Институт ВЭС при ЮФУ
Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
Выполниластудентка гр. 2007-2-БУ
ОкуневаА.А.
2008
Содержание
Отбор факторов и показателей для построения функции потребления
Определение формы связи между результирующим (у) иобъясняющим (х) факторами и расчет параметров уравнения парной регрессии
Расчет коэффициентов корреляции и детерминации, проверкаправильности выбранных факторов и формы связи
Статистическая проверка гипотез
Определение и анализ эластичности потребления по доходу
Модели множественной регрессии. Построение функциипотребления от двух факторов
Цельюданной контрольной работы является построение и анализ функции спроса на товар А.Эконометрические модели спроса строятся в виде уравнений парной и множественнойрегрессии, в которых в качестве зависимой переменной величины (функции) выступаетспрос, а в качестве независимых переменных величин (аргументов) — формирующиеего причинные факторы. В процессе выполнения работы выполнено три циклаэконометрического исследования.
Первыйцикл включает обоснование и проверку адекватности линейной модели парнойрегрессии, независимым фактором в которой является денежный доход потребителя. Исходныеданные для выполнения этого цикла приведены в таблице 1 (yобозначает спрос на товар А, х — средний доход в расчете на 1человека).
Во второмцикле для тех же исходных данных в соответствии со всеми шестью этапамианализируется степенная функция.
В третьемцикле добавляется еще один фактор — размер семьи и анализируется линейная модельмножественной регрессии.
Врезультате проверки по всем необходимым критериям должен быть сделан выбор впользу одной из трех исследованных моделей.Отбор факторов и показателей для построения функциипотребления
Исходныеданные, характеризующие изменение душевого дохода (Х) и расхода напотребление товара А (Y) приведены втаблице 1.
Таблица 1- Исходные данные
Душевой доход
(X) (ден. ед)
Расход на потребление
товара А (Y) (ден. ед)
X²
X*Y
Y² 200,00 114,00 40 000,00 22 800,00 12 996,00 250,00 123,00 62 500,00 30 750,00 15 129,00 300,00 132,00 90 000,00 39 600,00 17 424,00 350,00 143,00 122 500,00 50 050,00 20 449,00 400,00 152,00 160 000,00 60 800,00 23 104,00 450,00 161,00 202 500,00 72 450,00 25 921,00 500,00 169,00 250 000,00 84 500,00 28 561,00 550,00 171,00 302 500,00 94 050,00 29 241,00 600,00 178,00 360 000,00 106 800,00 31 684,00 650,00 182,00 422 500,00 118 300,00 33 124,00 700,00 191,00 490 000,00 133 700,00 36 481,00 4 950,00 1 716,00 2 502 500,00 813 800,00 274 114,00 450,00 156,00 227 500,00 73 981,82 24 919,45
Определение формы связи между результирующим (у) иобъясняющим (х) факторами и расчет параметров уравнения парной регрессии
Построим,используя исходные данные в таблице 1, систему нормальных уравнений по формуле(1) и решим ее относительно неизвестных а и b:
/>/> (1)
/>
/>1716 = 11*a + 4950*b, => />
813800 =4950*a + 2502500*b
/>
813800 =772200 — 2227500*b + 2502500*b
41600 =275000*b, => b = 0,1513, а = 87,927
Уравнениерегрессии имеет вид:
ŷ= 87,927 + 0,1513х,
Сравнимфактические и расчетные расходы на потребление товара А (таблица 2) и построимграфик полученной функции ŷ (рисунок 1).
/>
Рисунок 1- Сравнение фактических и расчетных расходов на потребление товара А длялинейного уравнения регрессии
Поформуле ŷ = a+ bх (2) (где, а — регрессионная постоянная, точкапересечения линии регрессии с осью OY, b — коэффициент регрессии, угол наклона линии регрессии,характеризующий отношение DY¤DX,ŷ- теоретическое значение объясняемой переменной) рассчитаем ŷ.
Таблица 2 Сравнение фактических и расчетных значений расходов напотребление товара А при прямолинейной зависимости№ группы
Расходы на потребление
товара А
Отклонение фактических расходов от расчетных (у — ŷ) фактические (у)
Расчетные
(ŷ) абсолютные относительные (в процентах) 1 114,00 118,00 — 4,00 -4% 2 123,00 126,00 — 3,00 -2% 3 132,00 133,00 — 1,00 -1% 4 143,00 141,00 2,00 1% 5 152,00 148,00 4,00 3% 6 161,00 156,00 5,00 3% 7 169,00 164,00 5,00 3% 8 171,00 171,00 - 0% 9 178,00 179,00 — 1,00 -1% 10 182,00 186,00 — 4,00 -2% 11 191,00 194,00 — 3,00 -2% всего - - -
Расчет коэффициентов корреляции и детерминации,проверка правильности выбранных факторов и формы связи
Мывыяснили возможность установления корреляционной связи между значениями хи соответствующими значениями у. Теперь необходимо выяснить, какизменение факторного признака влияет на изменение результативного признака.
