1. ПОНЯТИЕ О ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЕ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНСИ
Под физической величиной понимают характеристику физическихобъектов или явлений материального мира, общую в качественном отношении для множестваобъектов или явлений, но индивидуальную для каждого из них в количественном отношении.Например, масса – физическая величина. Она является общей характеристикой физическихобъектов в качественном отношении, но в количественном отношении для различных объектовимеет свое индивидуальное значение.
Под значением физической величины понимают ее оценку,выражаемую произведением отвлеченного числа на принятую для данной физической величиныединицу. Например, в выражении для давления атмосферного воздуха р = 95,2кПа, 95,2 – отвлеченное число, представляющее числовое значение давления воздуха,кПа – принятая в данном случае единица давления.
Под единицей физической величины понимают физическую величину,фиксированную по размеру и принятую в качестве основы для количественной оценкиконкретных физических величин. Например, в качестве единиц длины применяют метр,сантиметр и др.
Одной из важнейших характеристик физической величины являетсяее размерность. Размерность физической величины отражает связь данной величиныс величинами, принятыми за основные в рассматриваемой системе величин.
Система величин, которая определяется Международной системойединиц СИ и которая принята в России, содержит семь основных системных величин,представленных в Табл.1.1.
Существуют две дополнительные единицы СИ – радиан и стерадиан,характеристики которых представлены в Табл.1.2.
Из основных и дополнительных единиц СИ образованы 18 производныхединиц СИ, которым присвоены специальные, обязательные к применению наименования.Шестнадцать единиц названы в честь ученых, остальные две – люкс и люмен (см. Табл.1.3).
Специальные наименования единиц могут быть использованы при образованиидругих производных единиц. Производными единицами, не имеющими специального обязательногонаименования являются: площадь, объем, скорость, ускорение, плотность, импульс,момент силы и др.
Наравне с единицами СИ допускается применять десятичные кратныеи дольные от них единицы. В Табл.1.4 представлены наименования и обозначения приставоктаких единиц и их множители. Такие приставки называются приставками СИ.
Выбор той или иной десятичной кратной или дольной единицы преждевсего определяется удобством ее применения на практике. В принципе выбирают такиекратные и дольные единицы, при которых числовые значения величин находятся в диапазонеот 0,1 до 1000. Например, вместо 4000000 Па лучше применять 4 МПа.
Таблица 1.1. Основные единицы СИВеличина Единица Обозначения рекомендуемых кратных и дольных единиц Наименование Размерность Рекомендуемое обозначение Наименование Обозначение Определение международное русское Длина L
l метр m м Метр равен расстоянию, проходимому в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 долей секунды км, см, мм, мкм, нм Масса М
m килограмм kg кг Килограмм равен массе международного прототипа килограмма Мг, г, мг, мкг Время Т
t секунда s с Секунда равна 9192631770 периодам излучения при переходе между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 кс, мс, мкс, нс Сила электрического тока I
I ампер А А
Ампер равен силе изменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия 2·10-7 Н кА, мА, мкА, нА, пА Термодинамическая температура
T кельвин* К К Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды МК, кК, мК, мкК Количество вещества N
n; n моль mol моль Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг кмоль, ммоль, мкмоль Сила света J
J кандела cd кд
Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частостей 540·1012 Гц, сила излучения которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср
* Кроме температуры Кельвина(обозначение Т) допускается применять также температуру Цельсия (обозначениеt), определяемую выражением t = Т – 273,15 К. Температура Кельвина выражается в кельвинах,а температура Цельсия – в градусах Цельсия (°С). Интервал или разность температурКельвина выражают только в кельвинах. Интервал или разность температур Цельсия допускаетсявыражать как в кельвинах, так и в градусах Цельсия.
Таблица 1.2
Дополнительные единицы СИВеличина Единица Обозначения рекомендуемых кратных и дольных единиц Наименование Размерность Рекомендуемое обозначение Определяющее уравнение Наименование Обозначение Определение международное русское Плоский угол 1 a, b, g, q, n, j
a = s/r радиан rad рад Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу мрад, мкрад Телесный угол 1 w, W
W = S/r2 стерадиан sr ср Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы
Таблица 1.3
Производные единицы СИ, имеющие специальные наименованияВеличина Единица Наименование Размерность Наименование Обозначение международное русское Частота
Т-1 герц Hz Гц Сила, вес
LMT-2 ньютон N Н Давление, механическое напряжение, модуль упругости
L-1MT-2 паскаль Pa Па Энергия, работа, количество теплоты
L2MT-2 джоуль J Дж Мощность, поток энергии
L2MT-3 ватт W Вт Электрический заряд (количество электричества) ТI кулон С Кл Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила
L2MT-3I-1 вольт V В Электрическая емкость
L-2M-1T4I2 фарад F Ф Электрическое сопротивление
L2MT-3I-2 ом Ом Электрическая проводимость
L-2M-1T3I2 сименс S См Поток магнитной индукции, магнитный поток
L2MT-2I-1 вебер Wb Вб Плотность магнитного потока, магнитная индукция
MT-2I-1 тесла Т Тл Индуктивность, взаимная индуктивность
L2MT-2I-2 генри Н Гн Световой поток J люмен lm лм Освещенность
L-2J люкс lx лк Активность нуклида в радиоактивном источнике
T-1 беккерель Bq Бк Поглощенная доза излучения, керма
L2T-2 грей Gy Гр Эквивалентная доза излучения
L2T-2 зиверт Sv Зв
Таблица 1.4
Наименования и обозначенияприставок СИ для образования десятичных кратных и дольных единиц и их множителиНаименование приставки Обозначение приставки Множитель международное русское экса E Э
1018 пета P П
1015 тера T Т
1012 гига G Г
109 мега M М
106 кило k к
103 гекто* h г
102 дека* da да
101 деци* d д
10-1 санти* c с
10-2 милли m м
10-3 микро мк
10-6 нано n н
10-9 пико p п
10-12 фемто f ф
10-15 атто a а
10-18
* Приставки «гекто»,«дека», «деци» и «санти» допускается применять толькодля единиц, получивших широкое распространение, например: дециметр, сантиметр, декалитр,гектолитр.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
В результате измерений, атакже при проведении многих математических операций получаются приближенные значенияискомых величин. Поэтому необходимо рассмотреть ряд правил вычислений с приближеннымизначениями. Эти правила позволяют уменьшить объем вычислительной работы и исключитьдополнительные погрешности. Приближенные значения имеют такие величины, как , логарифмы и т. п., различные физические постоянные,результаты измерений.
Как известно, любое числозаписывают с помощью цифр: 1, 2, …, 9, 0; при этом значащими цифрами считают 1,2, …, 9. Нуль может быть как значащей цифрой, если он стоит в середине или концечисла, так и незначащей, если он стоит в десятичной дроби с левой стороны и указываетлишь разряд остальных цифр.
При записи приближенногочисла следует учитывать, что цифры, составляющие его, могут быть верными, сомнительнымии неверными. Цифра верна, если абсолютная погрешность числа меньше однойединицы разряда этой цифры (слева от нее все цифры будут верными). Сомнительнойназывают цифру, стоящую справа от верной цифры, а цифры справа от сомнительной неверные.Неверные цифры необходимо отбросить не только в результате, но и в исходных данных.Округлять число при этом не нужно. Когда погрешность числа не указана, то следуетсчитать, что абсолютная погрешность его равна половине единицы разряда последнейцифры. Разряд старшей цифры погрешности показывает разряд сомнительной цифры в числе.В качестве значащих цифр могут быть только верные и сомнительные цифры, но еслипогрешность числа не указана, то все цифры значащие.
Следует применять следующееосновное правило записи приближенных чисел (в соответствии со СТ СЭВ 543-77): приближенноечисло должно быть записано с таким числом значащих цифр, которое гарантирует верностьпоследней значащей цифры числа, например:
1) запись числа 4,6 означает,что верны только цифры целых и десятых (истинное значение числа может быть 4,64;4,62; 4,56);
2) запись числа 4,60 означает,что верны и сотые доли числа (истинное значение числа может быть 4,604; 4,602; 4,596);
3) запись числа 493 означает,что верны все три цифры; если за последнюю цифру 3 ручаться нельзя, это число должнобыть записано так: 4,9·102;
4) при выражении плотностиртути 13,6 г/см3 в единицах СИ (кг/м3) следует писать 13,6·103кг/м3 и нельзя писать 13600 кг/м3, что означало бы верностьпяти значащих цифр, в то время как в исходном числе приведены только три верныезначащие цифры.
