ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
План
1. Доказательство: общее понятие,сущность и значение
2. Логическая структурадоказательства
3. Виды доказательства. Опровержение
4. Условия и правила доказательства
1.Доказательство: общее понятие, сущность и значение.
Тема о доказательствезанимает в курсе логики особо важное место. В ней объединяются всерассмотренные ранее логические формулы и законы логики, правильное соблюдениекоторых обеспечивает логически стройную и последовательную мысль.
По форме доказательствопредставляет собой процедуру, с помощью которой устанавливается истинностькакого-либо утверждения. Доказательствами пользуются как в научной, так и вповседневной практике. Всем и каждому хорошо известны такие выражения, как«докажите, что...», «покажите, что...» и им подобные; они побуждают нас кнапряжению мысли и духа, являются непременными атрибутами доказательногопроцесса.
Общий смысл, сущностьдоказательства состоит в том, что мы определенным образом соотносим высказанноев утверждении с действительным положением вещей или с другими утверждениями,истинность которых уже не вызывает сомнений. Например, в одних случаяхистинность утверждений достигается с помощью физического, химического,биологического и т.п. экспериментов, результаты которых соответствуют или несоответствуют высказанным суждениям, и таким образом служат доказательством илиопровержением выдвинутого утверждения. Иногда для подтверждения нашей мыслибывает достаточно простого наблюдения фактов: если мы говорим «Идет дождь»,достаточно выглянуть в окно и убедиться в этом.
В других случаях, когданаблюдение и эксперимент невозможны, мы прибегаем к другим истиннымутверждениям и из них выводим истинность нашего суждения.
В связи с этим выделяютдва пути установления истины, два способа доказательства: 1) непосредственныйспособ; 2) опосредованный способ.
Непосредственный способустановления истины состоит в том, что в процессе практических действийосуществляется соотнесение утверждаемого с фактическим положением вещей. Видамитаких практических действий могут быть наблюдения, эксперименты, демонстрация,измерения и другие эмпирические процедуры. Например, еще в школе на урокахфизики учитель прибегал к доказательству истинности законов механики кдемонстрации опытов, в которых эти законы наглядно проявлялись (допустим, этобыл второй закон Ньютона F = ma, или закон расширения металлических тел принагревании). Во всех этих случаях важную роль играют органы чувств.
Опосредованный способустановления истины будет состоять в отыскании и демонстрации соотнесенностинуждающегося в доказательстве утверждения с известными уже истиннымиположениями. Органы чувств здесь не имеют такого значения, как в предыдущемслучае; зато важную роль играет абстрактное мышление, так как нам важнопоказать, что связь между доказываемым утверждением и другими истиннымиутверждениями, используемыми для доказательства, имеет необходимый характер.Например, достаточно показать, что утверждение А является логическим следствиемиз истинных утверждений В и С, чтобы истинность А считать установленной. Дляэтого мы прибегаем к умозаключениям, которые показывают, каким образом А можетследовать из В и С.
Опосредованныедоказательства особенно широкое применение получили в науке, там, где объектынаходятся вне пределов наших возможностей наблюдать и экспериментировать иликогда природа объектов принципиально исключает эмпирические процедуры познания.Например, в теоретической астрономии многие истинные положения являютсярезультатом умозаключений (хотя при этом используется и большой фактическийматериал, полученный путем наблюдения за объектами); это можно сказать и отеоретической физике, биологии, археологии и др.науках. Особенно это характернодля математических наук, где абстрактные объекты принципиально не допускаютэкспериментальной проверки. Поэтому единственным путем установления ихистинности является их доказательства по правилам умозаключений на основанииуже доказанных истинных утверждений.
Логика описывает преждевсего опосредованные способы установления истинности суждений. Главное вниманиеуделяется доказательствам, основанным на дедуктивных умозаключениях; они-топрежде всего и называются доказательствами.
Что же такое доказательство?
Доказательство естьлогическая процедура установления истинности какого-либо утверждения при помощидругих утверждений, истинность которых уже установлена.
При доказательстве ходмысли имеет различную направленность. Если необходимо доказать некотороесуждение А, то иногда это делают путем подбора таких истинных суждений В, С,Д… и т.д., из которых А выводится как логическое следствие. Этот ход мысли –от следствия к основанию – называется регрессивным. Иногда только с ним исвязывают понятие доказательства, используя для его обозначения специальныйтермин: обоснование. В таком случае говорят, что утверждение А обосновано(доказано), если имеется хотя бы одно истинное утверждение В, из которого Аполучается как следствие по соответствующим правилам.
