Суть аксіоматичного методу

Реферат на тему:

Суть аксіоматичного методу

1.1 Що таке математика?

Математика - це наука про числа й фігури, скажете Ви. Адже арифметика вивчає дії над числами. Геометрія – властивості геометричних фігур. В алгебраїчних виразах змінні теж позначають числа.

Однак є такі галузі математики, де ні числа, ні фігури ніякої особливої ролі не відіграють. Відкриємо підручник із математичної логіки. Формули, що зустрінуться нам тут, нагадують алгебраїчні. Але буквами в них позначають не числа, а фрази, частіше всього математичні твердження. Їх у логіці називають висловленнями. Фігури ж з'являються тут, хіба-що для ілюстрації.

Схожа ситуація в інших сучасних математичних теоріях. У теорії груп змінними позначено математичні операції. У теорії ймовірностей – події. Після таких прикладів важко стверджувати, що числа й фігури є для математики основними об'єктами вивчення.

То, що ж вивчає математика? Що в ній найголовніше? Що є найхарактернішим для будь-якого з її розділів, будь-якої її теорії?

Якщо уважно придивитися, як будується математична теорія, то цей процес нагадує спорудження будинку з окремих цеглин. Коли муляр зводить стіну, то кожна цеглина міцно укладається на покладені раніше і скріплюється з ними розчином. Так само в міркуванні математика кожне твердження спирається на вже доведені. Воно зцементовано з ними законами логіки.

Кожна така “цеглина” у математичній “споруді”, кожне твердження математичної теорії, отримане з раніше доведених на підставі законів логіки, називається теоремою. Звичайно, математики далеко не кожне твердження, отримане шляхом логічних міркувань, називають теоремами. Деякі теореми називаються по-іншому. Наприклад, говорять: ознаки рівності трикутників; правила додавання векторів. Але якщо бути строгим у термінології, то кожне таке правило, кожна ознака - одним словом, кожне математичне твердження, одержуване шляхом логічних міркувань, є теоремою.

Будь-яка теорема або декілька теорем, у свою чергу, використовується для обґрунтування нових теорем. І подібно до того, як будинок складається з цеглин, будь-яка математична теорія є не що інше, як логічна послідовність теорем.

1.2 Аксіоми. Теореми.

Розбудовуючи будь-яку математичну теорію, ми рухаємося вперед. Тобто виявляємо і доводимо все нові й нові теореми. Однак можна рухатись й у зворотному напрямку.

Якщо розбирати будинок, забираючи зі стіни по цеглині, то можна дійти до його фундаменту. Так само, якщо ми захочемо вияснити на які теореми спирається кожна теорема, то ми обов'язково доберемося до таких тверджень, істинність яких приймається без доведення. Їх називають аксіомами або постулатами.

Відкриємо знамениті «Начала» Евкліда. Протягом багатьох століть ця книга служила для школярів підручником геометрії, а для вчених - зразком математичної строгості.

Уже на перших сторінках свого трактату Евклід перераховує постулати, на які посилається надалі, виводячи геометричні теореми: 1. Від усякої точки можна провести пряму лінію. 2. Обмежену пряму можна нескінченно продовжувати до прямої. 3. З усякого центра довільним розхилом може бути описане коло. 4. Усі прямі кути рівні між собою. 5. Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі.

На такому фундаменті зводиться будинок Евклідової геометрії. Наприклад, за допомогою свого п'ятого постулату Евклід доводить теорему про рівність внутрішніх різносторонніх кутів, утворених паралельними прямими й січною. Використовуючи цю теорему, доводить теорему про суму внутрішніх кутів трикутника і т. д. Так і утворюється одна теорема за іншою.

1.3 Математичні поняття. Означення.

Ми з'ясували, що найістотнішою, найхарактернішою особливістю математики є логічно послідовний ряд тверджень. Ця характерна риса точної науки яскраво виявилася вже в найдавніших її розділах - арифметиці і геометрії.

Згодом з'явилися в математиці й формули - особлива мова для запису міркуваньі теорем, мова зручна, точна і лаконічна. Наприклад, відому теорему Піфагора можна сформулювати словами: “Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів”. Але математик надасть перевагу короткій рівності: с2=a2+b2.