Результаты экспериментовзаписывают только значащими цифрами. Запятую ставят сразу после отличной от нуляцифры, а число умножают на десять в соответствующей степени. Нули, стоящие в началеили конце числа, как правило, не записывают. Например, числа 0,00435 и 234000 записываютсятак 4,35·10-3 и 2,34·105. Подобная запись упрощает вычисления,особенно в случае формул, удобных для логарифмирования.
Округление числа (в соответствиисо СТ СЭВ 543-77) представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенногоразряда с возможным изменением цифры этого разряда.
При округлении последняясохраняемая цифра не изменяется, если:
1) первая отбрасываемая цифра,считая слева направо, меньше 5;
2) первая отбрасываемая цифра,равная 5, получилась в результате предыдущего округления в большую сторону.
При округлении последняясохраняемая цифра увеличивается на единицу, если
1) первая отбрасываемая цифрабольше 5;
2) первая отбрасываемая цифра,считая слева направо, равна 5 (при отсутствии предыдущих округлений или при наличиипредыдущего округления в меньшую сторону).
Округление следует выполнятьсразу до желаемого числа значащих цифр, а не по этапам, что может привести к ошибкам.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ НАУЧНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Каждый эксперимент представляетсобой совокупность трех составных частей: исследуемого явления (процесса, объекта),условий и средств проведения эксперимента. Эксперимент проводится в несколько этапов:
1) предметно-содержательноеизучение исследуемого процесса и его математическое описание на основе имеющейсяаприорной информации, анализ и определение условий и средств проведения эксперимента;
2) создание условий для проведенияэксперимента и функционирования исследуемого объекта в желаемом режиме, обеспечивающемнаиболее эффективное наблюдение за ним;
3) сбор, регистрация и математическаяобработка экспериментальных данных, представление результатов обработки в требуемойформе;
4) содержательный анализи интерпретация результатов эксперимента;
5) использование результатовэксперимента, например коррекция физической модели явления или объекта, применениемодели для прогноза, управления или оптимизации и др.
В зависимости от типа исследуемогообъекта (явления) выделяют несколько классов экспериментов: физические, инженерные,медицинские, биологические, экономические, социологические и др. Наиболее глубокоразработаны общие вопросы проведения физических и инженерных экспериментов, в которыхисследуются естественные или искусственные физические объекты (устройства) и протекающиев них процессы. При их проведении исследователь может неоднократно повторять измеренияфизических величин в сходных условиях, задавать желаемые значения входных переменных,изменять их в широких масштабах, фиксировать или устранять влияние тех факторов,зависимость от которых в настоящий момент не исследуется.
Классификацию экспериментовможно провести по следующим признакам:
1) степени близости используемогов эксперименте объекта к объекту, в отношении которого планируется получение новойинформации (натурный, стендовый или полигонный, модельный, вычислительный эксперименты);
2) цели проведения – исследование,испытание (контроль), управление (оптимизация, настройка);
3) степени влияния на условияпроведения эксперимента (пассивный и активный эксперименты);
4) степени участия человека(эксперименты с использованием автоматических, автоматизированных и неавтоматизированныхсредств проведения эксперимента).
Результатом экспериментав широком смысле является теоретическое осмысление экспериментальных данных и установлениезаконов и причинно-следственных связей, позволяющих предсказывать ход интересующихисследователя явлений, выбирать такие условия, при которых удается добиться требуемогоили наиболее благоприятного их протекания. В более узком смысле под результатомэксперимента часто понимается математическая модель, устанавливающая формальныефункциональные или вероятностные связи между различными переменными, процессамиили явлениями.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СРЕДСТВАХ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Исходная информация для построенияматематической модели исследуемого явления добывается с помощью средств проведенияэксперимента, представляющих собой совокупность средств измерений различных типов(измерительных устройств, преобразователей и принадлежностей к ним), каналов передачиинформации и вспомогательных устройств для обеспечения условий проведения эксперимента.В зависимости от целей эксперимента иногда различают измерительные информационные(исследование), измерительные контролирующие (контроль, испытание) и измерительныеуправляющие (управление, оптимизация) системы, которые различаются как составомоборудования, так и сложностью обработки экспериментальных данных. Состав средствизмерений в существенной степени определяется математической моделью описываемогообъекта.
В связи с возрастанием сложностиэкспериментальных исследований в состав современных измерительных систем включаютсявычислительные средства различных классов (ЭВМ, программируемые микрокалькуляторы).Эти средства выполняют как задачи сбора и математической обработки экспериментальнойинформации, так и задачи управления ходом эксперимента и автоматизации функционированияизмерительной системы. Эффективность применения вычислительных средств при проведенииэкспериментов проявляется в следующих основных направлениях:
1) сокращение времени подготовкии проведении эксперимента в результате ускорения сбора и обработки информации;
2) повышение точности и достоверностирезультатов эксперимента на основе использования более сложных и эффективных алгоритмовобработки измерительных сигналов, увеличении объема используемых экспериментальныхданных;
3) сокращение числа исследователейи появление возможности создания автоматических систем;
4) усиление контроля за ходомпроведения эксперимента и повышение возможностей его оптимизации.
Таким образом, современныесредства проведения эксперимента представляют собой, как правило, измерительно-вычислительныесистемы (ИВС) или комплексы, снабженные развитыми вычислительными средствами. Приобосновании структуры и состава ИВС необходимо решить следующие основные задачи:
1) определить состав аппаратнойчасти ИВС (средств измерения, вспомогательного оборудования);
2) выбрать тип ЭВМ, входящейв состав ИВС;
3) установить каналы связимежду ЭВМ, устройствами, входящими в аппаратную часть ИВС, и потребителем информации;
4) разработать программноеобеспечение ИВС.
2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Большинство исследованийпроводят для установления с помощью эксперимента функциональных или статистическихсвязей между несколькими величинами или для решения экстремальных задач. Классическийметод постановки эксперимента предусматривает фиксирование на принятых уровнях всехпеременных факторов, кроме одного, значения которого определенным образом изменяютв области его определения. Этот метод составляет основу однофакторного эксперимента(такой эксперимент часто называют пассивным). При однофакторном эксперименте,варьируя один фактор и стабилизируя все прочие на выбранных уровнях, находят зависимостьисследуемой величины только от одного фактора. Производя большое число однофакторныхэкспериментов при изучении многофакторной системы, получают частотные зависимости,представленные многими графиками, имеющими иллюстративный характер. Найденные такимобразом частные зависимости невозможно объединить в одну большую. В случае однофакторного(пассивного) эксперимента статистические методы применяют после окончания экспериментов,когда данные уже получены.
Использование однофакторногоэксперимента для всестороннего исследования многофакторного процесса требует постановкиочень большого числа опытов. Для их выполнения в ряде случаев необходимо значительноевремя, в течение которого влияние неконтролируемых факторов на результаты опытовможет существенно измениться. По этой причине данные большого числа опытов оказываютсянесопоставимыми. Отсюда следует, что результаты однофакторных экспериментов, полученныепри исследовании многофакторных систем, часто малопригодны для практического использования.Кроме того, при решении экстремальных задач данные значительного числа опытов оказываютсяненужными, так как получены они для области, далекой от оптимума. Для изучения многофакторныхсистем наиболее целесообразным является применение статистических методов планированияэксперимента.
Под планированием экспериментапонимают процесс определения числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточныхдля решения поставленной задачи с требуемой точностью.
Планирование эксперимента– это раздел математической статистики. В нем рассматриваются статистические методыпланирования эксперимента. Эти методы позволяют во многих случаях при минимальномчисле опытов получать модели многофакторных процессов.
Эффективность использованиястатистических методов планирования эксперимента при исследовании технологическихпроцессов объясняется тем, что многие важные характеристики этих процессов являютсяслучайными величинами, распределения которых близко следуют нормальному закону.
Характерными особенностямипроцесса планирования эксперимента являются стремление минимизировать число опытов;одновременное варьирование всех исследуемых факторов по специальным правилам – алгоритмам;применение математического аппарата, формализующего многие действия исследователя;выбор стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.
При планировании экспериментастатистические методы применяются на всех этапах исследования и, прежде всего, передпостановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в ходе эксперимента,при обработке результатов и после эксперимента, принимая решения о дальнейших действиях.Такой эксперимент называют активным и он предполагает планирование эксперимента.
