Световод: уравнение, типыволн в световодах. Критические длины и частоты
1.Уравнение передачи по световоду
Рассмотримволоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1
/>
b
n2 n1 a
Рис. 1
Для описанияповедения электромагнитного поля в сердечнике (0
Дляопределения основных параметров световодов (критической частоты, волновогочисла, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениямиэлектродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводовимеют вид:
/> (1)
УравненияМаксвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем этиуравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Zкоторой совместим с оптической осью световода:
/> (2)
Для решенияинженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полейЕz и Hz. Их можно получить следующим образом. Преобразуемпервое из уравнений Максвелла (1) к виду
/>.
Тогда,используя соотношение />, а такжеучитывая, что divH=0, получим
/>,
где /> — волновое число световода.
Поступаяаналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим />.
Отсюдаследует, что продольные электромагнитные составляющие векторов Ez иHz удовлетворяют уравнениям
/>
Где /> – оператор Лапласа.
/>,
Тогда дляпродольных составляющих Ez и Hz в цилиндричееской системекоординат получим дифференциальные уравнения второго порядка:
/> (3)
Допустим, чтонапряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется поэкспоненциальному закону, т.е. />, где А –любая составляющая векторов Е или Н; />j/> — коэффициентраспространения. Тогда первая и вторая производные определятся
/>.
Длясоставляющей Еz
/>.
Подставляяполученное значениe в уравнения (3), получим
/>
Введемобозначение /> – поперечное волновоечисло световода. Тогда для сердечника световода имеем
/> (4)
где /> (без учета затухания) – поперечноеволновое число сердечника; k1 – волновое число сердечника скоэффициентом преломления n1, />.
Решениеуравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функциипервого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтомуможно написать
/> (5)
где Аnи Вn – постоянные интегрирования.
Воспользовавшисьуравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентамиполя. В частности, для составляющей Еr имеем
/>
Возьмемпроизводную от второго выражения по />
/>
Учитывая, что/>, а />, то />
Тогда
/> или />
Подставимданное выражение в уравнение для Еr
/> или
/>.
Окончательнополучим />.
Аналогичноможно установить связь между продольными и другими поперечными компонентамиполя
/>
Воспользовавшисьуравнениями (5) возьмем соответствующие производные
/>
Тогдавыражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей всердечнике световода, полагая, что />, имеютвид (множитель />не пишем):
/> (6)
Для оболочкиимеем аналогичную систему уравнений:
/>
где /> (без учета затухания) – поперечноеволновое число оболочки световода; k2 – волновое число оболочки скоэффициентом преломления n2, />.
Для решенияданных уравнений, исходя из условия, что при /> поледолжно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьегорода – функции Ганкеля:
/>
где Сn,Dn – постоянные интегрирования.
Тогда дляпоперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:
/> (7)
Постоянныеинтегрирования Аn, Вn, Сn, Dn могутбыть определены на основании граничных условий. Используем условия равенстватангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей наповерхности раздела сердечник-оболочка (при r=а):
/> />
/> />
Найдяпостоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующихпреобразований получим следующее трансцендентное уравнение:
/> (8)
Полученныеуравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуруполя в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравненияимеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структураполя, называемая типом волны или модой.
световодуравнение интегрирование волна
2. Типыволн в световодах
В сетоводахмогут существовать два типа волн: симметричные E0m, H0mнесимметричные дипольные EHnm, HEnm. В индексе n – числоизменений поля по диаметру; m – число изменений поля по периметру. Симметричныеволны электрические Е0m и магнитные H0m имеют круговуюсимметрию (n=0).
Раздельноераспространение по световоду несимметричных волн типа невозможно. В световодеони существуют только совместно, т.е. имеются продольные составляющие Е и Н. Этиволны называются смешанными, дипольными и обозначаются через HЕnm,если поле в поперечном сечении напоминает поле Н, или EНnm, еслиполе в поперечном сечении ближе к волнам Е.
