1. Некоторая фирмавыпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычныйнабор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а вулучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно,что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кгфосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., аулучшенный – 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобыобеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построитьэкономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ееэлементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решатьзадачу на максимум, и почему?
Решение:
Условие задачи:стоимость 3 4 Состав удобрения Количество удобрений Необходимый минимум обычное улучшенное Азотное 3 2 10 Фосфорное 4 6 20 Калийное 1 3 7
1 составим математическуюмодель:
Обозначим через xjколичество кг удобрения
x1 — количество кг обычного удобрения;
x2 — количество кг улучшенного удобрения.
Цель – наименьшаястоимость удобрения,
F= 3x1+4x2 →min
/>Ограничения:
По азотным удобрениям 3х1+2х2≥10
По фосфорным удобрениям 4х1+6х2≥20
По калийным удобрениям 1х1+3х2≥7
По смыслу х1≥0х2≥0
Решим графическимспособом.
Первое ограничение (поазоту) имеет вид 3х1+2х2≥10 найдем пересечение сосями координат, т. е. 3х1+2х2=10 – l1Х1 10/3 Х2 5
0
Второе ограничение 4х1+6х2=20– l2Х1 5 Х2 10/3
0
Третье ограничение х1+3х2=7-l3Х1 7 Х2 7/3
0
Для определениянаправления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1; с2),координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с(3;4).
Построим линию уровня l0, приравняем целевую функцию к 0
3х1+4х2=0Х1 -4 Х2
Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлениювектора – градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точкуцелевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравненийпрямых, дающих в пересечении точку минимума:
(.) А = l1∩l3
/>3х1+2х2=10, *3 «-»
/>4х1+6х2=20
5х1=10
х1=2
Подставим в первоеуравнение 3*2+2х2=10,
2х2=10-6,
2х2=4,
х2=2.
Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.
График:
/>
Ответ: чтобы обеспечитьэффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного.Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так какцелевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞
2. Для изготовлениячетырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы егорасхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.тип сырья норма расхода сырья на одно изделие запасы сырья А Б В Г 1 2 1 3 2 200 2 1 2 4 8 160 3 2 4 1 170 цена изделия 5 7 3
Требуется:
1. Сформулировать прямуюоптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции,получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулироватьдвойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теориидвойственности.
3. Пояснить нулевыезначения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойствдвойственных оценок и теорем двойственности:
— Проанализироватьиспользования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
— Определить, какизменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличениизапасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5единиц запасов сырья 3 вида;
— Оценитьцелесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовлениекоторой расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
Сформулируем экономико –математическую модель задачи.
Переменные:
х1 — количествоединиц продукции А,
х2 — количествоединиц продукции Б,
х3 — количествоединиц продукции В,
х4 — количествоединиц продукции Г.
Целевая функция: F=5х1+7х2+3х3+6х4→max,
Цель максимизироватьвыручку от реализации готовой продукции
Ограничение:
/>По 1 типу ресурса: 2х1+х2+3х3+2х4≤200,
По 2 типу ресурса: х1+2х2+4х3+8х4≤160,
По 3 типу ресурса: 2х1+4х2+х3+х4≤170,
По смыслу х1; х2; х3; х4≥0.
Решение задачи выполним спомощью надстройки Excel ПоискРешения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.
Полученное решениеозначает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 едпродукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будутиспользоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 едсырья.
Сформулируемэкономико–математическую модель двойственной задачи
Переменные:
у1- двойственная оценкаресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,
у2- двойственная оценкаресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,
у3- двойственная оценкаресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.
Целевая функциядвойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общаястоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b1*y1+b2*y2+…→min
G=200у1+160у2+170у3→min
Ограничения:
Вы исходной задачи четырепеременных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.
/>a11*y1+a12*y2+…≥c1
a12*y1+a22*y2+…≥c2
/>по виду продукции А: 2у1+у2+2у3≥5,
по виду продукции Б: у1+2у2+4у3≥7,
по виду продукции В: 3у1+4у2+у3≥3,
по виду продукции Г: 2у1+8у2+у3≥6
по смыслу у1;у2; у3≥0
Найдем оптимальный пландвойственной задачи, используя теоремы двойственности:
По 2 теореме- yi*(∑aij*xj-bi)=0 и xj(∑aij*yi-cj)=0,
у1*(2х1+х2+3х3+2х4-200)=0→ у1(2*80+0+3*0+2*10-200)=0 180
у2*(х1+2х2+4х3+8х4-160)=0→ у2(80+2*0+4*0+8*10-160)=0 ,
у3*(2х1+4х2+х3+х4-170)=0→ у3*(2*80+4*0+0+10-170)=0.