Основные преимущества активногоэксперимента связаны с тем, что он позволяет:
1) минимизировать общее числоопытов;
2) выбирать четкие логическиобоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведенииисследования;
3) использовать математическийаппарат, формализующий многие действия экспериментатора;
4) одновременно варьироватьвсеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;
5) организовать эксперименттаким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;
6) получать математическиемодели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построеннымииз пассивного эксперимента;
7) рандомизировать условияопытов, т. е. многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;
8) оценивать элемент неопределенности,связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, получаемыеразными исследователями.
Чаще всего активный экспериментставят для решения одной из двух основных задач. Первую задачу называют экстремальной.Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимальногозначения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требованиепоиска экстремума некоторой функции (*проиллюстрировать графиком*). Эксперименты,которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.
Вторую задачу называют интерполяционной.Она состоит в построении интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемогопараметра, зависящего от ряда факторов.
Для решения экстремальнойили интерполяционной задачи необходимо иметь математическую модель исследуемогообъекта. Модель объекта получают, используя результаты опытов.
При исследовании многофакторногопроцесса постановка всех возможных опытов для получения математической модели связанас огромной трудоемкостью эксперимента, так как число всех возможных опытов оченьвелико. Задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимогочисла опытов и условий их проведения, в выборе методов математической обработкирезультатов и в принятии решений.
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ И РЕЖИМЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
1. Содержательный анализэксперимента, построение априорной вероятностной математической модели источникаэкспериментальных данных.
2. Составление плана эксперимента,в частности, определение значений независимых переменных, выбор тестовых сигналов,оценка объема наблюдений. Предварительное обоснование и выбор методов и алгоритмовстатистической обработки экспериментальных данных.
3. Проведение непосредственноэкспериментальных исследований, сбор экспериментальных данных, их регистрация иввод в ЭВМ.
4. Предварительная статистическаяобработка данных, предназначенная, в первую очередь, для проверки выполнения предпосылок,лежащих в основе выбранного статистического метода построения стохастической моделиобъекта исследований, а при необходимости – для коррекции априорной модели и изменениярешения о выборе алгоритма обработки.
5. Составление детальногоплана дальнейшего статистического анализа экспериментальных данных.
6. Статистическая обработкаэкспериментальных данных (вторичная, полная, итоговая обработка), направленная напостроение модели объекта исследования, и статистический анализ ее качества. Иногдана этом же этапе решаются и задачи использования построенной модели, например: оптимизируютсяпараметры объекта.
7. Формально-логическая исодержательная интерпретация результатов экспериментов, принятие решения о продолженииили завершении эксперимента, подведение итогов исследования.
Статистическая обработкаэкспериментальных данных может быть осуществлена в двух основных режимах.
В первом режиме сначала производитсясбор и регистрация полного объема экспериментальных данных и лишь затем они обрабатываются.Этот вид обработки называют off-line-обработкой,апостериорной обработкой, обработкой данных по выборке полного (фиксированного)объема. Достоинством этого режима обработки является возможность использования всегоарсенала статистических методов анализа данных и, соответственно, наиболее полноеизвлечение из них экспериментальной информации. Однако оперативность такой обработкиможет не удовлетворять потребителя, кроме того, управление ходом эксперимента почтиневозможно.
Во втором режиме обработканаблюдений производится параллельно с их получением. Этот вид обработки называютon-line-обработкой, обработкой данныхпо выборке нарастающего объема, последовательной обработкой данных. В этом режимепоявляется возможность экспресс-анализа результатов эксперимента и оперативногоуправления его ходом.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ
При решении задач обработкиэкспериментальных данных используются методы, основанные на двух основных составныхчастях аппарата математической статистики: теории статистического оценивания неизвестныхпараметров, используемых при описании модели эксперимента, и теории проверки статистическихгипотез о параметрах или природе анализируемой модели.
1. Корреляционный анализ.Его сущность состоит в определении степени вероятности связи (как правило, линейной)между двумя и более случайными величинами. В качестве этих случайных величин могутвыступать входные, независимые переменные. В этот набор может включаться и результирующая(зависимая переменная). В последнем случае корреляционный анализ позволяет отобратьфакторы или регрессоры (в регрессионной модели), оказывающие наиболее существенноевлияние на результирующий признак. Отобранные величины используются для дальнейшегоанализа, в частности при выполнении регрессионного анализа. Корреляционный анализпозволяет обнаруживать заранее неизвестные причинно-следственные связи между переменными.При этом следует иметь в виду, что наличие корреляции между переменными являетсятолько необходимым, но не достаточным условием наличия причинных связей.
Корреляционный анализ используетсяна этапе предварительной обработки экспериментальных данных.
2. Дисперсионный анализ.Этот метод предназначен для обработки экспериментальных данных, зависящих от качественныхфакторов, и для оценки существенности влияния этих факторов на результаты наблюдений.
Его сущность состоит в разложениидисперсии результирующей переменной на независимые составляющие, каждая из которыххарактеризует влияние того или иного фактора на эту переменную. Сравнение этих составляющихпозволяет оценить существенность влияния факторов.
3. Регрессионный анализ.Методы регрессионного анализа позволяют установить структуру и параметры модели,связывающей количественные результирующую и факторные переменные, и оценить степеньее согласованности с экспериментальными данными. Этот вид статистического анализапозволяет решать главную задачу эксперимента в случае, если наблюдаемые и результирующиепеременные являются количественными, и в этом смысле он является основным при обработкеэтого типа экспериментальных данных.
4. Факторный анализ.Его сущность состоит в том, что «внешние» факторы, используемые в моделии сильно взаимосвязанные между собой, должны быть заменены другими, более малочисленными«внутренними факторами, которые трудно или невозможно измерить, но которыеопределяют поведение „внешних“ факторов и тем самым поведение результирующейпеременной. Факторный анализ делает возможным выдвижение гипотез о структуре взаимосвязипеременных, не задавая эту структуру заранее и не имея о ней предварительно никакихсведений. Эта структура определяется по результатам наблюдений. Полученные гипотезымогут быть проверены в ходе дальнейших экспериментов. Задачей факторного анализаявляется нахождение простой структуры, которая бы достаточно точно отражала и воспроизводилареальные, существующие зависимости.
4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Конечной целью предварительной обработки экспериментальных данныхявляется выдвижение гипотез о классе и структуре математической модели исследуемогоявления, определение состава и объема дополнительных измерений, выбор возможныхметодов последующей статистической обработки. Для этого необходимо решить некоторыечастные задачи, среди которых можно выделить следующие:
1. Анализ, отбраковка и восстановление аномальных (ошибочных)или пропущенных измерений, так как экспериментальная информация обычно неоднороднапо качеству.
2. Экспериментальная проверка законов распределения полученныхданных, оценка параметров и числовых характеристик наблюдаемых случайных величинили процессов. Выбор методов последующей обработки, направленной на построение ипроверку адекватности математической модели исследуемому явлению, существенно зависитот закона распределения наблюдаемых величин.
3. Сжатие и группировка исходной информации при большом объемеэкспериментальных данных. При этом должны быть учтены особенности их законов распределения,которые выявлены на предыдущем этапе обработки.
4. Объединение нескольких групп измерений, полученных, возможно,в различное время или в различных условиях, для совместной обработки.
5. Выявление статистических связей и взаимовлияния различныхизмеряемых факторов и результирующих переменных, последовательных измерений однихи тех же величин. Решение этой задачи позволяет отобрать те переменные, которыеоказывают наиболее сильное влияние на результирующий признак. Выделенные факторыиспользуются для дальнейшей обработки, в частности, методами регрессионного анализа.Анализ корреляционных связей делает возможным выдвижение гипотез о структуре взаимосвязипеременных и, в конечном итоге, о структуре модели явления.
Для предварительной обработки характерно итерационное решениеосновных задач, когда повторно возвращаются к решению той или иной задачи послеполучения результатов на последующем этапе обработки.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЯ.
Под измерением понимают нахождение значения физическойвеличины экспериментальным путем с помощью специальных технических средств. Измерениямогут быть как прямыми, когда искомую величину находят непосредственно изопытных данных, так и косвенными, когда искомую величину определяют на основанииизвестной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям.Значение величины, найденное измерением, называют результатом измерения.
Несовершенство измерительных приборов и органов чувств человека,а часто и природа самой измеряемой величины приводят к тому, что при любых измеренияхрезультаты получаются с определенной точностью, т. е. эксперимент дает не истинноезначение измеряемой величины, а лишь ее приближенное значение. Под действительнымзначением физической величины понимают ее значение, найденное экспериментальнои настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может бытьиспользовано вместо него.
