--PAGE_BREAK--Пример конуса в множестве n-мерных векторов — это множество векторов с неотрицательными координатами, этот конус принято обозначать через Хотя понятно это не единственный пример конуса в . Так в случае n = 3 это множество векторов первого октанта, хотя в можно рассматривать и другие примеры конусов, например «круглый» конус (см. рис.1). Каждый конус можно описать аналитически с помощью системы функций и неравенств. Например, конус можно описать аналитически с помощью системы линейных неравенств:
L
K
Рис.1
«Круглый» конус, изображенный на рис.1 — это множество векторов, лежащих внутри или на границе конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей — линией L, не проходящей через начало координат. Выбирая разные направляющие, мы будем получать разные примеры конусов. Так, если выбрать в качестве направляющей контур треугольника (рис.2), мы получим трехгранный конус. Аналогично можно рассмотреть четырехгранные, пятигранные и т.д. конусы. «Круглый» конус, изображенный на рис.1, можно рассматривать в этой связи как конус, имеющий бесконечное число граней (каждое из ребер является одномерной гранью).
Особое место среди конусов занимают конусы с минимально возможным числом граней. Заметим, что в случае пространства (т.е. плоскости) каждый конус имеет ровно две грани и число 2 — это единственно возможное число граней конуса на плоскости.
Рис.2
Поэтому каждый конус на плоскости имеет минимально возможное число граней. В случае пространства - минимально возможное число граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно трем. В пространстве минимально возможное число (n-1)-мерных граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно n.
Тогда миниэдральным конусом будет называться всякий конус, который, во-первых, содержит хотя бы одну внутреннюю точку и, во-вторых, имеет минимально возможное число граней.
Миниэдральные конусы обладают одним важным свойством. Для формулировки этого свойства нам понадобятся некоторые вспомогательные понятия.
Пусть Е — линейное пространство с конусом К и знак «» есть отношение предпочтения по конусу К.
Однако, миниэдральные конусы в конечномерных пространствах обладают следующимфундаментальным свойством:
если конус К миниэдрален, то каждое ограниченное сверху (соответственно, снизу) множество М элементов имеет точную верхнюю sup М (соответственно, точную нижнюю inf M) грань.
Пример. Рассмотрим в пространстве с конусом векторов из с неотрицательными координатами множество векторов , удовлетворяющих для заданного вектора неравенству
.
Тогда inf, sup не существует.
Аналогично, если — множество векторов из, удовлетворяющих неравенству
,
то sup, а inf не существует.
§3. Интегральные операторы
Большой интерес представляют линейные интегральные операторы
,
действующие в различных пространствах Е функций, определенных на множестве W, которое мы предполагаем ограниченным и замкнутым подмножеством конечномерного пространства Rп[1], [16], [20].
Термин «интегральные уравнения» расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в «одномерном» случае) могут быть записаны в виде
(1)
где x: [a, b] → R — искомая функция, α, f: [a, b] → R и K: [a, b]Ч[a, b] → R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.
Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при a ≤ t ≤ s ≤ b, называют уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма [2]. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде
Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона
и уравнения Гаммерштейна
Уравнения I и II рода
Если α(t) ≠ 0 при всех t [a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде
(2)
Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода
(3)
Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] определить интегральный оператор
то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде
x = Ix + f (4)
и
= Ix + f (5)
Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E1, E2) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f E2 уравнение имеет единственное решение xE1 и, кроме того, найдется такая константа C, что ||x||E1 ≤ ||f ||E2.
Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в операторном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)–1, что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения. Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I–1 если он существует, необходимо, чтобы он являлся неограниченным [].
Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования.
§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения
типа свертки
Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде
(6)
Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде
(5)
где
.
Умножение (7) на ηj и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных cj:
в которой
,
Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(t – s):
Название наследуется от интегрального оператора свертки
играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.
Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:
Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства множество в компактное множество.
Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения , при которых уравнение
,
где – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений , не являющихся регулярными, называется спектром оператора и обозначается . Спектральным радиусом оператора называется число, определенное формулой
, .
Если уравнение
при данном имеет решение, отличное от тривиального, то называется собственным значением оператора , а нетривиальное решение уравнения называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению . При этом собственное значение называется позитивным, если и отвечающий ему собственный вектор принадлежит конусу .
Глава II
Оценки спектральных радиусов интегральных операторов
§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных
операторов
Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа
lx= Ax+ f.
Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.
В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).
Приведем соответствующее определение.
Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора А, если оператор
(lI— A)
имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s(А).
Спектральным радиусом r(А) оператора А называется следующая величина:
.
