Содержание
1. Введение..................................................................... 3
2. ФункцияΨ. Нормировка вероятности......... . .................................. .4
3. Получениеуравнения Шрёдингера............................................... 6
4. Основныесвойства уравнения Шрёдингера....................................... 10
5. Оквантово-механическом представлении движения микрочастиц.................... 13
6. Заключение..............................................…........... . ...... .14
7. Литература................................................................... 15
1.Введение
Квантовая теория родилась в1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении междутемпературой тела и испускаемым этим телом излучением — вывод, который долгоевремя ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил,что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергияосцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виденебольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждогокванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формулавызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, таккак противоречили классической физике.
В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторыхаспектов фотоэлектрического эффекта — испускания электронов поверхностьюметалла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметилкажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно,что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствахможет вести себя и как поток частиц.
Примерно через восемь лет НильсБор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемыхатомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфордпоказал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре,несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно большихрасстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом вцелом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находитьсятолько на определенных дискретных орбитах, соответствующих различнымэнергетическим уровням, и что «перескок» электрона с одной орбиты надругую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которогоравна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональнаэнергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь междуразличными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества,и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Боравскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией иэкспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не даваласистематической процедуры решения многих квантовых задач.
Новая существенная особенностьквантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальнуюгипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, напримерсвет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы,например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны.В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ееэнергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлемматематическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны,массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн былоэкспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером вСоединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.
Под впечатлением откомментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попыткуприменить волновое описание электронов к построению последовательной квантовойтеории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле оннамеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопиланемало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятаяШрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.
Скорости электронов в теории IIШрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нееспециальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого еюзначительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.
Одной из причин постигшейШрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойстваэлектрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокругсобственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.
Следующую попытку Шрёдингерпредпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолькомалыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала самасобой.
Вторая попытка увенчаласьвыводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материив терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой.Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальныминаблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовойтеории.
Незадолго до того ВернерГейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовойтеории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовыеявления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собойопределенным образом упорядоченные математические множества, называемыематрицами, над которыми по известным правилам можно производить различныематематические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия снаблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики несодержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время.Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядныхпредставлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли бытьопределены из эксперимента.
Шрёдингер показал, что волноваямеханика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне подобщим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общуюоснову описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновоймеханике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятияказались более «физическими»; операции же над матрицами — болеегромоздкими.
2. Функция Ψ. Нормировкавероятности.
Обнаружение волновыхсвойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не можетдать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимостьсоздать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свойства.Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзенбергом, Дираком и другими,получила название волновой или квантовой механики.
Плоская волна де Бройля
(1)
является весьма специальным волновым образованием,соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенномнаправлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободномпространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другиедвижения, описываемые более сложными волновыми функциями. В этих случаях полное описание состояния частицы вквантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то болеесложной комплексной функцией , зависящей от координат ивремени. Она называется волновойфункцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функцияпереходит в плоскую волну де Бройля (1). Сама по себеволновая функция вводится как некоторый вспомогательныйсимвол и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но еезнание позволяет статистическипредсказывать значения величин, которые получаются экспериментально ипотому имеют реальный физический смысл.
Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местахпространства. На этой стадии, когда говорится только об отношенияхвероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью допроизвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновуюфункцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число,отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смыслаговорить, что Ψравна нулю во всех точкахпространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить оботносительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства.Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти кабсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так,чтобы величина |Ψ|2dVдавала абсолютнуювероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ(Ψ* — комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотностивероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы впространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексногомножителя, модуль которого, однако, равен единице. При такомопределении должно быть выполнено условие нормировки:
(2)
где интегралберется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всемпространстве частица будет обнаружена с достоверностью. Если интеграл от |Ψ|2 берётсяпо определённому объёму V1 – мы вычисляемвероятность нахождения частицы в пространстве объёма V1.
Нормировка (2) может оказаться невозможной, если интеграл (2) расходится. Такбудет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятностьобнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следуетрассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходитна бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства.Тогда нормировка не вызывает затруднений.