Наряду с регрессивнымходом мысли существует прогрессивный, то есть такой, при котором мысль идет отоснования к следствию. Этот ход мысли называют также выведением ибоиспользуется он, главным образом, в тех случаях, когда необходимо получить все следствияиз данного утверждения.
Между указанными двумянаправлениями мысли существует глубокая связь: они взаимно дополняют друг другаи поэтому полное понятие доказательства охватывает их оба. Как правило приобосновании некоторого утверждения в теории подборка основания осуществляетсяиз совокупности уже сформулированных утверждений, что дает возможностьобнаружить строгие логические связи между различными по содержанию положениямитеории, представить ее как единое целое.
При выведении следствийвозможно по правилам дедуктивных умозаключений получить новые, прежденеизвестные в науке положения, которые являются истинными и не требуютпрактической проверки.
Доказательства,используемые в науке, как правило имеют сложную структуру и состоят изумозаключений различных видов. Все они соединены в определеннойпоследовательности таким образом, что следствие одного умозаключения являетсяпосылкой следующего умозаключения и т.д. В весьма сложных и разветвленныхдоказательствах одни и те же посылки и промежуточные заключения в качествепосылок могут применятся по несколько раз.
Значение доказательства внауке.
Степень зрелости иразвитости науки и научного мышления непосредственно определяется уровнемиспользования в них доказательств, с помощью которых обосновывается истинностьодних и доказывается ложность других утверждений. Доказательства позволяют намизбавится от заблуждений и открывают простор научному творчеству. Благодаря имдогадки, гипотезы и др. научные предположения становятся строгими иобоснованными выводами, пополняющими сокровищницу научных истин.
Процесс научного открытияне есть простое и чистое озарение ума, он необходимо связан с доказательством.История науки знает множество фактов, когда научные открытия рождались «накончике пера», т.е. получались как следствие весьма сложных умозаключений илогического обоснования предположений. Например, великий русский ученыйД.И. Менделеев, используя открытый им периодический закон, теоретическиобосновал существование ряда элементов, неизвестных прежде, и даже дал описаниеих свойств. Впоследствии эти элементы действительно были обнаружены и ихсвойства с большой точностью соответствовали свойствам, представленным иобоснованным Д.И. Менделеевым.
Значительная рольдоказательств и в процессе построения научной теории. Устанавливаемая с ихпомощью связь между различными утверждениями данной науки позволяет выявить еелогическую структуру. Большое значение технике доказательств придавалось уже вдревности. Примером может служить теория силлогизмов Аристотеля и геометрияЭвклида. Они оказали сильное влияние на развитие научной теории на протяжениимногих веков. Например, метод доказательства, применяемый в Эвклидовойгеометрии вплоть до середины XIX в. считался образцом дедукции илогической строгости. Его широко использовали в математических науках и дажепытались распространить на другие науки.
Несмотря на относительновысокие логические достоинства этого метода, он обладал в то же время рядомнедостатков. Положение считалось доказанным, если доказуемое утверждениеобосновывалось с помощью ряда положений, обладающих наибольшей очевидностью.Критерий очевидности, при этом, применялся широко: он распространялся как наутверждения, так и на саму процедуру доказательства, строение которого былонедостаточно проанализировано логически. Критерий очевидности ставилдоказательство в зависимость от субъективных способностей человека: то, чтоодному казалось очевидным, другому представлялось весьма сложным и требующимспециального доказательства. Тот же постулат о двух параллельных прямых,который в древности считался очевидным, позже многие видные математикиподвергали его сомнению и требовали особого доказательства. Очевидность, илиинтуитивная ясность, привносила с собой в доказательство недостаточнуюлогическую строгость. Нередко случалось, что очевидные (интуитивные) посылкипри более глубоком анализе оказывались несовместимыми с ходом доказательства имогли приводить к затруднениям. История математики знает немало примеров, когданесовершенство доказательных процедур приводило к ошибочным результатам.
