ПЕНЗЕНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедрамикроэлектроники
/>
Курсоваяработа
по курсу ФОМ
Тема
Емкостьрезкого p-n перехода
г. Пенза, 2005 г.
СодержаниеЗадание
Обозначение основных величин
Основная часть
1. Расчет собственной концентрацииэлектронов и дырок
2. Расчет контактной разностипотенциалов
3. Расчет толщины слоя объемногозаряда
4. Расчет барьерной емкости
Список используемой литературы
Задание
1. Вывести выражение дляемкости резкого p-n перехода в случае полностьюионизированных примесей
2. Рассчитать величинубарьерной емкости резкого p-n перехода при 300 К и напряжении V. Считать что примеси полностьюистощены, а собственная проводимость еще очень мала.
3. Построить графикзависимости барьерной емкости от температуры.
4. Составить программувычисления значений барьерной емкости для графика.Полупроводник Ge V, В
Nd , см />
1,0/>10/>
Na, см/>
1,0/>10/>
S, мм/> 0,15
Обозначение основныхвеличин
DE – ширина запрещенной зоны.
[DE] =1,8/>10/>Дж=1,13 эВ.
e/>– электрическая постоянная.
e/>=8,86/>10/>/>.
/> – подвижность электронов.
[/>]=0,14 м/>/(В/>с)
/>– подвижность дырок.
[/>]=0,05 м/>/(В/>с)
m/>– эффективная масса электрона.
m/>=0,33/>m/>=0,33/>9,1/>10/>=3,003/>10/>кг
m/>– эффективная масса дырки.
m/>=0,55/>m/>=0,55/>9,1/>10/>=5,005/>10/>кг
m/>– масса покоя электрона.
m/>=9,1/>10/>кг.
/>/>– время релаксации электрона.
/>/>=2/>10/>с.
/>/>– время релаксации дырки.
/>/>=10/>с.
S – площадь p-n перехода.
[S]= 10/>мм/>
n/>– собственная концентрацияэлектронов.
[n/>]=м/>
p/>– собственная концентрация дырок.
[p/>]=м/>/>
N/>– эффективное число состояний в зонепроводимости, приведенное ко дну зоны.
[N/>]=м/>
N/>– эффективное число состояний ввалентной зоне, приведенное к потолку зоны.
[N/>]=м/>
k – константа Больцмана.
k = 1,38/>10/>/>.
Т – температура.
[T]=K.
/> — число Пи.
/>=3,14.
h – константа Планка.
h = 6,63/>10/>Дж/>с.
V/>–контактная разность потенциалов.
[V/>]=B.
j/>– потенциальный барьер.
[j/>]=Дж или эВ.
q – заряд электрона.
q=1,6/>10/>Кл.
n/>– концентрация донорных атомов в n-области.
[n/>]=[N/>]=2,0/>10/>м/>
p/>– концентрация акцепторных атомов в p-области.
[p/>]=[N/>]=9,0/>10/>м/>
e – диэлектрическая проницаемость.
e=15,4
d – толщина слоя объемного заряда.
[d]=м.
N/>– концентрация акцепторов.
[N/>]=1,0/>10/>см/>
N/>– концентрация доноров.
[N/>]=1,0/>10/>см/>
V – напряжение.
[V]=0 В.
C/>– барьерная емкость.
[C/>]=Ф.
/>– удельная барьерная емкость.
[/>]= Ф/м/>
m/>– уровень Ферми.
[m/>]=Дж или эВ.
1. Расчет собственной концентрацииэлектронов и дырок
/> Е Е+dЕ
/>/>/>
/> Зона проводимости
/>/>/>/>/>/>/>/>/> Е
/>/>
0 />/>/>Е/>
— m
/>
/>/>Е/>/> /> /> /> /> /> /> /> />
/> -m¢
Е/>
Валентная зона.
Рис.1.Положение уровняФерми в невырожденном полупроводнике.
На рис. 1 показана зоннаяструктура невырожденного полупроводника. За нулевой уровень отсчета энергиипринимают обычно дно зоны проводимости Е/>. Так как для невырожденного газауровень Ферми m долженрасполагаться ниже этого уровня, т.е. в запрещенной зоне, то m является величиной отрицательной (-m >>kT). При температуре Т, отличной от абсолютного нуля, в зонепроводимости находятся электроны, в валентной зоне – дырки. Обозначим ихконцентрацию соответственно через n и p. Выделим около дна зоны проводимостиузкий интервал энергий dЕ,заключенный между Е и Е+dЕ.Так как электронный газ в полупроводнике является невырожденным, то число электроновdn, заполняющих интервал энергии dЕ (в расчете на единицу объемаполупроводника), можно определить, воспользовавшись формулой :
N(E)dE=/>(2m)/>e/>E/>dE
dn=/>(2m/>)/>e/>e/>E/>dE
где m – эффективная масса электронов,располагающихся у дна зоны проводимости.
