Техническое задане Анализ Расчёт Литература
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåòÐàñ÷¼òíî-ãðàôè÷åñêàÿ ðàáîòà
ïî ïðåäìåòó ¾Îïòîýëåêòðîíèêà è êâàíòîâûå ïðèáîðû¿
Àâòîð: Êîðèêîâ Êîíñòàíòèí Êîíñòàíòèíîâè÷ Ãðóïïà: 3093/2 Ôàêóëüòåò: Ðàäèîôèçè÷åñêèé Ïðåïîäàâàòåëü: Êóçüìèí Þðèé Èãîðåâè÷
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2010
Îãëàâëåíèå1 Òåõíè÷åñêîå çàäàíå 22 Àíàëèç 33 Ðàñ÷¼ò 64 Ëèòåðàòóðà 14
Òåõíè÷åñêîå çàäàíå
• Íàéòè ýíåðãèè è âîëíîâûå ôóíêöèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ñëåäóþùåãî âèäà:
⎧
/>3a
U (x)→∞, ïðè x
| |≥ 2
⎨
a 3a
/>U (x)=0, ïðè
22
a
⎩ U (x)=4U0, ïðè |x|
2
π2�2
Çäåñü Uo = 2ma2 .
• Ïîñòðîèòü ãðàôèêè âîëíîâûõ ôóíêöèé ýòèõ ñîñòîÿíèé. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ýëåêòðîíà â êàæäîì èç ñåêòîðîâ ÿìû äëÿ óêàçàííûõ ñîñòîÿíèé.
Ðèñ. 1: Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå
Àíàëèç
Êàê èçâåñòíî èç ñëåäñòâèé Ëàãðàíæåâîé ìåõàíèêè [2], äèíàìèêó ëþáîé ìåõàíè-÷åñêîé ñèñòåìû ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà. Àíàëîãîì äàííîé
ˆ
ôóíêöèè â êâàíòîâîé òåîðèè ñëóæèò îïåðàòîð H(Ãàìèëüòîíèàí) [3]. Ïðè ýòîì ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïèñûâàåò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ(r, t) [3], êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì Øð¼äèíãå-ðà [4]:
∂
i� Ψ(r, t)= ˆ
HΨ(r, t) (1)
∂t
Ãàìèëüòîíèàí âûðàæàåòñÿ ñóììîé îïåðàòîðîâ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå [3]:
H =T +ˆ
ˆˆU
22
mvm (mv)2 p
E = ==
2 · m 2m 2m ⇒ p)2 �2 �2 2
Tˆ=(ˆ={pˆ==Δ
2m −i��} =− 2m�− 2m ˆ
U =U(r)
/>2
ˆ
H =Δ+U(r)
− 2m
Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå, âîñïîëüçîâàâøèñü ìåòîäîì Ôóðüå:
Ψ(r, t)=f(r)ϕ(t)
/>2
∂
1
t)= ˆ
Hf(
i�f(r)
ϕ(
r)ϕ(t)=ϕ(t)Δf(r)+U(r)f(r)
− 2m
|·
∂t
f(r)ϕ(t)
i� ∂ 1
/>2
ϕ(t)= Δf(r)+U(r)f(r) (2)
ϕ(t)∂t f(r) − 2m
Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2) çàâèñèò òîëüêî îò t, à ïðàâàÿ òîëüêî îò r, îáå îíè äîëæíû ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå êîíñòàíòå ðàçäåëåíèÿ:
⎧ />⎨
i� ∂
E = ϕ(t)
ϕ(t)
∂t
/>2
/>⎩
1
E =
Δf(r)+U(r)f(r)
f(r) − 2m
 ïîñòàâëåííîé çàäà÷å òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû â ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ, ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ëèøü ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ èç äàííîé ñèñòåìû, ñîäåðæàùåãî ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âîëíîâîé ôóíêöèè.
/>2
Δf(r)+U(r)f(r)=Ef(r)
− 2m
2 ∂2
Ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî ïîòåíöèàëüíîå ïîëå îäíîìåðíî (r =x è Δ=�= ∂x2 ):
/>2 ∂2 f(x)+U(x)f(x)=Ef(x) (3)
−
2m ∂x2
ˆ
Hf(x)
3
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ñâåëîñü ê èçâåñòíîé â ìàòôèçèêå [1] çàäà÷å íà ñîáñòâåí íûå çíà÷åíèÿ (â îäíîìåðíîì ñëó÷àå: çàäà÷à Øòóðìà Ëèóâèëëÿ).