Из всейноменклатуры смешанных волн в оптических кабелях наибольшее применение получилаволна типа НЕ11 (или ЕН10). На этой волне работаютодномодовые световоды, имеющие наибольшую пропускную способность
Представляетинтерес сопоставить указанную классификацию электромагнитных волн с лучевойклассификацией.
Как ужеотмечалось, по волоконным световодам возможна передача двух видов лучей: меридиональныхи косых. Меридиональные лучи расположены в плоскости, проходящей через осьволоконного световода. Косые лучи не пересекают ось световода.
Меридиональнымлучам соответствуют симметричные электрические Е0m и магнитныеH0mволны, косым лучам – несимметричные гибридные EНnm и HЕnmволны.
Еслиточеченый источник излучения расположен по оси световода, то имеются толькомеридиональные лучи и соответственно симметричные волны Е0m, H0m.Если же точечный источник расположен вне оси световода или имеется сложныйисточник, то появляются одновременно как меридиональные, так и косые лучи исвойственные им симметричные Е0m, H0m и несимметричныегибридные (EНnm и HЕnm) волны.
Несимметричныеволны типа Enm и Hnm в волоконных световодах существоватьне могут. Эти волны возбуждаются только в металлических волноводах.
Основноеуравнение передачи по волоконному световоду для случая /> может быть значительноупрощено применительно к различным типам волн.
Длясимметричных волн правая часть уравнения (8) равна нулю, тогда имеем дваразличных уравнения для электрической Е0m и магнитной Н0mволн:
для Е0m
/> (9)
для Н0m
/>
Для смешанныхдипольных волн можно получить следующие приближенные уравнения:
для НЕnm
/> (10)
для ЕНnm
/>
Для областичасто, далеко отстоящих от критической частоты, можно воспользоваться болеепростыми выражениями:
для НEnm/>
для ЕHnm/>
Данныевыражения позволяют определять структуру поля, параметры волн и характеристикиволоконного световода при различных типах волн и частотах.
Каждый типволны (мода) имеют свою критическую частоту и длину волны. Наличие критическойчастоты в волоконных световодах объясняется тем, что при очень высоких частотахпочти вся энергия концентрируется внутри сердечника световода, а с уменьшениемчастоты происходит перераспределение поля и энергия переходит в окружающеепространство. При определенной частоте fo – критической, или частотеотсечки, поле больше не распространяется вдоль световода и вся энергиярассиевается в окружающим пространстве.
Ранее былиприведены следующие соотношения:
/>
где /> — коэффициент фазы всветоводе;
k1и k2 – волновое число соответственно сердечника
и оболочкисветовода:
g1 иg2 – поперечное волновое число соответственно
длясердечника и оболочки.
а – радиуссердечника волокна.
Учитывая, что
/>
получим />.
Полагая, чтоr=a, произведем сложение левых и правых частей приведенных выражений
/>
Дляопределения критической частоты fo надо принять g2=0. Привсех значениях g2>0 поле концентрируется в сердечнике световода,а при g2=0 оно выходит из сердечника и процесс распространения посветоводу прекращается. По закону геометрической оптики условие g2=0соответствует углу полного внутреннего отражения, при котором отсутствуетпреломленная волна, а есть толь падающая и отраженная волны. Тогда при g2=0имеем />
Подставив вэту формулу значение />, получим />, откуда критическаячастота световода />. (11)
Умноживчислитель и знаменатель на параметр а (радиус сердечника), получим значениекритической частоты
/> (12)
и критическойдлины волны
/>, (13)
где g1a– корни бесселевых функций.
Так каксветоводы изготавливаются из немагнитных материалов (/>), то
/>.
Принципиальноаналогичный результат можно получить лучевым методом непосредственно из законовгеометрической оптики путем сопоставления падающей, отраженной и преломленнойволн на границе сердечник-оболочка световода.