Як бачимо, в теоремі Піфагора йдеться про властивість прямокутного трикутника. Узагалі, в будь-якій теоремі чи формулі виражені властивості математичних об'єктів: чисел, фігур, математичних операцій, рівнянь, функцій...

З’ясуємо, як математики вводять у свої міркування нові об'єкти - означують математичні поняття.

Що таке квадрат? Згідно означення: це прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою. Поняття квадрата, як бачимо, подається через більш загальне поняття прямокутника. А що таке прямокутник? Це паралелограм, у якого всі кути прямі. Ще один крок до поняття більш елементарного. А паралелограм? Це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Такий спосіб побудови математичних понять використовував ще Аристотель. Великий древньогрецький філософ назвав його так: означення через рід і видову відмінність.

Наприклад, прямокутник відноситься до роду паралелограмів, а його видова відмінність полягає в тому, що усі його кути прямі. Паралелограм відноситься до роду чотирикутників, а видова відмінність – паралельність протилежних сторін. Поняття чотирикутника, у свою чергу, визначається через поняття відрізка, а той визначається як частина прямої, що міститься між двома точками цієї прямої, включаючи і ці точки.

Так у ході свого аналізу ми добралися до основних геометричних понять, про які мова йде в аксіомах геометрії “точка” і “пряма”, “лежати” і “між”.

А як визначаються основні поняття? Подивимось як це робив батько геометрії Евклід.

Відкриємо знову його «Начала»: “Точка є те, що не має частин. Лінія - це довжина без ширини. Кінці ж лінії-точка. Пряма лінія є та, що однаково розташована стосовно точок на ній...”

Чи задоволені Ви таким означенням? Мабуть, ні! Напевно, виникають питання: Хіба тільки про пряму лінію можна сказати, що вона однаково розташована відносно своїх точок? Адже такою ж властивістю володіє й коло. А що таке довжина? ширина? Хіба ці поняття теж не вимагають означень?

Особливо над цими питаннями математики стали замислюватися на межі XIX і XX століть. Глибокий аналіз Евклідової геометрії показав, що не такою вже і стрункою є ця древня споруда. Недоліки в її конструкції містяться у фундаменті. Почалася кропітка робота, спрямована на усунення цих недоліків.

То як же виглядають початки геометрії у сучасному викладі? Візьмемо книгу німецького математика Давида Гильберта ”Основи геометрії”:

“Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками, речі другої системи ми називаємо прямими, речі третьої системи ми називаємо площинами. Ми мислимо точки, прямі й площини у визначених співвідношеннях і позначаємо ці співвідношення різними словами, а саме: належати, між, конгруентний (тобто такі, що суміщаються при накладанні), паралельний, неперервний”.

Як бачимо, Гильберт і не збирається означувати основні об’єкти геометрії - точку, пряму, площину. Ці поняття вважаються основними, неозначуваними.

1.4 Як виникають математичні поняття?

“Не можна бути математиком, не будучи в той же час і поетом у душі”,-говорив німецький математик Карл Вейерштрас.

Якщо сучасна геометрія відмовляється розкривати джерела своїх понять, якщо нам ніяк не вдається виявити їх у строгих математичних термінах, то, можливо, нам допоможуть у цьому поетичні образи?

“Зірки мов іскорки горять”. “Струнка смерічка наче свічка”. “Мов струни стовбури високих сосен”. “Рівнина - як озера гладь ”. “Місяця розірваний обруч”.

Поетичний дар, яким наділена людина від природи, спонукає її помічати подібність у різному. Підмічаючи часто одну і ту ж властивість у різних об’єктах, людина усвідомлює цю властивість і дає їй ім'я.

Стовбур смереки чи сосни, натягнута струна або свічка прямі. У цьому твердженні уже явно виражене поняття прямої. Нагадуючи про стовбур дерева, натягнуту струну чи свічку, це поняття в той же час уже відділене від них, існує саме по собі в нашій свідомості.

Так з'являлися абстрактні геометричні поняття.

І чим наполегливіше шукала людина прості, але характерні, деякі, але істотні властивості предметів, чим сміливіше відкидала вона при узагальненні риси неістотні, другорядні і випадкові, тим змістовнішим і водночас більш виразним ставало відповідне абстрактне поняття, чи то площина чи пряма, точка чи коло.

1.5 Звідки беруться аксіоми?

