по х1) равен b1 = 0,424.
Коэффициент эластичностиваловой продукции по стоимости основных фондов (по х2) равен b2 =0,680.
Следовательно, можносделать вывод, что при увеличении списочной численности на 1% объём валовойпродукции увеличится на 0,424%, а при увеличении стоимости основных фондов на1% объём валовой продукции увеличится на 0,68%.
Предельнаяпроизводительность по списочной численности равна
M1 = b1* Y / X1 = 0,424* Y / X1= 0,424* 10,690X1 –0,576 X20,68 ,
где Y / X1 — производительность труда.
Предельнаяпроизводительность по стоимости основных фондов равна

M2 = b2* Y / X2= 0,680* Y / X2 =0,680* 10,690X10,424X2 –0,32 ,
где Y / X2 -фондоотдача.5.Применение аппарата теории игр для анализа проблем микроэкономики1.Основные понятия
Важнымслучаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равенпроигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. Классическимипримерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется одинпокупатель, с другой — продавец (ситуация монополия-монопсония). Подобные игрыназываются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми.
Взависимости от возможности предварительных переговоров между игрокамиразличают кооперативные и некооперативные игры.
Игра,в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом,называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игрымогут служить примером некооперативных игр.
Кооперативнойигрой называется игра с ненулевой суммой, в которой игрокам разрешаетсяобсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях,т.е. игроки могут образовывать коалиции. Основная задача в кооперативной игресостоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции. Примером кооперативнойигры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятияпутем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участниковголосования.
Проблемырыночного взаимодействия близки к проблемам теории игр и могут быть эффективноописаны и исследованы в ее терминах.
Представимсебе экономику, в которой имеется два субъекта: Игрок1 (Фирма1) и Игрок2(Фирма2), и два товара х1 и х2, (естественно, число игрокови товаров может быть большим, но в случае 2х2 все введенные понятия имеютнаглядную интерпретацию.)
Каждыйиз игроков имеет свою функцию полезности, (функцию дохода) заданнуюна наборе товаров:h1(х1, х2), h2(х1, х2). В начале игры в экономикеимеется общее количество Х1 первого товара и X2 — второготовара. Предположим, что это начальное количество благ как-то распределеномежду игроками: 1-й Игрок обладает количеством Х1 1первоготовара и X21 — второго, 2-й Игрок — количествами X12 и X22, 1-го и 2-готоваров соответственно, так что X11 + X12=Х1 и X21 + X22=X2.
Встаютвопросы: могут ли игроки путем обмена имеющимися у них товарами улучшить своеположение, т.е. увеличить значение функций полезности h1, и h2, по сравнениюс начальными уровнями h1(Х11,X21 ) и h2(X12,X22); каковысвойства такого решения?
Длянаглядного представления экономики с двумя игроками и двумя товарами традиционноиспользуется так называемый ящик Эджворта (рис. 1). 1-го Игрока,пунктирными — кривые безразличия 2-го Игрока)
Вящике Эджворта длина горизонтальной оси, соответствующей первому товару, равнаобщему количеству этого товара Х1, длина вертикальной оси — общему количеству товара X2. Выделенное пространство являетсямножеством всех возможных распределений имеющихся товаров между двумя игроками.Нижний левый угол считается началом координат для 1-го Игрока, верхний правыйугол — началом координат для 2-го Игрока.
Навыделенном пространстве представлены также два множества кривых безразличия(линий уровня функций выигрыша), принадлежащих каждому из игроков. При этомточка начального распределения товаров имеет координаты (Х11,X21 ) в системе отсчета 1-го Игрока (и, соответственно,(X12,X22); в системеотсчета 2-го Игрока).2.Парето-оптимальное множество решений
Рассмотримдля начала проблему эффективного распределения товаров между игроками.Единственным требованием к распределению, которое мы можем предъявить на начальномэтапе анализа, является требование Парето-оптимальности. Распределение называетсяПарето-оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшаяпри этом положение его партнера.
МножествоПарето-оптимальных распределений может быть наглядно представлено с помощьюящика Эджворта. В случае 2-х игроков Парето-оптимальное решение может бытьнайдено с помощью фиксации уровня полезности одного из игроков (скажем, Игрока2) и поиска максимума функции полезности другого игрока.
