простые волны Римана

Мурманский государственный технический университет кафедра судовых энергетических установок Реферат по гидрогазодинамике на тему Подготовил Толстобров Д. В. Студент группы ЭП 321 Проверил Хокканен В. Н. Содержание ВВЕДЕНИЕ стр. 1. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ стр. 2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ стр. 3. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА стр.

4. СКОРОСТЬ ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ стр. 5. МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ ФРОНТА стр. 6. РАССТОЯНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ РАЗРЫВА стр. 7. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВОЛН стр. 8. АМПЛИТУДА МАССОВОЙ СКОРОСТИ НА РАЗРЫВЕ В ПИЛООБРАЗНОЙ ВОЛНЕ. стр. 9. СПЕКТР ВОЛНЫ ПИЛООБРАЗНОЙФОРМЫ стр. 10. СПЕКТР

ИСКАЖННОЙ СИНУСОИДЫ. ФОРМУЛА БЕССЕЛЯ-ФУБИНИ стр. 17 Литература стр. 19 ВВЕДЕНИЕ. Акустические волны суть упруго-инерционные волны. Это значит, что скорость их распространения определяется упругостью и плотностью вещества. Приведм для примера способ вывода формулы для скорости звука из книги С.Э.Хайкина Физические основы механики. Если есть небольшой скачок давления, распространяющийся со скоростью

звука С0, то за время dt он проходит расстояние dx C0 dt. В веществе перед скачком давление p0, плотность 0. За скачком p и . 0, p0 C0 , p Рис. 1. p p p0 dx Кроме этого вещество за скачком в лабораторной системе координат движется со скоростью , называемой массовой скоростью. В объме V S dx до прохождения скачка давления масса была m0

S C0 dt 0, а после стала m S C0 dt . Если скачок давления p p p0 положительный, то 0. Это равноценно введению в выделенный объм дополнительного вещества с массой m m0 со скоростью С0. Можно вообразить для наглядности, что мы вдвигаем в этот объм со скоростью С0 какие-либо тврдые предметы спицы, например. Делает это сила F p p0 S. По второму закону Ньютона F dt dmv. Или для нашего случая p

S dt 0 S C0 dt C0. Отсюда C02 p или для очень малых приращений С02 dpd . Для идеального газа можно сейчас же эту производную вычислить. Возьмм адиабатическое уравнение состояния так называемую адиабату Пуассона p V const. Так как 1V, то p p00 или окончательно pp0 0 и C2 p00 1 p1.Если изменения плотности небольшие, то 0, 0 1 1.

Тогда C02 p00. Кстати, из формулы виден простой способ определения показателя степени адиабаты Пуассона любого газа. Для этого нужно измерить C0, p0 и 0. А теперь честно рассмотрим распространение разрывного скачка давления произвольной амплитуды. Потом мы подробнее рассмотрим эти волны, а пока покажем, что, пользуясь лишь законами сохранения, без труда можно получить важные формулы. Полетим в такой системе отсчта, где фронт скачка давления покоится

рис. 2 D D Рис. 2. p0, 0 p, dx Вещество втекает во фронт со скоростью D, а вытекает со скоростью D . Здесь массовая скорость в лабораторной системе отсчта. Объмчик перед фронтом S dx S D dt после прохождения через фронт уменьшился сжался до величины S D dt. Из закона сохранения массы 0 D dt D dt или 0 D D закон сохранения массы на фронте. 1Отсюда 0 D, то есть

D или D.Если скачок небольшой, то изменения плотности порядка числа Маха M C0. Теперь вернмся в лабораторную систему отсчта, где вещество перед фронтом покоится. Под действием силы F p p0 S некая порция вещества перед фронтом, имеющая массу m 0 S, dx после прохождения фронта будет иметь ту же массу, другой объм и приобретт скорость . Тогда по второму закону Ньютона F dt dm,p p0 S dt 0

S dx dx D dt. Отсюда p 0 D . 2 Это второй закон Ньютона на разрыве. Так как второй закон можно получить из третьего и закона сохранения импульса, то эту формулу иногда называют законом сохранения импульса на разрыве. Исключим из 1 и 2 3 При p 0, D2 C02, где С02 p P.S. Если из 1 и 2 исключить D, то можно получить ещ одну полезную формулу D p0 .

