ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Нормальные колебания атомов решетки
Глава 2. Теплопроводность кристаллической решетки твердого тела
Глава 3. Фононы. Фононный газ
Глава 4. Электронная теплопроводность.
Заключение
Список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ
Тепловое движение частиц твердого тела, как конденсированной среды, отлично от движения частиц газов. В основу теории твердого тела положена модель бесконечного идеального монокристалла. Частицы твердого тела, связанные между собой силами взаимодействия, которые зависят от расстояния, совершают колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. На основе этого и разработана теория теплоемкости и теплопроводности твердого тела. Знание величин теплоемкости и коэффициента теплопроводности твердого тела необходимо для инженерныхрасчетов при создании новых машин, расчете их коэффициента полезного действия, они нужны в строительстве для расчета тепловых свойств строений, их теплоизоляционных свойств. В общем случае перенос тепла осуществляется двумятипами носителей: электронами проводимости и собственно фононами. Рассмотрим основные механизмы переноса тепла в твердом теле.
ГЛАВА 1.
НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ.
Каждоенормальное колебание несет в себе энергию и импульс, а следовательно могутхарактеризоваться этими параметрами (энергией и импульсом). Можно доказать, чтоэнергия отдельного нормального колебания кристаллической решетки равна энергиигармонического осциллятора, который имеет массу равную массе всех атомовкристаллической решетки участвующих в данных колебаниях и колеблющегося счастотой равной частоте нормальных колебаний, а следовательно полная энергиякристалла из N атомов равна 3N гармоническихосцилляторов.
Энергия каждого колебанияквантована. Минимальная порция или квант энергии колебания называетсяфононом. Энергия фонона:
Еф = `h w.
В зависимости от частоты (l) фононы бывают акустическими иоптическими.
Для описания процессов,связанных с упругими колебаниями, КР представляют в виде фононного газа. Увеличение энергии колебаний означает увеличение концентрации фононов nф. Рассеяние одной упругой волны на другой - фонон-фононное взаимодействие. Рассеяние упругой волны на дефектах КР - взаимодействие фонона с дефектом.
Максимальная частота колебаний атомовв кристалле называется характеристической или дебаевской wD частотой . Она определяет характеристическую илидебаевскую температуру - ту температуру, при которой в образце возбуждаютсявсе возможные нормальные колебания вплоть до частоты wD:
QD = wD `h / k. (`h = h / 2π ),
где h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана.
Дебаевская температура QD используется как критерий величины температуры тела:
T > QD считаются высокоми, T
Т.е. при T > QD не возникает новых нормальных колебаний, а лишьувеличивается амплитуда существующих.
Передача тепловой энергии внеравномерно нагретом веществе (без теплового излучения) характеризуетсятеплопроводностью. В соответствии с законом Фурье, если в веществе имеетсяградиент температуры Ñ Т, то в направлении, противоположном ÑТ, возникает пропорциональный потокэнергии плотностью:
jт = - K ÑT,
где К — коэффициенттеплопроводности, [ Вт/ м град ] .
Перенос тепла осуществляетсяза счет фононной и электронной теплопроводности:
К = Кф + Кэл .
Для фононов
Кф = 1/3 Сф lф Vф,
где lф — длина свободногопробега фононов, обратно пропорциональная концентрации фононов nф, Vф — скорость фононов (скорость звука)
Vф = Vзв = Ö` Е/r ,
Е — модуль упругости Юнга, r — плотность вещества.
Теплопроводность прямопропорционально зависит от энергии связи Есв (степени жесткостисвязи): чем больше Есв, тем больше модуль Е и, следовательно,скорость звука Vзв . В отсутствии электроннойтеплопроводности передача тепловой энергии от одних точек тела к другимосуществляется только фононами [3].