Втерминах ящика Эджворта это означает, что необходимо найти такую точку на фиксированнойкривой безразличия Игрока 2, в которой Игрок 1 получает максимум своей функцииполезности.
Очевидно,что такой точкой является точка, где кривые безразличия касаются друг друга,так как в противном случае Игрок 1 может, продвигаясь вдоль фиксированной линииуровня Игрока 2 внутрь, увеличить значение своей функции полезности (рис. 2).
Опираясьна этот факт, можно показать, что множество Парето-оптимальных распределений вящике Эджворта будет множеством всех точек, в которых кривые безразличия Игрока1 и Игрока 2 касаются друг друга (рис. 3).
Множество Парето-оптимальныхраспределений в пространстве товаров называется контрактным множеством,поскольку игрокам в общем случае имеет смысл договариваться между собой именнона этом наборе эффективных распределений.3.Переговорное множество решений
Рассмотрим теперь ситуацию, когдакаждый игрок обладает некоторым начальным количеством каждого из товаров.Встает вопрос: может ли это начальное распределение быть улучшено путем обменатоварами между игроками? Исследуем эту проблему с помощью ящика Эджворта.
Пусть (Х1 1, X21) — точка начальногораспределения товаров; проведем через эту точку кривые безразличия для Игрока 1и Игрока 2 (рис. 4).
Если две кривые не касаются другдруга (т.е. если начальное распределение не является Парето-оптимальным), то всвоем пересечении они образуют область, двигаясь внутрь которой каждый изигроков может увеличивать значение обеих функций полезности. При этом. каклегко показать, часть контрактного множества оказывается внутри области,образованной проведенными кривыми безразличия.
Игрокам имеет смысл вести переговорыотносительно распределений, находящихся на контрактном множестве, а с учетомначального распределения — относительно участка контрактного множества,заключенного между двумя кривыми безразличия.
Эти кривые называются линиями угрозы,а выделяемый ими участок на контрактном множестве — переговорным множеством.
Линии угрозы в данном случаеозначают, что за их пределами (т.е. ниже и левее исходной кривой безразличиядля Игрока 1 и выше и правее кривой безразличия для Игрока 2) какому-либо изигроков становится незачем вести переговоры — ему лучше (или, по крайней мере,не хуже) оставаться в ситуации начального распределения.
Для того чтобы переместиться напереговорное множество, в случае рис.4 Игрок 1 должен передать (продать)некоторое количество имеющегося у него товара 1 Игроку 2 в обмен наопределенное количество товара 2, имеющегося у Игрока 2.
На переговорном множестве выделяетсяточка решения Нэша N, в которой достигается максимум произведения приращенийдохода каждого из игроков по сравнению с доходом, который может быть полученбез вступления в коалицию.
В результате проведенного анализаможно сделать вывод, что игроки могут улучшить свое первоначальное положение,обмениваясь товарами, и Игроку 1 выгодно уступить Игроку 2 некоторое количествотовара 1 в обмен на товар 2.4.Задача о дуополии
Рассмотрим в заключение решениезадачи о дуополии.
В этой задаче две фирмы сталкиваютсяс проблемой удовлетворения спроса на некоторый товар. Объем спроса зависит отуровня назначаемых цен и описывается функцией d(р) (ей соответствует нисходящаялиния на рис.5). Объем предложения товара каждой из фирм также зависит отуровня цен и в микроэкономике описывается функциями предложения s1(p}, s2(р);эти функции определяются уровнем предельных издержек каждой из фирм.
Предположим для простоты, что Фирма 1и Фирма 2 имеют одинаковые функции предложения s1(p)=s2(p) .
Поиск решения в задаче о дуополии(т.е. определение уровня цен и объемов предложения каждой из фирм) базируетсяна принципах, общих для решения задач теории игр: каждая из сторон располагаетинформацией о себе и своем партнере (в данном случае — о функциях предложениякаждой из фирм), об условиях игры (в данном случае — о функции спроса) идействует, исходя из предположения, что ее партнер располагает такой жеинформацией и действует рационально (т.е. стремится максимизировать свойдоход).
