Министерство науки и образования Украины
ДнепропетровскийНациональный Университет
Радиофизический факультет
Кафедра физики СВЧ
Реферат по курсу
электродинамики:“Система уравненийМаксвелла в сплошной среде. Граничные условия”
Выполнил:
Студент
группы РЭ–01-1 sankoff /sankoff@ukr.net/
Проверил:
Доцент
Кафедрыоптоэлектроники
физическогоф-та: В.Д. Гладуш
Днепропетровск 2003СодержаниеУравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме. Граничные условия. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики. Пример. Приложение. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Список используемой литературы.
1. УравненияМаксвелла в дифференциальной и интегральной формах
Система уравнений, состоящая изуравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц,представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления,обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учёта релятивистских иквантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходимо решать совместно взадачах электродинамики. Однако в такой наиболее общей постановке решать задачио взаимодействии электромагнитного поля с веществом чрезвычайно трудно.Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоит из громадногоколичества частиц, движение которых каждой в отдельности невозможно описать. Стакой проблемой сталкиваются в классической механике при попытках описатьмеханическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобы обойти этутрудность физикам приходилось строить определённые модели механических систем:модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды и др. При изучениивзаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем также приходитсявводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых, является модельсплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет оченьважную роль в физике, так как атомы и молекулы представляют собой системызаряженных частиц, которые в целом нейтральны, но могут обладать отличным отнуля дипольным моментом и поэтому создавать электрическое поле.
Открытие тока смещения позволилоМаксвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теорияобъяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала рядновых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основнымследствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн,распространяющихся со скоростью света.
Основу теории образуют уравненияМаксвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль,как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классической электродинамики в сплошнойсреде.
Первую пару уравнений Максвелла образуютуравнения:
(1)
(2)
Здесь вектор — вектор напряжённостиэлектрического поля, — вектор индукциимагнитного поля.
Первое из этих уравнений связываетзначение с изменениями вектора во времени и являетсяпо существу выражением закона электромагнитной индукции. Оно показывает, чтоисточником вихревого поля вектора является меняющееся современем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает на отсутствиеисточников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов, как в вакууме, так и в намагниченномвеществе.
Вторую пару уравнений Максвеллаобразуют уравнения:
(3)
(4)
Где — поляризованность, — объёмная плотностьзаряда.
Первое уравнение устанавливает связьмежду токами проводимости и токами смещения, и порождаемым ими магнитным полем.Второе показывает, что источниками вектора служат сторонниезаряды.
Вышеперечисленные уравненияпредставляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можно отметить,что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля — и и
Можно отметить, что вид уравнений (2)и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы и и и следует определять,исходя из электрических и магнитных свойств вещества.
Выводя формулу (1), Максвеллпредположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливаетпоявление в пространстве поля
Рассмотрим случай электромагнитнойиндукции, когда проволочный контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, аизменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля.Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменения магнитногополя вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока.Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами впроводе; они также не могут быть магнитными силами, потому что такие силы надзарядами работы не совершают. Остаётся заключить, что индукционный токобусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряжённостьэтого поля (это обозначениеявляется вспомогательным так же как и
(1.1)
Подстановка в формулу выражения (1.1) для для приводит к соотношению
(интегралв правой части берётся по произвольной поверхности, опирающейся на контур).Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования повремени и по поверхности можно поменять местами:
(1.2)
В связи с тем, что вектор зависит, вообщеговоря, как от времени, так и от координат, то можно написать под знакоминтеграла символ частной производной по времени (интеграл является функциейтолько времени).
Левуючасть равенства (1.2) преобразуем по теореме Стокса. В результате получится:
Ввиду произвольности выбора поверхностиинтегрирования должно выполняться равенство
Ротор поля
Это поле его линии начинаются и заканчиваютсяна зарядах. Ротор вектора в любой
точке равен нулю:
Согласно (1.2) ротор вектора отличен от нуля.Следовательно, поле так же, как имагнитное является вихревым. Линии напряжённости замкнуты.
Таким образом, электрическое полеможет быть как потенциальным ( В общем случаеэлектрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе и
(1.3)
Существованиевзаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, чтораздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишьотносительный смысл. Действительно, электростатическое поле создаётся системойнеподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигатьсяотносительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второйсистеме подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле. Такимобразом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается«чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчётабудет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей,образующих единое электромагнитное поле.
Выводяформулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора для случаястационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где роторвектора равен в каждой точкеплотности тока проводимости:
(3.1)
где вектор связан с плотностьюзаряда в той же точке уравнением непрерывности:
(3.2)
Электромагнитное поле может бытьстационарным лишь при условии, что плотность заряда и плотность тока не зависят от времени.В этом случае согласно (3.2) дивергенция равна нулю.