/>2 ∂2 �� f (x) = E − U (x) f (x)
/>− 2m ∂x2 2 2m �� ∂x2 f (x) = − �2 E − U (x) f (x)
/>2 2m ��
∂x2 f (x) + �2 E − U (x) f (x) = 0
(4)
 êâàíòîâîé ìåõàíèêå íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íàêëàäûâàþò äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ [4]:
Óñëîâèå íîðìèðîâêè
•
/>+∞
|Ψ (x, t)2 dx = 1 (5)
|
−∞
Íåïîñðåäñòâåííûì èíòåãðèðîâàíèåì îïðåäåëèì âèä ôóíêöèè ϕ(t):
i� ∂ ∂t ϕ(t) ∂tϕ(t) = E |· i�
∂ϕ(t) E
= ∂t
ϕ(t) i�E
ln(ϕ(t)) = t + C1 �� i���
E �� iE
ϕ(t) = exp t exp C1 = C2 exp t
i�− �
Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ôóíêöèÿ Ψ (x, t) áûëà íîðìèðîâàííàÿ.
/>+∞ �+∞
|Ψ (x, t)2 dx = |f (x)ϕ(t)2 dx = 1
||
/>−∞ −∞ +∞ �+∞ � ���
iE iE
|f (x)ϕ(t)2 dx = f (x)|2 exp t exp t dx = 1
||− ��
/>−∞ −∞ +∞
|f (x)2 dx = 1 (6)
|
−∞
• Óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòèÂîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò ïðèíèìàòü áåñêîíå÷íûõ çíà÷åíèé, òàêèõ, ÷òî èíòåãðàë (6) ñòàíåò ðàñõîäÿùèìñÿ. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðåìåíè, òàê êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî.  ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ è å¼ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò.
 ïîñòàâëåííîé çàäà÷å ïîòåíöèàëüíîå ïîëå (êâàíòîâàÿ ÿìà) àíàëèòè÷åñêè îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé U (x), èìåþùåé ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî çàìåíû −x íà x:
U (−x)=U (x)
Ïðè íàëè÷èè èíâåðñèè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà ëèáî àâòî-ìàòè÷åñêè èìåþò îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü, ëèáî ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â ôóíêöèè, èìåþùèå îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü [3].
ÐåçþìåÐåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è Øòóðìà Ëèóâèëëÿ. Ðåøåíèåì ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè f (x) è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ E ˆ(ýíåðãèè) îïðåðàòîðà Ãàìèëüòîíà H. Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäà÷è Øòóðìà Ëèóâèëëÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç ôîðìû ïîòåíöèàëà. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè f (x)îáëàäàþò îïðåäåë¼ííîé ÷¼òíîñòüþ â òîì èëè èíîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèå. Ðåøàòü çàäà÷þ ìîæíî íà ïîëîâèíå èíòåðâàëà, ïåðåíîñÿ ðåøåíèÿ íà îñòàâøóþñü ÷àñòü ñ ïîìîùüþ ñèììåòðèè. Íà ôóíêöèè f (x)íàêëàäûâàþòñÿ óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè è íåïðåðûâíîñòè â ëþáîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèå.
3 Ðàñ÷¼ò
3a
• Ïðîàíàëèçèðóåì ïîâåäåíèå ôóíêöèè f (x) â òî÷êàõ ñèíãóëÿðíîñòè x =±:
2
/>2 2m ��
∂x2 f (x)+ �2 E −U (x) f (x)=0
/>2 2m ��
∂x2 f (x)− �2 U (x)−Ef (x)=0
def 2 def 2m �
y = f (x);U (x)→∞;æ = �2 E −U (x)