Если Фирма 1 назначит цену напредлагаемый ею товар р1, а Фирма 2 примет эту цену, то Фирма 1 сможет продатьобъем товара, равный
/>
Функция r1(p) называется остаточнойфункцией спроса, с которой сталкивается Фирма 1 (рис.5). Поскольку величина r1,описывает объем спроса, приходящийся только на продукцию Фирмы 1, то онаполучит максимум дохода, полностью удовлетворив этот спрос, т.е. при условии,что

/>
В итоге Фирма 1, опираясь наимеющуюся у нее информацию, решает задачу поиска равновесного уровня цен р,при которых
/>
Аналогичную задачу поиска равновесныхцен решает Фирма 2
/>
Учитывая, что s1(p)=s2(p), мыполучим, что в ситуации равновесия
/>
а доход каждой из фирм будет равен
/>
Таким образом, в задаче о дуополиифирмы должны найти такой уровень цен р*, при котором они смогут полностьюудовлетворить спрос на продукцию d(p*), распределив между собой производствоэтой продукции поровну и получив при этом одинаковый доход. Уровень равновесныхцен и объем предложения каждой из фирм определяют в данной задаче ситуациюравновесия по Нэшу.

6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
 
(Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методыпринятия решения. -М.:«Аудит»,1997, Глава 9.)
Каким бы видом бизнеса вы ни занимались, вам приходитсяпланировать предпринимательскую деятельность на будущий период. При составлениикак краткосрочных, так и долгосрочных планов менеджеры вынуждены прогнозироватьбудущие значения таких важнейших показателей, как, например, объем продаж,ставки процента, издержки и т.д. В этой главе мы рассмотрим возможностиприменения в целях прогнозирования фактических данных за прошлыепромежутки времени.
В предыдущей главе при характеристике регрессионных методовколебания зависимой переменной объяснялись на основе изучения соответствующихзначений независимой переменной. В данной главе мы будем использоватьаналогичный подход, причем в качестве независимой будет выступатьпеременная времени. К примеру, мы хотим объяснить колебания объемов продажтолько через изменение значений этого показателя во времени, без учетакаких-либо других факторов. Если удается выявить определенную тенденциюизменения фактических значений, то ее можно использовать для прогнозированиябудущих значений данного показателя. Множество данных, в которых время являетсянезависимой переменной, называется временным рядом.
Модель, построенную по ретроспективным данным, не всегда можноиспользовать в прогнозировании отдельных показателей. Например, план некоторойкомпании может коренным образом измениться, если эта компания несет убытки.Кроме того, существует множество внешних факторов, которые могут полностьюизменить тенденцию, существовавшую ранее. К таким факторам можно отнестисущественные изменения цен на сырье, резкое увеличение уровня инфляции в мире вцелом или стихийные бедствия, которые непредсказуемым образом могут повлиять напредпринимательскую деятельность.
В разделе 9.2 мы рассмотрим временные ряды, которые содержат такиеэлементы, как собственно тренд, сезонная вариация и циклическаявариация. Эти элементы можно объединять с помощью нескольких способов.Остановимся на двух типах моделей: модели с аддитивной компонентой и модели смультипли-кативной компонентой. Как следует из их названий, элементы в этихмоделях либо складываются друг с другом, либо перемножаются. Каждой из моделейсоответствуют различные методы расчета компоненты тренда. Мы будем использоватьсочетание методов скользящего среднего и линейной регрессии.
Следует иметь в виду, что описанные выше методы — это далеко невесь, а иногда и не лучший инструментарий для составления прогнозов. Существуетмножество других, более изощренных статистических методов. Помимоколичественных, существуют также качественные методы, которые используются вусловиях недостаточного количества или отсутствия фактических данных. Среди нихможно назвать, например, метод Дельфи, который используется экспертамидля прогнозирования возможных будущих последствий, и метод написаниясценария.
ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА
Значения некоторой переменной (например, объемы продаж) изменяютсяво времени под воздействием целого ряда факторов. Если, к примеру, некотораякомпания предлагает на рынке новый вид продукции, то с течением времени объемыпродаж этой продукции возрастают. Общее изменение значений переменной вовремени называется трендом и обозначается через Т. В примерах, которыебудут рассмотрены ниже, тренд является линейным. Это означает, что модельтренда легко построить, используя для расчета параметров прямой, наилучшимобразом аппроксимирующий данный тренд, метод регрессии. Затем данная модельможет использоваться для прогнозирования будущих значений тренда. Вдействительности тренд в чистом виде либо не существует, например, приколебании значений спроса вокруг некоторой фиксированной величины, либо вбольшинстве случаев он является нелинейным. На приведенных ниже рис. 9.1 и 9.2проиллюстрирован тренд значений спроса в соответствии с различными стадиямижизненного цикла продукта. Новым видам продукции соответствует возрастающийтренд, тогда как устаревшим продуктам на заключительной стадии их жизненногоцикла — убывающий.
Метод скользящего среднего, изложенный ниже, можно использовать длявыделения тренда из модели, содержащей сезонную компоненту. Этот методпозволяет выравнивать тренд фактических значений через сглаживание сезонныхколебаний. Однако тренды, полученные с использованием метода скользящегосреднего, как правило, не используются для прогнозирования будущих значений,поскольку процесс их получения предполагает высокий уровень неопределенности.
В большинстве случаев значения переменных характеризуют не толькотренд. Часто они подвержены циклическим колебаниям. Если эти колебанияповторяются в течение небольшого промежутка времени, то они называются сезоннойвариацией. Колебания, повторяющиеся в течение более длительного промежуткавремени, называются циклической вариацией. Модели, содержащие сезоннуюкомпоненту, которые будут рассмотрены в данной главе, основаны на традиционномпонятии сезона, однако, в более широком смысле термин «сезон» в прогнозированииприменим к любым систематическим колебаниям. Например, при изучении товарооборотав течение недели под термином «сезон» подразумевается 1 день. При исследованиитранспортных потоков дня или в течение недели также может использоваться модельс сезонной компонентой. Любые колебания относительно тренда, построенного погодовым значениям некоторого показателя, можно описать в виде модели сциклической компонентой. Не будем рассматривать примеры с циклическим фактором.Этот фактор можно выявить только по данным за длительные промежутки времени в10, 15 или 20 лет, однако в данном случае колебания значений тренда могут бытьвызваны воздействием общеэкономических факторов.
Наличие подобных циклических факторов можно легко обнаружить вданных за 1960—75 гг. В этот период было разработано множество методовпрогнозирования, однако впоследствии тенденции общеэкономического развитияпретерпели значительные изменения. Остановимся подробнее на моделировании болеекоротких промежутков времени и не будем учитывать воздействие циклическойкомпоненты.
Последняя предпосылка нашей модели также следует из методалинейной регрессии. Она связана со значением ошибки, или остатка, т.е.той части значения наблюдения, которую нельзя объяснить с помощью построенноймодели. Величину ошибок можно использовать в качестве меры степени соответствиямодели исходным данным. Обычно применяют два вида таких мер. Это среднееабсолютное отклонение (mean absolute deviation — MAD):
равное отношению суммы величин всех ошибок без учета их знака кобщему числу наблюдений, и среднеквадратическая ошибка (mean square error — MCE):
которая представляет собой отношение суммы квадратов ошибок кобщему числу наблюдений. Последняя из указанных мер резко возрастает приналичии высоких ошибок.
В процессе анализа временного ряда мы стараемся определить всеимеющиеся факторы и построить модель, которая соответствующим образом отражалабы их.
Пример 9.1 Представленные ниже данные — это количество продукции,проданной компанией «Lewplan pic» в течение последних 13 кварталов.
Необходимо проанализировать указанное множество данных иустановить, можно ли обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденциядействительно существует, данная модель будет использоваться нами дляпрогнозирования количества проданной продукции в следующие кварталы.
Решение
На рис. 9.3 нанесены соответствующие значения. При построениидиаграммы временного ряда полезно последовательно соединить точки отрезками,чтобы более четко увидеть любую тенденцию.
