Сибирский государственный университетпутей сообщения
Домашнее задание по дисциплине«Математическое моделирование»
Задачи №1, №2
Разработал: студент гр. М-511
Ревнивцев
2008
Задача№1
В тупикежелезнодорожного пути установлен буфер (рисунок 1), имеющий упругий элемент снелинейной жесткостью, восстанавливающая сила которого изменяется по закону
/>.
/>
1 – вагон; 2 – буфер;3 – демпфер
Рисунок 1 – Схемак решения задачи.
В направлениитупика движется вагон массой mи скоростью X. При столкновении вагона с упругим элементом, последнийсмещается на величину X1.В задаче также приняты следующие допущения: 1) масса буфера мала по сравнению смассой вагона; 2) после удара контакт между этими объектами сохраняется.
Восстанавливающаясила (закон изменения):
/> (1)
В задачетребуется определить:
— максимальноеперемещение буфера;
— максимальноезначение восстанавливающей силы;
— время, закоторое восстанавливающая сила достигнет максимального значения.
На данную систему(рисунок 1) действуют силы: сила инерции движущегося вагона; сила демпфирования(или сила вязкого трения), пропорциональная скорости движения вагона; а такжевосстанавливающая сила упругого элемента-демпфера.
Сила инерции:
/> , (2)
Силадемпфирования:
/>, (3)
Сила упругости:
/> (4)
Для решенияпоставленной задачи следует решить обыкновенное дифференциальное уравнениевторого порядка вида:
/> (5)
Заменим уравнение(5) системой уравнений первого порядка, для этого введем новую неизвестнуюфункцию /> и перепишем исходное уравнение, представивего в виде системы из двух уравнений:
/> (6)
Решение проводимв системе MathCad с построением графическихзависимостей: 1) скорости движения вагона от времени; 2) перемещения буфера отвремени; 3) восстанавливающей силы от времени. Неизвестные выше исходные данныезаписываются непосредственно в программе.
Исходноеуравнение имеет вид:
/> , (7)
где /> - коэффициент демпфирования, />;
/> - масса вагона, кг;
/> — жесткость упругого элемента, Н/м;
/> - численный коэффициент, />;
/> - скорость вагона при подходе к тупику, м/с;
Начальныеусловия:
/>
/>
/> (8)
Уравнение (8)решается в системе MathCadпосредствам встроенной функцией – rkfixed:
Z:=rkfixed (y, 0, t, n. D) (9)
где Z – вектор неизвестных;
y– вектор начальных условий;
0 и t – интервал, на котором ищется решение;
n– количество точек на интервале.
/>
В ходе вычисленийполучена следующая система ответов:
/>
Колонка «0» — промежутки времени; колонка «1» — перемещение в каждый момент времени; колонка«2» — скорость вагона в каждый момент времени.
Определениевосстанавливающей силы.
Расчет ведетсяпри разбиении — />
Функциональнаязависимость в программе:
/>
/>
Колонка «0» — значениявосстанавливающей силы.
Далее в программеведется построение необходимых графиков на интервале: />.
График зависимостиперемещения от времени
/>
График зависимостискорости от времени
/>
Графикзависимости силы от перемещения
/>
После проведения решенийвыведены лишь шестнадцать рассчитанных значений. В общем же получено 300значений, что соответствую числу интервалов.
Проанализироваврезультаты получаем:
— максимальноеперемещение буфера – 0,0782 метра;
— максимальноезначение восстанавливающей силы — />;
— время, закоторое восстанавливающая сила достигнет максимального значения – 0,725 сек.
Задача №2
Данный планетарныйредуктор (рисунок 2) представляет собой механическую вращательную систему,которая состоит из четырех подсистем. Связь между подсистемами осуществляетсячерез зубчатое зацепление.
