Кристаллографические символы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ Цель работы: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений; 2) Определение индексов граней и ребер кристаллов; 3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности. Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней

и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей. Символы граней Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (, , ) и осевые единицы (a0, b0, c0).

Осевыми единицами называют отрезки a0, b0, c0 , отсекаемые единичной гранью на координатных осях x,y,z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1). Таблица 1. Сингония Угловые соотношения Осевые единицы Кубическая ===9 0 a0=b0=c0

Тетрагональная ===9 0 a0=b0c0 Ромбическая ===9 0 a0b0c0 Моноклинная ==90  a0b0c0 Триклинная & ;#61625;90&# 61616; a0b0c0 Гексагональная ==90 , =120&

#61616; a0=b0c0 В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a, b, c, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a0, b0, c0 (рис. 1) a=OA/a0, b=OB/b0, c=OC/c0. Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси.

Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам a0, b0, c0. Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости

XOY, запишется как (::1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес. В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексов h, k, l, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости

XOY будет иметь индексы h:k:l=1/:1/:1/1= 0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001). В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей

к началу координат. Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.

Символы ребер Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат. Если осевые единицы единичной грани равны a0, b0, c0 , а точки А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка

АВ будут равны: (AB)x=x2-x1, (AB)y=y2-y1, (AB)z=z2-z1. Тогда символ направления [r s t] определится как . Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r, s, t, записываемых в квадратных скобках [r s t]. В случае, когда заданное направление проходит через точку

А [[000]] начала координат и точку В [[x y z]] можно записать. Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится. Заданное направление может быть определено и с помощью углов , , , которые оно образует с координатными осями x, y, z.

Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать: . В кубических кристаллах: . Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани (h k l) пропорционально отношению индексов: , отсюда: . Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами.

Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110). Основные кристаллографические соотношения 1. Угол между двумя направлениями. Чтобы найти угол между двумя направлениями [r1, s1, t1], [r2, s2, t2] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов . . Если . (Здесь - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат

имеем: , . Откуда . 2) Угол между направлением и плоскостью Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (h k l) изображаются как [h k l], легко найти угол  между таким перпендикуляром и заданным направлением [r s t]. Исходный угол будет дополнительным к 90, т.е. =(90-&#61537 ;) и определится как . 3) Условие зональности. Кристаллографической зоной называется совокупность граней

кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (h k l) принадлежала зоне, ось которой [r s t] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла  между перпендикуляром к заданной плоскости (h k l) и осью зоны [r s t] должен быть равен нулю. При этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как .

Используя условие зональности, легко определить символ ребра [r s t] , образованного двумя гранями (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2) из совместного решения уравнений: . Решение данной системы уравнений можно представить в виде: Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла. Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h k l), в которой лежат два заданных

направления [r1 s1 t1] и [r2 s2 t2]. В этом случае решение системы уравнений Дает индексы искомой грани (h k l). 4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости. При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния d с индексами (h k l) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости: - для ромбической сингонии; - для тетрагональной сингонии; - для кубической сингонии.

План работы 1. Произвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов. 2. Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки. 3. Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах. 4. Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления.

5. Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний. Контрольные вопросы 1. В чем сущность метода индексов? 2. Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла? 3. Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах? 4. В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?

5. Что физически собой представляет условие зональности?