С конца XIX в. в логикеформируется понятие формального доказательства, которое заменяет собой старое.Оно характеризуется сведением до минимума ссылок на интуитивную очевидность приосуществлении доказательства и возрастанием роли логических критериев. Придоказательстве используются только те утверждения, которые необходимы для егопроведения, остальные устраняются. С помощью логических средств исключаетсявозможность присутствия невыявленных посылок. Формальное доказательство широкоиспользуется в аксиоматических теориях, то есть таких, в которых из небольшогочисла начальных истинных утверждений (аксиом) выводятся все остальные истинныеутверждения этой теории. Суть такого вывода на основе формальногодоказательства состоит в следующем: сначала применяют правила вывода к аксиомами получают из них новые утверждения, непосредственно выводимые из аксиом. Затемте же правила применяют к новым утверждениям или совместно к новым утверждениями аксиомам и получают другие утверждения и т.д. Если после конечного числаприменений правил вывода (их называют шагами доказательства) приходят к данномуутверждению, то говорят, что оно формально доказано. Формальным такоедоказательство называется потому, что на время оно отвлекается от конкретногозначения участвующих в доказательстве положений, то есть от того, что в нихутверждается. Это дает возможность широко применять специальные символы –искусственный язык, – которыми заменяют отдельные положения доказательства. Оностановится проще, четче проявляется его логическая структура, оно легчеподдается контролю.
В настоящее времяформальное доказательство широко применяется в различных разделах современнойлогики и математики. Они являются необходимым методом анализа в тех случаях,когда требуется выявить структуру умозаключений там, где были использованынеформальные доказательства.
2.Логическая структура доказательства
В структуре формального инеформального доказательства выделяют следующие элементы: тезис, аргументы иформу (демонстрацию).
Тезисом доказательстваназывают то утверждение, которое подлежит доказательству. В формальныхдоказательствах, а также в некоторых науках, использующих дедуктивныепроцедуры, доказываемое утверждение именуют теоремой. Тезис является логическицентральным элементом в доказательстве. Аргументы – это положения, которыеиспользуются для доказательства данного тезиса. Поскольку аргументы суть неистинные утверждения, которые определяют истинность тезиса, их называют иногдаоснованиями доказательства. В формальных доказательствах они именуютсяпосылками.
В качестве аргументовмогут быть: утверждения, истинность которых доказана ранее, — таковыми являютсятеоремы, законы и другие научные положения; аксиомы; определения и утверждения,содержащие высказывания о фактах. При доказательстве данного тезиса может бытьиспользовано произвольное, но конечное число аргументов. Они могут принадлежатьк утверждениям любого типа. Так, например, доказательства в геометрииосновываются на аксиомах, определениях и вспомогательных утверждениях,доказанных ранее.
Аргументы доказательствавсегда находятся в определенной связи между собой, а также с тезисом. Способэтой связи называется формой доказательства или демонстрацией. Аргументысоединяются в умозаключения различного вида, последние соединяются в цепочкутаким образом, что ее конечным звеном является тезис данного доказательства.Следовательно, форма доказательства показывает логическую последовательностьперехода от основания к тезису.
Рассмотрим примердоказательства тезиса: «Полученный в лаборатории металл не является натрием».Для этого доказательства мы располагаем рядом аргументов: (1) «Все щелочныеметаллы разлагают воду при комнатной температуре», (2) «Натрий – щелочнойметалл», (3) «Полученный в лаборатории металл не разлагает воду при комнатнойтемпературе». Все эти утверждения (здесь они выступают в качестве аргументов)являются истинными, при чем способ установления истинности для каждого изаргументов различный. Аргумент (3) истинен на основе непосредственногодоказательства путем наблюдения; аргумент (1) может являться итогоминдуктивного обобщения результатов некоторого опыта, и только аргумент (2)может быть результатом некоторого силлогистического умозаключения. Процедурадоказательства будет состоять в построении двух силлогистических умозаключений;одно из них даст следствие, которое будет использовано как посылка (то естьявится аргументом доказательства) во втором силлогистическом умозаключении:1) Все щелочные металлы разлагают воду при комнатной температуре. 2) Натрий – щелочной металл. 4) Следовательно, натрий разлагает воду при комнатной температуре. 4) Натрий разлагает воду при комнатной температуре. 3) Полученный в лаборатории металл не разлагает воду при комнатной температуре. Следовательно, полученный в лаборатории металл не является натрием.