Отсюда 2 p 0 0 p 1 10 p 4 Здесь удельный объм V 1 УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. Первое это уравнение Навье Стокса, приводимое здесь без вывода. Вывод можно посмотреть у Ландау и Лившица. t grad p 3 grad div f . 5 Здесь вектор массовой скорости, grad div rot rot , и сдвиговая и объмная вязкости, f внешняя объмная сила. Порядок t 0 конечно, для синусоидальной волны 0 sin t xC0.

Порядок x 0 0 C0 0 M, то есть отношение второго члена к первому порядка числа Маха. Первый член порядка 0, второй порядка 02. Это уравнение фактически второй закон Ньютона для жидкостей и газов. Первый член этого уравнения соответствует произведению массы на ускорение. Если разделить все члены на , то первый член линейный. Второй член уравнения нелинейный. Это конвективное ускорение.

Этот член показывает, как меняется ускорение при смещении гидродинамической частицы в соседнюю точку пространства. В правой части уравнения стоят силы. Первая сила обусловлена изменением давления по координате. Второй и третий члены являются вязкими силами. В последний член входят все остальные силы, которые могут действовать на жидкость или газ. Это могут быть гравитационные или электромагнитные силы.

Второе уравнение это уравнение неразрывности div t. 6 Уравнение показывает, что плотность увеличивается вследствие притока вещества внутрь гидродинамической частицы. 2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. Уравнением состояния называется уравнение вида p p, T, связывающее изменение плотности с изменением давления и температуры. С адиабатой Пуассона мы уже знакомы p p7 Если 1, то получается закон

Бойля Мариотта, то есть изотермическое уравнение состояния p p0 0. 8 Для многих конденсированных жидких или тврдых сред эмпирически установлено уравнение в форме Тэта P.G.Tait, внешне похожее на уравнение адиабаты Пуассона pp 9 Здесь p не давление, а некий эмпирический параметр. Хотя он и имеет размерность давления, но его принципиально нельзя измерить манометром.

Можно именовать его квазидавлением. Если знать способ определения показателя степени , то из уже известной формулы C02 p0 можно вычислить величину p. В книге Зельдовича и Райзера уравнение Тэта записано по-американски, в виде p AVV0n 1. Для воды А p 3000 атм, n 7. 3. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА. Будем рассматривать для простоты только плоские продольные волны.

Можно представить, что их генерирует гигантский даже безграничный лист фанеры, который кто-либо двигает поступательно. На звуковых частотах поглощение на длине волны и в воде и в воздухе чрезвычайно малы. На этом основании упростим уравнения 5 и 6 и запишем их в бездиссипативном приближении для плоской одномерной волны 10 11 Кстати, 10 это уравнение Л.Эйлера Euler, петербургского академика. Уравнения нелинейные.

Одно из решений было найдено Б.Риманом Riemann, гттингенским профессором, для случая, когда можно считать связи между p, и простыми, то есть p p и . 12 А какие ещ могут быть зависимости А может быть ещ зависимость от скорости деформации, если среда, например, релаксирует или если присутствует диссипация. В этом случае Волны в средах с простыми связями типа 12 называются простые волны. Подставим 12 в 10 и 11 , 13 14 Из уравнения 13 получается 15

Мы будем следить за распространением какой-либо определнной точки профиля волны, то есть точки с некоторой скоростью 1 и плотностью 1. Этот факт можно записать в виде x,t const 1. Тогда xt1 U1 скорость распространения некоторой точки профиля акустической волны. Больше не будем писать 1, так как это произвольная точка, а будем писать просто . По правилу дифференцирования неявных функций из Бронштейна и

Семендяева Подставим сюда t из 15. Тогда . 16 Аналогично, используя уравнение неразрывности 14, получим . 17 Так как волны простые, то есть существует однозначная связь и только от , то скорости 16 и 17 равны. U U U. Здесь Это линейно-акустическая скорость звука в веществе с плотностью , то есть именно скорость звука в веществе с плотностью , но не скорость распространения точки профиля Отсюда 18 19 Здесь, конечно, использовано C2 p. Вспомним, что для скачка давления p у нас получалось