Итак,непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а сее модулем Ψ*Ψ. Почему же вквантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно сэкспериментально наблюдаемыми величинами Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкованияволновых свойств вещества — интерференции и дифракции. Здесь дело обстоитсовершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае влинейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностейи, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции идифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного изосновных постулатов принцип суперпозицииволновых функций, заключающийся в следующем.
Если волновые функции, описывающие какие-то два состояниячастицы, то всякая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами с1Ψ1 + с2Ψ2 представляеттакже волновую функцию той же частицы, описывающую какое-то ее состояние. НайдяΨ указанным путем, можно в дальнейшем определить и плотность вероятностиΨ*Ψ в состоянии Ψ.
Оправданиемтакого принципа суперпозиции является согласие с опытом вытекающих из негоследствий. Является ли принцип суперпозиции точным законом природы, или онверен только в линейном приближении, этот вопрос не может считатьсявыясненным.
Подчеркнемособо, что физический смысл волновой функции Ψсвязан не только с ее модулем, но и с ее фазой, определяемой мнимой частью этой функции. Если бы речь шла оволновой функции только одного состояния, то можно было бы ограничиться однимтолько модулем. Но если речь идет о наложении состояний, то происходит ихинтерференция, а она определяется относительной разностью фаз волновыхфункций, описывающих эти состояния.
Частота волны де Бройля ω и вообще частота волновой функции относятся к принципиальноненаблюдаемым величинам. Этим можно воспользоваться, чтобы перейти кквантовой механике внерелятивистской форме. И в классической механике обширная область явлений охватывается в нерелятивистском приближении. То же может быть сделано и в квантовой механике. К тому же здесь переход к релятивистскому рассмотрению осложняется следующим обстоятельством. В сильных полях, когдаэнергия поля (например, γ-кванта) превосходит 2mес2, начинается рождение пар электрон-позитрон. То же наблюдаетсяв аналогичных случаях и для других частиц. По этой причине последовательная релятивистская квантовая механика не может бытьтеорией одного тела (однойчастицы). Теория одного тела возможна только в нерелятивистском приближении. Поэтомув дальнейшем мы ограничимся только нерелятивистской квантовой механикой.
Внерелятивистской квантовой механике мы будем по-прежнему пользоватьсясоотношениями:
E=ħω, (3)
(Здесь и далее: Е – энергия объекта (кинетическая), ħ – постоянная Планка, делённая на 2π, ħ = 1,05459∙10-34 Дж∙с, ω – частота (волн де Бройля)).
Однакособственную энергию частицы m0c2учитывать небудем. Это значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую частоту,отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохранимпрежнее обозначение ω. В частности, в случае свободного движения
E= р2/2m, и закондисперсии записывается в виде
ω=(ħ/2m)∙k2 (4)
Это приводит квыражению для фазовой скорости волн де Бройля:
υф = ω/k = ħk/2m = υ/2 (5) (здесьk=2π/λ, — волновое число)
Однако это неможет отразиться на физических выводах теории, так как фазовая скорость, как и сама частота ω волны де Бройля, относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин.Существенно, что физически наблюдаемые величины -плотность вероятности Ψ*Ψ и групповая скорость(групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы) — при новом выборечастоты остаются неизменными. Остаются неизменными и все величины, доступныеизмерению на опыте.
3. Получениеуравнения Шрёдингера
Основная задачаволновой механики состоит в нахождении волновых функций и связанных с нимифизических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служитволновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это — основное уравнениеквантовой механики, но оно справедливо только в нерелятивистской квантовоймеханике, т. е. в случае движений, медленных по сравнению со скоростью света ввакууме.
Уравнение Шрёдингера должно быть общимуравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входитьзначения параметров (например, начальные условия, конкретный вид силовых полейи пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировыепостоянные, например постоянная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц,но их численные значения не должны быть конкретизированы. Силовые поля, вкоторых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесьдело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособленыдля решения всех, а не только частных механических или электродинамическихзадач. Кроме того, надо потребовать, чтобы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этимбудет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций,необходимость которого диктуется интерференцией и дифракцией волн вещества.
