Устойчивость упругих систем
В работе представлен небольшой обзор некоторых аспектовтеории динамической устойчивости упругих систем.
Some aspects of the theory of dynamicalinstability are briefly reviewed.Статика
Задача устойчивости упругих систем впервые быласформулирована Л. Эйлером совместно с Д. Бернулли, в результате дискуссий овариационном подходе к решению задач упругих эластик [1]. К тому времени ужебыла известна формула Я. Бернулли для выражения кривизны упругой линии [2]. Интересно,что различные аспекты этой задачи были притягательны для Эйлера в течениедолгого времени, начиная с 1744 года, когда ученому было 37 лет, и до 1778 года.В трактате [2] Эйлер исследовал малые изгибные деформации упругого стержнядлины />, обладающего изгибнойжесткостью />, сжатого постоянной силой />, описываемые уравнением: />. Краевые условия наизгибные смещения имеют вид />. Нетривиальноерешение уравнения, />, появляется прикритических значениях сжимающей силы />, где />. Если />, то форма стержняустойчива, иначе, />, стержень уже неможет упруго сопротивляться появлению изгибных перемещений. В самом деле,рассматриваются две альтернативные физические конфигурации «критически»сжатого стержня — тривиальная и нетривиальная, характеризуемые потенциальнойэнергией />, где /> - продольные смещения. Тривиальнаяконфигурация обладает энергией />,поскольку />, в то время как энергияизогнутого состояния />, так что ихразница равна />, где /> - произвольная константа. Вслучае />, тривиальная конфигурациядолжна быть устойчивой, поскольку деформированное изогнутое состояниехарактеризуется «дефицитом» энергии, при />.Напортив, при /> деформированноеизогнутое состояние появляется спонтанно, поскольку />.
На первый взгляд может показаться, что достаточно некотороготривиального обобщения статической теории Эйлера, например на системы сначальными геометрическими несовершенствами, чтобы ответить на вопрос какиеименно изгибные формы должны появиться при заданном произвольном нагружении. Однако,изучение задачи в динамической постановке сразу же приводит к появлениюнекоторых неожиданных результатов.Динамика
Оказалось, что изгибная форма, возникающая в стержне при приложениик его торцу внезапной нагрузки, становится «высокочастотной» поотношению к той, которая предсказывается статической теорией Эйлера. Математическаямодель, описывающая подобный эффект была впервые предложена в работе [3] в видеследующих уравнений: /> с граничнымиусловиями /> и />. Здесь /> - площадь поперечногосечения стержня; /> - массоваяплотность; функция /> обозначаетначальные геометрические несовершенства стержня. Преобразование Фурье (/> и />) этих уравнений позволяетполучить эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: />, обладающими неустойчивымирешениями />, где /> - произвольные константыинтеграции; /> - инкрементынеустойчивости. Отсюда следует вывод, что изгибные формы с инкрементом /> должны преобладать впроцессе динамической неустойчивости, вызванной ударным нагружением. Этоозначает, что />.
Физическая интерпретация этого результата может быть такова.Первоначально только небольшой участок стержня, />,примыкающий непосредственно к нагружаемому торцу, подвергается критическомуобжатию />, т.е. />. Формируется волна сжатия.При прохождении этой волны, идет быстрый переходный процесс трансформациипродольной волны сжатия в неустойчивые квазигармонические изгибные формысодержащие до /> полуволн. Инаконец, номер доминирующей изгибной формы становится равным />. Такого рода сценарийразвития динамической неустойчивости, во многом основанный на интуитивныхсоображениях, подтверждается численным интегрированием модельных уравнений,вытекающих из уточненной теории тонких стержней Бресса-Тимошенко [4], в которыхучитываются эффекты инерции поперечных сечений [1]:
(1) />,
где /> и /> обозначают типичныескорости распространения продольных и сдвиговых волн, соответственно (заметим,что значение сдвигового модуля /> неможет превышать значение модуля Юнга />), апродольные смещения /> подчиненыволновому уравнению[2]
(2) />.
Решение этой пары уравнений должно удовлетворять начальным играничным условиям:
/>
Здесь /> обозначаетфункцию дельта типа (/>, в противномслучае />); /> - масса и /> - абсолютная скоростьпредмета, ударяющего в торец стержня, />.Начальные несовершенства стержня моделировались введением малой аддитивнойдобавки /> в уравнение (1). Решениеэтих уравнений описывает переходный процесс, приводящий к формированию стоячейизгибной волны с критической длиной полуволны />,где /> - радиус инерциипоперечного сечения; /> - некоторыйподстроечный коэффициент. При />,наблюдается хорошее согласование результата с выводами работы [3], поскольку /> в данном случае.