соотношение p0 D. И, наконец, можно поверить, а можно проверить, что если в 19 подставить уравнение состояния p0 pp0 0 и отбросить при условии малости pp0 малые члены с p2, то получится линейно-акустическая формула р0 C0. Какова скорость распространения некоторой фиксированной точки профиля волны Воспользуемся 18 и C2 p. 20 Из формулы 17 получается, конечно, то же самое Для того, чтобы выразить U через хорошо бы получить зависимость

С C. Это можно сделать, подставив в 19 зависимость С С. Из 7 21 Теперь из19 Окончательно 22 Это точная формула. В том смысле, что нет ограничений на амплитуду волны. Но, конечно, волны должны быть плоскими, простыми, а среда бездиссипативной. Отсюда U C0 1 M 23 Здесь 12 . Формула 23 очень важная и полезная.

Из этой формулы ясно, почему а, иногда, и называют нелинейным акустическим параметром. 4. СКОРОСТЬ ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ. Оказалось, что скорости распространения разных точек профиля акустической волны различны. Чем больше значение массовой скорости в некоторой точке профиля волны, тем больше скорость распространения этой точки профиля. При 0 скорость распространения совпадает с линейно-акустической скоростью звука С0. Задумаемся, к чему может привести такая зависимость

U. Будем наблюдать за распространением полупериода синусоиды рис. 3, 1. Через некоторое время это волна Рис. 3. окажется в другом месте рис. 3, 2. Точки профиля А и В будут распространяться со скоростью С0 и пройдут некоторый путь х0. Точка Б будет бежать быстрее и пройдт бульший путь х1. Все другие точки будут распространяться со скоростями бульшими, чем

С0 согласно формуле 23. Профиль волны при этом исказится рис. 3, 2. При дальнейшем распространении профиль исказится настолько, что возникнет многозначность рис. 3, 3. Одному значению координаты будет соответствовать два значения массовой скорости. И, конечно, два значения плотности и давления. В природе так не бывает. На самом деле на месте многозначности профиля возникает резкий скачок давления, плотности, массовой

скорости. В зависимости от амплитуды он может быть и достаточно плавным и резким, разрывным. В этом случае этот разрыв называется фронтом ударной волны. Как можно себе представить разрыв плотности видно из рис. 4. На нм показаны молекулы, например, тврдого тела. В той области, куда пришла ударная волна УВ, плотность большая, вещество сжато.

Но молекулы левее фронта ещ не знают, что пришла ударная волна и получается, что ширина фронта УВ порядка межмолекулярного расстояния. p p0, 0, 0 Рис. 4. Если УВ распространяется в газе, то ширина фронта может быть порядка длины свободного пробега. Конечно, для этого волна должна иметь достаточно большую амплитуду. Найдм теперь зависимость скорости распространения разрыва, то есть фронта

УВ от массовой скорости D D. Из 1 Теперь сюда нужно подставить зависимость . Из 21 можно получить зависимость С Подставим сюда С из 22 отсюда 24 Это тоже точная формула, но в рамках принятой нами модели. Теперь упростим 24 для слабых УВ. Критерием слабости УВ будет малость второго члена в скобках в 24. Он мал, если

С0 M 1. Разложим бином в скобках по формуле Ньютона Итак, при М 1 25 Это тоже очень важная формула. Смысл е таков при небольших М скорость фронта ударной волны D линейно растт с увеличением массовой скорости . Без вывода заметим, что для знакопеременной симметричной волны массовой скорости например, синусоидальной формы формула 25 будет иметь вид Г.А.Остроумов 26 5.

МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ ФРОНТА. Теперь важно определить где находится фронт УВ. Перерисуем третью кривую рис. 3 откладывая по оси ординат координату, а массовую скорость по оси абсцисс. На Рис. 5. рис. 5 пунктирный отрезок показывает местоположение разрывного фронта. Обозначим координату фронта х0. Вычислим разность площадей маленького треугольника между пунктирным отрезком, осью х и кривой и криволинейной фигуры выше пунктирного отрезка между ним и кривой.

