МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА СТАТИСТИКИ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАПО ЭКОНОМЕТРИКЕМосква2008
Задача №1.Эконометрическое моделирование стоимости квартир в московской области
Таблица 1 — Исходные данные для эконометрическогомоделирования стоимости квартирY X1 X2 X3 Цена квартиры Город области Число комнат в квартире Общая площадь квартиры 115 4 70,4 85 1 3 82,8 69 1 2 64,5 57 1 2 55,1 184,6 3 83,9 56 1 1 32,2 85 3 65 265 4 169,5 60,65 1 2 74 130 4 87 46 1 1 44 115 3 60 70,96 2 65,7 39,5 1 1 42 78,9 1 49,3 60 1 2 64,5 100 1 4 93,8 51 1 2 64 157 4 98 123,5 1 4 107,5 55,2 1 48 95,5 1 3 80 57,6 2 63,9 64,5 1 2 58,1 92 1 4 83 100 1 3 73,4 81 2 45,5 65 1 1 32 110 3 65,2 42,1 1 1 40,3 135 2 72 39,6 1 1 36 57 1 2 61,6 80 1 35,5 61 1 2 58,1 69,6 1 3 83 250 1 4 152 64,5 1 2 64,5 125 2 54 152,3 3 89
Принятые в таблицеобозначения:
Y – цена квартиры – этозависимая переменная (тыс. долл.).
В качестве независимых,объясняющих переменных выбраны
Х1 – городобласти: 1 – Подольск, 0 – Люберцы;
Х2 – числокомнат в квартире;
Х3 – общаяплощадь квартиры, кв. м.
1) Расчетматрицы парных коэффициентов корреляции; оценка статистической значимостикоэффициентов корреляции.
Длявычисления матрицы парных коэффициентов корреляции используем инструментКорреляция (Анализ данных в Excel)
Таблица 2 – Матрицапарных коэффициентов корреляции
Цена квартиры Город области Число комнат в квартире Общая площадь квартиры Цена квартиры 1 Город области -0,403 1 Число комнат в квартире 0,688 -0,155 1 Общая площадь квартиры 0,846 -0,082 0,806 1
Анализ матрицы парныхкоэффициентов корреляции показывает, что зависимая переменная (цена квартиры)имеет тесную связь с общей площадью квартиры (ryx3=0,846) и с числом комнат вквартире.
Оценкустатистической значимости коэффициентов корреляции выполняем с использованием t-критерия Стьюдента.Фактическое значение этого критерия определяем по формуле (1):
/> (1)
Критическоезначение t-статистикиСтьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 38: tрасч≈ 2,0244
Таблица3
tнабл Y-X1 2,717131 Y-X2 5,847482 0,967211 Y-X3 9,762849 0,509262 8,393933
Из таблицы(3) видно что для всех коэффициентов матрицы tнабл > tрасч, следовательно всекоэффициенты корреляции статистически значимы. Между параметрами Y и X3 наиболее теснаястатистическая взаимосвязь.
2) Построениеполя корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
Полекорреляции имеет вид, приведенный на рис.1. Вытянутость облака точек надиаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, чтосуществует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи междузначениями переменных Х3 и Y.
/>
3) Расчетпараметров линейной парной регрессии для каждого фактора Х.
Для расчетакоэффициентов регрессии используем инструмент регрессия (Анализ данных в Excel)
Коэффициенты Y-пересечение 117,504 X1 -41,484
Коэффициенты Y-пересечение 13,212 X2 33,516
Коэффициенты Y-пересечение -13,109 X3 1,543
Моделилинейной регрессии будут иметь вид:
для Х1 — Y = 117,504 – 41,484 X1
для Х2 — Y = 13,212 + 33,516 X2
для Х3 — Y = -13,109 + 1,543 X3
4) Оценкакачества каждой модели через коэффициент детерминации, средней ошибкиаппроксимации и F-критерия Фишера. Выбор лучшей модели.
Модель Х1:R2 = 0,163; />= 18,259%;F = 7,383.
Коэффициент детерминацииравен 0,163, он показывает, что около 16,3% вариаций зависимой переменнойучтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов, т.е. цена квартирытолько на 16,3% зависит от города.
КритерийФишера равен 7,383. Табличное значение (при k1=5, k2=40-5-1=34 и а=0,05)равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью 0,95,следует признать адекватным.