Обозначим расстояние отдна зоны проводимости до уровня Ферми через -m, а от уровня Ферми до потолка валентной зоны через -m¢. Из рис. 1 видно, что
m+m¢=-E/>,
m¢=-(Е/>+m)
где Е/>(/>Е) — ширина запрещеннойзоны.
E/>=Е +bТ
Полное число электронов n, находящихся при температуре Т взоне проводимости, получим, интегрируя (1.2) по всем энергиям зоныпроводимости, т.е. в пределах от 0 до Е/>:
n=4/>/>/>
Так как с ростом Ефункция exp(-E/kT) спадает оченьбыстро, то верхний предел можно заменить на бесконечность:
n=4/>/>/>
Вычисление этогоинтеграла приводит к следующему результату:
n=2/>exp /> (1.5)Введем обозначение
N/>=2(2/>m/>kT/h/>)/> (1.6)
Тогда (1.5)примет следующий вид:
n=N/>exp(/>/kT) (1.7)
Множитель N/>в (1.7) называют эффективным числом состояний в зонепроводимости, приведенным ко дну зоны. Смысл этого числа состоит в следующем.Если с дном зоны проводимости, для которой Е=0, совместить N/>состояний, то, умножив это число на вероятностьзаполнения дна зоны, равную f/>(0)=exp(/>/kT),получим концентрацию электронов в этой зоне.
Подобный расчет,проведенный для дырок, возникающих в валентной зоне, приводит к выражению:
p=2/>exp/>=N/>exp/>= N/>exp/> (1.8)
где
N/>=2/> (1.9)
– эффективноечисло состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.
Из формул (1.7) и (1.8)следует, что концентрация свободных носителей заряда в данной зоне определяетсярасстоянием этой зоны от уровня Ферми: чем больше это расстояние, тем нижеконцентрация носителей, так как m и m¢ отрицательны.
В собственныхполупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n/>равна концентрации дырок в валентной зоне p/>, так как
каждый электрон,переходящий в зону проводимости, «оставляет» в валентной зоне после своегоухода дырку. Приравнивая правые части соотношения (1.5) и (1.8), находим
2/>exp />=2/>exp/>
Решая это уравнениеотносительно m, получаем
m/>= -/>+/>kT ln/> (1.10)
Подставив m/>из (1.10) в (1.5) и (1.7), получим
n/>=p/>=2/>exp/>=(N/>N/>)/>exp/> (1.11)
Из формулы (6.12) видно,что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводникеопределяется шириной запрещенной зоны и температурой. Причем зависимость n/>и p/>от этих параметров является очень резкой.
Рассчитаемсобственную концентрацию электронов и дырок при Т=300К.
Eg=(0,782-3,9/>10/>/>300)1,6 10-19=1,064/>10-19Дж
N/>=2(2/>m/>kT/h/>)/>=2/>=2/>= =2/>=4,7/>10/>(см/>)
N/>=2/>=2/>=2/>=10,2/>10/>(см/>)
n/>=p/>=(N/>N/>)/>exp/>=/>=
6,92/>10/>/>2/>10/>=13,8/>10/>(см/>)
2. Расчет контактнойразности потенциалов
Для n-области основными носителямиявляются электроны, для p-области– дырки. Основные носители возникают почти целиком вследствие ионизациидонорных и акцепторных примесей. При не слишком низких температурах эти примесиионизированы практически полностью, вследствие чего концентрацию электронов в n-области n/>можно считать равной концентрации донорных атомов: n/>»N/>, а концентрацию дырок в p-области p/>– концентрация акцепторных атомов в p-области: p/>»N/>.
Помимо основных носителейэти области содержат не основные носители: n-область – дырки (p/>), p-область– электроны (n/>). Их концентрацию можно определить,пользуясь законом действующих масс:
n/>p/>= p/>n/>=n/>.
Как видим, концентрациядырок в p-области на 6 порядков вышеконцентрации их в n-области, точнотак же концентрация электронов в n-областина 6 порядков выше их концентрации в p-области. Такое различие в концентрации однотипных носителей вконтактирующих областях полупроводника приводит к возникновению диффузионныхпотоков электронов из n-областив p-область и дырок из p-области в n-область. При этом электроны, перешедшие из n- в p-область, рекомбинируют вблизи границы раздела этих областейс дырками p-области, точно так же дырки,перешедшие из p- в n-область, рекомбинируют здесьс электронами этой области. Врезультате этого в приконтактном слое n-области практически не остается свободных электронов и в нем формируетсянеподвижный объемный положительный заряд ионизированных доноров. Вприконтактном слое p-областипрактически не остается дырок и в нем формируется неподвижный объемныйотрицательный заряд ионизированных акцепторов.