Вычислимкоэффициента корреляции по формуле (3) для расчета линейного коэффициентакорреляции:
/>
получим: (3)
/>
Линейныйкоэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от минус 1 доплюс 1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснеесвязь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает нанаправление связи — прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратнойзависимости — знак минус.
В нашемпримере r= 0,990.
Крометого, можно рассчитать коэффициент детерминации d,который равен квадрату коэффициента корреляции.
В нашемпримере d = 0,981.
Этозначит, что изменение расходов на товар А можно на 98,1% объяснитьизменением дохода.
Остальные1,9% могут явиться следствием:
недостаточнохорошо подобранной формы связи;
влиянияна зависимую переменную каких-либо других неучтенных факторов.
Целесообразнопроверить, не улучшится ли результат, если принять криволинейную форму связи.
Воспользуемсястепенной функцией вида: ŷ = axb
Логарифмируем:
lg ŷ = lga+ blgx. (4)
/>24,07 = 11*a + 28,85*b,=> а= />
63,26 = 28,85*a + 75,98*b
63,26 = 28,85 (/>) + 75,98*b,
0,1282 = 0,31*b, => b = 0,4092
а = />
lg у = 1,1149 + 0,4092 lgх
Для нахожденияпараметров а иb всю процедуру МНКпроделываем не с величинами у и х, а с их логарифмами. Послерешения системы нормальных уравнений (2) получаем: lg a = 1,1149; b = 0,4092.
Уравнениерегрессии: lg ŷ = 1,1149 +0,4092 lg x
Сравнимфактические и расчетные расходы на потребление товара А (таблица 3) и построимграфик полученной функции ŷ (рисунок 2).
/>
Рисунок 2Сравнение фактических и расчетных расходов на потребление товара А длястепенного уравнения регрессии
Таблица 3 Сравнение фактических и расчетных значений расходов напотребление товара А при степенной зависимости№ группы Расходы на товар А Отклонение фактических значений от расчетных (у-ŷ) фактические (у) Расчетные (ŷ) абсолютные относительные (в процентах) 1 114,00 114,00 - 0% 2 123,00 125,00 — 2,00 -2% 3 132,00 134,00 — 2,00 -2% 4 143,00 143,00 - 0% 5 152,00 151,00 1,00 1% 6 161,00 159,00 2,00 1% 7 169,00 166,00 3,00 2% 8 171,00 172,00 — 1,00 -1% 9 178,00 179,00 — 1,00 -1% 10 182,00 184,00 — 2,00 -1% 11 191,00 190,00 1,00 1% Всего - - — 1,00 -
Теснотакриволинейной связи измеряется корреляционным отношением, обозначаемым через h и имеющим тот же смысл, что и r.
Теоретическоекорреляционное отношение может быть рассчитано по формуле:
h=, (5)
где s2фактор-дисперсия длятеоретических значений ŷ (объясненная вариация);
s2общ — дисперсия дляфактических значений у (необъясненная вариация).
/>= />
h = /> = 0,978
В нашемпримере h= 0,978, h² = 0,958.
Каквидим, степенная форма связи точнее отражает зависимость потребления товара Аот дохода.Статистическая проверка гипотез
Статистическаягипотеза — это предположение о случайной величине, проверяемые по выборке (результатамнаблюдений). Будем обозначать высказанные предположения (гипотезу) буквой Н.Наша цель — проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотеза Нимеющимся выборочным данным. Процедура сопоставления высказанной гипотезы симеющимися выборочными данными (x1,x2,…,xn)и количественная оценка степени достоверности полученного вывода называетсястатистической проверкой гипотез.
Результатсопоставления может быть отрицательным или неотрицательным. Отрицательныйрезультат означает, что данные противоречат высказанной гипотезе,следовательно, от нее надо отказаться. Неотрицательный — данные наблюдения непротиворечат высказанной гипотезе, и ее можно принять в качестве одного из допустимыхрешений.
Врегрессионном анализе проверке статистической значимости подвергаютсякоэффициенты регрессии и корреляции.
Статистическаязначимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t-критерияСтьюдента. Для этого сначала необходимо определить остаточную сумму квадратов
s2ост=å(yi— ŷi) 2(6)
и еесреднее квадратическое отклонение
s=/> (7)
Таблица 4№ группы
Расходы на потребление
товара А
Отклонение фактических
расходов от расчетных (у — ŷ) Остаточная сумму квадратов фактические (у)
расчетные
(ŷ) абсолютные относительные (в процентах) 1 114,00 118,00 — 4,00 -4% 16 2 123,00 126,00 — 3,00 -2% 9 3 132,00 133,00 — 1,00 -1% 1 4 143,00 141,00 2,00 1% 4 5 152,00 148,00 4,00 3% 16 6 161,00 156,00 5,00 3% 25 7 169,00 164,00 5,00 3% 25 8 171,00 171,00 - 0% 9 178,00 179,00 — 1,00 -1% 1 10 182,00 186,00 — 4,00 -2% 16 11 191,00 194,00 — 3,00 -2% 9 Всего - - 122
s = 122
s = /> = 11,045
Затемопределяется стандартная ошибка коэффициента регрессии по формуле:
/> (8)
se (b) />
Таблица 5№ группы х ¯х
/> 1 200,00 — 250,00 62500 2 250,00 — 200,00 40000 3 300,00 — 150,00 22500 4 350,00 — 100,00 10000 5 400,00 — 50,00 2500 6 450,00 - 7 500,00 50,00 2500 8 550,00 100,00 10000 9 600,00 150,00 22500 10 650,00 200,00 40000 11 700,00 250,00 62500 Всего 4 950,00 275000
Рассчитаемфактическое значение t-критерия Стьюдента длякоэффициента регрессии по формуле
/> (9), tb= />
Можнопостроить доверительный интервал для b. Из (9) имеем:
[b — tкр*se (b), b+ tкр*se (b)].
0,513 — 2,26*0,021
0,1038
Оценкастатистической значимости построенной модели регрессии в целом производится спомощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для уравнения парной регрессии, линейной попараметрам определяется как:
/> (10)
где s2фактор-дисперсия длятеоретических значений ŷ (объясненная вариация);
s2ост — остаточнаясумма квадратов;
r2 — коэффициент детерминации.
Fф = />
Выдвигаемноль-гипотезу о том, что коэффициент регрессии статистически незначим:
H: b =0. Статистическая значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t — критерия Стьюдента.
Определимстандартную ошибку коэффициента регрессии и рассчитаем фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии: se(b) =0,021; tb = 7, 205.
Потаблице находим значение t-критерия с n-2 степенями свободы t0,05(9) = 2,26 и сравниваем с ним фактическое значение (tb).
Так какфактическое значение t-критерия Стьюдентапревышает табличное, то ноль-гипотеза отклоняется и принимается альтернативнаягипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии.
Оценкастатистической значимости производится с помощью F — критерия Фишера. Фактическое значение F-критерияФишера: Fф = 452,54.
Потаблице находим значение F-критерия с (n-2) степенями свободы F0,05(1,9) = 5,12 и сравниваем фактическое значение с табличным. В результате,отклоняем ноль-гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу о статистическойзначимости уравнения регрессии.
Определение и анализ эластичности потребления подоходу
Коэффициентэластичности потребления показывает, на сколько процентов изменяетсяпотребление данного товара при изменении на один процент значения влияющего нанего фактора.
Коэффициентэластичности потребления по доходу характеризует количественную степень влиянияизменения дохода на величину потребления и рассчитывается по формуле:
/>, (11)
где у — потребление;
х — доход;
Dу — абсолютноеизменение потребления;
Dх — абсолютноеизменение дохода.
Эмпирическиекоэффициенты эластичности рассчитываются по рядам статистических данных поформуле:
/>, (12)
i=1, 2, … n.
Рассчитаемэмпирические коэффициенты эластичности потребления по доходу по данным таблицы1:
Э2= 0,37 Э7 = 0,47
Э3= 0,41Э8 = 0,13
Э4= 0,54Э9 = 0,47
Э5= 0,47Э10 = 0,29
Э6= 0,50Э11 = 0,66
/>эмпир. =0,43
Для целейанализа и прогнозирования лучше использовать теоретический коэффициентэластичности, полученный путем выравнивания и экстраполяции данных.
ФормулыЭ, вычисленные для разных функций, не одинаковы.