Теория переноса тепла фононаминаходится в такой стадии, когда по ней еще нельзя установить количественнуюзависимость решеточной (фононной) теплопроводности от температуры. Поэтому дляпрактических целей необходимо найти зависимость теплопроводности от температурыв виде эмпирических формул. />
В передаче энергии, по нашему мнению,участвуют только фононы с энергией. Перенос энергии фононами происходит путемих переброса от осцилляторов с энергией hυ0к осцилляторам сменьшей энергией. В процессе переброса фононы с энергией />могут дробиться нафононы с меньшей энергией.
Как известно, коэффициент тепловогорасширения обусловлен силами ангармонического взаимодействия между атомами.Однако, силы ангармонического взаимодействия- это только один из факторов,оказывающих влияние на решеточную теплопроводность.
Концентрация фононов n с энергией />зависит толькоот температуры и описывается функцией распределения фононов от температуры. Такойхарактер температурной зависимости теплопроводности при низких температурахвызван наложением двух процессов: с одной стороны, резким снижениемангармонической составляющей сопротивления перемещению электронов и фононов, сдругой,- уменьшением по экспоненте числа фононов способных принимать участие впроцессах переброса энергии от одних точек к другим. На рисунках приведены зависимости теплопроводности металла (германия) от температуры в области низких температур а также зависимость теплопроводности алмаза в области от 0К до 300К. Эти зависимости имеют стандартный характер.
/>
Рис. 1(2). Зависимость теплопроводности Ge от температуры (при низкихтемпературах), полученная из опыта и рассчитанная по формуле.
/>
Рис. 1(2). Зависимость теплопроводности алмаза от температуры (при низкихтемпературах), полученная из опыта и рассчитанная по формуле.
ГЛАВА 2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ
РЕШЕТКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Тепловая энергия содержится вколебательных нормальных модах кристалла. В диэлектриках этот механизм являетсяосновным, поскольку свободных электронов в диэлектриках нет. При низкихтемпературах разрешенные энергии нормальных мод квантованы и передача энергии,сопровождающая теплопроводность, осуществляется через механизм, описываемый впредставлении о фононах.
В идеальном гармоническом кристалле фононные состояниясчитаются стационарными. Поэтому, если установилось некотороераспределение фононов с направленными в одну сторону групповыми скоростями, тоэто распределение не будет меняться с течением времени, так что поток тепла небудет затухать. Т.е. идеальный гармонический кристалл имел бы бесконечнуютеплопроводность. Помимо несовершенств решетки, играющих роль рассеивающихцентров, теплопроводность реальных диэлектриков принимает конечные значенияиз-за ангармонизма колебаний решетки.
В отличие от гармонической, в ангармонической модели волнымогут взаимодействовать. На квантовом языке — фононы могут рассеиваться срождением и поглощением фононов. В процессах 3-го порядка фонон можетраспасться на два других, либо два фонона могут слиться и образовать третий. Впроцессах 4-го порядка участвуют 4 фонона. Т.е. один фонон может распасться натри, либо три фонона могут слиться с образованием одного, либо два фонона могутрассеяться друг на друге и сформироваться два новых. Все эти и аналогичныепроцессы более высокого порядка называются рассеянием, либостолкновением, либо переходами фононов. Теплопроводность металловдолжна складываться из теплопроводности фононной (теплопроводность решетки) иэлектронной подсистем: />= />lat+ />e. Однако механизм решеточной теплопроводности в металлахв значительной мере маскируется электронным механизмом переноса тепла.
ГЛАВА 3.ФОНОНЫ. ФОНОННЫЙ ГАЗ.
Квантовыйгармонический осциллятор имеет энергию равную:
/> где n= 1, 2, 3 … (3.1)
Минимальнаяпорция энергии которую может />поглотить или испустить кристаллическаярешетка при тепловых колебаниях соответствует на этом рисунке переходу с одногоэнергетического уровня на другой равна /> и называется фононом.
Таким образоммежду светом и тепловыми колебаниями кристаллической решетки можно провестианалогию — упругие волны рассматриваются как распространение неких квазиупругихчастиц – фононов.