Из нашего примера видно,что тезис доказывается с помощью четырех аргументов. Они соединяются в двасиллогизма таким образом, что следствие одного является посылкой другого. Тезисполучается как следствие из этих силлогизмов по свойственным им правилам.
3. Видыдоказательства. Опровержение
Доказательстваразличаются прежде всего по их цели, по отношению доказывающего к выдвинутомутезису. Можно подтвердить истинность тезиса и доказать его ложность.Подтверждение тезиса часто называют доказательством, а опровержение синонима неимеет. Следовательно, существуют два рода доказательства: подтверждение иопровержение тезиса.
Целенаправленностьдоказательства является исходным основанием деления всех доказательств. Онопредопределяет все построение и характер дальнейшего рассуждения. Цель егоопределяется не произвольно, а в зависимости от содержания обосновываемогоположения. Не соответствующий действительности тезис невозможно подтвердить,как нельзя опровергнуть истинный тезис.
Выбор способадоказательства тоже в значительной мере зависит от содержания тезиса, однакосвязь эта неоднозначна: любое положение можно аргументировать различнымспособом в зависимости от характера оснований или соображений доходчивости,ясности и убедительности.
По способу аргументации вседоказательства делятся на два вида – прямые и косвенные. Прямое доказательствозаключается в выведении из основания по определенным правилам умозаключенияистинности или ложности данного тезиса. При косвенном доказательствеобосновывается ложность антитезиса и отсюда устанавливается истинность тезисаили, наоборот, его ложность.
Рассмотрим оба видадоказательства несколько подробнее.
В прямом доказательстве вцепочке умозаключений последним звеном будет являться доказываемый тезис.Например, доказательства того, что 2004 год будет годом високосным основано напоследовательности таких рассуждений:
1) високосным годомназывается год, числовое выражение которого делится на 4;
2) (2004/4=501), следовательно,2004 год будет високосным. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основанииопределения (что такое високосный год) и одного истинного утверждения (2004делится на
4), принятых в качествеоснования нашего доказательства.
Бывает, что прямое доказательствопо какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвеннымдоказательствам, именуемым иногда «доказательством от противного» или«апагогическим», то есть «отводящими». Главной особенностью косвенногодоказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а егоотрицание – антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего.Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинноститезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всегодоказательства остается как бы в стороне, как бы привлекаясь только назаключительной стадии.
Общая логическая формакосвенного доказательства выглядит следующим образом. Необходимо доказатьутверждение А (тезис); допустим, что имеет место (т.е. истинно) не-А; из не-Аполучаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что Впротиворечит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, являетсяложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т.е. кложности утверждения не-А; на основании закона неисключенного третьего изложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и было цельюдоказательства.
Легко заметить, чтопереход от ложности следствия к ложности его основания был совершен всоответствии с отрицательным модусом условно – категорического силлогизма.Если А, то В Не-В Следовательно, не-А
Из рассмотренногоследует, что косвенное доказательство – это такой вид рассуждений, при которомдоказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают обистинности тезиса.
В качестве примеракосвенного доказательства приведем геометрические теоремы: «Два перпендикулярак одной и той же стороне не могут пересечься, сколько бы их не продолжали».Доказательство начнем с того, что сначала сформулируем утверждение, что източки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Ноэто следствие ложно, т.к. ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащейвне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Изложности следствия, утверждающего о возможности опустить на эту прямую източки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложностиего основания, т.е. принятого нами допущения, из которого одно, а именно допущение,является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мызаключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.
В данном примереследствия, вытекающее из антитезиса, пришло в противоречие с ранее доказанномуутверждением. Но бывают и другие виды приведения к противоречию при косвенномдоказательстве. Например, когда противоречие возникает между двумя следствиямиантитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, идр. Такого рода случаи получили наименование «приведение к абсурду»; иногдавообще косвенные доказательства именуют «доказательствами посредствомприведения к абсурду (нелепости)» (reduction ad absurdum).
Особое место в научномисследовании занимает генетическое доказательство, или доказательство поисточнику происхождения. Оно применяется главным образом в исторических науках,в которых в качестве основания привлекаются документы, свидетельства, мемуары ит.п. При этом устанавливается достоверность этих источников и истинность их содержания.Генетическое доказательство применяется в тех случаях, когда невозможнопроверить какое-либо суждение (тезис) по существу и приходится устанавливатьего достоверность. В некоторых науках – историографии, метеорологии, геологии,географии – во многих случаях приходится пользоваться только этими источниками,истинность которых можно проверить лишь генетически.