Результат установленный в работах [3] и [4], будучи в своевремя весьма прогрессивными, тем не менее, не лишен некоторых рудиментарныхчерт, свойственных статической теории Эйлера. Очевидна попытка обобщениястатической теории на динамическую, однако всякая статическая задача должнабыть предельным случаем задачи динамики. В связи с этими замечанием,рассматривается задача о стационарных волнах на основе решения нелинейныхуравнений (1) и (2) без граничных условий в сопровождающей системе отсчета (/>), где /> - некоторая скорость,подлежащая последующему определению:
(3) />.
Здесь /> и />. При />, уравнение (3) обладаетпериодическими решениями с жесткой амплитудно-частотной характеристикой,выражаемыми через эллиптические функции Якоби [5], в то время каклокализованные решения, при/>,следует считать физически нереализуемыми. Таким образом, нетривиальноелокализованное стационарное решение уравнений (1) и (2), в виде комбинациипродольной и изгибной волн, отсутствует. Поэтому задача динамической неустойчивостиникак не сводится в данной постановке к задаче квазистатической.
На самом деле, по-видимому, существуют два основных классазадач по проблеме динамической неустойчивости, когда [4]
продольное нагружение медленно меняется во времени инекоторыми или всеми типами волнового движения можно пренебречь;
продольная нагрузка ударная и динамика волн играетпринципиальную роль в процессе потери устойчивости упругой системой.
При изучении этих задач неизбежно возникают следующие общиевопросы.
Какие динамические эффекты должны адекватно описыватьсямодельными уравнениями? Известно, что уравнения, вытекающие из теории тонкихоболочек применимы в основном лишь в так называемом длинноволновомприближении. Это означает, что характерная длина волны должна быть снизуограничена, скажем, по меньшей мере, десятью толщинами тонкостенной конструкции.Однако, при ударном нагружении динамический процесс является существеннокоротковолновым. В последнем случае, для адекватного описания динамики системы,требуется привлечение основных уравнений теории упругости, которые весьмасложны по своей математической структуре и трудны для аналитическихисследований. Поэтому необходим некий разумный компромисс в выборе модельныхуравнений и обоснование их применения [6].
Каковы механизмы динамической неустойчивости, и какие формыколебаний должны преобладать на ее начальной стадии развития? Можнопредположить, что динамическая неустойчивость появляется в результате нелинейныхмноговолновых взаимодействий. Очевидно, что на начальной стадии динамикасистемы может быть адекватно описана в так называемом параметрическомприближении. Это означает, что сначала можно ограничиться моделью,представленной линеаризованными уравнениями движения с переменными впространстве и времени коэффициентами.
Существует ли динамический процесс, по своим свойствампротивоположный динамической неустойчивости, т.е. можно ли стабилизироватьформу конструкции с помощью некого управляемого колебательного процесса? Известно,что вынужденные высокочастотные колебания линейных механических системы могутобратить ее неустойчивое/устойчивое состояние равновесия вустойчивое/неустойчивое [7 — 10]. Тем не менее, прогноз динамическойустойчивости на больших временных интервалах требует изучения существеннонелинейных динамических моделей.Параметрическое приближение
Следуя постановке задач, представленных в работах [3] и [4],рассматривается так называемая модель Бернулли-Эйлера, описывающая нелинейныеколебания тонкого стержня с помощью следующих уравнений [11]
(4) />
с краевыми условиями
/>
Заметим, что область применимости модели уверенно можноограничить условием, что характерная скорость волнового процесса не должнапревышать скорости распространения продольных волн />.
В случае исчезающе малых колебаний эта система уравненийпредставляет собой два линейных уравнения, которые могут быть разрешенынезависимо.
Пусть />, тогдалинеаризованное уравнение для продольных смещений представляет собой простоеволновое уравнение, имеющее вынужденное решение
/>,
где частоты /> связаныс волновыми числами /> дисперсионнымсоотношением />.
Заметим[3], что />, при любом значении />.
В свою очередь, линеаризованное уравнение для изгибных волнпринимает вид
(5) />.
Очевидно, что в правой части уравнения (5) содержитсяпространственно-временной параметр в форме суперпозиции стоячих волн.
Учет «волны параметра» становится принципиальным,если типичная скорость продольных волн оказывается сравнимой с групповымискоростями изгибных волн.
В противном случае можно, формально полагая, что /> или />, ограничиться изучениемследующей простейшей модели:
(6) />,
которая описывает лишь только параметрическое возбуждениесистемы во времени. Решение уравнения (5) можно построить с помощью методаБубнова-Галеркина: />, где /> - волновые числа изгибных волн; /> - амплитуды, определяемыеиз решения системы обыкновенных уравнений
(7) />.