Как следует из диаграммы, возможен возрастающий тренд, содержащийсезонные колебания. Объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чемв летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменится в течение трехлет. Тренд показывает, что в целом объем продаж возрос примерно с 230 тыс. шт.в 19X6г. до 390 тыс. шт. в 19X8 г., однако увеличения сезонных колебаний не • произошло.Этот факт свидетельствует в пользу модели с аддитивной компонентой (см. 9.3).
АНАЛИЗ МОДЕЛИ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ: A=T+S+E
Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, вкоторой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описываетсячерез сложение отдельных компонент. Предположив, что циклическая вариация неучитывается, модель фактических значений переменной А можно представитьследующим образом:
 
Фактическое значение = Трендовое значение + Сезонная вариация +Ошибка,
т.е.
А = Т + S + Е.
В моделях как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентойобщая процедура анализа примерно одинакова:
Шаг 1. Расчет значений сезонной компоненты.
Шаг 2. Вычитание сезонной компоненты из фактических значений. Этотпроцесс называется десезонализацией данных. Расчет тренда на основе полученныхдесезонализированных данных.
Шаг 3. Расчет ошибок как разности между фактическими и трендовымизначениями.
Шаг 4. Расчет среднего отклонения (MAD) илисреднеквадратической ошибки (MSE) для обоснования соответствия модели исходнымданным или для выбора из множества моделей наилучшей.
Расчет сезонной компоненты в аддитивных моделях
П Пример 9.2. Вернемся к примеру 9.1 предыдущего параграфа, в которомрассматриваются квартальные объемы продаж компании Lewplan pic. Мы уже выяснили, чтоэтим данным отвечает аддитивная модель, т.е. фактически объемы продаж можновыразить следующим образом:
A = T + S + E.
Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты,воспользуемся методом скользящей средней. Просуммировав первые четыре значения,получим общий объем продаж в 19X6 г. Если поделить эту сумму на четыре, можно найти среднийобъем продаж в каждом квартале 19X6 года, т. е. (239 + 201 + 182 + 297)/4 = 229,75.
Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, посколькупредставляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значениятренда для середины года, т.е. для точки, лежащей в середине между кварталами II и III. Если последовательнопередвигаться вперед с интервалом в три месяца, можно рассчитать средниеквартальные значения на промежутке: апрель 19X6 — март 19X7 (251), июль 19X6 — июнь 19X7 (270,25) и т.д. Даннаяпроцедура позволяет генерировать скользящие средние по четырем точкам дляисходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящихсредних представляет наилучшую оценку искомого тренда.
Теперь полученные значения тренда можно использовать длянахождения оценок сезонной компоненты. Мы рассчитываем:
А — Т = S + Е.
К сожалению, оценки значений тренда, полученные в результатерасчета скользящих средних по четырем точкам, относятся к несколько иныммоментам времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75,представляет собой точку, совпадающую с серединой 19X6 г., т.е. лежит в центрепромежутка фактических значений объемов продаж во II и III кварталах. Втораяоценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам жетребуются десезонализированные средние значения, соответствующие тем жеинтервалам времени, что и фактические значения за квартал. Положениедесезонализированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчетасреднего для каждой пары значений. Найдем среднюю из первой и второй оценок,центририруем их на июль-сентябрь 19X6 г., т. е. (229,75 + 250)/2 = 240,4.
Это и есть десезонализированная средняя за июль-сентябрь 19X6 г. Этудесезонализированную величину, которая называется центрированной скользящейсредней, можно непосредственно сравнивать с фактическим значением заиюль-сентябрь 19X6 г., равным 182. Отметим, что это означает отсутствие оценоктренда за первые два или последние два квартала временного ряда. Результатыэтих расчетов приведены в табл. 9.2.
Для каждого квартала мы имеем оценки сезонной компоненты, которыевключают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезоннуюкомпоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонныхоценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить некоторыезначения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая илиуменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы общая их сумма быларавна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты вцелом за год. Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом: суммаоценок сезонных компонент делится на 4. В последнем столбце табл. 9.2 этиоценки записаны под соответствующими квартальными значениями. Сама процедураприведена в табл. 9.3. производилось округление двух значений сезоннойкомпоненты до ближайшего большего числа, а двух значений — до ближайшегоменьшего числа таким образом, чтобы общая сумма была равна нулю.