Для ограниченного оператора А спектральный радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка
r(А) A||.
Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:
Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r(А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).
Более того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x*Î К (теорема Перрона-Фробениуса [2]).
В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида
r(A) (1)
где r(A) — спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:
10) A=(aij) (i,j=1,2,3…); (2)
20) A – интегральный оператор вида
, (3)
где W — ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства Rm, K(t,s) – измеримая по sÎW почти при всех значениях tÎW функция, для которой при некоторых p>1 и выполняется условие:
. (4)
При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве Lp(W) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].
Введем в рассмотрение следующие функции
,. (5)
Теорема 1. Пусть для некоторого aÎ[0,1] выполняется следующее неравенство
Pa(t)Q1-a(t)£1 (tÎW) (6)
и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:
10) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;
20) в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества wÎW, mesw>0, оператор А – неразложим в пространстве Lp(W).
Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве Lp(W) меньше чем единица:
r(A)
Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W).
Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида
,
где - фиксированный элемент из , вытекает оценка снизу
для спектрального радиуса линейного положительного оператора , а из неравенства вида
(7)
(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента и конуса , или оператора ), вытекает оценка сверху для вида
. (8)
Для этого, например, достаточно, чтобы конус был телесным и нормальным, и чтобы был внутренним элементом конуса . Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки сверху, оценка снизу верна при единственном предположении о том, что .
Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида
, (9)
где - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве ? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка
? (10)
При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов и на фиксированном элементе конуса .
Теорема 2. Пусть конус - телесен и нормален, - внутренний элемент конуса . и - линейные положительные операторы, действующие в , причем они коммутируют, т.е.
. (11)
Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполняется неравенство
,
тогда для спектральных радиусов и операторов и справедливо следующее неравенство:
.
Доказательство.
Перейдем в пространстве к — норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем , так как конус телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в , т.к. конус нормален. Тем самым пространство будет полно по -норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора справедливо равенство
. (12)
Действительно, из неравенства
,
справедливого для любого , в виду положительности оператора следует, что
,
откуда, учитывая монотонность -нормы, получим
,
и, следовательно, по определению нормы оператора
. (13)
С другой стороны, из свойств нормы следует, что
. (14)
Из (14) и (13) следует равенство (12).
Далее, согласно условию (9), свойству (11) и положительности оператора , имеем
продолжение
--PAGE_BREAK--. (15)
По индукции легко доказать, что для любого имеет место неравенство
,
и в силу монотонности -нормы
.
Поэтому, согласно (12),
. (16)
Т.к. в силу эквивалентности -нормы и нормы пространства можно написать, что
, , (17)
то из неравенства (16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.
Замечание. Теорема 2 верна также и в том случае, когда операторы и полукоммутируют (т.е. ). В доказательстве выражение (15) перепишется в виде:
.
Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих неравенств. Т.е. условия, при которых из
следует оценка
. (18)
Прежде, чем перейти к рассмотрению строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.
Теорема 3.Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. . Пусть оператор неразложим, тогда операторы и имеют общий собственный вектор.
Доказательство.
Пусть - собственный вектор оператора , отвечающий спектральному радиусу . Т.к. операторы и коммутируют, то для любого имеем:
.
Тогда
,
следовательно - собственный вектор оператора , . Т.к. - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]:
,
где .
Тем самым у оператора есть собственный вектор . Т.е. получаем, что у операторов и есть общий собственный вектор .
Теорема доказана.
Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.
Теорема 4. Пусть дана некоторая коммутативная совокупность линейных положительных операторов, из которых хотя бы один является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал , такой, что для всех , где для каждого . При этом .
Доказательство.
На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из имеют общий собственный вектор (), причем .
является собственным значением соответствующего оператора и собственным значением сопряженного оператора , которому отвечают собственный вектор оператора и собственный функционал оператора , где — сопряженная к полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов . Таким образом, получим
и .
Теорема доказана.
Приведем достаточно известный [22] результат.
Теорема 5. Если , то уравнение
(19)
имеет единственное решение
,
которое является пределом последовательных приближений
(20)
при любом .
Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана
.
Перейдем к рассмотрению строгих оценок.
Теорема 6. Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. , и пусть оператор - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполнено неравенство
, ().
Пусть выполнено одно из условий:
1) вполне непрерывен, - квазивнутренний элемент ;
2) конус телесный и нормальный, - внутренний элемент ;
3) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный;
4) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ;
5) оператор допускает представление
,
где - вполне непрерывен, , конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ; существует такой элемент , что .
Тогда справедливо строгое неравенство
.
Доказательство.
В силу теоремы 5 уравнение
имеет решение
.
Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству
. (21)
Т.к. - неразложим, то из неравенства (21) следует, что — квазивнутренний элемент . Поэтому при любом ненулевом выполнено неравенство
. (22)
В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал , что . На основании теоремы 3 найдется такой собственный элемент оператора , отвечающий собственному значению , который будет также собственным элементом оператора , отвечающим некоторому собственному значению оператора . Тогда
,
и из (22) вытекает
.
Откуда
.
Следовательно, .
Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы и полукоммутируют, т.к. если операторы и полукоммутируют, и оператор неразложим, то имеет место равенство:
,
т. е. операторы и коммутируют.
Замечание2. Используя равенство
можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства
вытекает оценка
.
Пример. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :
; ; , . Имеем , , т.е. . Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно .
В то время как точное значение спектрального радиуса: .
Заметим, что использование коммутирующего оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то , и тогда, учитывая (8), получим , а эта оценка намного хуже оценки .
§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора
Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].
Теорема 1 . Пусть — матричное ядро. . Функции , заданны в квадрате , за исключением прямой t=s, , . Пусть r=-спектральный радиус матричного интегрального оператора .Тогда
, где p>0, q>0, 1/p+ 1/q=1,
где
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим систему
. (2)
Так как — спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
(3)
Представим (4)
Вычтем почленно из (2) тождество (4):
.
Так как , то , таким образом:
Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что ,
получим:
=
=
согласно (4)
=
учитывая (1) и (3)
.
Возведем обе части в степень q.
, тогда
Проинтегрируем по t
,
учитывая (3) получим:
или
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.
Теорема 2.Пусть -непрерывное матричное ядро . Тогда функции , заданные для , порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве
.
Пусть -спектральный радиус матричного интегрального оператора в пространстве,
, ,
докажем, что
.
Для доказательства теоремы рассмотрим систему
. (5)
Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
(6)
Умножим обе части уравнения (5) на . Получим
. (7)
С учетом (5) ,
тогда (7) запишется следующим образом:
(8)
Умножим обе части выражения (8) на , получим
. (9)
Проинтегрируем обе части выражения (9) по
.
Тогда
Учитывая (6), получим
Из неравенства Гельдера для
получим
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.
§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного
положительного оператора
В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента со значением комбинации элементов , где - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок достаточно знать оценку , а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и — линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого и выполняется неравенство
, (1)
то
.
Если для верна оценка , тогда
. (2)
Доказательство.
Существует такой функционал , что
и ,
где — собственное значение оператора , соответствующее функционалу . Применим функционал к (1):
,
,
.
Т.к. оператор — неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому
.
Заменив на , мы только усилим неравенство (т.к. ):
.
Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :
; ; ; ,
поэтому , и . Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно , т.к. , то имеем . В то время как .
При получим известную теорему Стеценко В.Я. [20]:
Пусть оператор неразложим и , K — телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента выполняется неравенство , тогда справедливо неравенство .
Эта теорема является частным случаем теоремы 1.
Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере 1 предположить , то , и тогда , а эта оценка намного хуже оценки .
Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть - воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим, и для некоторого выполняется неравенство
,
где , . Тогда
.
Если для верна оценка , тогда
.
Теорема 3. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Пусть для некоторого выполняется неравенство
, (3)
где , . Тогда верна оценка:
,
где - наименьшее позитивное собственное значение оператора .
Доказательство.
Применим к (3) функционал из теоремы 1:
.
Т.к. оператор — неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому
.
Т.к. , то заменив в последнем неравенстве на , только усилим его:
,
таким образом . Теорема доказана.
Следствие (к теореме 3). Если в условиях теоремы 3 предположить, что оператор также неразложим, тогда будет верна оценка:
.
Теорема 4. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е.. Пусть - неразложим, и пусть для некоторого выполняется неравенство
,
, . Если спектральный радиус оператора известен и , то
.
Если для известна оценка и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .
Доказательство.
Как и при доказательстве теоремы 1, придем к неравенству
. (4)
Предположим, что , тогда, усиливая неравенство (4), получим
,
,
что противоречит предположению. Остается принять, что . Усиливая неравенство (4), получим
.
Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (4) на большее число , повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим и для некоторого выполняется неравенство
,
, . Если наименьшее позитивное значение оператора известно и , то
.
Если для известна оценка , и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .
Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.
Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор также неразложим, спектральный радиус оператора известен и , тогда верна оценка:
.
Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого выполняется неравенство
,
где , и , то верна оценка:
.
Доказательство.
Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству
, (5)
продолжение
--PAGE_BREAK--