По своей целигенетическое доказательство представляет либо только на основании известныхдокументов, свидетельских показаний. В установление истинности тезиса (егоподтверждения), либо обнаружение его ложности (опровержение).
Генетическоеподтверждение несет следующее строение. В первой части доказательстваустанавливается истинность первоначально возникшего суждения о каком-либоисторическом факте (событии). Для этого обращаются к исследованию источникаэтих суждений, учитывается субъективный подход автора к данным событиям, егоосведомленность, добросовестность и т.д. Во второй части доказательства путемтщательной проверки устанавливается, что известные суждения (взгляды) дошли кнам без всяких (по крайней мере существенных) изменений (искажений) при устнойпередачи, при переписке или при переводе на другой язык и проч. В третьей частидоказательства в результате предшествующих исследований выводится заключение обистинности тезиса. Если доказываемый тезис – документ или свидетельство – невыдерживает всех этих проверок, не удовлетворяет указанным условиям, то онподвергается генетическому опровержению.
Опровержение вгенетических доказательствах – это установление логичности тезиса – документаили свидетельства, которые подвергаются проверке. Ложность каких-либо суждений,дошедших к нам из прошлых (иногда очень отдаленных) времен, может заключатьсяили в неверном (искаженном) отображении действительного события, или визменениях (извращениях) и неточности при устной или письменной передаче этогосуждения. В первом случае необходимо установить личность первого высказанногосуждения. Во втором случае не только выявляются искажения первоначально истинногосуждения, но и ставится задача восстановления первоначального текста, очищениеего от последующих извращений.
Элементы генетическогодоказательства в той или иной мере применяются следственно-розыскной практике,когда следователь поставлен перед необходимостью составить максимальнодостоверную картинку события по показаниям свидетелей и участников данногособытия. И показания свидетелей, и тем более участников события могут искажатьреальную картину. Ее восстановление потребует от следователя не только знанийлогики, но и психологии людей, вовлеченных в данные события.
Опровержение:
Помимо доказательстваутверждений путем установления их истинности важное место в научной практикеимеют и опровержения утверждений.
Опровергнуть то или иноеутверждение означает ни что иное, как обосновать его ложность. Таким образом,во многих случаях опровержение имеет такую же логическую структуру, как идоказательства, о чем свидетельствуют косвенные доказательства, в которых дляобоснования истинного тезиса опровергается антитезис. Однако, в косвенныхдоказательствах, опровержение играет подчиненную роль, выступает как момент, вто время как во многих других случаях оно имеет самостоятельное значение.
Как и доказательства,опровержение имеет тезис, аргументы и форму (демонстрацию). Тезис опровержения– это положение, которое требуется опровергнуть. Аргументы – это утверждения, спомощью которых опровергается тезис (доказывается его логичность). Формаопровержения – это способ логической связи аргументов и тезиса опровержения.
Опровержение тезиса можетбыть осуществлено двояко. Во-первых тем, что докажут истинность антитезиса;во-вторых, тем, что установят логичность следствий, вытекающих из тезиса.
Опровержение первого родасостоит в следующей последовательности рассуждений. Сначала находят некотороеутверждение, противоречащее тезису, — антитезис, затем доказывают егоистинность. Если это удается, на основании закона противоречия при составлениитезиса и антитезиса делаем вывод о возможности первого. Например, утверждение«Все млекопитающие живут на суше» (общеутвердительное) опровергаетсядоказательством истинности частноотрицательного утверждения «Некоторыемлекопитающие не живут на суше»:Кит – не живет на суше. Кит – млекопитающее. Следовательно, некоторые млекопитающие не живут на суше.
Опровержение второго родапротекает следующим образом. Допуская истинность тезиса, выводят из него рядследствий. Если хотя бы одно из полученных следствий находится в противоречии сдействительным положением вещей или с уже доказанными утверждениями, то снеобходимостью делают вывод о логичности тезиса. В данном случае заключают отлогичности следствия к логичности основания.