При отысканииуравнения Шрёдингера заметим, что одним из решений его в свободномпространстве должна быть плоская волна де Бройля (1).Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющееперечисленным выше условиям, решением которого является эта волна.
Дифференцирование (1)по x, y, zдаст:
Сложениемполученных вторых производных найдем:
Учитывая соотношения (3) найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем:
(6)
Это дифференциальное уравнение, но не то, которое мыищем. Действительно, при выводе величина p предполагалась постоянной, апотому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постояннымимпульсом.
Продифференцируем теперь (1) по времени припостоянной ω:
Учитывая (3), находим что ,таким образом можно записать:
(7)
Это уравнение также не годится. Оно описываетдвижение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E.Однако, выразим из (7)энергию, а из (6) – квадрат импульса p2:
(7*)
Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствиипотенциальных сил, E=p2/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса,придём к однородному линейному уравнению
(8)Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющихконкретное движение. Это уравнение и есть уравнениеШрёдингера в отсутствии силовых полей.
Обобщимтеперь полученное уравнение (8) на случай движений в силовых полях.Ограничимся случаем потенциальных силовыхполей, которые, как и в классической механике, характеризуются потенциальной функцией или потенциальной энергией U().Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии, Значит, одинаковую размерность имеют
и величины и U()Ψ. Поэтомуприбавление в правой части уравнения (8) слагаемого U()Ψне меняетразмерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение
(9)
будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля надвижение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера.Это так называемое уравнениеШрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера.
Путь, которым мыпришли к уравнению Шрёдингера, конечно, не может служить доказательством этогоуравнения. Но уравнение Шрёдингера – существенно новый принцип. Его нельзялогически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственнымдоказательством уравнения Шрёдингера является только опыт – опытная проверкавсех выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шрёдингера выдержало.
В уравнении (9) в неявной форме уже заложена двойственная– корпускулярно-волновая –природа вещества. Согласноинтерпретации волновой функции Ψ частица не локализована. Она, какпринятоговорить,сопределенной вероятностью «размазана» впространстве. Казалось бы, что при написании уравнения (9) это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т.е. под U следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всехвозможных положений ее и их вероятностей. На самом деле вуравнении (9) это не предполагается. Потенциальная функция U() рассматривается в нем так же, как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точечной,частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в полеядра полагают U(r) = -е2/r, т. е. поступаюттак же, как если бы обе эти частицы были локализованы.
УравнениеШрёдингера –первого порядка по времени.Отсюда следует, что заданием волновой функции Ψ во всемпространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый заначальный) однозначно определяется функция Ψ также во всемпространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на этоутверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо выражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ψ. А волноваяфункция связана с реально наблюдаемыми объектами вероятностными соотношениями. Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, являетсяпринципиально статистическойтеорией.
Уравнение Шрёдингера, как это требовалось с самогоначала для выполнения принципа суперпозиции, линейно иоднородноотносительно функции Ψ. В точной математической формепринцип суперпозиции сводится к двум утверждениям.
Во-первых, если Ψ1и Ψ2— какие-либо дварешения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α1Ψ1 + α2Ψ2 спостоянными (вообще говоря,комплексными) коэффициентами α1и α2есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ1 и Ψ2описывают какие-либо два состояниясистемы, то и линейная комбинация α1Ψ1 + α2Ψ2 также описываеткакое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяетсяне самими коэффициентами α1и α2, а только их отношением α1/α2. Состояние неизменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же вещественную иликомплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ= α1Ψ1 + α2Ψ2 нормировать(если интеграл , взятый по всему пространству,сходится).
Особое значениев квантовой механике имеют стационарныесостояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдаемые физическиепараметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψне относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которыемогут быть образованы из Ψпо правиламквантовой механики.
