1
1.Решить задачу об использованиисырья геометрическим способом и симплекс методом, дать экономическуюинтерпретацию.
75
5
3
83
4
7
50
1
5
4
5
Геометрическийспособ.
Пусть количество выпускаемойпродукции первого вида, тогда количество выпускаемойпродукции второго вида. Прибыль от реализации всей продукции составляет
Цель задачи (максимализацияприбыли) запишется в виде
Расход ресурса
Запас ресурса
Структура всех трёх ограниченийодинакова
Перейдём из неравенств куравнениям
Построим прямые на плоскости
Многоугольник решений построим начальнуюпрямую и вектор вдоль вектора получим, чтомаксимальное значение наша прямая принимает в точке точке пересеченияпрямых и
Симплексметод.
Приведём систему неравенств ксистеме уравнений
Целевая функция – функция прибыли
Составим симплекс таблицу:
- Первое ограничение запишем в первую строку
- Второе ограничение запишем во вторую строку
- Третье ограничение запишем в третью строку
Целевую функцию запишем в строку
Б
З
75
5
3
1
83
4
7
1
50
1
5
1
В строке есть отрицательные начальный план неоптимален. Найдём наименьший отрицательный элемент строки будет включена в базис.Столбец переменной – ведущий. Подсчитаем симплексные отношения и найдёмсреди них минимальное третья строка ведущая,а элемент разрешающий.Следовательно переменная выйдет из базиса.
Проведём одну интеракцию методазамещения Жордано-Гаусса. Столбцы. Разрешающий элемент
равен поделим третью строкуна 5, столбец сделаем единичным дляэтого третью строку умножим на и прибавим к первойстроке, третью строку умножим на и сложим со второй строкой;третью строку сложим со строкой
Б
З
45
1
13
1
10
1
50
1
В строке есть отрицательные план не оптимальный.Рассчитаем симплексные отношения и найдём среди них минимальное вторая строка ведущая разрешающий
Следовательно, переменная выйдёт из базиса. Таккак разрешающий элемент на отличны от элемента сделаем нулевыми, дляэтого вторую строку умножим на и прибавим к первой;вторую строку умножим на и прибавим к третьей;вторую строку умножим на и прибавим к строке
Б
З
23
1
5
1
9
1
65
В строке есть отрицательныйэлемент – пересчитываем таблицу. Рассчитываем симплексные отношения и найдёмсреди них минимальные первая строка ведущая разрешающий элемент переменная выйдет из базиса.Сделаем элемент единичным, для этогоподелим первую строку на сделаем единичным дляэтого первую строку умножим на и прибавим ко второйстроке. Первую строку умножим на и прибавим к третьей.Первую строку умножим на и прибавим к строке
Б
З
13
1
12
1
5
1
73
Так как в строке все элементы неотрицательны,то найден оптимальный план
Оптимальный план найденныйгеометрическим способом и симплексным методом совпадают. Предприятию необходимовыпускать 12 единиц продукции первого вида и 5 единиц продукции второго вида. Вэтом случае предприятие получит прибыль денежных единиц.
2.Решить транспортную задачураспределительным методом, оценивая свободные клетки по методу потенциалов.
60
50
85
75
65
8
10
6
5
65
80
4
30
3
50
5
9
35
11
25
4
4
8
10
90
5
5
5
3
85
6
Проверим необходимое идостаточное условие разрешимости задачи
Потребность в грузе равна запасамгруза задача закрытая,следовательно, имеет единственное решение.
Используя метод наименьшейстоимости заполним таблицу.
Среди тарифов наилучшим является и
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
в клетку
Запасы поставщиков исчерпаны,запросы потребителей удовлетворены полностью. В результате получили первыйопорный план. Подсчитаем число занятых клеток таблицы их 7, а должно быть опорный план невырожденный.
Определим значение целевойфункции первого опорного плана
Проверим оптимальность плана.
Найдём потенциалы и по занятым клеткамтаблицы
Пусть
Подсчитаем оценки свободныхклеток
Первый опорный план не являетсяоптимальным так как
Переходим к его улучшению. Дляклетки строим циклперераспределения
В результате получили новыйопорный план
60
50
85
75
65
8
10
6
5
65
80
4
55
3
25
5
9
35
11
4
25
4
8
10
90
5
5
5
3
85
6
Определим значение целевойфункции
Проверим оптимальность плана
Подсчитаем оценки свободныхклеток
План близок к оптимальному.
При дальнейшем перераспределениигруза, задача входит в циклическую фазу, план не улучшается. Таким образом,полученное решение является наиболее оптимальным для нашей задачи