Точность измерения определяетсяблизостью его результата к истинному значению измеряемой величины. Точность прибораопределяется степенью приближения его показаний к истинному значению искомой величины,а точность метода – физическим явлением, на котором он основан.
Ошибки (погрешности) измерений характеризуютсяотклонением результатов измерений от истинного значения измеряемой величины. Ошибкаизмерения, как и истинное значение измеряемой величины, обычно неизвестна. Поэтомуодной из основных задач статистической обработки результатов эксперимента и являетсяоценка истинного значения измеряемой величины по полученным опытным данным. Другимисловами, после неоднократного измерения искомой величины и получения ряда результатов,каждый из которых содержит некоторую неизвестную ошибку, ставится задача вычисленияприближенного значения искомой величины с возможно меньшей ошибкой.
Ошибки измерений делят на грубые ошибки (промахи), систематическиеи случайные.
Грубые ошибки. Грубые ошибки возникают вследствие нарушенияосновных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора. При обнаружениигрубой ошибки результат измерения следует сразу отбросить и повторить измерение.Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличиепо величине от остальных результатов. На этом основаны некоторые критерии исключениягрубых ошибок по их величине (будут рассмотрены далее), однако самым надежным иэффективным способом браковки неверных результатов является браковка их непосредственнов процессе самих измерений.
Систематические ошибки. Систематической является такаяпогрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторныхизмерениях одной и той же величины. Систематические погрешности появляются из-занеправильной регулировки приборов, неточности метода измерения, какого-либо упущенияэкспериментатора, использования для вычисления неточных данных.
Систематические ошибки возникают также при проведении сложныхизмерений. Экспериментатор может и не догадываться о них, хотя они могут быть оченьбольшими. Поэтому в таких случаях нужно тщательно проанализировать методику измерений.Такие ошибки можно обнаружить, в частности, проведя измерения искомой величины другимметодом. Совпадение результатов измерений обоими методами служит определенной гарантиейотсутствия систематических погрешностей.
При измерениях необходимо сделать все возможное, чтобы исключитьсистематические погрешности, так как они могут быть так велики, что сильно исказятрезультаты. Выявленные погрешности устраняют введением поправок.
Случайные ошибки. Случайной ошибкой является составляющаяпогрешности измерения, которая изменяется случайным образом, т. е. это ошибка измерения,остающаяся после устранения всех выявленных систематических и грубых ошибок. Случайныеошибки вызываются большим числом как объективных, так и субъективных факторов, которыенельзя выделить и учесть в отдельности. Поскольку причины, приводящие к случайнымошибкам, не одинаковы, в каждом эксперименте и не могут быть учтены, исключить такиеошибки нельзя, можно лишь оценить их значение. С помощью методов теории вероятностейможно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины со значительноменьшей ошибкой, чем ошибки отдельных измерений.
Поэтому, когда случайнаяпогрешность больше погрешности измерительного прибора, необходимо многократно повторятьодно и то же измерение для уменьшения ее значения. Это позволяет минимизироватьслучайную погрешность и сделать ее сравнимой с погрешностью прибора. Если же случайнаяошибка меньше погрешности прибора, то уменьшать ее не имеет смысла.
Кроме этого, ошибки делят на абсолютные, относительныеи инструментальные. Абсолютной ошибкой считают погрешность, выраженную вединицах измеряемой величины. Относительной ошибкой является отношение абсолютнойошибки к истинному значению измеряемой величины. Составляющую ошибки измерения,которая зависит от погрешности применяемых средств измерения, называют инструментальнойпогрешностью измерения.
2. ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХИЗМЕРЕНИЙ. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Прямые измерения – это такие измерения, когда значениеизучаемой величины находят непосредственно из опытных данных, например снимая показанияприбора, измеряющего значение искомой величины. Для нахождения случайной погрешностиизмерение необходимо провести несколько раз. Результаты таких измерений имеют близкиезначения погрешностей и называются равноточными.
Пусть в результате n измерений величины х, проведенных с одинаковой точностью,получен ряд значений: х1, х2, …, хn. Как показано в теории ошибок, наиболее близким кистинному значению х0измеряемой величины х является среднееарифметическое значение
/>. (2.1)
Среднее арифметическое значение рассматривают только как наиболеевероятное значение измеряемой величины. Результаты отдельных измерений в общем случаеотличаются от истинного значениях0. При этом абсолютная погрешностьi-го измерения составляет
Dxi'= х0– xi4
и может принимать как положительные, так и отрицательные значенияс равной вероятностью. Суммируя все погрешности, получаем
/>,
Откуда
/>. (2.2)
В этом выражении второе слагаемое в правой части при большомn равно нулю, так как всякойположительной погрешности можно поставить в соответствие равную ей отрицательную.Тогда х0=/>. При ограниченномчисле измерений будет лишь приближенное равенствох0/>. Таким образом, /> можно назвать действительнымзначением.
Во всех практических случаях значение х0неизвестнои есть лишь определенная вероятность того, что х0находится вкаком-то интервале вблизи /> и требуетсяопределить этот интервал, соответствующий этой вероятности. В качестве оценки абсолютнойпогрешности отдельного измерения используют Dxi =/>– xi.
Она определяет точность данного измерения.
Для ряда измерений определяютсреднюю арифметическую погрешность
/>.
Она определяет пределы, в которых лежит более половины измерений.Следовательно, х0с достаточно большой вероятностью попадает винтервал от />–h до />+h. Результаты измерений величины х записываюттогда в виде:
/>.
Величина х измерена тем точнее, чем меньше интервал, вкотором находится истинное значение х0.
Абсолютная погрешность результатов измерений Dx сама по себе еще не определяет точности измерений. Пусть, например,точность некоторого амперметра составляет />0.1а.Были проведены измерения силы тока в двух электрических цепях. При этом получилиследующие значения: 32/>0.1а и 0.2/>0.1а. Из примера видно,что, хотя абсолютная погрешность измерений одинакова, точность измерений различна.В первом случае измерения достаточно точны, а во втором – позволяют судить лишьо порядке величины. Следовательно, при оценке качества измерения необходимо сравниватьпогрешность с измеренным значением, что дает более наглядное представление о точностиизмерений. Для этого вводится понятие относительной погрешности
dx = Dx //>. (2.3)
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Так как в большинстве случаевизмеряемые величины имеют размерность, то и абсолютные погрешности размерны, а относительныеошибки безразмерны. Поэтому с помощью последних можно производить сравнение точностиизмерений разнородных величин. Наконец, эксперимент должен быть поставлен такимобразом, чтобы относительная погрешность оставалась постоянной во всем диапазонеизмерений.
Следует отметить, что при правильных и тщательно выполненныхизмерениях средняя арифметическая погрешность их результата близка к погрешностиизмеряемого прибора.
Если измерения искомой величины х проведены много раз,то частоты появления того или иного значения хi можно представить в виде графика, имеющего вид ступенчатой кривой– гистограммы (см. рис. 1), где у – число отсчетов; Dxi = хi – xi+1 (i изменяется от –n до +n).С увеличением числа измерений и уменьшением интервала Dxi гистограмма переходит в непрерывную кривую, характеризующую плотностьраспределения вероятности того, что величина xi окажется в интервале Dxi.
/>
Под распределением случайной величины понимают совокупностьвсех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей. Закономраспределения случайной величины называют всякое соответствие случайной величинывозможным значениям их вероятностей. Наиболее общей формой закона распределенияявляется функция распределения Р(х).
Тогда функция р(х) =Р' (х) – плотностьраспределения вероятности или дифференциальная функция распределения. Графикплотности распределения вероятностей называется кривой распределения.
Функция р(х) характерна тем, что произведение р(х)dx есть вероятность оказаться отдельному,случайно выбранному значению измеряемой величины в интервале (х,x + dx).
В общем случае эта вероятность может определяться различнымизаконами распределений (нормальный (Гаусса), Пуассона, Бернулли, биномиальный, отрицательныйбиномиальный, геометрический, гипергеометрический, равномерный дискретный, отрицательныйэкспоненциальный). Однако чаще всего вероятность появления величины xi в интервале (х,x + dx) в физических экспериментах описывают нормальным закономраспределения – законом Гаусса (см. рис. 2):
/>, (2.4)
где s2 — дисперсия генеральной совокупности. Генеральной совокупностью называютвсе множество возможных значений измерений xi или возможных значений погрешностей Dxi.