Некоторые утверждениямогут быть опровергнуты посредством опровержения оснований, на которых покоитсяих истинность или опровержения формы их доказательства – демонстрации. Это видытак называемых косвенных утверждений. Но по своему значению они менееЭффективны, чем прямое опровержение тезиса. Действительно, доказыватьлогичность оснований не означает, что этим доказана логичность следствия изних. Например, в умозаключении:Все планеты имеют спутников. Марс – планета. Следовательно, Марс имеет спутников.
Здесь тезис («Марс –планета») является истинным утверждением, но доказательство неверно, т.к.большая посылка («Все планеты имеют спутников») – утверждение ложное. Его можноопровергнуть замечанием, что Венера не имеет спутников.
Опровержение демонстрациидоказательства тезиса заключается в том, что показывают отсутствие логическойсвязи между тезисом и его аргументом. Поскольку это может быть, прежде всего,результатом нарушения правил умозаключений, по которым строится доказательстводанного тезиса, то для опровержения необходимо указать на общий вид ошибки. Темсамым доказывается, что доказательство было построено неправильно. Тем неменее, это не означает, что мы опровергли сам тезис, который может быть какистинным, так и ложным. Имеется немало примеров того, когда истинноеутверждение считалось строго доказанным, хотя со временем в доказательстве находилиошибки.
Опровержения являютсяважным орудием развития научного познания. С их помощью наука освобождается отложных утверждений, заблуждений и догм, а также совершенствует свойтеоретический аппарат.
4. Условияи правила доказательства
Для того чтобыдоказательства проводили к желаемому результату, необходимо соблюдение правил иусловий их проведения. Поскольку доказательства, как правило, состоят из целогоряда умозаключений различного вида, постольку в доказательствах необходимособлюдать правила и условия для каждого вида умозаключений в отдельности.Однако из факта соединения многих умозаключений в сложных доказательствах иопровержениях и, следовательно, наличия многих посылок вытекают дополнительныеусловия, несоблюдение которых влечет за собой ошибки в доказательствах.
Эти условия и ошибкиделятся на несколько групп в зависимости от того, к какой части доказательстваони относятся. Вот некоторые из них:
Правила и условия,относящиеся к тезису.
Тезис должен быть точно иясно сформулирован. Неточно сформулированные тезисы, расплывчатые,неопределенные понятия, неуточненный смысл – все это приводит к путанице иделает невозможным доказательство. Неслучайно поэтому в научной практике,прежде чем приступить к доказательству какого-либо научного положения, проводятисследование по уточнению их смысла и внутренней логической связанности, поанализу понятий, входящих в состав этого положения, и т.д.
Тезис на всем протяжениидоказательства или опровержения должен оставаться одним и тем же. Это условиеосновано на соблюдении закона тождества, игнорирование его приводит к тому, чтотезис остается недоказанным, поскольку при доказательстве происходит подменатезиса (ignoratio elenchi) и доказывается или опровергается не тот тезис,который необходимо доказывать (опровергать).
Часто такая подменатезиса осуществляется на почве непонимания смысла тезиса, его нечеткойформулировки или как результат неверных преобразований тезиса с целью придатьему удобную для доказательства форму. Последнее имеет место при формализованныхдоказательствах. Например, вместо тезиса «Угол А равен углу В» пытаютсядоказать тезис «Неверно, что угол А больше угла В», который неравнозначентезису, данному доказательству.
Ошибку, порожденнуюнаблюдениям этого условия, выражает следующий принцип: «Кто слишком многодоказывает, тот ничего не доказывает». Например, стремясь доказать тезис «Языкне тождествен мышлению», начинают доказывать как равнозначное следующееутверждение: «Язык не связан с мышлением». Последнее утверждение более категоричнои к тому же ложное, в то время как действительный тезис – истинное утверждение.Такое доказательство не будет эффективным.
Правила и условия,относящиеся к аргументам.
Аргументы во всякомдоказательстве должны быть истинными утверждениями. Очевидно, что истинностьтезиса с помощью ложных аргументов обосновать невозможно. Несмотря на своюочевидность, это правило не всегда удается соблюсти ввиду того, что логичностьаргумента может быть скрытой и трудно устанавливаемой. Несоблюдение данногоправила приводит к ошибкам, имеющим названия: «основное заблуждение» — когда вкачестве истинного аргумента фигурирует ложное утверждение; «кто многодоказывает, тот ничего не доказывает» — когда из аргумента следует больше, чемтребуется для доказательства, в том числе и ложное утверждение.