Средняяошибка аппроксимации />= 18,259%, т.е расчетные значения /> отличаются от фактических значений на18,26 %.
Модель Х2:R2 = 0,474;/>= 9,053%;F = 9,217.
Коэффициентдетерминации равен 0,474. Т.е. цена квартиры на 47,4% зависит от числа комнат вквартире.
КритерийФишера равен 9,217. Табличное значение (при k1=5, k2=40-5-1=34 и а=0,05)равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью 0.95 95следует признать адекватным.
Средняяошибка аппроксимации />= 9,053, т.е расчетные значения /> отличаются от фактических значений на9,05%.
Модель Х3:R2 = 0,715;/>= 7,452%; F = 95,313.
Коэффициентдетерминации равен 0,715. Т.е. цена квартиры на 71,5% зависит от общей площадиквартиры.
КритерийФишера равен 95,313. Табличное значение (при k1=5, 2=40-5-1=34 иа=0,05) равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью0,95 следует признать адекватным.
Средняяошибка аппроксимации />= 7,452%, т.е расчетные значения /> отличаются от фактических значений на7,45 %. 7,45% — хороший уровень точности модели.
Исходя изполученных данных, делаем вывод, что наилучшая модель– модель Х3: Y= -13,109 + 1,543 X3
5) Прогнозированиесреднего значения показателя /> при уровне значимости />, еслипрогнозное значения фактора /> составит 80% от его максимальногозначения.
Прогнозированиеосуществим для модели Х3
Х3max= 169,5
Xпрогноз = /> = 135,6
из уравнениерегрессии находим Yпрогноз:
Yпрогноз = -13,109 + />Xпрогноз= />=196,122
Изобразимграфически полученные величины (Рис.3.):
/>/>/>/>/>
6) Построениемодели формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Экономическаяинтерпретация коэффициентов модели регрессии.
В таблице (4)в первом столбце указан номер модели, во втором независимые переменные, втретьем столбце содержатся коэффициенты уравнения, а в четвертом t-статистика.Таблица 4 Модель Независимые переменные Коэффициенты t-статистика
1 (tтабл=2,012894) Y 11,69225872 1,077832949
X1 -35,17686233 -4,884306518
X2 -3,283285149 -0,571843303
X3 1,590356124 7,45908944
2 (tтабл=1,96495) Y 10,25481 0,980733972
X1 -34,558 -4,898238752
X3 1,492126 11,9234164
Уравнениерегрессии зависимости цены квартиры от города области и общей площади квартиры,полученное на последнем шаге, можно записать в следующем виде
y = 10,255 — 34,558Х1+ 1,492Х3
Коэффициентыуравнения регрессии показывают, что в Подольске цена квартиры меньше, чем вЛюберцах на 34,558 тыс. долл., а при увеличении общей площадина одинквадратный метрцена квартиры увеличится на 1,492 тыс. долл.
7)Оценкакачества построенной модели. Оценка влияния значимых факторов на результат спомощью коэффициентов эластичности, — и — коэффициентов
Сравниминдекс корреляции R и коэффициент детерминации R2 полученной модели соднофакторной моделью.
Таблица5 Коэффициент корреляции R
Коэффициент детерминации R2 однофакторная модель 0,846 0,715 двухфакторная модель 0,909 0,827
Из таблицы(5) видно, что качество новой модели лучше предыдущей однофакторной, т.к.коэффициенты ближе к единице.
Теперь оценимвлияние значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, — коэффициентов с помощью формул:
/>, /> и />,
где />
1) /> = />= -0,212
/> = />
Отсюда видно,что при изменении Х1 на 1% значение Y уменьшится на 21,2%. А при изменении Х3 на 1%значение Yувеличится на 110,3%.
2) Найдемкоэффициенты β для параметра Х1 и Х3. Сначалавычислим среднеквадратические отклонения:
/>=/>
/>= />
/>= />
Тогда:
/>= />
/>= />
Анализполученных данных показывает, что при увеличении Х1 на 0,5006 цена квартирыуменьшится на 0,336*51,492 = 17,301 тыс. долл. А при увеличении общей площадина 28,225 м2 Цена квартиры увеличится на 0,817*51,492 = 42,07 тыс.долл.