Широкое использование законаГаусса в теории ошибок объясняется следующими причинами:
1) равные по абсолютному значению погрешности встречаются одинаковочасто при большом числе измерений;
2) малые по абсолютному значению погрешности встречаются чаще,чем большие, т. е. вероятность появления погрешности тем меньше, чем больше ее абсолютноезначение;
3) погрешности измерений принимают непрерывный ряд значений.
Однако, эти условия никогда строго не выполняются. Но экспериментыподтвердили, что в области, где погрешности не очень велики, нормальный закон распределенияхорошо согласуется с опытными данными. С помощью нормального закона можно найтивероятность появления погрешности того или иного значения.
Распределение Гаусса характеризуется двумя параметрами: среднимзначением случайной величины /> и дисперсиейs2. Среднее значениеопределяется абсциссой (х =/>) оси симметриикривой распределения, а дисперсия показывает, как быстро уменьшается вероятностьпоявления погрешности с увеличением ее абсолютного значения. Кривая имеет максимум/>прих =/>. Следовательно, среднее значениеявляется наиболее вероятным значением величины х. Дисперсия определяетсяполушириной кривой распределения, т. е. расстоянием от оси симметрии до точек перегибакривой. Она является средним квадратом отклонения результатов отдельных измеренийот их среднего арифметического значения по всему распределению. Если при измерениифизической величины получают только постоянные значения х =/>, то s2 = 0. Но если значения случайнойвеличины х принимают значения, не равные />,то ее дисперсия не равна нулю и положительна. Дисперсия, таким образом, служит меройфлуктуации значений случайной величины.
Мера рассеяния результатов отдельных измерений от среднего значениядолжна выражаться в тех же единицах, что и значения измеряемой величины. В связис этим в качестве показателя флуктуации результатов измерений гораздо чаще используютвеличину
/>,
называемую средней квадратичной погрешностью.
Она является важнейшей характеристикой результатов измеренийи остается постоянной при неизменности условий эксперимента.
Значение этой величины определяет форму кривой распределения.
Так как при изменении s площадь под кривой, оставаясь постоянной(равной единице), меняет свою форму, то с уменьшением s кривая распределениявытягивается вверх вблизи максимума при х =/>,и сжимаясь в горизонтальном направлении.
С увеличением s значение функции р(хi)уменьшается, и кривая распределения растягивается вдоль оси х (см. рис. 2).
Для нормального закона распределения средняя квадратическая погрешностьотдельного измерения
/>, (2.5)
а средняя квадратическая погрешность среднего значения
/>. (2.6)
Средняя квадратическая погрешностьболее точно характеризует погрешности измерений, чем средняя арифметическая погрешность,так как она получена достаточно строго из закона распределения случайных величинпогрешностей. Кроме того, непосредственная связь ее с дисперсией, вычисление которойоблегчается рядом теорем, делает среднюю квадратическую погрешность очень удобнымпараметром.
Наряду с размерной погрешностьюs используюти безразмерную относительную погрешность ds=s//>, которая, как и dx,выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Окончательный результат измеренийзаписывают в виде:
/>, />. (2.7)
Однако, на практике невозможнопровести слишком много измерений, поэтому нельзя построить нормальное распределение,чтобы точно определить истинное значение х0. В этом случае хорошимприближением к истинному значению можно считать />,а достаточно точной оценкой ошибки измерений – выборочную дисперсию />, вытекающую из нормальногозакона распределения, но относящуюся к конечному числу измерений. Такое названиевеличины />объясняется тем, что из всегомножества значений хi, т. е. генеральнойсовокупности выбирают (измеряют) лишь конечное число значений величины хi (равное n), называемых выборкой. Выборка характеризуется ужевыборочным средним значением и выборочной дисперсией.
Тогда выборочная средняяквадратическая погрешность отдельного измерения (или эмпирический стандарт)
/>, (2.8)
а выборочная средняя квадратическаяпогрешность ряда измерений
/>. (2.9)
Из выражения (2.9) видно,что, увеличивая число измерений, можно сделать сколь угодно малой среднюю квадратическуюпогрешность />. При n > 10 заметное изменение величины /> достигается лишь при весьмазначительном числе измерений, поэтому дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно.К тому же, невозможно полностью исключить систематические погрешности, и при />, меньшей систематической ошибкидальнейшее увеличение числа опытов также не имеет смысла.
Таким образом, задача нахожденияприближенного значения физической величины и его погрешности решена. Теперь необходимоопределить надежность найденного действительного значения. Под надежностью измеренийпонимают вероятность попадания истинного значения в данный доверительный интервал.Интервал (/>– e,/>+ e), в котором находится с заданнойвероятностью истинное значение х0, называют доверительным интервалом.Допустим, что вероятность отличия результата измерений х от истинного значениях0на величину, большую, чем e, равна 1 – a, т. е.
p(/>– eх0+ e) = 1 – a. (2.10)
В теории ошибок обычно подe понимаютвеличину />. Поэтому
p(/>– />х0+ />) = Ф(t), (2.11)
где Ф(t) – интегралвероятности (или функция Лапласа), а также нормальная функция распределения:
/>, (2.12)где />.
Таким образом, чтобы охарактеризоватьистинное значение, требуется знать как погрешность, так и надежность. Если доверительныйинтервал увеличивается, то возрастает надежность того, что истинное значение х0попадает в данный интервал. Высокая степень надежности необходима при ответственныхизмерениях. Это означает, что в таком случае нужно выбирать большой доверительныйинтервал или вести измерения с большей точностью (т. е. уменьшить величину />), что можно сделать, например,многократным повторением измерений.
Под доверительной вероятностьюпонимается вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадаетв данный доверительный интервал. Доверительный интервал характеризует точность измеренияданной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.
В подавляющем большинствеэкспериментальных задач доверительная вероятность составляет 0.9/>0.95 и более высокая надежностьне требуется. Так при t =1 согласно формулам (2.10 –2.12) 1 – a = Ф(t) = 0.683, т. е. более 68 % измерений находится винтервале (/>–/>,/>+/>). При t = 2 1 – a = 0.955, а при t = 3 параметр 1 – a = 0.997. Последнее означает, что в интервале (/>–/>,/>+/>) находятся почти все измеренныезначения. Из данного примера видно, что интервал /> действительносодержит большинство измеренных значений, т. е. параметр a может служить хорошейхарактеристикой точности измерений.
До сих пор предполагалось,что число измерений хотя и конечно, но достаточно велико. В действительности жечисло измерений почти всегда бывает небольшим. Более того, как в технике, так ив научных исследованиях нередко используют результаты двух-трех измерений. В этойситуации величины /> и /> в лучшем случае могут определитьлишь порядок величины дисперсии. Существует корректный метод для определения вероятностинахождения искомого значения в заданном доверительном интервале, основанный на использованиираспределения Стьюдента (предложенного в 1908 г. английским математиком В.С. Госсетом).Обозначим через /> интервал, на которыйможет отклоняться среднее арифметическое значение />отистинного значения х0, т. е. Dx = х0–/>.Иными словами, мы хотим определить значение
/>.
Тогда
/>, (2.13)
где Sn определяется формулой (2.8). Эта величина подчиняется распределениюСтьюдента. Распределение Стьюдента характерно тем, что не зависит от параметровх0и s нормальной генеральной совокупности и позволяет при небольшомчисле измерений (n x = />–хi по заданнойдоверительной вероятности a или по заданному значению Dx найти надежностьизмерений. Это распределение зависит только от переменной ta и числастепеней свободы l = n – 1.
/>
Распределение Стьюдента справедливопри n/>2и симметрично относительно ta = 0(см. рис. 3). С ростом числа измерений ta-распределение стремится к нормальномураспределению (фактически при n> 20).
Доверительную вероятностьпри заданной погрешности результата измерений получают из выражения
p(/>–/>х0+/>) = 1 – a. (2.14)
При этом величина ta аналогична коэффициенту t в формуле (2.11). Величину ta называюткоэффициентом Стьюдента, его значения приводятся в справочных таблицах. Используясоотношения (2.14) и справочные данные можно решить и обратную задачу: по заданнойнадежности a определить допустимую погрешность результата измерений.
Распределение Стьюдента позволяеттакже установить, что с вероятностью, как угодно близкой к достоверности, при достаточнобольшом n среднее арифметическоезначение /> будет как угодно мало отличатьсяот истинного значения х0.
