Задание K2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях
/>Дано:
/>x=c2t2+c1t+c,
R2=40см,
r2=25 см,
R3=20 см,
x=9 см,
V=8 см/с,
x2=65 см,
t1=1с,
/>t2=2с.
c1-?c2-?c3-?
V-?a-?/>-?
/>-? VM-?
Уравнение груза 1 имеет вид: (1)
x=c2t2+c1t+c.
Коэффициенты c2, c1, cмогут быть определены из следующих условий:
При t=0cx=9 />=V=8; (2)
При t=2cx=65. (3)
Скорость груза 1
V=/>= 2c2t+c1 (4)
Подставляя (2) и (3) в (1) и (4) получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты
c2, c1, c
/>/>
Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет вид:
x= 10 t2+8t+9. (5)
Скорость груза 1:
V=/>=20t+8
При t=1cV=28см/c.(6)
Ускорение груза 1:
a=/>20см/с2.
Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза V и угловые скорости колес />и />.
/>
откуда имеем:
/> (7)
Т.к. V=20t+8, то
/>
/>;
При t=1c/>=2,24рад/с.
Угловое ускорение колеса 3: />
/>
Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:
/>VМ=/>см/с.
/>см/с2.
/>см/с2
/>см/с2
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
28
20
2,24
1,6
44,8
100,35
32
105,33 --PAGE_BREAK--
Задание:
Найти скорость 1 тела в конце отрезка s.
/>Дано:
/>кг
/>кг
/>кг
/>м
/>м
/>
/>
/>
/>м
/>м
/>
Решение:
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы
/>
/>(т.к. система состоит из абсолютно твёрдых тел)
T0=0(т.к. в начальный момент времени система покоилась)
/>
Определим кинетическую энергию системы в конечный момент времени
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
/>
Определим работу сил в конечный момент времени
/>
/>
/>
/>
/>
A/>
/>
/>
/>
/>
/>
A/>
/>
/>
/>
/>
Определим скорость в конечный момент времени
/>
/>(м/с)
Ответ: /> м/с
К4. Кинематический анализ многозвенного механизма
/>Дано:
/>=2рад/с.
/>=/>
a=50см
b=30см
O1A=14см
O2B=29см
AB=45см
BC=54см
CD=34см
/>DE=37см
Найти:
1) скорости точек А, В, С и Dмеханизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;
2) скорости точек А, В, С и Dмеханизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;
3) ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ;
4) положение мгновенного центра ускорений звена АВ;
5) ускорение точки М, делящей звено АВ пополам.
/>
Определние скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью плана скоростей.
Определяем скорости точек.
Строим схему механизма в выбранном масштабе (рис1). Вычисляем модуль скорости точки А кривошипа О1А:
/>=/>м/с.
Вектор />перпендикулярен О1А и направлен в сторону вращения кривошипа.
/>
Строим план скоростей. Из произвольно выбранного полюса О проводим луч Оа, изображающий в выбранном масштабе скорость точки А.
Для определения скорости точки В через
полюс О проводим прямую, параллельную
скорости />, через точку а- прямую,
перпендикулярную АВ. Получаем точку b;
отрезок Оbопределяет скорость точки В.
Измеряем длину луча Оbи, пользуясь масштабом скоростей, находим />=13см/с
Продолжая построение плана скоростей, находим />, />, />
/>=13 см/с.
/>=13 см/с.
/>=5,3 см/с. продолжение
--PAGE_BREAK--
Определяем угловые скорости звеньев механизма.
Отрезок abплана скоростей выражает вращательную скорость точки В вокруг точки А:
ab=/>;
отсюда угловая скорость звена АВ
/>=ab/AB=14,5/45=0,32 рад/с
Аналогично определяются угловые скорости звеньев ВС и ED:
/>=bc/BC=0/54=0
/>=ed/ED=14/37=0,38 рад/с
Угловая скорость звена О2В определяется по вращательной скорости точки В вокруг неподвижного центра О2.
/>=13/29=0,45 рад/с
Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.
а) Определяем положения мгновенных центров скоростей звеньев механизма.
Строим схему в выбранном масштабе(рис3)
Звенья О1А, O2B вращаются вокруг неподвижных центров О1 и О2.
/>
Рис3
Мгновенный центр скоростей РАВзвена АВ находится на как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенного центра скоростей РDE. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в бесконечности.
Б) Определяем скорости точек. Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев. Эти расстояния измеряются на чертеже.
Для определения скорости точки В звена АВ имеем пропорции
/>АРАВ/ВРАВ.
Следовательно,
/>ВРАВ/АРАВ.
/>/>см/с.
Т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности, то
/>
Для определения скорости точки Е звена EDимеем пропорции
/>ЕРED/DPED.
Следовательно,
/>DPED/EPED.
/>см/с.
Одновременно с определением модулей скоростей точек находим их направления, а также направления вращений звеньев механизма. Например, по направлению скорости точки А и положению мгновенного центра скоростей РАВ устанавливаем, что вращение звенаАВ происходит по часовой стрелке. Поэтому скорость точки В при данном положении механизма направлена влево.
Аналогично определяем направления вращений остальных звеньев и направления скоростей точек механизма.
в) Определяем угловые скорости звеньев механизма
Скорость любой точки звена равна произведению угловой скорости этого звена на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей:
/>АРАВ.
/>/> АРАВ.
/>28/64=0,43 рад/с.
Угловая скорость звена О2В определяется по скорости точки В:
/>
/>13,1/29=0,45 рад/с.
Угловая скорость звена ВС равна нулю, т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности:
/>
Аналогично вычисляем угловую скорость звена ED:
/>EPED.