Эта разность Посмотрим, меняется ли эта величина при распространении волны. Для этого продифференцируем S по времени. Первый член подынтегрального выражения это скорость распространения точки профиля гладкой волны. Второй член скорость фронта УВ. Тогда Нужно заметить, что второй интеграл бертся от приближнного выражения. Окончательно Итак, St 0 при любых t и x. Значит площадь не зависит от времени.

S const. Но в момент образования фронта разность площадей S была равна нулю. Значит она и всегда равна нулю, конечно, в рамках применимости формулы 25. Вывод фронт располагается таким образом, что площадь между римановской кривой и фронтом справа равна площади слева рис. 6. Рис. 6. Рис. 7. Теперь рассмотрим наглядные графические иллюстрации распространения однополярной волны с профилем в виде полупериода синусоиды рис.

7. Точки с нулевой амплитудой бегут со скоростью С0, верхняя точка профиля бежит с бульшей скоростью U C0 max . Результатом этого становится искажение профиля волны. Те точки, что лежат выше других, обгоняют нижние. На некотором расстоянии передний фронт импульса становится вертикальным рис. 8. U D, поэтому форма волны вс сильнее искажается.

Заметим, что добавка к линейно-акустической скорости U С0 max Рис. 8. D C0 p звука для ударной волны вдвое меньше, чем для волны с гладким профилем. Поэтому точка на профиле волны, лежащая чуть выше точки А, рис. 8, будет бежать с заметно большей скоростью. И, наконец, когда волна приобретт характерны для УВ треугольный профиль, можно будет сказать, что точки

чуть левее фронта рис. 9 в системе отсчта, бегущей вправо со скоростью С0 с этой скоростью бежит, например, точка А бегут вдвое быстрее фронта. Фронт как бы съедает профиль левее него. Конечно, и все остальные Рис. 9. точки профиля выше пунктирной линии, соответствующей массовой скорости max, тоже догоняют фронт. Фронт бежит медленнее потому, что перед ним невозмущнная среда.

А точка левее фронта бежит по уже сжатой и движущейся среде. Поэтому, амплитуда такой волны должна непременно уменьшаться. 6. РАССТОЯНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ РАЗРЫВА. Нарисуем в координатах х период синусоидальной волны. Разные точки профиля волны будут распространяться с различными скоростями согласно формуле 23. Точки Рис. 10. профиля с 0 будут бежать со скоростью

U C0 . Отметим на оси точку с такой отрицательной массовой скоростью, при которой эта точка покоится, то есть U 0. Эта критическая скорость из 23 будет крит 2 C0 1. Так как зависимость U линейна, то и расстояния, пройденные каждой точкой профиля за время t, будут линейно зависеть от времени. Поэтому, все точки профиля, находящиеся на линии АСЕ рис. 10, через некоторое время будут на вертикальной линии

ABG. Эта точка В и есть координата образования разрыва, а расстояние СВ называется расстоянием образования разрыва хр. На бульших расстояниях уже возникает неоднозначность и линию разрыва нужно проводить по правилу равенства площадей, как это описано в предыдущем параграфе. Линии AE и AG касательные к переднему фронту волны. Аналогично можно провести касательные ко всем другим участкам профиля, зафиксировать точки с крит и

построить формы профиля волны в процессе распространения, то есть эволюцию профиля волны. Найдм расстояние образования разрыва хр. Массовая скорость в синусоидальной волне будет 0 sin t xC0. Тогда где М0 0C0 максимальное число Маха. Отсюда 27 В приведнном выводе содержится элемент жульничества. Действительно, обратите внимание, что в выражении для тангенсов числители и знаменатели имеют разные