Истинность аргументадолжна быть доказана независимо от тезиса. Нарушение этого правила влечет засобой ошибку «круг в доказательстве». Она появляется в тех случаях, когда тезисобосновывается с помощью утверждений, равнозначных ему или доказанных с егопомощью.
Аргументы должны бытьдостаточным основанием для доказательства тезиса. Нарушение этого правилаприводит к тому, что при доказательстве пытаются установить логическую связьмежду различными по содержанию утверждениями. Утверждение «На улице идет дождь»недостаточно само по себе для обоснования тезиса «У А дурное настроение», хотяреальная связь между этими факторами может иметь место. Разновидностями этойошибки являются всевозможные апелляции при доказательствах «к публике», «кличности» и т.д.
Правила и условия,относящиеся к демонстрации.
К ним относятся всеправила и ошибки, связанные с их нарушением, тех умозаключений, которыеиспользованы при построении доказательств. Например, правила категорическогосиллогизма, правила условно-разделительного, условного и других силлогизмов.
Паралогизмы, софизмы ипарадоксы.
Логические ошибки,допускаемы в доказательстве, как и в рассуждениях вообще непреднамеренно,называются паралогизмы (от греч. paralogismos-неправильное рассуждение), аумышленно не верные рассуждения – софизмами (от греч. sophisma – хитрость,измышление).
Что касаетсяпаралогизмов, то их можно избежать путем постоянного повышения логической (иобщей) культуры, правильным применением законов логики и ее правил.
Гораздо сложнее проблемасофизма. Цель использования этого приема – выдать ложь за истину путем приданиялогически несостоятельному рассуждению видимости логической правильности. Приемсофистики заключается в том, что отождествляются заведомо различные, часто принципиальнонепохожие друг на друга предметы, понятия, события. Использование софизмовхарактерно для тех случаев, когда берут верх идеологические или субъективные(личные или групповые) интересы, побуждающие людей изменять строгим правиламлогики и следовать правилам научной этики. Люди, прибегающие таким приемам,называются софистами.
Софисты подменяютдоказательство способом иллюзорной убедительности в правоте любого положениябезотносительно к его объективной истинности, проявляя при этом полнуюбеспринципность, а то и цинизм (истинно то, что мне удобно и выгодно). Гибкостьпонятий и двусмысленное значение слов софист использует для извращениядействительного положения вещей. Утверждения софистов как правило принимаютсяна веру людьми, не обладающими высокой культурой мышления и падкими нанекритическое восприятие сопутствующих эффектов (ораторских приемов,эффективной внешности, искусственно созданных мифов), а так же, в ряде случаев,надежд и ожиданий изменений к лучшему.
Парадоксы (от греч. para– против, doxa – мнение) это рассуждения, в которых в равной мере доказываетсяистинность какого-либо утверждения и его отрицания. Причиной парадокса являетсято, что в теориях, содержащих парадоксы, недостаточно уяснены фундаментальныепонятия, в том числе логические.
Упоминание о парадоксахможно найти еще в Древнегреческой философии. Современник Сократа Евбулид изМилета, как полагают исследователи, впервые упоминает ставший широко известнымпарадокс лжеца. Существует несколько вариантов этого парадокса. Наиболеепростой из них связан с человеком, который сказал: «Я лгу». Суть его состоит втом, что вопреки известному логическому закону, согласно которому утверждениечего-либо и отрицание того же самого соотносятся друг с другом так, что в одномиз них заключается истина, а в другом ложь, делается попытка обосноватьвозможность одновременно и утверждения и отрицания. Такой парадоксальный выводполучается при ответе на вопрос: «Лжет ли тот, кто говорит, что он лжет?» Вэтом случае, мы якобы неизбежно приходим к выводу: «Если он лжет, то он говоритправду и наоборот».
В более современноймодификации этот парадокс выглядит так. Предположим, что на листе бумагинаписано одно единственное предложение Р: «Все написанное на данном листебумаги является ложным». Затем строят рассуждения, согласно которым нельзяустановить ни истинность, ни ложность упомянутого предложения Р. Этот результатполучается следующим путем.