/>5,4/14=0,38 рад/с.
3. Определение ускорений точек Aи Bи угловое ускорение звена АВ.
Определяем /> и />.
С помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры определяем ускорение точки В:
/>.
Т.к. кривошип О1А вращается равномерно, то ускорение точки А направлено к центру О1 и равно
/>см/с2.
Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А направлено от точки В к точке А и равно
/>0,43=19,43 см/с2.
Откладываем от точки В в соответствующем масштабе ускорение полюса />. Из конца вектора /> строим вектор />, проводя его параллельно ВА. Через конец вектора /> проводим прямую JK, перпендикулярную ВА, т.е. параллельную вращательному ускорению />. Однако определить ускорение /> этим построением невозможно, т.к. его направление неизвестно.
Чтобы найти ускорение точки В, необходимо выполнить второе построение, рассматривая эту точку как принадлежащую О2В. В этом случае
/>
Центростремительное ускорение точки В:
/>см/с2.
Откладываем от точки В вектор />, направив его к центру О2. Через конец вектора /> проводим прямую LN перпендикулярно О2В, т.е. параллельно вращательному ускорению /> .
Точка пересечения этой прямой с JK определяет концы векторов />/>, />
Измерением на чертеже получаем
/>80 см/с2.
/>49 см/с2. продолжение
--PAGE_BREAK--
Т.к. />=АВ/>, то угловое ускорение звена АВ
/>/>/АВ=49/45=1,09 рад/с2.
4)Определение положения мгновенного центра ускорений звена АВ.
Примем точку А за полюс. Тогда ускорение точки В
/>
Строим параллелограмм ускорений при точке В по диагонали /> и стороне />. Сторона параллелограмма /> выражает ускорение точки В во вращении АВ вокруг полюса А. Ускорение /> составляет с отрезком АВ угол />, который можно измерить на чертеже.
Направление вектора /> относительно полюса А позволяет определить направление />, в данном случае соответствующее направлению часовой стрелки Отложив угол /> от векторов /> и /> в этом направлении и проводя два луча, найдем точку их пересечения /> — мгновенный центр ускорений звена АВ.
5) Определение ускорения точки М.
Найдем ускорение точки М с помощью МЦУ.
Ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра ускорений:
/>.
Подставив расстояния, определенные по чертежу
К7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
/>/>Дано:
OM=Sr(t)=25sin(/>t/3);
/>
/>4c
/>a=25см
v-?
a-?
Положение точки М на теле Dопределяется расстоянием Sr=ОМ.
При />4cSr=25 sin(/>4/3)= -21,65 см.
/>
Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:
/>
Модуль относительной скорости />/>, где />dSr/dt=25cos(/>t/3) />/3
При t=4c/>-13,08см/с.
/>13,08см/с.
Отрицательный знак у />показывает, что вектор/>направлен в сторону убывания Sr.
Модуль переносной скорости />=/>, где
/>-радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М,
/>-модуль угловой скорости тела.
Найдем />.
Рассмотрим прямоугольный треугольник />.
АМ=ОА-ОМ.
АМ=25-21,65=3,35см.
/>=25см.
По теореме Пифагора имеем:
/>
/>=25,22см.
Найдем />.
/>, где /> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>=d/>/dt=4t-0,5
При t=4c/>/>=15,5рад/с.
Знак ”+” у величины />показывает, что вращение тела Dпроисходит в ту же сторону, в которую ведется отсчет угла />.
Тогда модуль переносной скорости
/>=/>=390,91 см/с.
Модуль абсолютной скорости vнайдем способом проекций.
Через точку М проводим оси Xи Y.
/>/>/>
/>
Из треугольника />:
/>=AM//>
/>=3,35/25,22=0,13
/>/>
Тогда
/>/>1,704 см/с
/>403,86см/с.
Значит v= />
/>403,86см/с.
Абсолютное ускорение точки М равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.
/>, где в свою очередь
/>
/>
/>
Относительное движение.
Это движение происходит по закону Sr(t)=25sin(/>t/3);
Модуль относительного касательного ускорения />,
где />=d2Sr/dt=/>
При t=4c/>23,72см/с2.
/>23,72см/с2.
Модуль относительного центростремительного ускорения />=0, т.к. радиус кривизны относительной траектории стремится к бесконечности.
Переносное движение.
Это движение происходит по закону
/>
Модуль переносного вращательного ускорения />, где
/>=/>— модуль углового ускорения тела D
/>d2/>/dt2=4рад/с2 продолжение
--PAGE_BREAK--
Знаки у />и />одинаковые. Значит вращение тела Dускоренное.
Тогда />см/с2
Модуль переносного центростремительного ускорения
/>
/>=6059,1 см/с2.
Кориолисово ускорение.
Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле
/>, где
/>— угол между вектором />и осью вращения (вектором />).
В нашем случае />=/>, т.к. ось вращения перпендикулярна плоскости вращения тела D.
Тогда />12118,21 см/с2.
Направление вектора />найдем по правилу Н.Е.Жуковского: т.к. вектор />лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на />в направлении />, т.е. против хода часовой стрелки.
Модуль абсолютной скорости vнайдем способом проекций.
Через точку М проводим оси Xи Y.
/>+/>
/>=100,88+23,72/>-6059/>=-663,3см/с2.
/>
/>18174,22см/с2.
/>
/>=18186,32см/с2.
Ответ:/>13,08см/с />=390,91 см/с. />403,86см/с.
/>23,72 см/с2, />/>см/с2, />=6059,1 см/с2, />12118,21 см/с2, />=18186,32