Здесь
/>
коэффициент, содержащий параметры расстройки по волновымчислам, />, которые, в свою очередь,не могут быть равными нулю в отсутствие резонанса; /> -частоты изгибных волн при />, и каки прежде /> - критические значениясилы Эйлера.
Уравнения (7) описывают раннюю стадию эволюции волн за счетмногомодовых параметрических взаимодействий. Возникает ключевой вопрос осопоставимости возмущенных орбит системы (7) и траекторий соответствующейневозмущенной подсистемы
(8) />,
которая получается из уравнений (7) при />. Другими словами, — насколькоэффективен динамический отклик системы (7) на малое параметрическое возбуждение?Сначала перепишем систему (7) в эквивалентной матричной форме: />, где /> - вектор решения; /> - /> матрица собственных чисел;/> - /> квазипериодическая матрицас компонентами на основных частотах />. Следуястандартной методике теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решениеуравнений (7) ищется в той же форме, что и для уравнений (8), где константыинтеграции рассматриваются как новые искомые переменные, например />, где /> - вектор нетривиальногоколебательного решения линейного однородного уравнения (8), характеризуемогонабором собственных чисел />. Послеподстановки /> в (7) получаются уравненияпервого приближения в представлении решения рядом по малому параметру />: />. Правые части этихуравнений очевидно представляются суперпозицией периодических функций накомбинационных частотах />. Такимобразом, в первом приближении решение уравнения (7) оказывается ограниченнымиквазипериодическими функциями[4], когда комбинации частот />; в противном случае всистеме возникают резонансы.
В нерезонансном случае можно продолжить асимптотическуюпроцедуру нахождения решения, т.е. />, дляопределения высших приближений к истинному решению[5]. Другимисловами, мера динамического возмущения системы оказывается того же порядка, чтои мера параметрического возбуждения. Напротив, в резонансном случае решениеуравнений (7), вообще говоря, нельзя представить сходящимся рядом по />. Следовательно, возможенэффективный отклик системы даже на очень небольшое параметрическое возбуждение.В частном случае внешнего воздействия />,уравнения (7) можно весьма упростить:
(9) />
при условии, что пара изгибных волн с волновыми числами /> и />, создает малую волновуюрасстройку />, т.е. />, и малую частотнуюрасстройку />, т.е. />. Значения величин /> и /> можно также без всякогопринципиального ущерба считать малыми. Выражения /> и/> можно интерпретировать какусловия фазового синхронизма, необходимые для формирования резонансной тройкиволн, состоящей из первичной высокочастотной продольной волны, возбуждаемой припомощи внешней гармонической силы />, ивторичных низкочастотных изгибных волн, параметрически возбуждаемых за счетрезонанса со стоячей продольной волной.
Заметим, что в случае упрощенной модели (6), соответствующаясистема амплитудных уравнений сводится к единственному уравнению типа уравненияМатье, широко применяемому во многих прикладных задачах:
/>
Известно, что это уравнение обладает неустойчивыми решениямипри малых расстойках /> и />. Решение уравнений (7) можнонайти методом Ван-дер-Поля:
(10) />; />,
где /> и /> - новые неизвестныекоординаты.
Подставляя это выражение в (9), получаем уравнения первогоприближения:
(11) />; />,
где /> - коэффициентпараметрического возбуждения; /> обобщеннаяфаза, удовлетворяющая следующему уравнению: />. Уравнения (10) и (11),обладая гамильтоновой структурой, очевидно, обладают первыми интегралами /> и />, позволяющимипроинтегрировать систему аналитически. При /> существуютквазигармонические решения (10) и (11), когда />, что ассоциируется сграницами областей устойчивости в пространстве параметров системы.