Упругие волнырассматриваются как распространение неких квазичастиц – фононов. Для которых можно записать величину их импульса и энергии:
/>, гдеq – волновое число. (3.2)
Р. Паерлс в 1029 году ввел в теорию Дебая квантовые ( фононные ) явления ы показал, что тепловое сопротивление решетки обусловлено взаимодействием фононов. Фонон, в отличии от обычных частиц, может существовать лишь в некоторой среде, которая пребывает в состоянии теплового возбуждения. Нельзя вообразить фонон, которыйраспространялся бы в вакууме, посколькуон описывает квантовый характер тепловых колебаний решетки инавечно замкнут в кристалле. Понятие фонона– исторически первой квазичистицы в квантовой теории твердого тела ввел И. Е. Тамм. Корпускулярный аспект малых колебаний атомов решетки кристалла приводит к понятию фонона, и распространение упругих тепловых волн в кристалле можно рассматривать как перенесение фононов.
Тепловыеколебания в кристаллической решетки являются термическим возбуждениемфононов. Для определения средней энергии кристаллической решетки нужнонайти среднюю энергию гармонического осциллятора:
/> - энергия квантового гармонического осциллятора (3.3).
Если учесть квантовую природу гармонического осцилятора, то для тела, которое состоит из N атомов можно записать его внутреннюю энергию, где на каждую степень Володи атома будет приходится энергия равная средней энергии квантового осцилятора: />
(3.4)
Наиболее простой модельюдля анализа температурной зависимости теплопроводности является модель газафононов (МГФ). МГФ оперирует с такими понятиями, как средняя длинасвободного пробега фонона />ph,эффективное время релаксации />= />ph/vs,обратной величиной которого, 1//>, является средняя частотастолкновений фононов. Величина теплопроводности в модели фононного газа равна:
/>lat = 1/3 />phvsCv= 1/3 vs2/>Cv, (3.5)
где Сvудельная теплоемкость, связанная с колебаниями решетки. Величины Сv,/>или/>phопределяют температурную зависимость решеточной теплопроводности. Зависимость /> отТ оказалась более сложной. Рассмотрим два случая.
а) Т>> />D. Следовательно, длина свободного пробега фонона />обратнопропорциональна температуре. Это согласуется с экспериментом. Обычно, />lat~ 1/Tx, где х = 1-2. Точная теория />lat(Т) должнаучитывать конкуренцию между процессами. б) ТD. В этом случае фононы будут иметь энергию />/>s(k) />kBTD = />/>D,т.е. />s D иk />D, волновой вектор теплопроводность бесконечна, точнее она может быть конечнойтолько лишь за счет небольшой вероятности процессов переброса, нарушающих законсохранения квазиимпульса, и которые уменьшают тепловой поток.
При достижении температуры, где начинаютсярост времени релаксации и, соответственно, длины свободного пробега фононов,теплопроводность решетки растет (подтверждается экспериментально). Придальнейшем снижении Т, длина свободного пробега становится сопоставимой сосредней длиной свободного пробега, характеризующей рассеяние фононов надефектах решетки, примесях или даже на торцах конечного образца. Для диэлектриковпри очень низких температурах, Т~ T3, затем Tmax D/>~exp(T0/T), далее темп уменьшения спадает и заменяется медленнымспаданием />~ 1/T из-за увеличения числа рассеивающих фононов.
ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОННАЯТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ.
В металлах значительную роль в процессе теплопроводимости играет электронная теплопроводимость.Она также существует и в полупроводниках, особенно легированных электронодонорными элементами. По величине электронная теплопроводность и фононная теплопроводности в металлах будут равны:
Сэл/Сф» 0.01 , Vзв » 5 ·103 м/с, Vт » 106 м/с,
lф » 10-9 м, lэл » 10-8 м,
Кф/ Кэл » 0.05.