Длялинейной зависимости (ŷ = а + bx) y'=b, следовательно
/> (13)
Таблица 6№ группы х у
/> 1 200,00 118,00 0,256441 2 250,00 126,00 0,300198 3 300,00 133,00 0,341278 4 350,00 141,00 0,375567 5 400,00 148,00 0,408919 6 450,00 156,00 0,436442 7 500,00 164,00 0,46128 8 550,00 171,00 0,486637 9 600,00 179,00 0,507151 10 650,00 186,00 0,528737 11 700,00 194,00 0,545928 Всего 0,422598
Длястепенной зависимости (у = а xb) y'=abxb-1
/> (14)
Длялинейной зависимости потребления от дохода Э различен для разныхдоходных групп. При степенной зависимости Э постоянен (одинаков для всехгрупп) и равен b, т.е. показателю степени.
Теоретическиеи эмпирические коэффициенты эластичности могут существенно различаться вразличных группах. Средние же их величины более или менее близки (в нашемслучае это 0,4225 и 0,4092) что может служить свидетельством адекватностипроверяемой формы связи исходным статистическим данным.Модели множественной регрессии. Построение функциипотребления от двух факторов
Если напотребление влияет не один, а несколько факторов, то взаимосвязь их выражаютуравнением множественной регрессии, процедура построения которого аналогичнапостроению уравнения простой регрессии.
Вкачестве второго фактора х2, влияющего на потребление, будемрассматривать размер семьи (данные приведены в таблице 6).
Таблица 7Исходные данные по фактору Х2 — размер семьи№ группы
Размер семьи х2 1 1,5 2 2,1 3 2,7 4 3,0 5 3,2 6 3,4 7 3,6 8 3,7 9 4,0 10 3,8 11 3,7
Как и вслучае парной регрессии, мы выбираем значения коэффициентов регрессии так,чтобы обеспечить наилучшее соответствие наблюдениям. Получим систему из трехнормальных уравнений с тремя переменными:
/>/>
/> (11)
/>
Преобразуяэти уравнения можно получить формулы для расчета параметров а, b1 и b2.
/>/>
/>
/>
/>
/> />
/>/>
/>
/>/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
Коэффициентырегрессии b1 и b2 — это показатели силы связи, характеризующие абсолютное (в натуральных единицахизмерения) изменение результативного признака при изменении факторного признакана единицу своего измерения при фиксированном влиянии второго фактора.
Проверказначимости коэффициентов регрессии осуществляется, так же как и в парномрегрессионном анализе с помощью t-критерия. Аналогичностроятся и доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии.
Вкачестве показателей тесноты связи используются парные коэффициенты корреляциии частные коэффициенты корреляции.
Частныекоэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом ифактором при фиксированном влиянии других факторов, включенных в уравнениерегрессии. Их можно определить через парные коэффициенты корреляции последующим рабочим формулам:
/> (12)
/> (13)
где /> - коэффициент частной корреляции междурезультатом и фактором х1, при фиксированном воздействиифактора х2;
/> - коэффициент частной корреляциимежду результатом и фактором x2при фиксированном воздействии фактора x1
/>,/>, /> -коэффициенты парной корреляции
Найдемкоэффициент парной корреляции:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Теснотусвязи между результатом и всеми факторами, включенными в уравнение регрессии,характеризует множественный коэффициент корреляции:
/> (14)
где s2фактор — факторная сумма квадратов, или объясненная моделью регрессия результата;
s2общ — общая сумма квадратов, или общая вариация результата;
s2остаточ =å(y— ŷ) 2 — остаточная сумма квадратов, или не объясненная моделью регрессии вариациярезультата.
Таблица 7у
ŷ
у — ŷ
/> 114,00 116,00 — 4,00 16 123,00 127,01 — 3,00 9 132,00 138,02 — 1,00 1 143,00 146,48 2,00 4 152,00 154,08 4,00 16 161,00 161,69 5,00 25 169,00 169,29 5,00 25 171,00 176,04 - 178,00 184,50 — 1,00 1 182,00 188,70 — 4,00 16 191,00 193,74 — 3,00 9 Всего 122
Далееможет быть определен коэффициент детерминации R2(квадрат множественного коэффициента корреляции). Он определяет долю дисперсииу, объясненную регрессией, то есть совместное влияние включенных в уравнениерегрессии факторов на результат. R2=0,8099./>
Вывод: коэффициентчастной корреляции между результатом и фактором х1, (0,9631) прификсированном воздействии фактора х2 свидетельствует о теснотесвязи между результатом и фактором при фиксированном влиянии других факторов.