Значения сезонной компоненты еще раз подтверждают наши выводы,сделанные на основе диаграммы. Объемы продаж за два зимних квартала превышаютсреднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объём продаж за двалетних периода ниже средних на 21 и 62 тыс. шт. соответственно
Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариацииза любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезонов выступают днинедели, для элиминирования влияния ежедневной «сезонной компоненты» такжерассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Этаскользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели,т.е в четверг; таким образом, необходимость в процедуре центрирования отпадает.
Десезонализация данных при расчете тренда
Шаг 2 — состоит в десезонализации исходных данных. Она заключается ввычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значенийданных за каждый квартал, т.е. А — S = Т + Е, что показано ниже.
Новые оценки значений тренда, которые еще содержат ошибку, можноиспользовать для построения модели основного тренда. Если нанести эти значенияна исходную диаграмму, можно сделать вывод о существовании явного линейноготренда.

Уравнение линии тренда имеет вид:
Т = а + b *номер квартала,
где а и bхарактеризуют точку пересечения с осью ординат инаклон линии тренда. Для определения параметров прямой, наилучшим образомаппроксимирующей тренд, можно использовать метод наименьших квадратов. Такимобразом, как мы знаем из предыдущей главы о линейной регрессии, уравнения длярасчета параметров а и bбудут иметь вид:
/>
где х — порядковый номер квартала, у — значение (Т + Е) впредыдущей таблице. С помощью калькулятора подсчитаем:
/>
Подставив найденные значения в соответствующие формулы, получим:
b = 19,978, а = 180,046.
Следовательно, уравнение модели тренда имеет следующий вид:
Трендовое значение объема продаж, тыс. шт. = 180,0 + 20,0 * номерквартала.
Расчет ошибок
Шаг 3 нашего алгоритма, предшествующий составлению прогнозов, состоит врасчете ошибок или остатка. Наша модель имеет следующий вид:

A = T + S + E.
Значение Sбыло найдено в разделе 9.3.1, а значение Т — вразделе 9.3.2. Вычитая каждое это значение из фактических объемов продаж,получим значение ошибок.
Последний столбец этой таблицы можно использовать в шаге 4 прирасчете среднего абсолютного отклонения (MAD) или среднейквадратической ошибки (MSE):
/>
/>
В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 1 до 2%.Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяетполучить хорошие краткосрочные прогнозы.
Прогнозирование по аддитивной модели
Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитываютсякак
F = Т + S (тыс. шт. за квартал),
где трендовое значение Т = 180 + 20 х номер квартала, а сезоннаякомпонента Sсоставляет +42,6 в январе-марте, — 20,7 в апреле-июне, 62,0 в июле-сентябре и+40,1 в октябре-декабре.
Порядковый номер квартала, охватывающего ближайшие три месяца сапреля по июль 19X9 г., равен 14, таким образом, прогнозное трендовое значениесоставит: Т14 = 180 + 20 х 14 = 460 (тыс. шт. за квартал) .
Соответствующая сезонная компонента равна — 20,7 тыс. шт.Следовательно, прогноз на этот квартал определяется как:
F (апрель-июнь 19X9 г.) = 460 — 20,7 = 439,3 тыс. шт.
Не следует забывать: чем более отдаленным является периодупреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза. В данном случае мыпредполагаем, что тенденция, обнаруженная по ретроспективным данным,распространяется и на будущий период. Для сравнительно небольших периодовупреждения такая предпосылка может действительно иметь место, однако еевыполнение становится менее вероятным по мере составления прогнозов на болееотдаленную перспективу.
АНАЛИЗ МОДЕЛИ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ: А = Т х SxE
В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты неявляется константой, а представляет собой определенную долю трендовогозначения. Таким образом, значения сезонной компоненты увеличиваются свозрастанием значений тренда.
Пример 9.3. Компания CD pic осуществляет реализацию нескольких видовпродукции. Объемы продаж одного из продуктов за последние 13 кварталовпредставлены в таблице 9.6.