Предполагалось, что законраспределения случайной погрешности известен. Однако часто при решении практическихзадач не обязательно знания закона распределения, достаточно лишь изучить некоторыечисловые характеристики случайной величины, например среднее значение и дисперсию.При этом вычисление дисперсии позволяет оценить доверительную вероятность даже вслучае, когда закон распределения погрешности неизвестен или отличается от нормального.
В случае, если проведеновсего одно измерение, точность измерения физической величины (если оно проведенотщательно) характеризуется точностью измерительного прибора.
3. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Часто при проведении экспериментавстречается ситуация, когда искомые величины и(хi) непосредственно определить невозможно, однако можноизмерить величины хi.
Например, для измерения плотностиr чащевсего измеряют массу m иобъем V, а значение плотности рассчитывают по формулеr = m/V.
Величины хi содержат, как обычно, случайныепогрешности, т. е. наблюдают величины xi'= xi/>Dxi.Как и ранее, считаем, что xi распределены по нормальному закону.
1. Пусть и = f(х)является функцией одной переменной. В этом случае абсолютная погрешность
/>. (3.1)
Относительная погрешностьрезультата косвенных измерений
/>. (3.2)
2. Пусть и = f(х,у) является функцией двух переменных. Тогда абсолютная погрешность
/>, (3.3)
а относительная погрешностьсоставит
/>. (3.4)
3. Пусть и = f(х,у, z, …) является функцией нескольких переменных.Тогда абсолютная погрешность по аналогии
/> (3.5)
и относительная погрешность
/>, (3.6)
где />,/> и /> определяются согласно формуле(2.9).
В таблице 2 приводятся формулыдля определения погрешностей косвенных измерений для некоторых часто встречающихсяформул.
Таблица 2
Функция u
Абсолютная погрешность Du
Относительная погрешность du
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
ex
/>
/>
ln x
/>
/>
sin x
/>
/>
cos x
/>
/>
tg x
/>
/>
ctg x
/>
/>
x/>y
/>
/>
xy
/>
/>
x/y
/>
/>
4. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Все приведенные выше доверительныеоценки как средних значений, так и дисперсий основаны на гипотезе нормальности законараспределения случайных ошибок измерения и поэтому могут применяться лишь до техпор, пока результаты эксперимента не противоречат этой гипотезе.
Если результаты экспериментавызывают сомнение в нормальности закона распределения, то для решения вопроса опригодности или непригодности нормального закона распределения нужно произвестидостаточно большое число измерений и применить одну из описанных ниже методик.
Проверка по среднему абсолютномуотклонению (САО). Методика может использоваться для не очень больших выборок(n
/>. (4.1)
Для выборки, имеющий приближеннонормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение
/>. (4.2)
Если данное неравенство (4.2)выполняется, то гипотеза нормальности распределения подтверждается.
Проверка по критерию соответствияc2 (»хи-квадрат")или критерию согласия Пирсона. Критерий основан на сравнении эмпирических частотс теоретическими, которые можно ожидать при принятии гипотезы о нормальности распределения.Результаты измерений после исключения грубых и систематических ошибок группируютпо интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали всю ось и чтобы количестводанных в каждом интервале было достаточно большим (не менее пяти). Для каждого интервала(хi–1,хi) подсчитывают число тi результатов измерения, попавшихв этот интервал. Затем вычисляют вероятность попадания в этот интервал при нормальномзаконе распределения вероятностей рi:
/>, (4.3)
Далее вычисляют сумму
/>, (4.4)
где l – число всехинтервалов, n – число всех результатов измерений (n = т1+т2 +…+тl).
Если сумма, рассчитаннаяпо данной формуле (4.4) окажется больше критического табличного значения c2, определяемого при некоторойдоверительной вероятности р и числе степеней свободы k = l – 3, то с надежностью р можно считать, что распределениевероятностей случайных ошибок в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального.В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.
Проверка по показателямасимметрии и эксцесса. Данный метод дает приближенную оценку. Показатели асимметрииА и эксцесса Е определяются по следующим формулам:
/>, (4.5)
/>. (4.6)
Если распределение нормально,то оба эти показателя должны быть малы. О малости этих характеристик обычно судятпо сравнению с их средними квадратическими ошибками. Коэффициенты сравнения рассчитываютсясоответственно:
/>, (4.7)
/>. (4.8)
Распределение можно считатьнормальным, если коэффициенты СА и СЕ не превышаютвеличины 2…3.
5. МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГРУБЫХ ОШИБОК
При получении результатаизмерения, резко отличающегося от всех других результатов, возникает подозрение,что допущена грубая ошибка. В этом случае необходимо сразу же проверить, не нарушеныли основные условия измерения. Если же такая проверка не была сделана вовремя, товопрос о целесообразности браковки резко отличающихся значений решается путем сравненияего с остальными результатами измерений. При этом применяются различные критерии,в зависимости от того, известна или нет средняя квадратическая ошибка si измерений (предполагается, что все измерения производятся с однойи той же точностью и независимо друг от друга).
Метод исключения при известнойsi. Сначала определяется коэффициент t по формуле
/>, (5.1)
где x*– резко выделяющееся значение (предполагаемая ошибка). Значение /> определяется по формуле (2.1)без учета предполагаемой ошибки x*.
Далее задаются уровнем значимостиa, при котором исключаются ошибки,вероятность появления которых меньше величины a. Обычно используют один из трех уровней значимости:5 % уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0.05); 1 %уровень (соответственно меньше 0.01) и 0.1 % уровень (соответственно менее 0.001).
При выбранном уровне значимостиa выделяющеесязначение x* считают грубой ошибкой и исключают егоиз дальнейшей обработки результатов измерений, если для соответствующего коэффициентаt, рассчитанного по формуле (5.1), выполняется условие:1 – Ф(t)
Метод исключения при неизвестнойsi.
Если средняя квадратическаяошибка отдельного измерения si заранее неизвестна, то онаоценивается приближенно по результатам измерений посредством формулы (2.8). Далееприменяется тот же алгоритм, что и при известной si с той лишь разницей, что в формуле (5.1) вместо si используется величина Sn,рассчитанная по формуле (2.8).
Правило трех сигм.
Так как выбор надежностидоверительной оценки допускает некоторый произвол, в процессе обработки результатовэксперимента широкое распространение получило правило трех сигм: отклонение истинногозначения измеряемой величины не превосходит среднего арифметического значения результатовизмерений не превосходит утроенной средней квадратической ошибки этого значения.
Таким образом, правило трехсигм представляет собой доверительную оценку в случае известной величины s
/> (5.2)
или доверительную оценку
/> (5.3)
в случае неизвестной величиныs.
Первая из этих оценок имеетнадежность 2Ф(3) = 0.9973 независимо от количества измерений.
Надежность второй оценкисущественно зависит от количества измерений n.
Зависимость надежности рот количества измерений n дляоценки грубой ошибки в случае неизвестной величины s указана в
Таблица 4n 5 6 7 8 9 10 14 20 30 50 150
/> р(х) 0.960 0.970 0.976 0.980 0.983 0.985 0.990 0.993 0.995 0.996 0.997 0.9973
6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Результаты измерений можнопредставить в виде графиков и таблиц. Последний способ наиболее прост. В ряде случаеврезультаты исследований можно представлять только в виде таблицы. Но таблица недает наглядного представления о зависимости одной физической величины от другой,поэтому во многих случаях строят график. Им можно пользоваться для быстрого нахождениязависимости одной величины от другой, т. е. по измеренным данным находят аналитическуюформулу, связывающую величины х и у. Такие формулы называют эмпирическими.Точность нахождения функции у(х) по графику определяется корректностьюпостроения графика. Следовательно, когда не требуется большой точности, графикиудобнее таблиц: они занимают меньше места, по ним быстрее проводить отсчеты, припостроении их сглаживаются выбросы в ходе функции из-за случайных погрешностей измерений.Если требуется особо высокая точность, результаты эксперимента предпочтительнеепредставлять в виде таблиц, а промежуточные значения находить по интерполяционнымформулам.
Математическая обработкарезультатов измерений экспериментатором не ставит задачу раскрыть истинный характерфункциональной зависимости между переменными, а лишь дает возможность наиболее простойформулой описать результаты эксперимента, что позволяет использовать интерполированиеи применить к наблюдаемым данным методы математического анализа.