Анализируяполученные соотношения, можно сказать, что чем толще сердечник световода и чембольше отличаются />, тем большекритическая длина волны и соответственно ниже критическая частота волоконногосветовода. Из формул видно также, что при равенстве оптических характеристик, впервую очередь диэлектрической проницаемости сердечника и оболочки, т.е. при />, критическая длина волны />, а критическая частота /> и передача по такомусветоводу невозможна. Это имеет свое логическое обоснование: как уже сказано,волоконный световод работает на принципе многократного отражения от границыоптических несоответствий сердечника и оболочки, и эта граница являетсянаправляющей средой распространения электромагнитной энергии. При /> световод перестаетдействовать как направляющая система передачи.
Дляопределения критических частот различных типов волн рассмотрим корни ранееполученного выражения бесселевых функций J0m(g1a) длясимметричных и Jnm(g1a) для несимметричных волн. Этиравенства дают бесконечное число корней, значения которых приведены в табл. 1.
Таблица 1n
Значение корня (g1a) при m, равном Тип волны
1
1
2
2
2,405
0,000
3,832
2,445
5,136
5,520
3,832
7,016
5,538
8,417
8,654
7,016
10,173
8,665
11,620
Е, Н
НЕ
ЕН
НЕ
ЕН /> /> /> /> />
Рассмотримфизический смысл приведенных в табл. 1 корней бесселевых функций g1a.Поскольку при отсечке g2=0, т.е. />,то из выражения /> имеем
/>
Последнеевыражение обратно пропорционально />, т.е.прямо пропорционально критической частоте f0. Кроме того, оновключает в себя исходные параметры волокна: а, n1, n2.Данное выражение носит название нормированной частоты и в этом видечасто используется в световодной технике. Таким образом, нормированная частота
/>,
где /> — длина волны в вакууме.
При такойтрактовке табл. 1 содержит нормированные частоты /> дляволн, тип которых указан в правой колонке таблицы, а индекс nm составлен изчисел левого столбца и верхней строки соответствующей клетке, в которойнаходится данная величина />. Каждой/> соответствует критическаячастота f0.
При /> имеем f>/> составляет f>f0.
Из табл. 1видно, что для несимметричной волны НЕ11 значение />=0; следовательно, этаволна не имеет критической частоты и может распространяться при любой частоте идиаметре сердечника. Все другие волны не распространяются на частотах нижекритической. Табл.1 можно преобразовать и привести к следующему виду (табл. 2)
Таблица 2Диапазон частот Дополнительные моды Число мод
0,000–2,405
2,405–3,832
3,832–5,316
5,316–5,520
5,520–6,380
6,380–7,016
7,016–7,588
7,588–8,417
8,417–11,620
HE11
H01, E01, HE21
HE12, EH11, HE31
EH21, HE41
H02, E02, HE22
EH31, HE51
HE13, EH12, HE32
EH41, HE61
EH22, E03, H03, EH13, HE23, EH23
2
6
12
16
20
24
30
34
40
Из табл. 2следует, что с увеличением частоты появляются новые типы волн. Так, начиная с />=2,405 появляются волны H01,E01, HE21, при />=3,832возникают дополнительные волны HE12, EH11, HE31и т.д.
Итак,интервал значений />=g1a,при которых в световоде распространяется лишь один тип волн НЕ11,находится в пределах 0
/>. (14)
Одномодовыйрежим практически достигается при применении очень тонких волокон, равных подиаметру длине волны />. Кроме того,надо стремиться к уменьшению разницы между показателями преломления сердечникаи оболочки />.
Диаметрсердечника волоконного световода для одномодовой передачи может быть определениз следующей формулы:
/>. (15)
Пример: длясветовода из стекловолокна с показателем преломления сердечника 1,48 ипоказателем преломления оболочки 1,447 при волне Е01 длиной 1,55 мкмдля одноволновой передачи получим
/> мкм