Построим по этим данным точечную диаграмму:
Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере,подвержен сезонным колебаниям, и значения его в зимний период выше, чем влетний. Однако размах вариации фактических значений относительно линии трендапостоянно возрастает. К таким данным следует применять модель смультипликативной компонентой:
Фактическое значение = Трендовое значение * Сезонная вариация * Ошибка,т. е.
А = Т х S х Е.

В нашем примере есть все основания предположить существованиелинейного тренда, но чтобы полностью в этом убедиться, проведем процедурусглаживания временного ряда.
Расчет значений сезонной компоненты
В сущности, эта процедура ничем не отличается от той, которая применяласьдля аддитивной модели. Так же вычисляются центрированные скользящие средние длятрендовых значений, однако оценки сезонной компоненты представляют собойкоэффициенты, полученные по формуле А/Т = S х Е, Результатырасчетов, приведены в табл. 9.7.
Значения сезонных коэффициентов получены на основе квартальныхоценок по аналогии с алгоритмом, который применялся для аддитивной модели. Таккак значения сезонной компоненты — это доли, а число сезонов равно четырем,необходимо, чтобы их сумма была равна четырем, а не нулю, как в предыдущемслучае. (Если бы в исходных данных предполагалось семь сезонов в течение неделипо одному дню каждый, то общая сумма значений сезонной компоненты должна былабы равняться семи). Если эта сумма не равна четырем, производится корректировказначений сезонной компоненты точно таким же образом, как это уже делалосьранее. В таблице оценки, рассчитанные в последнем столбце предшествующей табл.9.8, расположены под соответствующим номером квартала.
Как показывают оценки, в результате сезонных воздействий объемыпродаж в январе—марте увеличиваются на 11,6% соответствующего значения тренда(1,116). Аналогично сезонные воздействия в октябре-декабре приводят кувеличению объема продаж на 5,5% от соответствующего значения тренда. В двухдругих кварталах сезонные воздействия состоят в снижении объемов продаж,которое составляет 90,7 и 92,2% от соответствующих трендовых значений.

Десезонализация данных и расчет уравнения тренда
После того как оценки сезонной компоненты определены, можемприступить к процедуре десезонализации данных по формуле A /S = Т х Е. Результатырасчетов этих оценок значений тренда приведены в табл. 9.9.
Полученные трендовые значения наносятся на исходную точечнуюдиаграмму.
Точки, образующие представленный на графике тренд, достаточносильно разбросаны. Объемы продаж в данном случае не образуют такой строгойпоследовательности, как в предыдущем примере с компанией Lewplan pic. Скорее всего, пример с CD pic более близок к реальнойдействительности.
Теперь нужно принять решение о том, какой вид будет иметьуравнение тренда. Очевидно, что линия тренда — не кривая, наоборот, онанесколько больше напоминает прямую, хотя отдельные точки, особенно значения за19X6 г, расположеныхаотически. Предположим для простоты, что тренд линейный, и для расчетапараметров прямой, наилучшим образом его аппроксимирующей, будем применятьметод наименьших квадратов. Воспользовавшись той же процедурой, что и в разделе9.3.2, находим, что
Т = 64,6 + 1,36 * номер квартала (тыс. шт. в квартал) .
Это уравнение будем использовать в дальнейшем для расчета оценоктрендовых объемов продаж на каждый момент времени.
Расчет ошибок:
 
А/(Т х S) = Е или А — (Т х S) = Е
Итак, мы нашли значения тренда и сезонной компоненты. Теперь мыможем использовать их для того, чтобы рассчитать ошибки в прогнозируемых помодели объемах продаж Т х S по сравнению с фактическими значениями А. В табл. 9.10 эти ошибкирассчитаны как отношение Е = А/(Т х S).
Для каждого рода ошибки достаточно велики, что видно из графикадесезонализированных значений. Однако, начиная с первого квартала 19X7 г. величина ошибкисоставляет в среднем 2-3% от фактического значения, и можно сделать вывод осоответствии построенной модели фактическим данным.