2
y�� −æ y =0
kx
Ðåøåíèå â âèäå y =e kx :k2 e −æ 22e kx =0⇒k2 −æ 2 =0k =æ
⇒±
y =C1e æx
+C2e−æx
Èç óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè y :C1 →0⇒y =C2e−æx ò.ê. U (x)→∞⇒æ→∞⇒y →0
3a
f =0
(7)
±2
• Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà:
y�� +α2 y =0|·2y� (8)
2y�y�� +2α2 y�y =0
22
(y�)� +α2(y )� =0
22
(y�)+α2 y =0
2 22
(y�)+α2 y =c1
y� =c1 −α2y2 dx
± � 2 |·
dy =c1 −α2y2dx
± 2 �
dy
� =dx
2
/>1 −α2y2 ±
1 dy
/>� =dx 1 1−(α )y)2 ±
c1
1 c1 α
arcsin y =x +c2
/>/>1 αc1 ±1
y = sin(±αx +αc2)⇒y =A sin(αx +ϕ)
α
• Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà:
y�� − α2 y = 0 (9)
kx
Ðåøåíèå â âèäå y = e kx : k2 e − α22e kx = 0 ⇒ k2 − α2 = 0 ⇒ k = ±α αx + C2e−αx
y = C1e
x
e = sh(x) + ch(x) y = C1 sh(αx) + C1 ch(αx) + C2 sh(−αx) + C2 ch(−αx) y = (C1 − C2) sh(αx) + (C1 + C2) ch(αx) = A sh(αx) + B ch(αx)
• Óðàâíåíèå (4) äëÿ ó÷àñòêà 0
2
/>2 2m ��
U (x) − Ef (x) = 0
∂x2 f (x) − �2 �
def
=
/>1 = f (x); U (x) = 4U0; κ2 def 2m � 4U0 − E
/>2
1 − κ2 y1 = 0
y��
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå òèïà (9), îáùåå ðåøåíèå: y1 = A sh(κx) + B ch(κx) Åñëè f (x) ÷¼òíàÿ: y1(0) = 0; åñëè f (x) íå÷¼òíàÿ: y1(0) = 0
f (x) ÷¼òíàÿ:
y�= Aκ ch(κx) + Bκ sh(κx)
/>1 1�(0) = Aκ = 0 ò.ê. κ = 0 A = 0
�→
/>1 = B ch(κx)
(10)
f (x) íå÷¼òíàÿ:
y1(0) = B = 0
/>1 = A sh(κx)
(11)
a 3a
• Óðàâíåíèå (4) äëÿ ó÷àñòêà 2
2
/>2 2m��
∂x2 f(x) + �2 E − U(x) f(x) = 0
def
/>2 = f(x); U(x) = 0; γ2 def 2mE
=
/>2
/>2��+ γ2 y2 = 0
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå òèïà (8), îáùåå ðåøåíèå: y2 = Dsin(γx+ ϕD)
�� ����
3a 3a
Èç êðàåâûõ óñëîâèé: y2 = Dsin γ + ϕD = 0
± 2 ± 2 3a
γ + ϕD+ = πn,n ∈ Z
2 3a
−γ + ϕD= πn,n ∈ Z
2 − 3a
ϕD+ = πn− γ,n ∈ Z
2 3a
ϕD= πn+ γ,n ∈ Z
− 2
3a
/>2 = Dsin γx+ πn± γ ,n ∈ Z
(12)
2
• Òàêèì îáðàçîì, Ψ(x) ïðèìåò âèä:
⎧
/>�� 3a�� a 3a
y2+ = Dsin γx− + πn ,n ∈ Z, ïðè
22
⎨ 2
aa
/>y1+ = Bch(κx), ïðè −
2 ≤ x ≤ 2 �� 3a�� 3aa
⎩ y2+ = Dsin γx++ πn ,n ∈ Z, ïðè −
2 22
⎧
/>�� 3a�� a 3a
⎨ y2− = Dsin γx− 2+ πn ,n ∈ Z, ïðè
22
aa
/>y1− = Ash(κx), ïðè −
2 ≤ x ≤ 2 �� 3a�� 3aa
⎩ y2= Dsin γx++ πn ,n ∈ Z, ïðè −
− 2 22
• Èç óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè f(x) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
+ f(x) ÷¼òíàÿ:
aa
/>1 = y2
22
a
B ch κ = D sin γa − 3a + πn, n ∈ Z
22
aa
y�= y�
1
2 2 2
a
Bκ sh κ = Dγ cos γa − 3a + πn, n ∈ Z
22
a
κ th κ = γ ctg γa − 3a + πn, n ∈ Z a
22 |·
a
κa th κ = −γa ctg γa
2
Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ äàííîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ ââåä¼ì ïåðåìåííûå:
ξ = κa; η = γa
ξ
ξ th = −η ctg(η) (13)
2
− f(x) íå÷¼òíàÿ:
aa
/>1 = y2
22
a
A sh κ = D sin γa − 3a + πn, n ∈ Z
22
aa
y�= y�
1
2 2 2
a
Aκ ch κ = Dγ cos γa − 3a + πn, n ∈ Z
22
a
κ cth κ = γ ctg γa − 3a + πn, n ∈ Z a
22 |·
a
κa cth κ = −γa ctg γa