Неподвижные объемныезаряды создают в p–n-переходе контактное электрическоеполе с разностью потенциалов V/>,локализованное в области перехода и практически не выходящее за его пределы.Поэтому вне этого слоя, где поля нет, свободные носители заряда движутсяпо-прежнему хаотично и число носителей, ежесекундно наталкивающихся на слойобъемного заряда, зависит только от их концентрации и скорости тепловогодвижения. Как следует из кинетической теории газов, для частиц, подчиняющихся классическойстатистике Максвела–Больцмана, это число nопределяется следующим соотношением:
n=/>n/>S, (2.1)
где n/> — концентрация частиц;/> — средняя скорость тепловогодвижения; S – площадь, на которую они падают.
Неосновные носители –электроны из p-области и дырки из n-области, попадая в слой объемногозаряда, подхватываются контактным полем V/>и переносятся через p–n-переход.
Обозначим потокэлектронов, переходящих из p- в n-область, через n/>, поток дырок, переходящих из n- в p-область, через p/>.Согласно (2.1) имеем
n/>=/>n/>/>/>S, (2.2)
p/>=/>p/>/>/>S. (2.3)
Иные условия складываютсядля основных носителей. При переходе из одной области в другую они должныпреодолевать потенциальный барьер высотой qV/>, сформировавшийся в p–n-переходе. Для этого они должны обладать кинетическойэнергией движения вдоль оси c, не меньшей qV/>. Согласно(2.1) к p–n-переходу подходят следующие потоки основных носителей:
n/>=/>n/>/>/>S,
p/>=/>p/>/>/>S.
В соответствии с закономБольцмана преодолеть потенциальный барьер qV/>сможет только n/>exp (-qV/>/kT) электронов и p/>exp (-qV/>/kT) дырок. Поэтому потоки основныхносителей, проходящие через p–n-переход, равны
n/>=/>n/>/>/>exp (-qV/>/kT), (2.4)
p/>=/>p/>/>/>exp (-qV/>/kT), (2.5)
На первых порах послемысленного приведения n- и p-областей в контакт потоки основныхносителей значительно превосходят потоки неосновных носителей: n/>>>n/>, p/>>>p/>. Но по мере роста объемного заряда увеличиваетсяпотенциальный барьер p–n-перехода qV/>и потоки основных носителейсогласно (2.4) и (2.5) резко уменьшаются. В то же время потоки неосновныхносителей, не зависящие от qV/>[ см. (2.2) и(2.3)] остаются неизменными. Поэтому относительно быстро потенциальный барьердостигает такой высоты j/>= qV/>, при которой потоки основныхносителей сравниваются с потоками неосновных носителей:
n/>=n/>, (2.6)
p/>=p/>. (2.7)
Это соответствуетустановлению в p–n-переходе состояния динамическогоравновесия.
Подставляя в (2.6) n/>из (2.4) и n/>из (2.2), а в (2.7) p/>из (2.5) и p/>из (2.3), получаем
n/>exp (-qV/>/kT)= n/>, (2.8)
p/>exp (-qV/>/kT)= p/>. (2.9)
Отсюда легко определитьравновесный потенциальный барьер p–n-перехода j/>= qV/>. Из (2.8) находим
j/>= qV/>= kTln (n/>/ n/>)= kTln (n/>p/>/n/>). (2.10)Из (2.9) получаем
j/>= kTln (p/>/ p/>)=kTln (p/>n/>/ n/>). (2.11)
Из (2.10) и (2.11) следует, чтовыравнивание встречных потоков электронов и дырок происходит при одной и той жевысоте потенциального барьера j/>.Этот барьер тем выше, чем больше различие в концентрации носителей одного знакав n- и p-областях полупроводника.
Рассчитаем контактную разностьпотенциалов при 300 К.