Поэтому можно выяснить, является лисправедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временемполей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядкеконденсатора от источника постоянного напряжения U(рис. 1).
U,ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке междуобкладками конденсатора.
Возьмём круговой контур Г,охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируемсоотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:
Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляциювектора
(3.3)
(I– силатока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности S2, придём кявно неверному соотношению:
(3.4)
Полученный результат указывает на то, что в случаеизменяющихся со временем полей уравнение (3.1) перестаёт быть справедливым.Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее отпроизвольных полей во времени. Для стационарных полей это слагаемое обращаетсяв нуль.
На неправомерность уравнения (3.1) вслучае нестационарных полей указывает также, следующие соображения. Возьмёмдивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):
Дивергенция ротора должна бытьобязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенциявектора также должна бытьвсегда равной нулю. Однако этот вывод
противоречит уравнениюнепрерывности, где отлична от нуля.
Чтобы согласовать уравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую частьуравнения (3.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должноиметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью токасмещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметьвид:
(3.5)
Сумму токапроводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полноготока равна:
(3.6)
Если положитьдивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой собратным знаком,
(3.7)
то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как идивергенция левой части, всегда будет равна нулю.
Заменив в (3.7) согласно (3.2) через
(3.8)
Чтобысвязать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрическогополя со временем, воспользуемся соотношением:
Продифференцировав это соотношение по времени, получим:
Теперьпоменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там.В результате придём к следующему выражения для производной по
Подстановкаэтого выражения в формулу (3.8) даёт:
Отсюда
(3.9)
Подставиввыражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению
Каждое из векторных уравнений (1) и(3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов,стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальныхоператоров, можно записать их в следующем виде:
(5)
(6)
для первой пары уравнений, и:
(7)
(8)
для второй.
Всего получилось 8 уравнений, в которых входят12 функций (по три компоненты векторов и с с
(9)
(10)
(11)
Совокупность уравнений (1) – (11)образуют основу электродинамики покоящихся сред.
Уравнения:
(12)
(13)
(первая пара) и
(14)
(15)
(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла винтегральной форме.
Уравнение (12) получается путёминтегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованиемлевой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающемуповерхность S.Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3). Уравнения (13)и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования попроизвольному объёму Vс последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса винтеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объём V.
2. Граничныеусловия
При решении задач электродинамики,учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. Припереходе через эти поверхности физические свойства макроскопических телизменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитныеполя, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции и являются кусочно-непрерывнымифункциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутрикаждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах разделадвух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1)- (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, азатем полученные решения объединять с помощью граничных условий.
При нахождении граничных условийудобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению(4) и теореме Остроградского-Гаусса:
(16)
где Q– полный заряд внутри объёма интегрирования.
Рассмотримбесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах1 и 2 (рис. 2).
Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:
(17)
здесь — нормаль к границераздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» во втором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль поверхностиинтегрирования в среде 2 направленапротивоположно нормали в среде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двухсред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то
(18)
где и — значения нормальныхсоставляющих вектора по разные стороныповерхности раздела; d, а полерассматривается на расстояниях отповерхности r>>d. Тогда из определенияобъёмной плотности заряда следует:
= d=
Если учесть, что — поверхностнаяплотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:
где
Используя уравнение (2) и проводяаналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора
(19)
Выражения (18) и (19) – граничныеусловия для нормальных составляющих векторов и получить условия для тангенциальныхсоставляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим видпрямоугольника (рис. 3).
Используя теорему Стокса, получим:
Перепишем это уравнение в виде:
(20)
Здесь и соответственно всредах 1 и 2, — единичный вектор,касательный к поверхности раздела, — нормаль кповерхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.
Пусть теперь при малом, но фиксированномl. Тогда и соотношение (20)примет вид:
и после сокращения на l имеем:
здесь
предыдущее выражение можнозаписать, как
Поскольку эта формуласправедлива для любой ориентации поверхности, а следовательно, и
вектора
(21)
В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока,избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, тоследует положить есть поверхностнаяплотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:
где
Используя уравнение (1) и проводяаналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора
(22)
Таким образом, уравнения Максвелла(1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22).Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора (22) и нормальнойсоставляющей вектора (19) при переходечерез границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора при переходе черезграницу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора
Ещё одно граничное условие можнополучить, используя уравнение непрерывности (
Так как граничноеусловие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
(23)
Если же наповерхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит отвремени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющихплотности тока:
Итак, граничные условияна поверхности раздела двух сред имеют вид:
(24)
где — нормаль к границераздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой моментвремени и в каждой точке поверхности раздела.
3.Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегдаприходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах,то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую частьуравнений Максвелла (1) – (4).
В случае стационарных электрических имагнитных полей ( и система уравненийМаксвелла (1) – (4) распадается на систему
уравненийэлектр