Как следует изуравнения (9), вид волновой функции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., вконечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U естьфункция координат и времени. Для стационарного(не меняющегося со временем) силового поля U независит явно от времени.В последнем случае волновая функция Ψ распадается надва множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только откоординат:
(10)
(Е — полная энергия частицы, (E/ħ) = ω ).
Учтём, что дифференциал (11)
Подстановкафункции (10) в уравнение (9) с учётом (11) дает:
Сокращая все члены этого уравнения наобщий множитель e-i(E/ħ)t и произведясоответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение,определяющее функцию ψ:
(12)
Если функция Uзависит от времени явно, то и решение последнего уравнения – функция ψ –будет зависеть от времени, что противоречит предположению (10).
Уравнение (12)называется уравнением Шрёдингера длястационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).
К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем следующихрассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельныйпучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся внаправлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся внаправлении оси x, имеет, как известно, вид:
Это выражение часто пишут в комплексном виде:
(13)
подразумевая, чтонадо принимать во внимание вещественную часть этого выражения.
Согласно гипотезе де Бройля свободному движению частицы соответствуетплоская волна с частотой ω=Е/ħи длиной волны λ = 2πħ/р. Заменяя ω и λ в выражении (13)соответствующими выражениями, получим волновую функцию для свободной частицы,движущейся в направлении оси х:
(14)
Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция(14), воспользуемся соотношением между Еи p:
E=p2/2m. (15)
Продифференцировав функцию (14) один раз по t, a второй раздважды по x, получим:
Из этих соотношений можно выразить Е и р2через функцию Ψи ее производные:
Как видим прослеживается полная аналогия с (7*). Подставляя полученныевыражения в соотношение (15) получим дифференциальное уравнение:
Если направлениеволны не совпадает с осью х (или у, или z), фазаколебаний будет зависеть от всех координат: х, у и z. В этом случае дифференциальноеуравнение имеет вид:
Полученное уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера(8) (частица по условию свободна, U=0). Подстановка (10) в этоуравнение (такая подстановка правомерна, так как U = 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шрёдингера для стационарных состояний:
(16)
Это уравнениесовпадает с уравнением (12) для случая U = 0.
Таким образом, мыполучили уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Теперь следуетобобщить уравнение (16) на случай частицы, движущейся впотенциальном поле сил, когда полная энергия Е слагается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U.
В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т,так что величину Е в уравнении (16) можнотрактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщаяуравнение (16) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, чтоследует подразумевать для такой частицы под величиной Е: полную или только кинетическую энергию. Если принять, что Е –полная энергия частицы, обобщенноеуравнение, определяющее ψ, а значит, и сама ψне будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это,очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. Поэтому следуетпризнать, что при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение (16) нужно ввести кинетическую энергиючастицы Т = Е –U. Произведя такуюзамену, мы придем к уравнению (12).
Приведенные нами рассуждения не могут рассматриватьсякак вывод уравнения Шрёдингера. Их цель — пояснить, каким образом можно былоприйти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательствомже правильности уравнения Шрёдингера может служить лишь согласие с опытом техрезультатов, которые получаются с помощью этого уравнения.
4. Основные свойства уравнения Шрёдингера
Условия, которым должны удовлетворять решенияуравнения Шрёдингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волноваяфункция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требованиенепрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле
U (х, у, z) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должныоставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные.Непрерывность последних, однако, не имеет места, если за некоторойповерхностью потенциальная энергия U обращается вбесконечность. В область пространства, где U = ∞, частицавообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ψ = 0.Непрерывность ψ требует,чтобы на границе этой области ψ обращалось в нуль; производныеже от ψ в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок.
Вид волнового уравнения физической системы определяется еегамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всемматематическом аппарате квантовой механики.
Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общимитребованиями, связанными с однородностью и изотропией пространства и принципомотносительности Галилея. В классической механике эти требования приводят кквадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2т, гдепостоянная т называется массойчастицы. В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношениюдля собственных значений энергии и импульса