n/>=N/>=1,0/>10/>
p/>=N/>=1,0/>10/>
j/>= kTln(p/>n/>/n/>)=1,38/>10/>/>300/>ln/>=
= 414/>10/>/>6,26=2,6/>10/>(Дж)
V/>=/>=/>=0,16 (В)
3. Расчет толщины слояобъемного заряда
Для определения видафункции j (x), характеризующей изменение потенциальной энергии электронапри переходе его из n- в p-область (или дырки при переходе ееиз p- в n-область), воспользуемся уравнением Пуассона
/>=/>r (x), (3.1)
в котором r (x) представляет собой объемную плотность зарядов, создающихполе. Будем полагать, что донорные и акцепторные уровни ионизированы полностьюи слой d/>покинули практически всеэлектроны, а слой d/>– все дырки. Тогда дляобласти n (x>0) r/>(x) » qN/>»q n/>, для области p (x(x) » — qN/>» -qp/>. Подставляя это в (3.1), получаем
/>=/>N/> для x>0, (3.2)
/>=/>N/> для x
Так как на расстояниях x£d/>и x ³- d/>контактное поле вполупроводнике отсутствует, то граничными условиями для этих уравнений являются:
j (x) ½/>=0, j (x) ½/>=j/>; (3.4)
/>½/>=0, />½/>=0. (3.5)
Решение уравнений (3.2) и (3.3) сграничными условиями (3.4) и (3.5) приводит к следующим результатам:
j=/>N/>(d/> — x)/> для 0, (3.6)
j=j/> — /> N/>(d/>+ x)/> для — d/>
d=/>=/>, (3.8)
d/>/d/>=N/>/N/>, (3.9)
Из уравнений (3.6) и(3.7) видно, что высота потенциального барьера j (x)является квадратичной функцией координаты x. Толщина слоя объемного заряда согласно (3.8) тем больше,чем ниже концентрация основных носителей, равная концентрации легирующейпримеси. При этом глубина проникновения контактного поля больше в ту областьполупроводника, которая легирована слабее. При N/>, например, практически весь слой локализуется в n-области:
d » d/>=/>=/>. (3.10)
Произведенный расчеттолщины слоя объемного заряда относится к резкому p–n-переходу, вкотором концентрация примесей меняется скачкообразно. Рассчитаем толщинуслоя объемного заряда резкого p–n-перехода при 300 К.
d=/>=/>=/>=/>=5,26/>10/>(см)
4. Расчет барьернойемкости
Электронно–дырочныйпереход обладает барьерной, или зарядовой, емкостью, связанной с изменениемвеличины объемного заряда p–n-перехода под влиянием внешнегосмещения.
Толщина слоя объемногозаряда d перехода связана с высотойпотенциального барьера j/>= qV/>соотношением (3.8) (или (3.10)для несимметричного перехода). Поэтому повышение потенциального барьера p–n-перехода при обратном смещении происходит за счет расширенияслоя объемного заряда.
При прямом смещениипотенциальный барьер p–n-перехода уменьшается за счетсуждения слоя объемного заряда.
Для асимметричного p–n-перехода, например, в том и другом случае толщина слояобъемного заряда определяется соотношением, аналогично (3.10):
d = />=/>, (4.1)
Здесь V>0 при прямом и V
Установлениестационарного состояния при наличии смещения происходит следующим образом.Обратное смещение V, приложенное кполупроводнику, создает в n- и p-областях внешнее поле Е/>, вызывающеедрейф основных носителей к омическим контактам, с помощью которых полупроводникподключается в цепь. Отток основных носителей от p–n-переходаприводит к обнажению новых слоев ионизированных доноров и акцепторов ирасширению области объемного заряда. Этот процесс продолжается до тех пор, покавсе внешнее смещение V неокажется приложенным к p–n-переходу.
Прямое смещение вызываетприток основных носителей к области объемного заряда, в результате которогозаряды, созданные внешним источником э.д.с. на омических контактах, переносятсяк p–n-переходу и сужают его.
После установлениястационарного состояния практически все напряжение V падает на p–n-переходе, так как его сопротивлениена много порядков выше сопротивления остальных областей полупроводника.
Таким образом,приложенное к p–n-переходу внешнее напряжение вызывает появление в первыймомент времени импульса тока во внешней цепи, приводящего, в конечном счете, кувеличению или уменьшению объемного заряда p–n-перехода.Поэтому переход ведет себя как емкость. Ее называют барьерной, или зарядовой,емкостью, так как она связана с изменением потенциального барьера p–n-перехода. При подаче на переход обратного смещения барьернаяемкость заряжается, при подаче прямого смещения – разряжается.
Величину барьернойемкости можно вычислять по формуле плоского конденсатора
С/>=/>S/d, (4.2)
где S- площадь p–n-перехода; e — диэлектрическая проницаемостьполупроводника; d – толщина слояобъемного заряда, играющая роль расстояния между обкладками конденсатора.Отличие от конденсатора состоит в том, что d в выражении (4.3) не является величиной постоянной, азависит от внешнего смещения V.Поэтому и барьерная емкость С/>также зависит от внешнего смещенияV. Подставляя в (4.2) d из (4.1), получаем
С/>=S/>= S />. (4.3)
С/>=S/>=0,15/>/>=/>=0,15/>/> =0,15/>3,44/>=0,516/>(Ф)
Cписок используемой литературы
1. Епифанов Г.И.,Мома Ю.А. Физические основы конструирования и технологии РЭА и ЭВА. — М.:Советское радио, 1979.
2. Пасынков В.В., Сорокин В.С. Материалыэлектронной техники. – М.: Высшая школа, 1986.
3. Пасынков В.В., Чиркин Л.К.полупроводниковые приборы. – М.: Высшая школа, 1987.
4. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочникпо физике для инженеров и студентов вузов. – М.: Наука,1971.