Графический метод. Чащевсего для построения графиков используют прямоугольную систему координат. Чтобыоблегчить построение, можно использовать миллиметровую бумагу. При этом отсчетырасстояний на графиках следует делать только по делениям на бумаге, а не при помощилинейки, так как длина делений может быть различной по вертикали и горизонтали.Предварительно нужно выбрать разумные масштабы по осям так, чтобы точность измерениясоответствовала точности отсчета по графику и график не был растянут или сжат вдольодной из осей, так как это ведет к увеличению погрешности отсчета.
Далее на график наносят точки,представляющие результаты измерений. Для выделения разных результатов их наносятразличными значками: кружками, треугольниками, крестиками и т. п. Так как в большинствеслучаев погрешности значений функции больше погрешностей аргумента, то наносят толькопогрешность функции в виде отрезка длиной, равной удвоенной погрешности в данноммасштабе. При этом экспериментальная точка находится в середине этого отрезка, которыйс обоих концов ограничивается черточками. После этого проводят плавную кривую так,чтобы она проходила возможно ближе ко всем экспериментальным точкам и примерно одинаковоечисло точек находилось по обеим сторонам кривой. Кривая должна (как правило) лежатьв пределах погрешностей измерений. Чем меньше эти погрешности, тем лучше криваясовпадает с экспериментальными точками. Важно отметить, что лучше провести плавнуюкривую вне пределов погрешности, чем допустить излом кривой вблизи отдельной точки.Если одна или несколько точек лежат далеко от кривой, то это часто свидетельствуето грубой ошибке при вычислении или измерении. Кривые на графиках чаще всего строятс помощью лекал.
Не следует брать очень многоточек при построении графика плавной зависимости и только для кривых с максимумамии минимумами необходимо в области экстремума наносить точки более часто.
При построении графиков частоиспользуют прием, называемый способом выравнивания или способом натянутой нити.Он основан на геометрическом подборе прямой «на глаз».
Если этот прием не удается,то во многих случаях преобразование кривой в прямую достигается применением однойиз функциональных шкал или сеток. Чаще всего применяются логарифмическая или полулогарифмическаясетки. Этот прием полезен и в тех случаях, когда нужно растянуть или сжать какой-либоучасток кривой. Так, логарифмический масштаб удобно использовать для изображенияизучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Этотметод рекомендуется для нахождения приближенных значений коэффициентов в эмпирическихформулах или для измерений с невысокой точностью данных. Прямой линией при использованиилогарифмической сетки изображается зависимость типа />,а при использовании полулогарифмической сетки – зависимость типа />. Коэффициент В0в некоторых случаях может быть равен нулю. Однако, при использовании линейного масштабавсе значения на графике отсчитывают с одинаковой абсолютной точностью, а при использованиилогарифмического масштаба – с одинаковой относительной точностью.
Следует также заметить, чточасто бывает трудно по имеющемуся ограниченному участку кривой (особенно, если невсе точки лежат на кривой) судить о том, какого типа функцию необходимо использоватьдля приближения. Поэтому переводят экспериментальные точки на ту или иную координатнуюсетку и уже потом смотрят, на какой из них полученные данные ближе всего совпадаютс прямой, и в соответствии с этим выбирают эмпирическую формулу.
Подбор эмпирических формул.Хотя нет общего метода, который давал бы возможность подобрать наилучшую эмпирическуюформулу для любых результатов измерений, все же можно найти эмпирическое соотношение,наиболее точно отражающее искомую зависимость. Не следует добиваться полного совпадениямежду экспериментальными данными и искомой формулой, так как интерполяционный многочленили другая аппроксимирующая формула будет повторять все погрешности измерений, акоэффициенты не будут иметь физического смысла. Поэтому, если не известна теоретическаязависимость, то выбирают такую формулу, которая лучше совпадает с измеренными значениямии содержит меньше параметров. Для определения подходящей формулы экспериментальныеданные изображают графически и сравнивают с различными кривыми, которые строят поизвестным формулам в том же масштабе. Изменяя параметры в формуле, можно в определеннойстепени менять вид кривой. В процессе сравнения необходимо учитывать имевшиеся экстремумы,поведение функции при различных значениях аргумента, выпуклость или вогнутость кривойна разных участках. Подобрав формулу, определяют значения параметров так, чтобыразличие между кривой и экспериментальными данными было не больше погрешностей измерений.
На практике наиболее частоиспользуются линейная, показательная и степенная зависимости.
7. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
Интерполирование.Под интерполированием понимают, во-первых, нахождение значений функции дляпромежуточного значений аргумента, отсутствующих в таблице и, во-вторых, заменуфункции интерполирующим многочленом, если аналитическое выражение ее неизвестно,а функция должна подвергаться определенным математическим операциям. Наиболее простыеспособы интерполирования – линейное и графическое. Линейное интерполирование можноприменять тогда, когда зависимость у(х) выражается прямой линией иликривой, близкой к прямой, для которой такое интерполирование не приводит к грубымпогрешностям. В некоторых случаях можно проводить линейное интерполирование и присложной зависимости у(х), если оно ведется в пределах настолько малогоизменения аргумента, что зависимость между переменными можно считать линейной беззаметных погрешностей. При графическом интерполировании неизвестную функциюу(х)заменяют ее приближенным графическим изображением (по экспериментальным точкам илитабличным данным), из которого определяют значения у при любых х впределах измерений. Однако точное графическое построение сложных кривых иногда оказываетсяочень трудным, например кривой с резкими экстремумами, поэтому графическое интерполированиеимеет ограниченное применение.
Таким образом, во многихслучаях невозможно применить ни линейного, ни графического интерполирования. В связис этим были найдены интерполирующие функции, позволяющие вычислить значения ус достаточной точностью для любой функциональной зависимости у(х)при условии, что она является непрерывной. Интерполирующая функция имеет вид
/>, (7.1)
где B0,B1, … Bn – определяемые коэффициенты. Так как данный многочлен (7.1) изображаетсякривой параболического типа, то такая интерполяция называется параболической.
Коэффициенты интерполирующегомногочлена находят, решая систему из (l + 1) линейных уравнений, получающихся при подстановке в уравнение(7.1) известных значений уi и хi.
Наиболее просто производитсяинтерполирование, когда интервалы между значениями аргумента постоянны, т. е.
/>, (7.2)
где h – постоянная величина, называемая шагом. В общем случае
/>. (7.3)
При использовании интерполяционныхформул приходится иметь дело с разностями значений у и разностями этих разностей,т. е. разностями функции у(х) различных порядков. Разности любогопорядка вычисляются по формуле
/>. (7.4)
Например,
/>и />.
При вычислении разностейих удобно располагать в виде таблицы (см. Табл. 4), в каждом столбце которой разностизаписывают между соответствующими значениями уменьшаемого и вычитаемого, т. е. составляетсятаблица диагонального типа. Обычно разности записывают в единицах последнего знака.
Таблица 4
Разности функции у(х)x y Dy
D2y
D3y
D4y
x0
у0
Dу0
Dу1
Dу2
Dу3
D2у0
D2у1
D2у2
x1
у1
D3у0
D3у1
x2
у2
D4у0
x3
у3
х4
у4
Так как функция у(х)выражается многочленом (7.1) n-ой степени относительнох, то разности также являются многочленами, степени которых понижаются наединицу при переходе к последующей разности. N-яразность многочлена n-ой степени является постояннымчислом, т. е. содержит х в нулевой степени. Все разности более высокого порядкаравны нулю. Это определяет степень интерполирующего многочлена.
Преобразовав функцию (7.1),можно получить первую интерполяционную формулу Ньютона:
/>. (7.5)
Она используется для нахождениязначений у при любых х в пределах измерений. Представим эту формулу(7.5) в несколько ином виде:
/>. (7.6)
Последние две формулы иногданазывают интерполяционными формулами Ньютона для интерполирования вперед. В этиформулы входят разности, идущие по диагонали вниз, и их удобно использовать в началетаблицы экспериментальных данных, где разностей достаточно.
Вторая интерполяционная формулаНьютона, выведенная из того же уравнения (7.1), выглядит следующим образом:
/>. (7.7)
Данную формулу (7.7) принятоназывать интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад. Она используетсядля определения значений у в конце таблицы.
Теперь рассмотрим интерполяциюпри неравноотстоящих значениях аргумента.
Пусть по-прежнему функцияу(х) задается рядом значений хi иуi,но интервалы между последовательными значениями хi неодинаковы.Использовать вышеприведенные формулы Ньютона нельзя, так как они содержат постоянныйшаг h. В задачах такого рода необходимо вычислитьприведенные разности:
/>; /> и т. д.