В нашей задачи х1=80>0 и х4=10>0, поэтому первое и четвертоеограничение двойственной задачи обращаются в равенство:
/>2у1+у2+2у3=5,
2у1+8у2+у3=6,
у1=0,
/>у2+2у3=5,
8у2+у3=6,
Выразим через у2=5-2у3,
8*(5-2у3)+у3=6,
40-16у3+у3=6
-15у3=-34,
у3=34/15,
у2=5-2*34/15=7/15,
у1=0; у2=7/15;у3=34/15
G=200*0+160*7/15+170*34/15=460
Проверим выполняемостьпервой теоремы двойственности:
Fmax=Gmin=460
В нашей задачи в планвыпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.
Подставим в ограничениядвойственной задачи оптимальные значения у:
2*0+7/15+2*34/15=5=5,
0+2*7/15+4*34/15=10≥7,
3*0+4*7/15+34/15=4,133≥3,
2*0+8*7/15+34/15=6=6.
Так как запас ресурсов 1,2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшениюF.
F=∆bi*yi
F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667,следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.
По условию задачи дляизготовления изделия Д используется:
Сырье 1 типа а*1=2,
Сырье 2 типа а*2=2,
Сырье 3 типа а*3=2
Ожидаемая прибыль отданного изделия Д с*=10 ден ед.
Для оценкицелесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход
е=с*-∑а*i*yi
е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533
следовательно,целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,533>0.
3. Промышленная группапредприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трехпредприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второепредприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьеговида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет навнутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями,является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании полученыэкономические оценки aij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологическойматрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементовуi вектора конечной продукции У.
Требуется:
1. Проверитьпродуктивность технологической матрицы А=(аij) (матрицы коэффициентов прямыхматериальных затрат).
2. Построить баланс(заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятийхолдинга.предприятия коэффициенты прямых затрат конечный продукт 1 2 3 1 0,2 0,1 0,2 150 2 0,1 0,2 180 3 0,1 0,1 100
Решение:
Найдем продуктивность А спомощью достаточного условия ||A||max(0,3;0,2;0,5)=0,5
Следовательно матрица Апродуктивна
Подготовим таблицуматричного балансапредприятия конечный валов. пр 1 2 3 1 50,22293 23,08917 27,80255 150 251,1146 2 23,08917 27,80255 180 230,8917 3 25,11146 13,90127 100 139,0127 усл. ч. пр. 175,7803 184,7134 69,50637 430=430 вал. вып 251,1146 230,8917 139,0127 621,0191=621,0191
Используем соотношениеХ=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валовоговыпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичнаяматрица),
/>1
/>0
Е = 0 1
1
/>
1
/>0
/>0,2 0,1
/>0,2
/> 0,8 -0,1
/>-0,2 Е-А= 1 - 0,1 0,2 = 0,9 -0,2 1 0,1 0,1 -0,1 0,9
Найдем обратную матрицу(Е-А)’ используя функцию в Excel(fx/математическая/МоБР),
/>1,289809 0,143312
/>0,318471 (Е-А)’= 0,031847 1,11465 0,254777 0,143312 0,015924 1,146497
Найдем величины валовойпродукции, используя в Excel(fx/математическая/МУМНОЖ)
/> 1,289809 0,143312
/>0,318471
/>/>150
/>/>251,1146 (E-A)’*Y= 0,031847 1,11465 0,254777 * 180 = 230,8917 0,143312 0,015924 1,146497 100 139,0127
Рассчитаем величиныпроизводственных затрат по формуле
Xij=aij*xj
aij- технологическая матрица
xj-строка валового выпуска,Х11=0,2*251,1146=50,22293 Х12=0,1*230,8917=23,08917 Х13=0,2*139,0127=27,80255 Х21=0*251,1146=0 Х22=0,1*230,8917=23,08917 Х23=0,2*139,0127=27,80255 Х31=0,1*251,1146=25,11146 Х32=0*230,8917=0 Х33=0,1*139,0127=13,90127
Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства:
Z=xj-∑xij
xij – по столбцу
Z1=251.1146-(50.22293+0+25.11146)=175.7803
Z2=230.8917-(23.08917+23.08917+0)=184.7134
Z3=139.0127-(27.80255+27.80255+13.90127)=69.50637
Проверим баланс конечнойи условно чистой продукции
∑YI=∑ZJ, ∑Xi=∑Xj,
Z=175.7803+184.7134+69.50637=430 =Y=150+180+100=430
Xi=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191=Xj=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191
Заполняем таблицу,подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.
4. В течение девятипоследовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25 23
Требуется:
1. Проверить наличиеаномальных наблюдений.
2. Построить линейнуюмодель Y(t)=a0+a1tпараметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированныезначения временного ряда).