Допустим сначала, чтопредложение Р является истинным, делается вывод, что в этом случае его надосчитать ложным, так как в нем утверждается, что все написанное на листе бумагиявляется ложным, а кроме него самого на бумаге ничего не написано. Если жеисходить из того, что предложения Р ложно, то мы якобы должны считать егоистинным, потому что, утверждая ложность этого предложения, мы тем самымосуществляем отрицание его, которое можно выразить в предложении: «Ложно, чтовсе написанное на данном листе, ложно.»
В эквивалентнойположительной форме последнее утверждение гласит: «Некоторое из написанного наданном листе не является ложным». А так как на данном листе бумаги написаноединственное предложение Р, то мы должны считать его не ложным, а неистинным.Такого противоречие, к которому приходят в этом рассуждении, характернойособенностью которого является то, что с самого начала неявно исходят изпредпосылки, что содержание предложения Р высказывается о нем самом. Если этупредпосылку отбросить, то парадокс исчезает.
Высказывание в логическомсмысле слова всегда является утверждением (отрицанием) относительно предметов,которые от самого данного высказывания. Предикат суждения А непосредственновысказывается не о самом этом суждении, а о тех предметах, которые мыслятся вобъеме понятия, выполняющего функцию субъекта в данном суждении, т.е. опредметах, существующих вне этого суждения, независимо от него.
Некоторые авторы приходятк ошибочному заключению о наличии суждений, предикаты которых высказываютсянепосредственно о них же, т.е. о тех же самых суждениях в результате смешенияобъективно различных понятий – понятия «предмет, относительно котороговысказывается данный предикат непосредственно» с понятием «предмет,относительно которого высказывается данный предикат косвенно». Но допускаяданный паралогизм, мы тем самым ошибочно полагаем, что если познано общее в конкретныхпредметах, то тем самым, якобы, познан каждый и отдельный предмет, в то времякак на самом деле при наличии знаний об общем мы можем и не подозревать осуществовании того или иного конкретного предмета, стороной которого являетсяобщее. На эту сторону наших рассуждений обращал внимание уже Аристотель(«Аналитики»).
Для того, чтобыутверждение «Всякое суждение является либо истинным, либо ложным» (А) сталосамо предметом суждения, мы должны высказать суждение «Утверждение, что «Всякоесуждение является либо истинным, либо ложным» является либо истинным, либоложным» (В), которое нетождественно с суждением (А), потому что последнееявляется общим суждением, а суждение (В) единичным.
Когда говорят, чтопредметом суждения (А) является оно само, то аргументируют это мнение тем, чтораз предикат этого суждения высказывается о всех суждениях, то естественноотнести его к самому этому суждению. Но такая аргументация несостоятельна.Действительно, указанный предикат естественно отнести к самому этому суждению.Но сделать это можно в результате умозаключения, для которого требуетсядополнительная посылка «Высказывание «Всякое суждение является либо истинным,либо ложным» представляет собой суждение», а предметом суждения следует считатьтолько то, что соотноситься с предикатом непосредственно.
Для того, чтобы суждение(А) стало непосредственно предметом, к которому относится предикат суждения(В), оно должно выступить в суждении (В) не как предложение, выражающеесуждение, а как наименование последнего, выражающее регистрирующее понятие,которое выполняет функцию субъекта в суждении (В).
Точно так же и к суждению«Все написанное на данном листе бумаги является ложным» может относитьсяпредикат «ложно» только тогда, когда соответствующее ему регистрирующее понятие«Суждение «все написанное на данном листе бумаги является ложным» будетсубъектом суждения, в котором предикатом является понятие «ложно». Разумеется,что и предикат «истинно» может быть отнесен к любому суждению только в томслучае, если он соединен в суждении с субъектом, представляющим собой понятие,обозначающее суждение, относительно которого высказывается предикат «истинно».А если имеются два суждения, в которых субъектом является одно и то же понятиеи предикатом в одном из них является понятие «ложно», а в другом – понятие«истинно», то такие два суждения будут явно несовместимыми, т.е. ничегопарадоксального в этом случае не оказывается.
Парадокс «лгун»,следовательно, возникает тогда, когда понятие, являющееся субъектом в суждении,смешивается с самим этим суждением: в мысли в данном случае смешиваетсясоответственно словосочетание «Суждение «Все написанное на данном листе бумагиявляется ложным» «с предложением «Все написанное на данном листе бумагиявляется ложным».