Прогнозирование по модели с мультипликативной компонентой
При составлении прогнозов по любой модели предполагается, чтоможно найти уравнение, удовлетворительно описывающее значения тренда. В обоихизложенных выше примерах эта предпосылка была успешно выполнена. Тренд, которыйнами рассматривался, был очевидно линейным. Если бы исследуемый трендпредставлял собой кривую, мы были бы вынуждены моделировать эту связь с помощьюодного из методов формализации нелинейных взаимосвязей, рассмотренных впредыдущей главе. После того как параметры уравнения тренда определены,процедура составления прогнозов становится совершенно очевидной. Прогнозныезначения определяются по формуле:F = Т х S, где
Т = 64,6 + 1,36 * номер квартала (тыс. шт. за квартал),
а сезонные компоненты составляют 1,116 в первом квартале, 1,097 —во втором 0,922 — в третьем и 1,055 в четвертом квартале. Ближайший следующийквартал — это второй квартал 19X9 г., охватывающий период с апреля по июнь и имеющий вовременном ряду порядковый номер 14. Прогноз объема продаж в этом кварталесоставляет:
F = Т х S = (64,6 + 1,36 х 14) х 0,907 = 83,64 х 0,907 = 75,9 (тыс. шт. заквартал).
С учетом величины ошибки прогноза мы можем сделать вывод, чтоданнг-г оценка будет отклоняться от фактического значения не более чем на 2-3*4Аналогично, прогноз на октябрь-декабрь 19X9 г., рассчитывается дляквартала: порядковым номером 16 с использованием значения сезонной компонентыдля Г-квартала года:
F = Т х S = (64,6 + 1,36 х 16) х 1,055 = 83,36 х 1,055 = 91,1 (тыс. шт. заквартал) .
Разумно предположить, что величина ошибки данного прогноза будетнесколько выше, чем предыдущего, поскольку этот прогноз рассчитан на болеедлительную перспективу.
 

РЕЗЮМЕ
Под временным рядом понимается любое множество данных, относящихсяк определенным моментам времени. Это могут быть, скажем, годы, кварталы месяцыили недели. В моделях временного ряда ретроспективная тенденция используетсядля прогнозирования поведения переменной в будущем. Краткосрочные прогнозыявляются более точными, чем долгосрочные. Если прогноз составлялся на болеедлительный период времени при условии, что существующая тенденция сохранится вбудущем, то тем больше величина ошибки.
Для моделирования временных рядов используются два типа моделей-аддитивная и мультипликативная. В обоих случаях предполагается, что значениепеременной включает в себя ряд компонент. Временной ряд может состоять изсобственно тренда — общей тенденции изменения значений переменной; сезоннойвариации — краткосрочных периодических колебаний значений переменной;циклической вариации — долгосрочных периодических колебаний значенийпеременной; ошибки или остатка. В данном учебном пособии не рассматривалисьмассивы данных за длительные промежутки времени, содержащие циклическуювариацию
Рассмотренные нами модели имеют следующий вид:
Аддитивная А = Т + S + Е, Мультипликативная А = Т х S х Е .
В обоих видах моделей для десезонализации данных применяется методскользящего среднего. Затем десезонализированные данные используются припостроении модели тренда. По этой модели составляют прогнозы будущих значенийтренда. В случае линейной модели для нахождения параметров прямой наилучшимобразом аппроксимирующей фактические значения, используется метод наименьшихквадратов. Процесс построения нелинейных моделей гораздо более сложен.
В отличие от линейных регрессионных моделей для оценкиобоснованности или точности прогнозных моделей статистические методы, какправило, не используются. Наилучшую среди нескольких моделей выбираетспециалист, составляющий прогноз. Чтобы определить, насколько точнорассматриваемая модель аппроксимирует прошлые данные, применяются два показателя:Среднее абсолютное отклонение и Среднеквадратическая ошибка.
Литература
1.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н.Математические методы в экономике. -М.:«ДИС»,1997.
2.Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения.-М.:«Аудит»,1997.
3.Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборникзадач по исследованию операций. -М.: Издательство Московского университета,1997.
4.Исследование операций в экономике: Учебное пособиедля вузов. Н.Ш. Кремер и др. -М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. (гл.15, гл.16)
5.Ю.А. Толбатов. Економетрика. — К., 1997.
6.С.И. Шелобаев. Математические методы и модели вэкономике, финансах, бизнесе. -М.: ЮНИТИ,2000.