/>; /> и т. д. (7.8)
Разности более высоких порядковвычисляются аналогично. Как и для случая равноотстоящих значений аргумента, еслиf(х) – многочлен n-ойстепени, то разности n-го порядка постоянны, а разностиболее высокого порядка равны нулю. В простых случаях таблицы приведенных разностейимеют вид, аналогичный таблицам разностей при равноотстоящих значениях аргумента.
Помимо рассмотренных интерполяционныхформул Ньютона часто применяют интерполяционную формулу Лагранжа:
/>. (7.9)
В этой формуле каждое изслагаемых представляет собой многочленn-ойстепени и все они равноправны. Поэтому до окончания вычислений нельзя пренебрегатькакими-либо из них.
Обратное интерполирование.На практике иногда бывает необходимо найти значение аргумента, которому соответствуетопределенное значение функции. В этом случае интерполируют обратную функцию и следуетиметь в виду, что разности функции не постоянны и интерполирование нужно проводитьдля неравноотстоящих значений аргумента, т. е. использовать формулу (7.8) или (7.9).
Экстраполирование.Экстраполированием называют вычисление значений функции у за пределамиинтервала значений аргумента х, в котором были проведены измерения. При неизвестноманалитическом выражении искомой функции экстраполирование нужно проводить весьмаосторожно, так как не известно поведение функции у(х) за пределамиинтервала измерений. Экстраполяция допускается, если ход кривой плавный и нет причинждать резких изменений в исследуемом процессе. Тем не менее экстраполирование должнопроводиться в узких пределах, например в пределах шага h.В более далеких точках можно получить неверные значения у. Для экстраполированияприменяются те же формулы, что и для интерполирования. Так, первая формула Ньютонаиспользуется при экстраполировании назад, а вторая формула Ньютона – при экстраполированиивперед. Формула Лагранжа применяется в обоих случаях. Надо также иметь в виду, чтоэкстраполирование приводит к большим погрешностям, чем интерполирование.
Численное интегрирование.
Формула трапеций.Формулу трапеций обычно применяют в том случае, если значения функции измерены дляравноотстоящих значений аргумента, т. е. с постоянным шагом. По правилу трапецийв качестве приближенного значения интеграла
/> (7.10)
принимают величину
/>, (7.11)
/>
Рис. 7.1. Сравнение методов численного интегрирования
т. е. полагают />. Геометрическая интерпретацияформулы трапеций (см. рис. 7.1) следующая: площадь криволинейной трапеции заменяетсясуммой площадей прямолинейных трапеций. Полная ошибка вычисления интеграла по формулетрапеций оценивается как сумма двух ошибок: ошибки усечения, вызванной заменой криволинейнойтрапеции прямолинейными, и ошибки округления, вызванной ошибками измерения значенийфункции. Ошибка усечения для формулы трапеций составляет
/>, где />. (7.12)
Формулы прямоугольников.Формулы прямоугольников, как и формулу трапеций применяют также в случае равноотстоящихзначений аргумента. Приближенная интегральная сумма определяется по одной из формул
/>, (7.13)
/>. (7.14)
Геометрическая интерпретацияформул прямоугольников дана на рис. 7.1. Погрешность формул (7.13) и (7.14) оцениваетсянеравенством
/>, где />. (7.15)
Формула Симпсона.Приближенно интеграл определяется по формуле
/>, (7.16)
где n – четное число. Ошибка формулы Симпсона оценивается неравенством
/>, где />. (7.17)
Формула Симпсона приводитк точным результатам для случая, когда подынтегральная функция является многочленомвторой или третьей степени.
Численное интегрированиедифференциальных уравнений. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнениепервого порядка у' = f(х, у)с начальным условием у = у0при х = х0.Требуется найти приближенно его решение у = у(х) на отрезке[х0, хk].
/>
Рис. 7.2. Геометрическая интерпретация метода Эйлера
Для этого данный отрезокделится на n равных частейдлиной (хk –х0)/n. Поиск приближенных значенийу1, у2, …, уn функции у(х)в точках деления х1, х2, …, хn = хk осуществляется различнымиметодами.
Метод ломаных Эйлера.При заданном значении у0= у(х0) остальныезначения уi /> у(хi) последовательно вычисляются по формуле
/>, (7.18)
где i = 0, 1, …, n– 1.
Графически метод Эйлера представленна рис. 7.1, где график решения уравнения у = у(х) приближеннопредставляется ломаной (откуда и происходит название метода). Метод Рунге-Кутта. Обеспечивает более высокую точность по сравнению с методом Эйлера. Искомыезначения уi последовательновычисляются по формуле
/>, (7.19), где/>,
/>, />, />.
ОБЗОР НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Обзор литературы – обязательнаячасть всякого отчета об исследовании. Обзор должен полно и систематизированно излагатьсостояние вопроса, позволять объективно оценивать научно-технический уровень работы,правильно выбирать пути и средства достижения поставленной цели и оценивать какэффективность этих средств, так и работы в целом. Предметом анализа в обзоре должныбыть новые идеи и проблемы, возможные подходы к решению этих проблем, результатыпредыдущих исследований, данные экономического характера, возможные пути решениязадач. Противоречивые сведения, содержащиеся в различных литературных источниках,должны быть проанализированы и оценены с особой тщательностью.
Из анализа литературы должнобыть видно, что в этом узком вопросе известно вполне достоверно, что сомнительно,спорно; какие задачи в поставленной технической проблеме первоочередные, ключевые;где и как стоит искать их решения.
Затраты времени на обзорскладываются примерно так:выписки из справочников, чтение и конспектирование основных монографий 3 – 5 % составление рабочего плана обзора 1 – 2 % поиск периодики (и составление картотеки или списка литературы) 5 – 8 % чтение и конспектирование периодики 30 – 40 % отбор материала из конспектов, его сопоставление и анализ 20 – 30 % написание обзора 10 – 20 % правка текста 10 – 15 % переписка и изготовление рисунков 5 – 6 %
Исследование всегда имеетузкую конкретную цель. В заключении обзора обоснованы выбор цели и метода. Обзордолжен подготовить это решение. Отсюда следует его план и отбор материала. В обзорерассматривают только такие узкие вопросы, которые могут прямо повлиять на решениезадачи, но настолько полно, чтобы охватить практически всю современную литературупо этому вопросу.ОРГАНИЗАЦИЯ СПРАВОЧНО–ИНФОРМАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
В нашей стране в основу информационнойдеятельности положен принцип централизованной обработки научных документов, позволяющийс наименьшими затратами достичь полного охвата источников информации, наиболее квалифицированноих обобщить и систематизировать. В результате такой обработки подготавливаются различныеформы информационных изданий. К ним относятся:
1) реферативные журналы(РЖ) – основное информационное издание, содержащее преимущественно рефераты (иногдааннотации и библиографические описания) источников, представляющих наибольший интересдля науки и практики. Реферативные журналы, оповещающие о появившейся научно-техническойлитературе, позволяют осуществлять ретроспективный поиск, преодолевать языковыебарьеры, дают возможность следить за достижениями в смежных областях науки и техники;
2) бюллетени сигнальнойинформации (СИ), включающие в себя библиографические описания литературы, выходящейпо определенной отрасли знаний и являющиеся по существу библиографическими указателями.Их основной задачей является оперативное информирование о всех новинках научнойи технической литературы, так как появляется эта информация значительно раньше,чем в реферативных журналах;
3) экспресс-информация– информационные издания, содержащие расширенные рефераты статей, описание изобретенийи других публикаций и позволяющие не обращаться к первоисточнику. Задача экспресс-информации– быстрое и достаточно полное ознакомление специалистов с новейшими достиженияминауки и техники;
4) аналитические обзоры– информационные издания, дающие представление о состоянии и тенденциях развитияопределенной области (раздела, проблемы) науки и техники;
5) реферативные обзоры– преследующие ту же цель, что и аналитические обзоры, и в то же время носящие болееописательный характер. Авторы реферативных обзоров не дают собственной оценки содержащихсяв них сведений;
6) печатные библиографическиекарточки, т. е. полное библиографическое описание источника информации. Относятсяк числу сигнальных изданий и выполняют функции оповещения о новых публикациях ивозможностях создания каталогов и картотек, необходимых каждому специалисту, научномуработнику;
7) аннотированные печатныебиблиографические карточки;
8) библиографические указатели.
Большая часть этих изданийраспространяется и по индивидуальной подписке. Подробные сведения о них можно найтив издаваемых ежегодно «Каталогах изданий органов научно-технической информации».