Людина - не тільки споглядач і поет. Людина - насамперед трудівник.

У своїй практичній діяльності, усвідомлюючи властивості реальних предметів і їхні взаємозв'язки, людина установлювала властивості створених нею геометричних понять і відношення між ними.

Стародавня легенда розповідає, як зародилася наука геометрія. Було це в Древньому Єгипті. Величезна ріка тече через усю цю місцевість - Ніл. Розливаючись із кожною весною, Ніл затопляв поля і знищував межі, що розділяли земельні ділянки. Межі щоразу доводилося відновлювати заново. З року в рік, із століття в століття удосконалювалися прийоми землемірства. Якщо вимовити це слово на древньогрецькій мові, ми впізнаємо в ньому назву науки, про яку йде мова: геометрія.

Натягуючи шнурок між двома кілками, древні землеміри не раз мали можливість переконатися, що ця нескладна операція завжди призводить до того самого результату. Багаторазово повторений досвід дозволив зробити висновок: через дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.

Так народжувалися аксіоми.

І чим наполегливіше відкривала людина стійкі і закономірні зв'язки між предметами реального світу, чим глибше вона осмислювала їхньому логіку, чим частіше виявляла вона при найрізноманітніших обставинах те або інше співвідношення, чим успішніше використовувала його у своїх міркуваннях і діях, тим надійніше підтверджувала своє значення відповідна аксіома: через будь-які дві точки можна тільки одну провести пряму.

Аксіом ставало все більше. Вони складалися в єдину систему. Математики піклувалися про те, щоб така система була повною, тобто щоб із неї можна було вивести будь-яку з відомих геометричних теорем. І ще про те, щоб вона була несуперечливою, тобто щоб із неї не можна було вивести суперечливих тверджень.

Узяті разом, ці аксіоми описують усі властивості основних геометричних об'єктів, усі співвідношення між ними, що використовуються при виведенні геометричних теорем. Тому і не даються означення основних геометричних понять - точки, прямої, площини. Їхні означення містяться в аксіомах геометрії.

Усі геометричні поняття: точка, пряма, площина та інші – об'єкти ідеальні. Їх узагалі немає в природі. Вони існують лише у нашій свідомості. Але це не заважає нам, зображати їх на папері, ілюструвати з допомогою кульок, паличок, кусочків цупкого паперу чи предметів навколишньої обстановки. Такі прості засоби допомагають нам відкривати нові властивості, доводити нові теореми тому, що для них виконуються ті самі аксіоми, що і для абстрактних точок, прямих і площин.

Через дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну, говорить аксіома. Через дві точки, зображені у зошиті, проходить лише одна тонка лінія, проведена під лінійку. Дві бусинки можна з'єднати паличкою, і притому тільки однією.

Виконуючи ці дії, ми, як сказали б учені, моделюємо абстрактне поняття прямої. Так само моделював його древній землемір, натягуючи шнурок між кілками, так само моделює його сьогодні геодезист променем лазера.

Подібних моделей може бути як завгодно багато. І якщо для них виконуються одні і ті ж геометричні аксіоми, то для них можна застосовувати і всі наслідки з аксіом.

У цьому полягає міць математики, її велике прикладне значення. Спостерігаючи різні процеси і явища, учений намагається виділити найістотніші їх риси, найглибинніші їхні закономірності. Часто вони виявляються загальними для найширшого кола різноманітних подій, зовсім несхожих між собою зовні, але таких, що підкоряються однаковим математичним законам. У такому разі виявляється однаковою їхня математична модель, побудована на основі цих закономірностей. Це дозволяє, спостерігаючи за одним із процесів, робити висновки про його математичного двійника.

Утім, коли ми хвалимо математику, ми водночас повинні бути обережними.

Математичні поняття - є віддаленими, абстрактними. Це лише блідий силует реального світу. І тому результати будь-якої математичної теорії, яким би строгим логічними шляхами вони не були отримані, все одно вони лише наближено описують реальні процеси.

Виділяючи абстрактні поняття в чистому виді, відкидаючи другорядні деталі, математик завжди збіднює життя. У математичних міркуваннях, логічних і послідовних, немає місця ні для жарту, ні для несподіваного порівняння. Тому математична думка не вичерпує всіх проявів людського розуму.