размерности. Правда, оба тангенса вычисляются из одного и того же графика. Поэтому, масштабы в итоге сокращаются. Для строгости можно было бы обезразмерить график, построив его в координатах W X, где W . Вот и вс Пример для воды при р 1 атм, р0 С0 0.067 мс. 7, 4 при 1.5 м, хр 1300 м При 1.5 мм, хр 1.3 м. Вс это, конечно, только для плоских волн. 7. УРАВНЕНИЕ

ДЛЯ ПРОСТЫХ ВОЛН. Вспомним уравнение Эйлера 10 Решение такого нелинейного дифференциального уравнения бегущая волна это можно проверить, вычислив производные. Мы сейчас этого делать не будем. Если М 1, то выбросив малые члены порядка М2, получаем например 28 где t xC0 это время в сопровождающей волну системе отсчта, 12. Конечно, вместо синуса может быть и другая функция

Найдм уравнение, описывающее простые волны Римана при условии, что волны слабые, М 1. Перепишем 28 в виде 0 sin F x F xC02. здесь то есть Здесь важно обратить внимание на то, что это производная не по той прежней координате х, которая входит в , а по слабой координате х, от которой зависит второй член аргумента синуса в 28. Тогда откуда 29 Это нелинейное дифференциальное уравнение описывает эволюцию формы римановской волны,

то есть плоской волны в среде без диссипации и дисперсии скорости звука. Отсюда можно найти x C02 решая, получим 0 xC02. Это уравнение характеристик. 8. АМПЛИТУДА МАССОВОЙ СКОРОСТИ НА РАЗРЫВЕ В ПИЛООБРАЗНОЙ ВОЛНЕ. Про распространении первоначально синусоидальной плоской простой волны на расстоянии хр формируется разрыв и на расстоянии х хр волна приобретает характерную пилообразную форму.

На рис. 11, который построен так же как и рис 10, показан способ определения Рис. 11. амплитуды массовой скорости на разрыве в пилообразной волне. Обозначим расстояние, пройденное точкой Q, буквой х. Из рисунка видно, что А хр. Тогда из маленького треугольника с катетами р и 2 30 Здесь введено безразмерное расстояние xxp. Формула 30 верна при расстояниях до источника 1, когда форма

волны становится пилообразной. На очень больших расстояниях, 1, формула упростится То есть амплитуда массовой скорости на разрыве не зависит от первоначальной амплитуды массовой скорости в волне Волна забыла свою амплитуду. Из этого можно сделать вывод, что увеличивать амплитуду в опытах с сильными волнами нужно с умом. В тех случаях. Когда образуется разрывный фронт, увеличивать амплитуду нерационально.

Мы до сих пор рассматривали бездиссипативную среду. Оказалось, что в ней эволюция профиля волны приводит к многозначности и к образованию разрывного фронта. Так как близкие к фронту точки профиля стремятся догнать и догоняют его, то энергия волны должна в области фронта бесследно исчезать в рамках нашей бездиссипативной модели. В природе, конечно, эта энергия должна превращаться в тепло.

В этом параграфе мы рассматривали распространение первоначально синусоидальной, то есть знакопеременной волны. Теперь рассмотрим, для примера, эволюцию треугольного импульса сжатия, то есть однополярного импульса. На рис. 12 импульс сжатия, первоначально имевший форму равнобедренного треугольника рис. 12, 1, показан в Рис. 12. положении, когда возник разрывный фронт рис. 12, 2, и в положении, когда возникла многозначность профиля рис.

12, 3. Как мы уже знаем, прямые линии в процессе распространения так и остаются прямыми. Для наглядности мы выбрали систему отсчта, бегущую с линейно-акустической скоростью звука С0. В этой системе точки импульса с нулевой амплитудой А и Б покоятся. Площади импульсов 1, 2 и 3 равны. Фронт отрезает от импульса 3 равные кусочки площади справа и слева от фронта. Площадь импульса на рисунке пропорциональна количеству движения механическому

импульсу, так как по вертикали отложена массовая скорость, а по горизонтали координата, пропорциональная массе. Вывод механический импульс сохраняется. Механическая энергия не сохраняется, так как из площади треугольника удаляется кусочек с бульшей массовой скоростью, а прибавляется кусочек с меньшей. Так как энергия пропорциональна квадрату скорости, то отнимается больше, чем прибавляется, часть энергии переходит на фронте в тепло. 9. СПЕКТР ВОЛНЫ ПИЛООБРАЗНОЙ