Опишем каждую изподсистем. Первая подсистема включает зубчатое колесо 1 (рисунок 2), котороенаходиться во внешнем зацеплении с сателлитом 2, вал «а» вращающийся в опоре 7от привода 5, имеющий крутящий момент Мвх. Вторая подсистемавключает: сателлит 2, который имеет внешнее зацепление с подвижным зубчатымколесом 1 и внутреннее зацепление с неподвижным зубчатым колесом 3. Третьяподсистема это неподвижное зубчатое колесо 3, которое находиться во внутреннемзацеплении с сателлитом 2. Четвертая подсистема состоит из сателлита 2,вращающегося вокруг оси вала «в» вместе с водилом 4, вала «б», вала «в», опор8,9 и нагрузки 6.
/>
Рисунок 2 – Схемапланетарног редуктор 1- подвижное центральное колесо; 2 — сателлит; 3 — неподвижное центральное колесо; 4 — водило; 5 — привод; 6 — нагрузка; 7, 8, 9 — опоры валов; а, б, в – валы.
Исходные данные:
/> - радиусы делительных окружностей зубчатыхколес 1-3;
/> — моменты инерции зубчатых колес 1-3 и водилаотносительно осей вращения;
/> - моменты инерции привода и нагрузки;
/> - моменты вращения сателлита 2 при вращениивместе с водилом;
/> - коэффициенты вязкого трения в опорах 7-9.
Потерямив опоре 9, массой вала «а» и податливостью вала «в» пренебречь.
Сателлит2 совершает сложное движение: его абсолютное движение складывается из относительного– вокруг собственной оси и переносного – вращение вместе с водилом относительнооси вала «в». Пользуясь методом Виллиса, определим направление переносногодвижения, т.е направление вращения водило. Допустим, что все звенья передачи1,2,3 и 4 жестко соединены друг с другом. Сообщая этой жесткой системепереносное вращательное движение вокруг оси вала «в» с угловой скоростью /> равной скорости вращения водила, но обратнопо знаку. При таком движении водило окажется остановленным />, в результате относительные угловые скоростизубчатых колес 1 и 3 будут равны:
/>(1)
/>(2)
где/>абсолютные угловые скорости колес 1 и 3; />относительные угловые скорости колес 1 и 3; /> скорость вращения водила.
При/> планетарная передача превращается в простуюзубчатую передачу в которой оси всех зубчатых колес неподвижны.
Тогдапередаточное отношение передачи будет иметь вид:
/> (3)
Преобразуемданное уравнение:
/>
/>
Апоскольку колесо 3 является неподвижным />, то
/>(4)
Из(4) следует, что направление вращения водила совпадает с направлением вращенияколеса 1, то есть скорости относительного и переносного вращения сателлита 2противоположны по знаку.
Используяметод аналогий представим механическую систему в виде эквивалентных схем каждойиз подсистемы (рисунок 3).
Запишемуравнения для источника />:
/>,
где/>;
Запишемуравнение равновесия моментов:
/>;
/>,
Аналогичнозапишем уравнение для />, />, />. Так,
/>,
где/>;
Запишемуравнение равновесия моментов:
/>;
/> (5)
Уравнениедля />:
/>, где />;
/>;
/>. (6)
Уравнениедля />:
/> , где />;
/>;
/>.
Запишем уравнения длязависимых источников угловых скоростей:
/>,
где/>;
/>=/> (7)
/>,
где/>;
/>=/>
Составимуравнение равновесия в узлах эквивалентных схем.
1подсистема:
узел8: /> (8)
узел1: /> (9)
2подсистема:
узел7: /> (10)
узел2: /> (11)
узел8: /> (12)
3подсистема:
узел3: /> (13)
4подсистема:
узел9: /> (14)
узел10: /> (15)
узел4: /> (16)
Полученныеуравнения следует привести к алгебраическому виду. Приведение осуществляют,используя следующие компонентные уравнения:
/> (17)
/> или /> (18)
/> (19)
Получим следующиеуравнения:
1подсистема:
узел8: /> (20)
узел1: /> (21)
2подсистема:
узел7: /> (22)
узел2: /> (23)
узел8: /> (24)
3подсистема:
Узел/> (25)
4подсистема:
узел9: /> (26)
узел 10: /> (27)
узел 4: /> (28)