В чистых металлах электронная теплопроводность больше за фононную в 20 раз. В сплавахфононная и электронная теплопроводности приблизительно равны. Например,бериллий Ве с низкой электропроводностью обладает теплопроводностью в 5 разбольшей, чем у стали. Ве входит в состав теплопроводящих паст и подложек длямощных усилителей и генераторов.
В результатевзаимодействия фононов между собой и с электронами рассеивается энергия. Это взаимодействие интерпретируется как тепловое сопротивление RT:
/> (4.1)
где L и S - длина иплощадь образца или фрагмента конструкции.
Расчет тепловогосопротивления сложной детали проводится по правилам, аналогичным законам Ома.
Коэффициент теплопроводимости для электронного газа в металех имеет значение:
Кэл = />Сэл lэл Vт , (4.2)
где Сэл –теплоемкость электронного газа, lэл — длина свободного пробегаэлектрона, Vт — тепловая скорость:
/>, где mе — масса электрона.
Особую сложность при использовании формулы (4.2) представляет вычисление величины длинны свободного пробега электрона, поскольку это величина статистическая и зависит от движения других электронов в металле.
Электронная теплопроводностьзапишется:
/>(4.3)
/>, (4.4)
где />.
При температурах выше комнатной длябольшинства металлов можно сделать следующее допущение
/>
, (4.5) />
Формула для электронной теплопроводностипринимает вид:
/>(4.6)
Формула (4.6) совпадает с закономВидемана-Франца.
Таким образом, пользоваться закономВидемана-Франца при расчете теплопроводности металлов можно только притемпературе выше температуры Дебая. При температурах ниже температуры Дебая использование закона Видемана-Франца приведет к большим неточностям при вычислении теплопроводности металлов.
Характерный вид кривой зависимостиλ(Т) приведен на рисунке 4.1. теоретические и экспериментальные исследования показали, что тепло проводимость кристаллических веществ в области максимума λ(Т) довольно сильно зависит от дефектов кристаллической решетки.
/>
Рис. 4.1. Температурнаязависимость коэффициента электронной теплопроводности.
I — Увеличивается тепловаяскорость Vт.
II - Cущественно уменьшается длинасвободного пробега lэл из-за роста концентрации фононов в результатеэлектрон-фононного взаимодействия. При Т .
Ш - При высоких температурахустанавливается баланс между lэл и nф, электроннаятеплопроводность практически не зависит от температуры. При этом величины Сэл и Vт можно считать постоянными.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Теория теплопроводности твердого тела на сегодняшний день разработана недостаточно. Она прекрасно справилась с объяснением теоретических вопросов теплопроводности, ее зависимости от температуры в разных температурных диапазонах, но она не может пока что дать возможность вычислить теплопроводность разных материалов с достаточной точностью. Наибольшую сложность для вычисления теплопроводности представляют диэлектрические материалы, ведь теплопроводности кристаллических и аморфных тел значительноотличаются между собой. Это связано сотсутствием в аморфных телах трансляционной симметрии («дальнегопорядка»). Качественно отличный также характерзависимостей λ(Т). Для аморфных тел максимум на кривых λ (Т) не наблюдается, для них характерно увеличение λ с повышением температуры Т. При высоких температурах λ стремится к насыщению. Значение описывается формулой Дебая:
/>, lФ равняетсяприблизительно расстоянию между структурными частицами аморфного тела. Но точное вычисление длины свободного пробега на данный момент невозможно.
Поэтому теория теплопроводимости в наше время активно развивается.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дущенко В. П., Кучерук И. М. Общая физика. – К.: Высшая школа, 1995. – 430 с.
2. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. В 3 т. – М.: Наука, 1995. – 343 с.
3. Кухлинг Х.Справочник по физике: Пер. с нем. – М.: Мир, 1983. – 520 с.
4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1982. – 846 с.
5. Шебалин О. Д. Физические основы механики. – М.: Высшая школа, 1981. – 263 с.