ФОРМЫ. Вычислим спектр волны пилообразной формы, профиль которой изображн на рис. 13. Рис. 13. А В при 0, р В при , А р 0 А р. Подставив р из 36, получим А 01 . Окончательно Так как функция нечтная, то при разложении в ряд Фурье коэффициенты при косинусах Аn A0 0, Проинтегрируем по частям 31 Видно, что амплитуды гармоник убывают как 1n. 10. СПЕКТР

ИСКАЖННОЙ СИНУСОИДЫ. ФОРМУЛА БЕССЕЛЯ-ФУБИНИ. Вспомним 28 32 Это уравнение описывает эволюцию формы первоначально синусоидальной волны вплоть до образования разрыва. Чтобы узнать, как меняется спектр волны при распространении, разложим 32 в ряд Фурье. В силу нечтности функции An A0 0. Трудность вычисления состоит в том, что под интегралом 0 тоже зависит от . Для упрощения введм новую переменную 0 .

Тогда 0 sin . Отсюда Так как sin nx dx 1n d cos nx, то Используем правило V dU VU U dV. Здесь необходимо заметить, что при замене переменных мы не сменили пределы интегрирования. Однако, при 0 и 0, так как если массовая скорость в начальный момент равна нулю, то она и дальше будет равна нулю при 0. Те же рассуждения и для . Первый член при подстановке 0 и обращается в нуль.

Во втором члене используем формулу 2 cos A cos B cos A B cos AB. Тогда В Математической энциклопедии, М. 1977, т. 1, с. 463, находим формулы 33 34 Здесь Jm знакомые нам функции книгсбергского астронома Фридриха Вильгельма Бесселя. Окончательно 35 36 Этот ряд называется разложением Бесселя Фубини. В справочниках есть таблицы функций

J0 и J1. Воспользовавшись формулой 35 можно найти J2y 2 J1yy J0y и все остальные функции. На рис. 14 построены графики зависимостей Вn для первых трх гармоник. По формуле 35 эти графики можно строить только для значений от 0 до 1. Дальше образуется разрыв и нужно вычислять спектр численными методами. Рис. 14. При 0 волна синусоидальная, амплитуды всех гармоник, кроме первой, равны нулю.

При распространении волна искажается, амплитуда первой гармоники уменьшается, растут амплитуды высших гармоник. Интересно сравнить амплитуды гармоник на расстоянии образования разрыва 1, на расстоянии 3 и на на расстоянии 1, где волна уже стала пилообразной см. таблицу. Амплитуда первой гармоники везде принята за 1. Номер гармоники123Амплитуда при 110.40.23 310.490.32 пила10.50.33 Литература 1. Остроумов Г.А. Основы нелинейной акустики.

Л 1967. 2. Виноградова М.Б Руденко О.В Сухоруков А.П. Теория волн. М 1990. 3. Новиков Б.К Руденко О.В Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л 1981. 4. Накоряков В.Е Покусаев В.Е Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск. 1983. 5. Зельдович Я.Б Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических

явлений. М 1966. 6. Альтшулер Л.В. Применение ударных волн в физике высоких давлений. УФН, 1965, т. 85, 2, с. 197 258. Альтшулер Л.В. и др. Развитие в России динамических методов исследования высоких давлений. УФН, 1999, т. 169, 3, с. 323 344. 7. Бронштейн И.Н Семендяев К.А. Справочник по математике. М Л 1945. 8.

Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М 1982. 9. Владимиров Ю.М Дружинин Г.А Михайлов А.А Токман А.С. Самоусиление параметрического взаимодействия акустических волн в воде с растворнным газом. Вестник ЛГУ. 1984. 10. Вып. 2, с. 113 114. 10. Дружинин Г.А. Нелинейная акустика. Конспект лекций. 1998 2000. 11. httpwww.phys.spbu.ruDepartmentsRadioPhys icsrussiannonlinacoust.

html