С физической точки зрения можно утверждать, чтопараметрическое возбуждение изгибных волн проявляется как вырожденный случайнелинейных многоволновых взаимодействий. Это означает, что изучение резонансныхсвойств нелинейных свободно осциллирующих упругих систем весьма принципиальнодля понимания природы динамической неустойчивости.Трехволновые резонансные взаимодействия
Свободные многочастотные нелинейные колебания бесконечнодлинного тонкого прямолинейного стержня впервые изучались в работе [13], наоснове уравнений модели Бернулли-Эйлера. В отличие от стандартного подхода кподобным задачам, авторы при формулировке проблемы первично выдвинулипредположение о существовании фазового синхронизма между волнами:
(12) />; />,
где /> и /> - частоты исоответствующие волновые векторы резонансно взаимодействующих волн. Возникалвопрос о том, волны какого типа могут могут вовлекаться в резонансноевзаимодействие. Было обнаружено существование двух типов резонансных триад встержне. Триада одного типа состояла из высокочастотной продольной волны, />, и пары низкочастотныхизгибных волн, /> и />, в то время как триададругого типа состояла из высокочастотной изгибной волны, />, и пары низкочастотныхволн, /> и />, одна из которых былапродольной, а вторая изгибной. Эволюционные уравнения волновых триплетовописываются уравнениями
(13) />,
где /> - комплексныеамплитуды волн; /> - кубическийпотенциал трехволнового взаимодействия. Эти уравнения обладают первымиинтегралами в форме соотношений Менли-Роу
(14) />
с помощью которых ограниченные решения эволюционных уравнений(13) всегда выражается через эллиптические функции Якоби. Из соотношенийМенли-Роу (14) следует, что полная энергия волн триплета сохраняется. Крометого, высокочастотная волна /> всегданеустойчива по отношению к малым возмущениям со стороны ее низкочастотных волн /> и />. Это явление называется распаднойнеустойчивостью высокочастотной волны.
Этот существенный результат можно просто проиллюстрировать,рассматривая условия фазового синхронизма (12) как законы сохранения в терминахквазичастиц, поскольку всякая пара /> можетассоциироваться, соответственно, с энергией и импульсом кванта, в то время каксоответствующие величины /> ввыражении (14) можно трактовать как число квантов />-готипа. Весьма вероятно, что с точки зрения задач динамической неустойчивостимеханических систем, трехволновые взаимодействия наряду с и другимирезонансными взаимодействиями играют ключевую принципиальную роль. Исследованиенелинейных колебаний типичных элементов конструкций, таких как стержни, балки,кольца, тонкие пластинки и оболочки, доказывают свойственность такихрезонансных взаимодействий для большинства механических систем. В контекстезадач динамической неустойчивости заметим, что трехволновые резонансныевзаимодействия могут также ассоциироваться с так называемым сценарием взрывнойнеустойчивости в упругих системах [14]. Математически, взрывнаянеустойчивость может описываться уравнениями того же типа, что и уравнения (13).Но потенциал взаимодействия должен быть другого вида, например />. Это означает, чтоамплитуды волн могут возрасти до бесконечности за конечный промежуток времени, т.е./>. Физически это означает,что упругая система необходимо должна быть подвержена действию хотя бы малыхнагрузок, зависящих специальным образом от амплитуд волн.
Литература
1. Euler L. (1728), Solutio problematis deinvenienda curva quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis apotentiis quibuscunque sollicitata, Comment Acad. Sci. Petrop., 3, OperaII-10, 70-84.
2. Euler L. (1744), Methodus inveniendi lineascurvas maximi proprietate gaudentes, Lausanne, Geneve, Opera I-24.
3. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. (1949), Динамические формы потериустойчивости в упругих системах, Докл. АН СССР, 64 (6), 779-782.
4. Вольмир А.С. (1972), Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М.:Наука.
5. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. (1981), Нелинейные продольно-поперечныестационарные волны в упругих стержнях, В сб.: Мат. Физика, Киев, Науковадумка, 30, 41-48.
6. Болотин В.В. (1956), Динамическая устойчивость упругих систем, М.:Гостехиздат.
7. Беляев Н.М. (1924), Устойчивость призматических стержней под действиемпериодических нагрузок, В сб.: Инженерная и Строительная Механика,Ленинградский ун-т, 25-27.
8. Капица Л.П. (1951), Динамическая устойчивость маятника на вибрирующейточке подвеса, ЖЭTФ, 21 (5), 110-116.
9. Челомей В.Н. (1956), О возможности стабилизации упругих систем с помощьювибраций, Докл. АН СССР, 110 (3), 345-347.
10. Болотин В.В. (1951), О поперечных вибрациях стержней, вызванных периодическимипродольными нагрузками, В сб.: Поперечные Колебания и Критические Скорости,1, 46-77.
11. Kauderer H (1958), Nichtlineare Mechanik,Springer, Berlin.
12. Haken H. (1983), Advanced Synergetics. InstabilityHierarchies of Self-Organizing Systems and devices, Berlin, Springer-Verlag.
13. Ерофеев В.И., Потапов А.И. (1985), Трехчастотные резонансныевзаимодействия продольных и изгибных волн в стержне, В сб.: Динамика систем,Горьковский ун-т, 75-84.
14. Новиков В.В. (1988), О неустойчивости упругих оболочек как проявлениивнутреннего резонанса, ПММ, 52, 1022-1029.