3) Вычислимкоэффициенты Δ для параметров Х1 и Х3:
/>= -0,403 * (-0,336) /0,827 = 0,164
/>= 0,846 * 0,817 / 0,827 =0,836
Из полученных данных мы видим, что долявлияния фактора город (Х1) в суммарном влиянии всех факторов составляет 0,164или 16,4%, тогда как доля влияния фактора общая площадь – 0,836 или 83,6%.
Задача №2. Исследование динамики экономического показателяна основе анализа одномерного временного ряда
Таблица 6– Исходные данныеt 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yt 20 27 30 41 45 51 51 55 61
1. Выявление аномальных наблюдений
Построим график временного ряда
/>
Для выявления аномальных наблюдений воспользуемся методомИрвина. Для всех наблюдений вычисляем величину /> по формуле:
/>,
Где />, />
Результаты расчетов по методу Ирвина приведены в таблице(6)
Таблица 6t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yt 20 27 30 41 45 51 51 55 61
/> - 0,502 0,215 0,789 0,287 0,431 0,287 0,431
По результатам расчетов аномальных наблюдений нет, т.к.расчетные величины /> не превышают табличных значений.
2. Построение линейной модели
Таблица 7 — Промежуточные расчеты параметров линейноймоделиt
/>
/>
/>
/>
(/>)(/>)
/>
/> 1 20 -4 16 -22,333 89,332 22,333 -2,333 2 27 -3 9 -15,333 45,999 27,333 -0,333 3 30 -2 4 -12,333 24,666 32,333 -2,333 4 41 -1 1 -1,333 1,333 37,333 3,666 5 45 2,667 42,333 2,666 6 51 1 1 8,667 8,667 47,333 3,666 7 51 2 4 8,667 17,334 52,333 -1,333 8 55 3 9 12,667 38,001 57,333 -2,333 9 61 4 16 18,667 74,668 62,333 -1,333
/> 42,333 60 300
Рассчитываем параметры модели:
/>,
/>
В результате расчетов получаем, что кривая ростазависимости спроса на кредитные ресурсы финансовой компании от времени имеетвид:
Y(t)=17,333+5t
3. Оценка адекватности построенной модели
Проверку независимости осуществляем с помощью dw-критерияДарбина-Уотсона по формуле:
/>
Для вычисления коэффициента Дарбина-Уотсона построимвспомогательную таблицу (8):
Таблица 8t
/> Точки поворота
/>
/> 1 -2,333 5,443 2 -0,333 * 0,111 4 3 -2,333 * 5,443 4 4 3,666 * 13,440 35,988 5 2,666 * 7,108 1 6 3,666 * 13,440 1 7 -1,333 1,777 24,99 8 -2,333 * 5,443 1 9 -1,333 1,777 1
/> 6 53,982 72,978
Так как dw попало в интервал от d2 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод овыполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеетсяавтокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Поверку случайности проводим на основе критерия поворотныхточек по формуле, количество поворотных точек р при n=9 равно 6:
р>/>
/>
Неравенство выполняется (6>2). Следовательно, свойствослучайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределенияопределяем с помощью RS-критерия:
RS=(emax-emin)/S
/>
/>
Расчетноезначение RS=2,86 в интервал (2,7 – 3,7) попадает. Следовательно, по данномукритерию модель адекватна.
Вывод: модель статистически адекватна.
4) Оценка точности модели
Оценку точности модели проводим на основе использованиясредней относительной ошибки аппроксимации. Получаем
/>=5,75%
Вывод: Еотн=5,75% — хороший уровень точностимодели.
5) Прогноз спроса на следующие две недели.
Для вычисления точечного прогноза в построенную модельподставляем соответствующие значения фактора t=n+k:
/>
/>
Для построения интервального прогноза рассчитываемдоверительный интервал. При уровне значимости 0,3, доверительная вероятностьравна 70%, а критерий Стьюдента равен 1,119:
/>
/>
U(1)=3.841,
U(2)=4.065,
Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза.
Таблица 9n+k U(k) Прогноз Верхняя граница Нижняя граница 10 U(1)=3,841 67,333 71,174 63,492 11 U(2)=4,065 72,333 76,398 68,268
6) Графическое представление фактических значенийпоказателя, результатов моделирования и прогнозирования.
/>/>/>/>/>/>/>