2
Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ äàííîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ ââåä¼ì ïåðåìåííûå:
ξ = κa; η = γa
ξ
ξ cth = −η ctg(η) (14)
2
9
• Äëÿ ðåøåíèÿ (13) è (14) ðàññìîòðèì åù¼ îäíî óðàâíåíèå:
2(γ2
/>2 + ξ2 = (γa)2 + (κa)2 = a + κ2) 2m 2m �� 8m
/>2 + κ2 = E + �2 4U0 − E = U0
/>2 �2 ��2
8m 8mπ2�2 4π2 2π
/>0 = ==
2
/>2 �2 2ma2 aa
��2
2π
2
/>2 + ξ2 = a = (2π)2
a
ξ = (2π)2 − η2 (15)
±
• Ïîäñòàâèì (15) â (13)è (14):
(2π)2 − η2 th (2π)2 − η2 = −η ctg(η) (÷¼òíûå ðåøåíèÿ)
2
(2π)2 − η2 cth (2π)2 − η2 = −η ctg(η) (íå÷¼òíûå ðåøåíèÿ)
2
Ðèñ. 2: Ðåøåíèå òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé
• Ðåøàÿ ãðàôè÷åñêè òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå, íàõîäèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
η
η = γa γ =
⇒ a
��2
η 2m
= E
a �2
/>2 η2 E =
(16)
2ma2
ξ = κa = (2π)2 − η2
(2π)2 − η2
κ =
a
x
• Ââåä¼ì íîðìèðîâàííóþ êîîðäèíàòó z = a è îïðåäåëèì âèä ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé f(z):
⎧/>
3
13
,n ∈ Z, ïðè
2
= Dsin η + πn
z −
y2+
2
2
⎨
11
(2π)2 − η2z), ïðè −
2 ≤ z ≤
= Bch(
y1+
/>
2
3
31
,n ∈ Z, ïðè −
2
⎩ ⎧/>
= Dsin ηz ++ πn
2
y2+
2
3
13
,n ∈ Z, ïðè
2
= Dsin η + πn
z −
y2
−
2
2
⎨
11
(2π)2 − η2z), ïðè −
2 ≤ z ≤
= Ash(
y1
−
/>
2
3
31
,n ∈ Z, ïðè −
2
⎩
= Dsin ηz ++ πn
2
y2
−
2
• Èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè îïðåäåëèì êîíñòàíòû A, B è D, äëÿ óäîáñòâà âçÿâ ñèñòåìó ñ n = 0:
3
1
1
�−
2
22
2
2
2
3
3
(2π)2 − η2
Dsin η
dz +
Bch(
z) dz +
Dsin η
dz = 1
z +
z −
2
2
−
3
2
1
1 2
2
−
3
1
1
�−
2
22
2
2
2
3
3
(2π)2 − η2
Dsin η
dz +
Ash(
z) dz +
Dsin η
dz = 1
z +
z −
2
2
−
3
2
1
1
−
2
2
/>2
1
/>2
sh( (2π)2 − η2) + = 1
2
+
/>2 (2π)2 − η2 2
1
/>2
ch( (2π)2 − η2) − = 1
+
2
2 (2π)2 − η2
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè, ïîëó÷àåì ñèñòåìó äëÿ ÷¼òíûõ ðåøåíèé:
⎧/>⎨
/>⎩
/>2
1
/>2
+ sh( (2π)2 − η2) + = 1
2
− η2 Bch (2π)2 − η2 = −Dsin(η)2
(2π)22
È äëÿ íå÷¼òíûõ ðåøåíèé:
⎧/>⎨
/>⎩
/>2
1
/>2
+ ch( (2π)2 − η2) − = 1
2
− η2 Ash (2π)2 − η2 = −Dsin(η)2
11
(2π)22
×èñëåííîå ðåøåíèå
1. ×¼òíîå ðåøåíèå:
/>3 = 5.261
2. Íå÷¼òíîå ðåøåíèå:
/>4 = 5.308
3. Ýíåðãèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå:
/>2 η22
/>3
/>3 == U0 = 2.804 · U0
/>2
2ma2 ·
/>2 η22
/>4
/>4 == U0 = 2.855 · U0
2
2ma2 π·
4. Âîëíîâûå ôóíêöèè:
3 :
⎧
�� 3 �� 13
/>
=
−0.911 sin 5.261 z− , ïðè
22
y
2+
2
⎨
11
1+ = 0.270 ch(3.435z), ïðè −
/>y2 ≤ z≤ 2 �� 3 �� 31
⎩ y2+ = 0.911 sin 5.261 z+, ïðè −
2 22
4 :
⎧
/>�� 3 �� 13
y2= 0.909 sin 5.308 z− , ïðè
− 2 22
⎨
11
= 0.290 sh(3.361z), ïðè −
/>y1− 2 ≤ z≤ 2 �� 3 �� 31
⎩ y2= 0.909 sin 5.308 z+, ïðè −
− 2 22
5. Âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â ñåêòîðàõ ÿìû:
3 :
3
1
�−
22
|f(z)2 dz= |f(z)2 dz= 0.450
||
1
2
3
2
−
1
2
�0�
|f(z)2 dz= |f(z)2 dz= 0.101
||
−
1