3. Оценить адекватностьпостроенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты,случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точностьмоделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По двум построенныммоделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительныйинтервал прогноза рассчитывать при доверительной вероятности р=70%)
6. Фактические значенияпоказателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение:Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25 23
Построим график:
/>
Проверим на анормальность- 9 неделю, у9=23
Оставшиеся наблюденияНедели 1 2 3 4 5 6 7 8 Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25
Для оставшихсярассчитаем: уср — среднее значение; Sy – средне квадратичное отклонение,используя функции Excel;
Вычислим статистику Стьюдента– tнаб=| y*-yср|/Sy
уср= 13,625 (fx/статистические/СРЗНАЧ)
Sy= 6,836254457 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)
При L=5%, K=n-2=9-2=7,
tкр= 2,36462256 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)
tнаб= |23-13,625|/6,84=1,371364986
tнаб=1,37
Следовательно,наблюдаемое у9 не является аномальной и не требует замены.
С помощью программыРЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ)рассчитаем и получим:Регрессионная статистика Множественный R 0,983716989 R-квадрат 0,967699115 Нормированный R-квадрат 0,963084703 Стандартная ошибка 1,444200224 Наблюдения 9 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 437,4 437,4 209,7123 1,78531E-06 Остаток 7 14,6 2,085714286 Итого 8 452 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 1,166667 1,049187 1,111971949 0,302876 -1,31426491 3,648 -1,3143 3,6475982 Переменная X 1 2,7 0,186445 14,48144774 1,79E-06 2,259126889 3,141 2,25913 3,1408731 ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказанное Y Остатки 1 3,866667 -0,866666667 2 6,566667 0,433333333 3 9,266667 0,733333333 4 11,96667 -0,966666667 5 14,66667 0,333333333 6 17,36667 -0,366666667 7 20,06667 0,933333333 8 22,76667 2,233333333 9 25,46667 -2,466666667
Модель построена, ееуравнение уt=a+b*t, t-момент времени, уt — теоретическое моделированиезначения У, а,b- коэффициенты модели
a=1.166666667, b=2.7, следовательно уt=1,166666667+2,7t
коэффициент регрессии b=2,7, т. е. с каждым годом спрос накредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,7 млн. руб.
Рассмотрим столбецОстатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:
/>
1 подсчитаем количествоповоротных точек р для рядов остатков – р=5
2 критическое количествоопределим формулой — ркр=[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]
[ ] – целая часть; n- количество исходных данных
ркр=[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2
3 сравним фактическое р сркр
р=5 > ркр=2 следовательно,свойство случайности выполняется.
Для проверкинезависимости уровней ряда остатков:
1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина –Уотсона)
2 вычислить первыйкоэффициент автокорреляции r(1)
для расчетов подготовим –
∑e2(t) =14,6 — используем Excel fx/математическая/СУММКВ),
∑(e(t)-e(t-1))2 = 32,32–используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кромепоследнего.
d=∑(e(t)-e(t-1))2 / ∑e2(t) =32,32/14,6=2,213699
По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсонаопределим, что d1= 1,08 и d2= 1,36
Т.е. наше d=2,213699 € (1.08;1,36),следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,213699=1,786301,т.е d’ € (1,36;2)
/>/>/>/>не выпол-ся доп. Прове-ка выпол-ся d’=4-d
/>
0 d1 d2 2 4 d
следовательно, свойствонезависимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.
Для проверки нормальногораспределения остатков вычислим R/S – статистику
R/S=emax-emin/ Se
еmax — максимальный уровень ряда остатков,
еmin — минимальный уровень ряда остатков,
S- среднеквадратичное отклонение.
еmax=2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),
еmin=-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),
Se=1,444200224 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»
Следовательно, R/S=2,2333333 — (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396
Критический интервал(2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 € (2,7;3,7), свойствонормального распределения остатков выполняется.
Подводя итоги проверкиможно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.
Для оценки точностимодели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениямопределить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)
относит. погр-ти 28,88888889 6,19047619 7,333333333 8,787878788 2,222222222 2,156862745 4,444444444 8,933333333 10,72463768
Eотн ср =8,853564 – хороший уровень точностимодели
Для вычисления точечногопрогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:
у10=1,166666667+2,7*10=28,16666667
у11=1,166666667+2,7*11=30,86666667,
Ожидаемый спрос накредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.
При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7,равен
tкр(30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),
Se=1,444200224 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»,
t’ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ)-средний уровень по рассматриваемому моменту времени,
∑(t-t’ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),
Ширину доверительногоинтервала вычислим по формуле:
U1=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5)2/60=1,997788
U2=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5)2/60=2,11426
Далее вычислим верхнюю инижнюю границы прогноза uниж=y10-u1; uверх=у10+u1;uниж=y11-u1;uверх=у10+u1
uниж=28,16666667-1,997788=26,16888
uверх=28,16666667+1,997788=30,16445
uниж=30,86666667-2,11426=28,75241
uниж=30,86666667+2,11426= 32,98093
Спрос на кредитныересурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.
Строим график:
/>